Fiche Z1 Propriétés des polygones réguliers

Fiche Z1 PROPRIETES DES POLYGONES REGULIERS 3
ème
Définition : Un
polygone régulier
est un polygone dont tous les côtés ont la même
longueur et dont tous les angles ont la même mesure.
1 Propriété des sommets :
On considère un polygone régulier à N côtés.
Les points A, B, C et D sont quatre sommets consécutifs de
ce polygone régulier.
On a donc : AB = BC = CD et ABC = BCD.
On a tracé ensuite la bissectrice de l’angle ABC et la bissectrice
de l’angle BCD ; celles-ci se coupent en un point O.
a. Quelle est la nature du triangle OBC ? Pourquoi ?
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
b. On en déduit que : OB = …….
c. Comparons maintenant les triangles OAB et OBC :
[OB] est un côté commun aux triangles OBC et OAB, AB = BC (par définition d’un polygone régulier) et
les angles ABO et BCO sont égaux
On peut en déduire que les triangles OAB et OBC sont ……………...
Ainsi OA = …..
On démontrerait de même que les triangles OBC et OCD sont identiques.
Ainsi on aurait OC = ….
Grâce aux trois questions précédentes, on vient de démontrer que OA = ….. = …… = …….
Et ainsi de suite avec tous les sommets de ce polygone régulier.
→ Tous les sommets de ce polygone régulier sont à la même distance du point O.
Tous les sommets d’un polygone régulier appartiennent à …………………………
………………………………….
On dit qu’un polygone régulier est ……………………………….
2 Propriété des angles :
a. AOB, BOC et COD sont des …………………………
b. D’après la partie 1, les triangles OAB, OBC et OCD sont ………………………
On en déduit que les angles au centre AOB, BOC et COD sont ………………..
→ On peut donc en déduire que tous les angles au centre d’un polygone régulier sont …………….
d. Or la somme des N angles au centre d’un polygone régulier vaut …………………………
e. On en déduit que :
Tous les angles au centre d’un polygone régulier à N côtés mesurent …………….