Fiche Z1 Propriétés des polygones réguliers

Fiche Z1
PROPRIETES DES POLYGONES REGULIERS
3ème
Définition : Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés ont la même
longueur et dont tous les angles ont la même mesure.
1 Propriété des sommets :
On considère un polygone régulier à N côtés.
Les points A, B, C et D sont quatre sommets consécutifs de
ce polygone régulier.
On a donc : AB = BC = CD et ABC = BCD.
On a tracé ensuite la bissectrice de l’angle ABC et la bissectrice
de l’angle BCD ; celles-ci se coupent en un point O.
a. Quelle est la nature du triangle OBC ? Pourquoi ?
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
b. On en déduit que : OB = …….
c. Comparons maintenant les triangles OAB et OBC :
[OB] est un côté commun aux triangles OBC et OAB, AB = BC (par définition d’un polygone régulier) et
les angles ABO et BCO sont égaux
On peut en déduire que les triangles OAB et OBC sont ……………...
Ainsi OA = …..
On démontrerait de même que les triangles OBC et OCD sont identiques.
Ainsi on aurait OC = ….
Grâce aux trois questions précédentes, on vient de démontrer que OA = ….. = …… = …….
Et ainsi de suite avec tous les sommets de ce polygone régulier.
→ Tous les sommets de ce polygone régulier sont à la même distance du point O.
Tous les sommets d’un polygone régulier appartiennent à …………………………
………………………………….
On dit qu’un polygone régulier est ……………………………….
2 Propriété des angles :
a. AOB, BOC et COD sont des …………………………
b. D’après la partie 1 , les triangles OAB, OBC et OCD sont ………………………
On en déduit que les angles au centre AOB, BOC et COD sont ………………..
→ On peut donc en déduire que tous les angles au centre d’un polygone régulier sont …………….
d. Or la somme des N angles au centre d’un polygone régulier vaut …………………………
e. On en déduit que :
Tous les angles au centre d’un polygone régulier à N côtés mesurent …………….