Vibrations des arbre..

TP5. VIBRATIONS
des arbres rotatifs
MONTAGE
L'arbre est guidé en rotation par deux paliers rotulants.
Vue de dessus
15 Mils = 0.4 mm ( ≈ 3 Volt )
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I) Introduction :
Une des causes les plus fréquentes de vibration est certainement la force tournante
(centrifuge) due au fait qu’il n’est généralement pas possible de faire coïncider l’axe de
rotation avec le centre de gravité du rotor. Il en résulte que l’arbre est soumis à un
champ de force qui le déforme. Ces déformations à leur tour déplacent les centres de
gravité, donc augmentent les forces.
Les équations de la mécanique permettent de déterminer les déformations de l’arbre si
l’on connaît les efforts appliqués et les caractéristiques mécaniques du rotor et des
appuis. A l’inverse, connaissant les déformations, on peut en déduire les efforts, et par
conséquent savoir comment les compenser (équilibrage des arbres).
Le principe de base de l’équilibrage consiste en théorie à faire coïncider l’axe de rotation
avec la ligne des centres de gravité. En pratique, on se contente de placer des masses
correctrices dans des plans d’équilibrages accessibles. On n’équilibre pas, mais on crée un
autre déséquilibre !!!
Le rotor dans sa vibration constitue un système vibrant continu et admet une infinité
ordonnée de modes propres. Chacune correspond à une pulsation propre ωp associée à une
forme du rang p. En fait, on n’en observe généralement qu’un petite nombre, car les
formes propres qui correspondent à des fréquences élevées sont assez amorties pour que
les modes correspondants n’existent réellement pas (amortissement plus que critique).
L’objectif de ce TP :
• Se familiariser avec le calcul des deux fréquences propres fondamentales par les
méthodes d’énergie simplifiées « la méthode de RAYLEIGH »
• Analyser le comportement vibratoire d’un arbre tournant.
• Apprendre à déterminer la position du balourd par des simples mesures de
déplacement.
II)
Caractéristiques du rotor
1) Aspects théoriques
Nous allons étudier le cas simple d’un rotor constitué d’un arbre flexible et d’un disque
rigide dont le centre de masse et le centre géométrique ne coïncident pas, ce qui peut
être modélisé par deux masses : M masse centrée et m la masse excentrée qu’on va
appeler la masse du balourd (m <<< M). L’arbre est porté par deux paliers rotulants.
-
M masse du rotor,
m masse du balourd,
R rayon du balourd,
φ position angulaire du balourd,
Ω vitesse angulaire du rotor,
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L’équation générale du mouvement
En analysant les forces agissantes sur la masse M, on distingue quatre types de forces :
les forces d’inertie,
les forces de raideur,
les forces d’amortissement interne ou externe
les forces d’excitation (force centrifuge)
L’objectif de cette analyse est de déterminer le
déphasage Ф entre la force d’excitation et le déplacement
accessible à la mesure. On commence par la
détermination des relations de phase entre les trois
forces : raideur, inertie et amortissement
RAPPEL DES RELATIONS ENTRE LES GRANDEURS D’UN MOUVEMENT
VIBRATOIRE EN REGIME PERMANENT HARMONIQUE:
déplacement : d(t) = d cos(Ω t)
vitesse : v(t) = Ω d cos(Ω t + Л/2)
accélération :
a(t) = Ω² d cos(Ω t +Л)
On en déduit les relations d’amplitudes et de phases suivantes :
1) Les relations d’amplitudes : a = Ω² d et v = Ω d
2) La vitesse et l'accélération sont respectivement en quadrature et en opposition de
phase avec les déplacements
En factorisant le terme de déplacement,
apparaît la raideur dynamique Z = F/d
il
On note que :
tan φ =
Ω.d
K − Ω 2 .M
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à basses vitesses:
Pour des valeurs de Ω faibles, le terme de d =
F0
, Φ ≈ 0 la raideur est dominant, les
K
deux forces d’amortissement et d’inertie restent négligeables.
L’équation se réduit à : k .d = F (t ) et, Φ ≈ 0
La raideur dynamique est quasiment en phase avec la raideur statique.
à la résonance, Ω = ωn = √(K/M), le terme dominant est le terme d’amortissement car
les termes d’inertie et de rappel élastique se compensent, l’équation (1) se réduit à :
D.v = f (t ) , d =
F0
et φ = -90°
Dω
Nous observons aussi au voisinage de ωn une variation rapide de phase et d’amplitude
(voir fig. et vitesse critiques)
Pour Ω >> ωn, le terme dominant de l’équation (1) est le terme d’inertie et l’équation se
réduit à : M .a = F (t ) , d ≈
F0
Mω
et
Φ ≈ −π , la déformation est opposée à la force
(m tente d’être immobile)
III) VITESSES CRITIQUES, PULSATIONS PROPRES
La vitesse critique ω c est celle qui correspond à un maximum de l’amplitude de
vibrations de flexion. C’est donc pour cette vitesse que les contraintes supportées par
le rotor seront maximales. La détermination théorique de cette vitesse n’est pas
évidente car il nécessite notre connaissance de l’amortissement.
D’autre part, l’analyse précédente a mis en évidence un autre critère concernant la
phase de la vibration par rapport à l’effort. Sa variation est rapide autour de la
pulsation propre ωn. Le déphasage est égal à 90° lorsque Ω = ωn
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Les deux pulsations étant très voisines dans le cas des rotors réels, peu dissipatifs, on
pourra les confondre et utiliser les deux critères précités pour détecter la vitesse
critique mesurée. C’est pour cette raison que l’analyse théorique utilisée pour la
détermination des vitesses critiques traite un système conservatif.
1) Calcul (Méthode de RAYLEIGH)
La méthode de Rayleigh est l’une des méthodes approchées permettant le calcul des
premières pulsations propres d’un système continu. La base théorique de cette
méthode fait l’objet du T.P. « vibration des poutres continues en flexion », où nous
avons obtenu l’expression de la pulsation propre :
l
EIu"²(x)dx
∫
⇒ω²=
∫ ρSu²(x)dx
0
l
0
Application numérique :
1-Principe de discrétisation :
Un rotor continu, aussi compliqué soit-il, peut toujours être discrétisé en un
nombre fini de nœuds délimitant des éléments droits, représentant des tronçons du
rotor.
Si l’on suppose que les propriétés massiques des éléments sont concentrées aux
nœuds (centre de gravité de chaque tronçon), et que leurs propriétés élastiques
apparaissent comme des raideurs tenant compte des degrés de libertés (déformation) ;
un rotor continu peut être transformé en un système couplé de masses, d’amortissements
et de raideurs.
Avec la discrétisation du rotor en 5 tronçons (i) de longueur li :
L1 = L5 = 110 mm ; L3 = 220 mm ; L2 = L4 = 25 mm ; diamètre de l’arbre =10 mm,
ρ = 7,8 Kg/dm3 ; E = 190 000 Mpa, masse de chaque disque = 800 g.
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2
 d²y 
∑

 ( EIl ) i
dx
²


i =1
i
5
La formule précédemment obtenue devient
Ω² =
5
∑m y
i
i =1
2
i
x : abscisse du centre de gravité de chaque tronçon.
u : flèche fonction de x

 d ²y

 : valeur de la dérivée sec onde de la flèche 
 dx ²  i

Ei : module d 'YOUNG
 pour l' élément i

Ii : inertie de la sec tion du rotor


li : longueur
•
Tracer les deux premiers modes propres de l’arbre.
• Choisir une déformée initiale y(x) pour chaque mode
on prend deux fonctions pour décrire chaque mode afin d’étudier la sensibilité des
résultats au choix de la déformée initiale:
4
x( L − x)
L²
πx
- y = y 0 sin
L
- y = y0
- cas 1- cas 2 –
Pour chacun de ces deux cas déterminer les deux premières pulsations
propres Ω1 et Ω 2 correspondant aux deux premiers modes.
Attention :
Chaque fonction est une forme générale qui peut être adaptée suivant le mode
propre à analyser (mode 1, mode 2, mode 3…)
Il est conseillé de simplifier l’expression de Ω 2 au maximum avant de commencer
l’application numérique.
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IV)
PARTIE EXPERIMENTALE
Points pratiques :
a. Emplacement des capteurs : Pour étudier expérimentalement un système continu,
on propose la mesure des déplacements en différents points du système. Si le
système comporte une concentration de masse en différents emplacements, il est
préférable de mesurer le déplacement en ces points. Si la masse est répartie sur
la longueur de l’élément on place les capteurs aux points où nous attendons un
ventre (déplacement maximal). Dans le cas où on ne pourrait pas savoir d’avance la
position des ventres et des nœuds, on repartit les capteurs sur l’élément à
distances égales.
b. Vitesses critiques : Nous avons pu constater au cours de partie théorique que les
vitesses critiques se manifestent par des maxima de l’amplitude de vibration et
toujours par une variation rapide de phase au voisinage des fréquences propres.
Ces deux critères sont visibles sur le diagramme de BODE et encore plus sur le
diagramme polaire (voir annexe).
c. Diagramme polaire : Il représente l’évolution de l’amplitude et de phase en
fonction de la fréquence. On constate sur ce diagramme un certain nombre de
boucles qui correspondent aux vitesses critiques détectées. On constate
également que la graduation en fréquence varie plus rapidement au voisinage de la
résonance. Plus l’amortissement est faible, plus cette variation est rapide et plus
les déformations sont amplifiées.
on peut déterminer sur cette représentation les deux vitesses critiques,
l’amortissement propre, ainsi que la position du balourd
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IV.1. Modélisation :
a. Modéliser l’arbre du rotor en statique.
b. Tracer la déformée statique.
c. Schématiser le banc d’essai en montrant les grandeurs mesurées. Que
pensez-vous de l’emplacement des capteurs ?
d. Qu’elle est l’utilité du keyphaser ?
e. Colorier en bleu les parties déformables de la structure et en rouge les
éléments indéformables.
f. Que faut-il négliger pour modéliser l’arbre par un système à deux degrés
de liberté.
IV.2. Mesures sur le
•
•
•
ROTOR-KIT
Connecter les voies 1 et 3 sur l'oscilloscope.
Démarrer le moteur en basculant le bouton sur RAMP.
Régler le potentiomètre MAX SPEED SETPOINT sur la valeur de la vitesse à
atteindre (ex : 400 pour 4000 tr/mn) et le RAMP RATE sur 7.
•
•
En augmentant progressivement la vitesse du rotor de 0 à 10000 tr/mn, repérer
les vitesses critiques (maximum d'amplitude de vibration). Sur l'oscilloscope, on
visualisera les voies 1 et 3, ce qui permet de visualiser l'allure de la déformée
(observer les déphasages)
IV.3. Manipulations (entre 0 et 7000 tr/mn)
Pour chacune des voies 1 et 3 on relèvera l'amplitude du déplacement et le
déphasage φ en fonction de la vitesse de rotation de l'arbre. Le déphasage φ du
signal du capteur est mesuré entre l'impulsion du keyphaser et le maximum de la
première alternance positive.
On tracera les diagrammes de BODE correspondants
→ Déplacement = f(vit. rot.) et φ = f(vit. rot.).
- En déduire le diagramme polaire → déplacement = f(Φ) pour la gamme de vitesse
0-7000 tr/mn
- Pour chacune des voies 2 et 4 on relèvera le déphasage φ à la première vitesse
critique.
-
Pour le premier mode de vibration retrouver la position du balourd (naturel) en
sachant qu'à la résonance, le déphase entre l'excitation et la réponse est 90.
Comparer les résultats obtenus relatifs à chacune des quatre voies.
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