Modélisation et diagnostic de la machine asynchrone en présence

FACULTE DES SCIENCES & TECHNIQUES
U.F.R Sciences & Techniques : S.T.M.I.A
Ecole Doctorale : Informatique Automatique Electrotechnique Electronique Mathématiques
Département de Formation Doctorale : Electrotechnique Electronique
Thèse
présentée pour l’obtention du titre de
Docteur de l’Université Henri Poincaré, Nancy-I
Spécialité : Génie électrique
par Gaëtan DIDIER
Modélisation et diagnostic de la machine
asynchrone en présence de défaillances
Soutenue publiquement le 29 Octobre 2004 devant la commission d’examen composée de
Président :
A. Rezzoug
Professeur à l’Université Henri Poincaré - Nancy I
Rapporteurs :
G. Barakat
Maı̂tre de conférences à l’Université du Havre - HDR
J. C. Trigeassou Professeur à l’Université de Poitiers
Examinateurs :
H. Razik
Directeur de Thèse
Maı̂tre de conférences à l’IUFM de Lorraine - HDR
A. Richard
Professeur à l’Université Henri Poincaré - Nancy I
H. Henao
Maı̂tre de conférences à l’Université d’Amiens
Groupe de Recherche en Electrotechnique et Electronique de Nancy
Faculté des Sciences et Techniques - B.P. 239 - 54506 Vandoeuvre-lès-Nancy
Remerciements
Je tiens à remercier tout d’abord le Professeur Abderrezak REZZOUG, directeur du
Groupe de Recherche en Electrotechnique et Electronique de Nancy, pour m’avoir accueilli
au sein de son laboratoire et pour m’avoir fait l’honneur de présider mon jury.
Je remercie également Monsieur Jean Claude TRIGEASSOU, Professeur à l’Université de Poitiers, et Monsieur Georges BARAKAT, Maître de conférences HDR à l’Université du Havre, pour l’intérêt qu’ils ont porté au travail effectué en acceptant d’être
rapporteurs de cette thèse.
Merci à Monsieur Alain RICHARD, Professeur à l’Université Henri Poincaré - Nancy I
et à Monsieur Humberto HENAO, Maître de conférences à l’Université d’Amiens, pour
avoir accepté de participer à ma soutenance en tant qu’examinateurs.
Je remercie aussi Monsieur Hubert RAZIK, mon directeur de thèse, pour ses remarques
pertinentes, nos longues discussions scientifiques et pour le temps qu’il a su me consacrer
tout au long de ces trois années passées au GREEN.
Je ne pourrai jamais remercier suffisamment Olivier CASPARY et Eric TERNISIEN,
Maîtres de conférences au Centre de Recherche en Automatique de Nancy, pour leur gentillesse, leur soutien moral et scientifique, leurs idées et le temps qu’ils ont su m’accorder
tous les lundis matins à l’IUT de Saint Dié des Vosges. Je leur dois énormément, et dans
tous les cas cette page.
Merci à Denis NETTER pour m’avoir appris les subtilités de l’enseignement supérieur
lors de mes premières heures aux fonctions de moniteur du CIES de Lorraine. Je tiens
à remercier aussi Francis WEINACHTER pour avoir développé divers programmes et
utilitaires qui m’ont permis de gagner un temps précieux tout au long de ma thèse.
Je ne peux oublier les personnes qui ont su m’aider à un moment ou à un autre pour les
formalités administratives. Je pense plus particulièrement à Sandrine VANZO et Sandra
KLEIN. Merci aussi à tous mes collègues et amis du laboratoire qui se reconnaîtront ici
(en particulier, les expatriés du 4éme étage). Je leur exprime ma profonde sympathie et
leur souhaite beaucoup de chance pour les années futures.
Un grand merci à toute ma famille et plus particulièrement à mon père, ma mère, ma
soeur et mon frère pour m’avoir soutenu et aidé tout au long de mes études.
Merci enfin à mes amis, Anne-Laure Marchal (Monique ou Brigitte as you want),
Olivier Munsch et Stéphane Munier (Polo) pour qui faire une thèse consiste à se lever
tard, faire acte de présence au bureau, et repartir le plus tôt possible. Ce n’est pas grave,
qu’ils en soient excusés.
Pour terminer ces premières pages, merci à Mathworks pour avoir développé Matlab
et à Donald E. Knuth et Leslie Lamport pour avoir créé Tex et LaTex.
Rêves de grandes choses, cela te permettra
d’en faire au moins de toutes petites.
Jules Renard, Nouvelles
Table des matières
Introduction générale
I
Etat de l’art
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1 Eléments de constitution de la machine asynchrone . . . . . . .
I.1.1 Stator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.2 Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.3 Paliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2 Les défaillances de la machine asynchrone . . . . . . . . . . . .
I.2.1 Défaillances d’ordre mécanique . . . . . . . . . . . . . .
I.2.1.1 Défaillances des roulements . . . . . . . . . . .
I.2.1.2 Défaillances du flasque . . . . . . . . . . . . . .
I.2.1.3 Défaillances de l’arbre . . . . . . . . . . . . . .
I.2.2 Défaillances d’ordre électrique . . . . . . . . . . . . . . .
I.2.2.1 Défaillances des circuits électriques statoriques .
I.2.2.2 Défaillances des circuits électriques rotoriques .
I.3 Méthodes de traitement des signaux . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3.1 Transformée de Fourier discrète . . . . . . . . . . . . . .
I.3.2 Transformée de Fourier rapide . . . . . . . . . . . . . . .
I.3.3 Périodogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3.3.1 Périodogramme simple . . . . . . . . . . . . . .
I.3.3.2 Périodogramme modifié . . . . . . . . . . . . .
I.3.3.3 Biais et variance du périodogramme . . . . . .
I.3.4 Estimateurs spectraux à variance réduite . . . . . . . . .
I.3.4.1 La méthode de Bartlett . . . . . . . . . . . . .
I.3.4.2 La méthode de Welch . . . . . . . . . . . . . .
I.3.5 Analyse spectrale en ligne . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3.5.1 Transformée de Fourier glissante . . . . . . . .
I.3.5.2 Effet zoom en analyse spectrale . . . . . . . . .
I.4 Méthodes de diagnostic actuelles . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4.1 Analyse temps-fréquence et temps-échelle . . . . . . . . .
I.4.1.1 Analyse temps-fréquence . . . . . . . . . . . . .
I.4.1.2 Analyse temps-échelle . . . . . . . . . . . . . .
I.4.2 Analyse cepstrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4.3 Analyse spectrale à haute résolution . . . . . . . . . . .
I.4.4 Diagnostic des défauts par estimation paramétrique . . .
I.4.5 Diagnostic des défauts par reconnaissance des formes . .
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2
Table des matières
I.4.6
I.4.7
Diagnostic des défauts par analyse du vecteur de Park . . . . . .
Diagnostic des défauts par le suivi des grandeurs mesurables . . .
I.4.7.1 Analyse fréquentielle des courants statoriques et du flux
de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4.7.2 Analyse fréquentielle du couple électromagnétique et de la
vitesse rotorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4.7.3 Analyse fréquentielle de la tension de neutre . . . . . . .
I.4.7.4 Analyse fréquentielle de la puissance instantanée . . . .
I.4.8 Technique additionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Objectif de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II Modélisation de la machine asynchrone
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1 Méthodes de modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1.1 Méthode des éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1.2 Méthode des réseaux de perméance . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1.3 Méthode des circuits électriques magnétiquement couplés . . . . .
II.2 Modèle de la machine en absence de défaillance . . . . . . . . . . . . . .
II.2.1 Hypothèses de départ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2.2 Structure du stator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2.3 Structure du rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2.4 Equations différentielles associées . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2.4.1 Equations différentielles du stator . . . . . . . . . . . . .
II.2.4.2 Equations différentielles du rotor . . . . . . . . . . . . .
II.2.4.3 Equations mécaniques de la machine . . . . . . . . . . .
II.2.5 Prise en compte des harmoniques d’espace dans le calcul des inductances de la machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2.5.1 Induction d’entrefer statorique . . . . . . . . . . . . . .
II.2.5.2 Induction d’entrefer rotorique . . . . . . . . . . . . . . .
II.2.6 Calcul des inductances du modèle de la machine . . . . . . . . . .
II.2.6.1 Inductance de magnétisation d’une phase statorique . . .
II.2.6.2 Inductance mutuelle entre phases statoriques . . . . . .
II.2.6.3 Inductances mutuelles entre les phases statoriques et les
boucles rotoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2.6.4 Inductance de magnétisation d’une boucle rotorique . . .
II.2.6.5 Inductances mutuelles entre les boucles rotoriques . . . .
II.2.6.6 Synthèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2.7 Détermination des paramètres de la machine asynchrone en vue de
sa simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2.8 Alimentation de la machine asynchrone . . . . . . . . . . . . . . .
II.2.8.1 Modélisation du convertisseur statique . . . . . . . . . .
II.2.8.2 Méthode des départements . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2.8.3 Couplage de la machine asynchrone . . . . . . . . . . . .
II.2.9 Exploitation du modèle de la machine asynchrone en absence de
défaillances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.3 Modèle de la machine asynchrone en présence de défaillances . . . . . . .
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Table des matières
3
II.3.1 Exploitation du modèle en présence de barre(s) rotorique(s) cassée(s)
II.3.1.1 Alimentation de la machine par le réseau triphasé . . . . .
II.3.1.2 Alimentation de la machine par un convertisseur statique .
II.3.2 Analyse harmonique du vecteur de sortie . . . . . . . . . . . . . . .
II.3.2.1 Analyse des spectres dans la plage [0 - 100] Hz . . . . . .
II.3.2.2 Analyse des spectres dans la plage [100 - 1000] Hz . . . . .
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1 Étude théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1.1 Analyse du courant statorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1.2 Analyse de la puissance instantanée . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2.1 Banc d’essai et mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2.2 Alimentation de la machine par le réseau triphasé . . . . . . . . .
III.2.2.1 Calcul du glissement de la machine . . . . . . . . . . . .
III.2.2.2 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2.2.3 Méthodes complémentaires pour le calcul du glissement de
la machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2.3 Alimentation de la machine par un variateur de vitesse . . . . . .
III.2.3.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2.3.2 Calcul du glissement de la machine . . . . . . . . . . . .
III.2.3.3 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2.3.4 Approche complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV Diagnostic de défaut sans référence
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.1 Phase du spectre du courant statorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.1.1 Influence d’un défaut rotorique sur la phase du spectre du courant
statorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.1.2 Utilisation de la phase pour le diagnostic de défaut rotorique . . .
IV.1.2.1 Méthode de diagnostic . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.1.2.2 Critère de détection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.1.2.3 Calcul du glissement de la machine asynchrone . . . . .
IV.1.3 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.1.3.1 Alimentation de la machine par le réseau triphasé . . . .
IV.1.3.2 Alimentation de la machine par un variateur de vitesse .
IV.1.4 Bilan de cette approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2 Transformée de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2.1 Définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2.2 De la transformée de Hilbert à la théorie de modulation . . . . . .
IV.2.3 La transformée de Hilbert pour le diagnostic de défaut rotorique .
IV.2.4 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2.4.1 Alimentation de la machine par le réseau triphasé . . . .
IV.2.4.2 Alimentation de la machine par un variateur de vitesse .
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Table des matières
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Conclusion générale
189
Annexes
A Analyse des forces électromotrices
A.1 Énergie . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Couple . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . .
A.4 Force électromotrice . . . . . . .
A.5 Analyse des expressions . . . . . .
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en
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présence
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d’un défaut rotorique
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B Description et identification du banc d’essai et mesure
B.1 Description du banc d’essai et mesure . . . . . . . . . . .
B.2 Identification des paramètres de la machine asynchrone .
B.2.1 Essais classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.2 Essai en continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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203
Bibliographie
215
Contribution personnelle
221
Introduction générale
Le diagnostic des machines électriques s’est fortement développé dans le monde industriel car la volonté d’obtenir une chaîne de production de plus en plus sure devient, pour
certaines applications, indispensable. Les chaînes de production doivent être dotées de
systèmes de protection fiables car une quelconque défaillance, même la plus anodine, peut
mener à un dommage matériel ou corporel inévitable. C’est pour éviter ces problèmes que
la recherche, sur le plan mondial, s’emploie depuis plusieurs dizaines d’années à élaborer
des méthodes de diagnostic. Celles-ci ont pour premier objectif de prévenir les utilisateurs
d’un risque possible pouvant apparaître en un point particulier du système.
Le travail proposé s’attarde sur le diagnostic des machines asynchrones triphasées à
cage d’écureuil. La croissance de ce type de machine électrique, essentiellement due à sa
simplicité de construction, son faible coût d’achat et de fabrication, sa robustesse mécanique ou encore sa quasi-absence d’entretien, est telle que nous la trouvons maintenant
dans tous les domaines industriels et en particulier dans les secteurs de pointe comme l’aéronautique, le nucléaire, la chimie ou encore les transports ferroviaires. A titre d’exemple,
aux Etats-Unis, 70 millions de moteurs asynchrones sont fabriqués chaque année pour
une population d’environ 300 millions de personnes. Toute proportion gardée, il est clair
ces moteurs nous conduisent à porter une attention de plus en plus sérieuse quant-à leur
fonctionnement et leur disponibilité.
En effet, l’apparition d’un défaut conduit le plus souvent à un arrêt irrémédiable de
la machine asynchrone entraînant, en conséquence, un coût de réparation non négligeable
pour l’entreprise (cas des machines de fortes puissances) sans oublier la perte de production occasionnée. Dans le domaine nucléaire, par exemple, il est indispensable d’assurer
le sécurité des personnes et du matériel car aucun système, qu’il soit simple ou complexe,
n’est à l’abri d’un dysfonctionnement.
6
Introduction générale
Le premier chapitre de ce document rappelle le contexte de l’étude : le diagnostic de
défaut rotorique dans les machines asynchrones à cage d’écureuil. Nous présentons dans
un premier temps les éléments de constitution de ce type de machine en précisant les
différents défauts pouvant survenir sur chacun d’eux (causes et effets). Dans un deuxième
temps, nous énumérons quelques outils nécessaires à l’analyse de signaux temporels dans le
domaine fréquentiel, domaine de prédilection pour la détection des défauts de la machine
asynchrone. Nous terminons ce chapitre par une analyse des différentes techniques de
diagnostic existantes en présentant leurs points faibles et leurs points forts.
Le deuxième chapitre est consacré à la présentation du modèle de simulation. Nous
utilisons un modèle basé sur le couplage magnétique des circuits électriques pour analyser
le comportement de la machine en absence et en présence de défaillances. Ce type d’approche offre un modèle de machine flexible, un temps de calcul raisonnable et ne nécessite
aucun recours au calcul de champ. Les inductances de la machine prennent en compte
les harmoniques d’espace les plus importants dans le but d’obtenir des résultats encore
plus proche de la réalité. Nous analysons ensuite l’influence du défaut sur les grandeurs
temporelles de la machine pour permettre de développer des méthodes de surveillance et
de diagnostic appropriées.
Le troisième et le quatrième chapitres de ce document sont consacrés à la description
de trois nouvelles méthodes de diagnostic. La première méthode est basée sur l’évaluation
d’un indice de défaillance pour détecter la présence du défaut au sein de la cage rotorique.
Cet indice est calculé à partir de l’amplitude des composantes créées par le défaut rotorique
dans les spectres fréquentiels du courant statorique et de la puissance instantanée d’une
phase de la machine. Une comparaison de l’évolution de cet indice avec celui obtenu lorsque
cette dernière présente une cage saine permet d’effectuer un diagnostic de l’état du rotor
de la machine asynchrone. La deuxième et la troisième méthodes utilisent respectivement
l’information donnée par la phase du spectre du courant statorique et l’information donnée
par la phase de la transformée de Hilbert du module du spectre du courant statorique
pour diagnostiquer la présence d’une barre rotorique cassée. Ces méthodes, contrairement
aux approches habituelles, ont la particularité de n’utiliser aucune référence - référence
habituellement obtenue avec le rotor sain - pour détecter la présence du défaut au sein de
la cage d’écureuil.
Introduction générale
7
Un banc d’essai et mesure, composé de plusieurs machines asynchrones, permet de
valider les trois méthodes de diagnostic proposées. Deux niveaux de défaillances sont analysés, une barre partiellement cassée et une barre complètement cassée lorsque la machine
est alimentée, soit par le réseau triphasé, soit par un variateur de vitesse industriel.
Nous terminons ce mémoire par une conclusion portant sur les travaux effectués et
par une présentation des perspectives de recherche pouvant être envisagées.
Chapitre I
Etat de l’art
Introduction
Dans ce chapitre, nous décrivons le système étudié qui se limite, dans notre cas, à
la machine asynchrone triphasée à cage d’écureuil. Après avoir rappelé les éléments de
constitution de cette machine, nous effectuons une analyse des différents défauts pouvant
survenir sur chacun d’eux. Nous présentons ensuite divers outils issus des techniques de
traitement du signal pouvant être utilisés pour la détection d’un défaut électrique et/ou
mécanique. Pour finir, nous discutons des méthodes de diagnostic actuellement appliquées
à la machine asynchrone en précisant leurs avantages et leurs inconvénients.
I.1
Eléments de constitution de la machine asynchrone
On se propose, dans cette partie, de donner quelques précisions sur les éléments de
constitution des machines asynchrones. Cette description va nous permettre de comprendre de quelle façon le système est réalisé physiquement. Les machines asynchrones
triphasées peuvent se décomposer, du point de vue mécanique, en trois parties distinctes :
– le stator, partie fixe de la machine où est connectée l’alimentation électrique ;
– le rotor, partie tournante qui permet de mettre en rotation la charge mécanique ;
– les paliers, partie mécanique qui permet la mise en rotation de l’arbre moteur.
10
Chapitre I : Etat de l’art
I.1.1
Stator
Le stator de la machine asynchrone est constitué de tôles d’acier dans lesquelles sont
placés les bobinages statoriques. Ces tôles sont, pour les petites machines, découpées
en une seule pièce alors qu’elles sont, pour les machines de puissance plus importantes,
découpées par sections. Elles sont habituellement recouvertes de vernis pour limiter l’effet
des courants de Foucault. Au final, elles sont assemblées les unes aux autres à l’aide de
boulons ou de soudures pour former le circuit magnétique statorique.
Une fois cette étape d’assemblage terminée, les enroulements statoriques sont placés
dans les encoches prévues à cet effet. Ces enroulements peuvent être insérés de manière imbriqués, ondulés ou encore concentriques [1]. L’enroulement concentrique est très souvent
utilisé lorsque le bobinage de la machine asynchrone est effectué mécaniquement. Pour les
grosses machines, les enroulements sont faits de méplats de cuivre de différentes sections
insérés directement dans les encoches. L’isolation entre les enroulements électriques et les
tôles d’acier s’effectue à l’aide de matériaux isolants qui peuvent être de différents types
suivant l’utilisation de la machine asynchrone.
Le stator d’une machine asynchrone est aussi pourvu d’une boîte à bornes à laquelle
est reliée l’alimentation électrique. Nous représentons sur la figure I.1 les différentes parties
de constitution du stator d’une machine asynchrone. Nous pouvons visualiser la présence
d’ailettes de ventilation assurant le refroidissement la machine lorsque celle-ci fonctionne
en charge.
I.1.2
Rotor
Tout comme le stator, le circuit magnétique rotorique est constitué de tôles d’acier qui
sont, en général, de même origine que celles utilisées pour la construction du stator. Les
rotors de machines asynchrones peuvent être de deux types : bobinés ou à cage d’écureuil.
Les rotors bobinés sont construits de la même manière que le bobinage statorique (insertion des enroulements dans les encoches rotoriques). Les phases rotoriques sont alors
disponibles grâce à un système de bagues-balais positionné sur l’arbre de la machine. En
ce qui concerne les rotors à cage d’écureuil, les enroulements sont constitués de barres
de cuivre pour les gros moteurs ou d’aluminium pour les petits. Ces barres sont courtcircuitées à chaque extrémité par deux anneaux dit "de court-circuit", eux aussi fabriqués
PSfrag replacements
Tôles statoriques
Encoches statoriques
ailettes de refroidissement
Carter en fonte avec
de refroidissement
Ventilateur
Roulements à billes
Tôles + Cage rotorique
Fig. I.1 : Eléments de constitution d’une machine asynchrone à cage d’écureuil [2]
bobine statorique
Tête de
court -circuit
Anneaux de
Ailette de ventilation
Boite à bornes
I.1 : Eléments de constitution de la machine asynchrone
11
12
Chapitre I : Etat de l’art
en cuivre ou en aluminium. Il existe différentes structures de rotor à cage qui dépendent
principalement de la taille du moteur et de l’application qu’il en sera faite [3]. Nous donnons à la figure I.1 les différents éléments de constitution d’un rotor à cage d’écureuil.
Nous pouvons visualiser l’arbre sur lequel les tôles sont empilées, les deux anneaux de
court-circuit ainsi que les barres d’aluminium formant la cage d’écureuil. Très souvent,
ces barres sont uniformément inclinées pour limiter les harmoniques et ainsi diminuer très
fortement le bruit lors de l’accélération de la machine asynchrone. L’isolation des barres
avec les tôles magnétiques n’est en général pas nécessaire du fait de la faible tension induite aux bornes de chacune d’entre elles. De plus, la résistivité de l’alliage utilisé pour
la construction de cette cage est suffisamment faible pour que les courants ne circulent
pas à travers les tôles magnétiques, sauf lorsque la cage rotorique présente une rupture
de barre [4]. Le rotor de la machine asynchrone est aussi pourvu d’ailettes de ventilation
pour permettre un refroidissement de la cage le plus efficace possible comme le montre la
figure I.1.
I.1.3
Paliers
Les paliers, qui permettent de supporter et de mettre en rotation l’arbre rotorique, sont
constitués de flasques et de roulements à billes insérés à chaud sur l’arbre. Les flasques,
moulés en fonte, sont fixés sur le carter statorique grâce à des boulons ou des tiges de
serrage comme nous pouvons le visualiser sur la figure I.1. L’ensemble ainsi établi constitue
alors la machine asynchrone à cage d’écureuil.
I.2
Les défaillances de la machine asynchrone
Bien que la machine asynchrone à cage d’écureuil soit réputée robuste, elle peut parfois
présenter différents types de défauts. Ces défauts peuvent être soit d’origine électrique,
soit d’origine mécanique. Un problème minime à l’étape de fabrication peut être à l’origine
d’un défaut tout comme une utilisation non conforme de la machine. Certaines fois, nous
pouvons aussi incriminer le milieu dans lequel la machine est utilisée (milieux corrosifs
et/ou chimiques hostiles).
I.2 : Les défaillances de la machine asynchrone
I.2.1
13
Défaillances d’ordre mécanique
Les défaillances d’ordre mécaniques sont, en général, les plus rencontrées parmi tous
les défauts que compte la machine asynchrone. Ces défauts peuvent apparaître au niveau
des roulements à billes, des flasques ou encore de l’arbre moteur. Nous énumérons, dans
la suite du document, certains de ces défauts sans pour autant en donner les détails. Nous
pouvons trouver dans la littérature des ouvrages très complets qui traitent de ces divers
problèmes [5] [6] [7].
I.2.1.1
Défaillances des roulements
Les roulements à billes jouent un rôle très important dans le fonctionnement de tout
type de machines électriques. Les défauts de roulements peuvent être causés par un mauvais choix de matériau à l’étape de fabrication. Les problèmes de rotation au sein de la
culasse du roulement, causés par un roulement abîmé, écaillé ou fissuré, peuvent créer des
perturbations au sein de la machine. Nous savons que des courants électriques circulent
au niveau des roulements d’une machine asynchrone ce qui, pour des vitesses importantes,
peut provoquer la détérioration de ces derniers. La graisse, qui permet la lubrification et
la bonne rotation des roulements peut, dans certaines applications, se rigidifier et causer
une résistance à la rotation. L’analyse vibratoire de la machine ou l’analyse harmonique
des courants statoriques permet de détecter ce type de défaillances.
I.2.1.2
Défaillances du flasque
Les défauts créés par les flasques de la machine asynchrone sont le plus généralement
causés à l’étape de fabrication. En effet, un mauvais positionnement des flasques provoque
un désalignement des roulements à billes, ce qui induit une excentricité au niveau de l’arbre
de la machine. Il est possible de détecter ce type de défaillance par une analyse vibratoire
ou une analyse harmonique des courants absorbés par la machine.
I.2.1.3
Défaillances de l’arbre
L’arbre de la machine peut laisser paraître une fissure due à l’utilisation d’un mauvais matériau lors de sa construction. A court ou long terme, cette fissure peut mener à
14
Chapitre I : Etat de l’art
une fracture nette de l’arbre provoquant ainsi un arrêt irrémédiable de la machine asynchrone. Les milieux corrosifs peuvent aussi affaiblir la robustesse de l’arbre de la machine.
Par exemple, l’humidité peut provoquer des micro-fissures et conduire à une destruction
complète de la machine. Une excentricité statique, dynamique ou mixte peut induire des
efforts considérables sur l’arbre moteur, amenant ainsi une fatigue supplémentaire. Une
analyse vibratoire, une analyse par ultrason, une analyse fréquentielle des courants absorbés ou simplement une analyse visuelle de l’arbre de la machine permet de détecter ce
type de défaillance.
I.2.2
Défaillances d’ordre électrique
Les défaillances d’origine électrique peuvent, dans certain cas, être la cause d’un arrêt
de la machine (au même titre que les défaillances d’ordre mécanique). Ces défaillances
se séparent en deux catégories bien distinctes. Nous pouvons citer les défaillances qui
apparaissent au niveau des circuits électriques statoriques et celles qui apparaissent au
niveau des circuits électriques rotoriques [8].
I.2.2.1
Défaillances des circuits électriques statoriques
L’apparition d’un défaut au niveau des circuits électriques statoriques de la machine
asynchrone peut avoir des origines diverses. Nous pouvons citer, par exemple, les défauts
de type courts-circuits inter-spires qui apparaissent à l’intérieur des encoches statoriques.
Ce type de défaut peut être causé par une dégradation des isolants des spires du bobinage
statorique. Nous pouvons citer aussi les courts-circuits apparaissant entre une phase et
le neutre, entre une phase et la carcasse métallique de la machine ou encore entre deux
phases statoriques. Ces défauts ont le plus souvent une origine mécanique. En effet, des
vibrations excessives peuvent mener à un desserrement des boulons de la plaque à bornes
de la machine créant ainsi le court-circuit. Une cosse mal serrée à la jonction du câble
d’alimentation et des bornes de la machine peut être à l’origine d’une ouverture de phase.
Le défaut le plus couramment rencontré reste encore la fusion d’un fusible de protection.
Ces défauts peuvent être détectés par une analyse harmonique des courants absorbés par
la machine.
I.2 : Les défaillances de la machine asynchrone
I.2.2.2
15
Défaillances des circuits électriques rotoriques
Deux types de défaillances peuvent apparaître au rotor d’une machine asynchrone à
cage d’écureuil. La cage étant composée de barres et d’anneaux de court-circuit d’aluminium ou de cuivre, une rupture partielle ou totale d’un de ces composants peut être
considérée comme un défaut électrique rotorique. L’apparition de ce type de défaut peut
être d’origine diverse. En effet, la rupture d’une barre ou d’un segment d’anneau de courtcircuit peut être due à plusieurs phénomènes qui sont souvent indépendants les uns des
autres. Nous pouvons citer par exemple une mauvaise utilisation de la machine asynchrone
(charge trop importante) ou encore l’environnement hostile dans lequel elle fonctionne.
Parmi les causes premières, nous pouvons énumérer [9] :
– des contraintes mécaniques causées par des forces électromagnétiques ou des vibrations mécaniques excessives ;
– des démarrages trop fréquents induisant des courants élevés dans les barres ou dans
les segments d’anneaux ;
– des contraintes environnementales causées par une contamination ou une abrasion
de la cage rotorique (industrie chimique par exemple).
Une défaillance au niveau de la cage rotorique se situe généralement à la jointure entre
une barre et un anneau de court-circuit. En effet, les barres rotoriques et les anneaux
de court-circuit ne pouvant pas être construits d’un seul bloc (sauf pour les machines de
petites puissances), une soudure est pratiquée aux extrémités de chaque barre pour relier
ces dernières aux deux anneaux de court-circuit. La fragilité de ces soudures, par rapport
aux barres et aux anneaux fabriqués d’un seul bloc, provoque, à ces endroits précis, une
fragilité de la cage d’écureuil.
Tout comme les défauts statoriques, les défauts rotoriques peuvent être détectés par
une analyse harmonique des courants statoriques. Une analyse vibratoire de la machine
asynchrone permet aussi détecter ce type de défaillances.
Comme la détection de la majorité des défauts d’une machine asynchrone repose sur
une analyse vibratoire de la machine ou sur une analyse harmonique des courants absorbés au stator, la partie suivante est dédiée aux différents outils nécessaires à l’analyse
fréquentielle des signaux révélateurs d’un défaut mécanique et/ou électrique.
16
Chapitre I : Etat de l’art
I.3
Méthodes de traitement des signaux
Nous présentons ici les méthodes classiques d’estimation de la Densité Spectrale de
Puissance d’un signal, notée DSP, fondées sur la transformée de Fourier discrète dont nous
rappelons les équations dans la section I.3.1. Nous donnons par la suite les caractéristiques
importantes d’un estimateur que sont le biais et la variance ainsi que leur impact sur le
spectre fréquentiel résultant. Cela nous amènera à présenter quelques méthodes permettant de diminuer la variance pour obtenir une meilleure estimation de la densité spectrale
de puissance du signal observé.
Rappelons, au préalable, que toutes les méthodes présentées font partie de la famille
des méthodes d’estimation spectrale non-paramétriques.
I.3.1
Transformée de Fourier discrète
La transformée de Fourier discrète, généralement notée TFD, d’une suite finie de P
échantillons {ps (0), ps (1), . . . , ps (P − 1)} se calcul grâce à la relation :
N −1
2πnk
1 X
ps (n) e−j N pour k = 0, . . . , N − 1
F (k) =
N n=0
(I.1)
où le terme N représente le nombre de points de calcul de la TFD. Ce terme joue sur
la précision du tracé alors que le terme P est lié à ce que l’on appelle la résolution en
fréquence. En pratique, on essaye d’avoir un nombre de point P de la suite p s (n) supérieur
ou égal au nombre de point de la TFD (P ≥ N ). Si ce n’est pas le cas, on utilise une
technique appelée zero−padding qui consiste a compléter la suite ps (n) avec (N −P ) zéros,
ce qui permet d’obtenir autant de point pour la suite temporelle que le suite fréquentielle.
La transformée de Fourier Inverse, notée ITFD, se calcul grâce à la relation :
ps (n) =
N
−1
X
F (k) ej
2πnk
N
(I.2)
n=0
En décomposant l’exponentielle de l’équation I.1, le nombre complexe F (k) peut se mettre
sous la forme :
N −1
N −1
1 X
2πnk
2πnk
1 X
−j
ps (n) cos
ps (n) sin
F (k) =
N n=0
N
N n=0
N
(I.3)
I.3 : Méthodes de traitement des signaux
17
Cette équation nous permet ainsi de définir la transformée de Fourier en cosinus, notée
TDF-cos grâce à l’équation suivante :
N −1
2πnk
1 X
ps (n) cos
Fc (k) =
N n=0
N
(I.4)
Ainsi que la transformée de Fourier en sinus, notée TFD-sin, calculée avec l’équation :
N −1
2πnk
1 X
(I.5)
ps (n) sin
Fs (k) =
N n=0
N
Ces deux transformées permettent d’obtenir des temps de calcul réduits lorsqu’elles sont
implantées dans un algorithme de calcul.
I.3.2
Transformée de Fourier rapide
La transformée de Fourier rapide, notée TFR, est un algorithme de calcul rapide de
la TFD élaborée en 1965 par J. W. Cooley et J. W. Tuckey. L’algorithme de base de
cette transformée utilise un nombre de points N égal à une puissance de 2, ce qui permet
d’obtenir un gain en temps de calcul, par rapport à un calcul avec la TFD, de :
Gain =
N
log2 (N )
(I.6)
Cette transformée de Fourier rapide est très utilisée lorsqu’il est indispensable d’obtenir une analyse fréquentielle "en ligne" dans certains processus au travers d’une fenêtre
glissante d’observation.
I.3.3
I.3.3.1
Périodogramme
Périodogramme simple
En considérant une suite de variables aléatoires réelle de longueur quelconque p s (n),
nous pouvons montrer que la densité spectrale de puissance P̂ps (f ) de la suite ps (n), sous
l’hypothèse d’ergodicité, repose sur l’équation [10] :

2 
N
1
X
−j2πf n 
p
(n)
e
P̂ps (f ) = lim E 
s
N →∞
(2N + 1) n=−N
1
avec − 2T
≤ f ≤
1
2T
(I.7)
et T la période d’échantillonnage. La nécessité d’appliquer l’espé-
rance mathématique E provient du caractère aléatoire des signaux. En pratique, pour un
18
Chapitre I : Etat de l’art
ensemble de données ps (n) disponibles de n = 0 à N − 1, le calcul de la DSP s’effectue
avec la relation :
1
P̂ps (f ) =
N
2
N −1
X
ps (n) e−j2πf n n=0
(I.8)
Cet estimateur est appelé périodogramme. Nous pouvons noter qu’il est proportionnel
au carré de l’amplitude de la TFD de la séquence observée (équation I.1). L’estimation
de la DSP peut être vue comme un filtrage du signal d’entrée par un banc de filtres du
type passe-bande, dont chaque filtre élémentaire possède la réponse fréquentielle H(f )
suivante [11] :
H(f ) =
sin(N π(f − f0 )) j(N −1)π(f −f0 )
e
N sin(π(f − f0 ))
(I.9)
Le signal de sortie d’un filtre élémentaire est ensuite échantillonné et son amplitude est
élevée au carré pour déterminer la puissance de sa bande spectrale. La largeur de bande
à −3 dB de ces filtres est d’environ
1
.
N
Lorsque N tend vers l’infini, la puissance de
sortie du filtre correspond à celle d’une composante spectrale de fréquence f0 du signal
d’entrée. Dans ce cas, l’estimateur est non biaisé, ce qui n’est pas le cas lorsque le nombre
d’échantillons N est connu.
I.3.3.2
Périodogramme modifié
Le fait de se limiter à un nombre d’échantillons N peut être vu comme la multiplication
terme à terme de la totalité du signal par la suite ω(n) = 11{0,...,N −1} (n). On donne à cette
dernière le nom de fenêtre rectangulaire. Ce fenêtrage introduit des ondulations parasites
(noyau de Dirichlet) dans le spectre fréquentiel résultant comme il l’est montré dans [11].
Il est donc très courant d’utiliser des fenêtres dites de pondération pour permettre une
meilleure visualisation des composantes du spectre fréquentiel. En conséquence, l’expression de la DSP donnée à l’équation I.8 devient :
N −1
2
1 X
−j2πf n P̂ps (f ) =
ω(n) ps (n) e
N n=0
(I.10)
Le terme ω(n) rajouté dans l’équation représente l’expression mathématique de la fenêtre
de pondération choisie. Les fenêtres de pondération les plus connues sont la fenêtre de
Hanning, celle de Hamming ou encore celle de Blackmann. Chacune d’elle permet de
choisir le rapport souhaité entre la largeur du lobe principal et l’atténuation de la hauteur
du plus grand lobe secondaire du spectre fréquentiel.
I.3 : Méthodes de traitement des signaux
19
Le périodogramme ou le périodogramme modifié comporte deux caractéristiques importantes : le biais et la variance. Ces deux caractéristiques, décrites ci-après, jouent un
rôle très important dans l’estimation du spectre fréquentiel.
I.3.3.3
Biais et variance du périodogramme
Pour un nombre d’échantillons N limité, nous savons que la largeur de bande d’un
filtre élémentaire est déterminée. Il se produit alors un biais entre la localisation de la
composante sur le spectre et la fréquence réelle de celle-ci. L’espérance mathématique du
périodogramme qui permet de déterminer le biais ou le décalage peut être calculée selon :
h
i Z 21
ωtri (f − g) Pps (f ) dg
(I.11)
E P̂ps (f ) =
− 12
Elle est obtenue par convolution de la DSP réelle avec la transformée de Fourier à temps
discret de la fenêtre triangulaire, notée ωtri dans l’équation précédente. Cette équation
permet de nous rendre compte que le périodogramme est un estimateur biaisé car l’espérance mathématique de P̂ps (f ) n’est pas la vraie DSP.
La variance est la seconde caractéristique importante d’un estimateur spectral. D’après
[12], le calcul de celle du périodogramme, dans le cas particulier d’un bruit blanc gaussien,
conduit à la relation suivante :
"
var[P̂ps (f )] ≈ Ppp (f )2 1 +
ce qui nous amène, pour toute fréquence f =
k
,
N
sin(2πN f )
N sin(2πf )
2 #
(I.12)
à la relation :
var[P̂ps (f )] ≈ Ppp (f )2
(I.13)
La variance du périodogramme est alors indépendante du nombre de point N . D’une
autre façon, lorsque le nombre de points N augmente, le biais du périodogramme diminue
mais sa variance reste identique, ce qui donne des spectres relativement bruités. Pour se
prémunir de cette contrainte, il est possible d’utiliser des estimateurs spectraux à variance
réduite.
I.3.4
Estimateurs spectraux à variance réduite
Nous avons vu précédemment que le nombre de points N du signal à analyser n’avait
aucune influence sur la variance du périodogramme. Une solution à ce problème est l’uti-
20
Chapitre I : Etat de l’art
lisation d’estimateurs spectraux à variance réduite tels que le périodogramme de Bartlett
ou encore le périodogramme de Welch dont nous présentons les caractéristiques ci-après.
I.3.4.1
La méthode de Bartlett
Le signal de taille N est divisé en S sections de M échantillons. On évalue sur chaque
section s l’estimateur spectral par la méthode du périodogramme modifié (équation I.10)
grâce à la relation :
1
P̂pss (f ) =
M
L’estimation moyennée devient alors :
2
M −1
X
ω(n) ps (n) e−j2πf n n=0
P̂pBar
(f )
s
S−1
1X s
=
P̂ (f )
S s=0 ps
(I.14)
(I.15)
Dans ce cas, la variance est approximativement égale à celle du périodogramme divisée
par le nombre de sections S. Si, pour un nombre de points N constant, nous augmentons
le nombre de sections S, nous constatons que la variance du périodogramme de Bartlett
diminue. L’utilisation de cette méthode implique une résolution fréquentielle plus faible
par rapport à un calcul avec le périodogramme modifié.
I.3.4.2
La méthode de Welch
La méthode de Welch est un autre type d’estimateur qui exploite le périodogramme
modifié [13]. Elle est basée sur la même idée que la méthode de Bartlett. Cependant, la
différence réside dans le fait que les segments S peuvent se chevaucher dans un rapport
allant généralement de 50% à 75%. Le calcul du périodogramme de chaque section s
s’effectue grâce à la relation mathématique suivante :
2
M −1
X
1
ω(n) ps (n + (s − 1) C) e−j2πf n P̂pss (f ) =
M n=0
(I.16)
avec 1 ≤ s ≤ S, et C le nombre d’échantillons permettant le chevauchement avec C ≤ M .
L’estimateur de Welch se calcule ensuite avec la relation :
P̂pWs el (f )
S−1
1X s
=
P̂ (f )
S s=0 ps
(I.17)
En autorisant le recouvrement des séquences, nous pouvons augmenter le nombre de
segments S pour une taille N donnée. Cette solution permet non seulement de réduire la
I.3 : Méthodes de traitement des signaux
21
variance de l’estimateur mais aussi d’augmenter la résolution en fréquence en choisissant
un nombre d’échantillons M plus grand que celui utilisé avec la méthode de Bartlett. Il a
été montré que, si le chevauchement des segments est de 50%, la variance de l’estimateur
de Welch est approximativement égale à 9/16 de la variance de l’estimateur de Bartlett
[14].
Cette méthode est très utilisée de nos jours et beaucoup d’auteurs en ont montré
l’intérêt et l’efficacité [15]. Il existe d’autres estimateurs pour calculer la densité spectrale
de puissance d’un signal. Nous pouvons citer par exemple le corrélogramme qui nécessite
l’estimation de la séquence d’autocorrélation du signal à analyser avant le calcul de la
DSP, ou encore la méthode de Blackman-Tukey, décrite dans [14].
I.3.5
Analyse spectrale en ligne
L’analyse en ligne ("on-line" en anglais) de certains processus devient indispensable
de nos jours. En effet, une détection précoce et surtout rapide de la défaillance permet
ainsi d’éviter au système d’évoluer vers un mode dangereux qui peut être fatal pour
l’installation dans laquelle il fonctionne. Le principal objectif de cette section est de donner
une méthodologie permettant de mettre en œuvre un système de surveillance en ligne basé
sur la transformée de Fourier discrète glissante.
I.3.5.1
Transformée de Fourier glissante
Le principal inconvénient, en ce qui concerne le calcul de la TFD d’un signal, est qu’il
est nécessaire d’avoir les N échantillons pour commencer le traitement des données. Pour
obtenir un calcul rapide il est souvent nécessaire d’utiliser la TFR, ce qui permet de limiter
le nombre de calculs pour obtenir le spectre fréquentiel du signal à analyser. Comme nous
l’avons vu précédemment, ce type de transformée impose un nombre d’échantillons égal
à une puissance de 2, ce qui fixe la précision du tracé à ∆f =
Fe
.
N
Par conséquent, cette
précision dépend en grande partie de la fréquence d’échantillonnage Fe utilisée. Ces deux
inconvénients peuvent être en partie éliminés en utilisant une technique qui se base sur une
approche glissante. Cette méthode "glissante" permet de calculer la TFD à l’arrivée de
chaque échantillon en prenant en compte la transformée précédente. La seule contrainte
de cette technique concerne la durée du calcul qui doit rester inférieure à la période
22
Chapitre I : Etat de l’art
d’échantillonnage du signal. Cette condition respectée, l’algorithme conduit alors à une
analyse spectrale du signal dite en temps réel.
Nous ne donnerons pas les différentes équations relatives à l’implantation de cette méthode
car beaucoup de travaux ont déjà été effectués sur le sujet [10] [16].
I.3.5.2
Effet zoom en analyse spectrale
L’effet zoom consiste à observer, de manière plus précise et donc plus détaillée, une
partie du spectre initial obtenu avec une fréquence d’échantillonnage F e et un nombre
de points N fixés. Cette approche ne peut se faire que par une diminution de la précision en fréquence ∆f =
Fe
.
N
La solution consiste à changer artificiellement la fré-
quence d’échantillonnage pour obtenir une précision inférieure à ∆f . Cette opération de
sous-échantillonnage, appelée "décimation", consiste à prélever un échantillon sur d avec
d = 2, 4, 8, . . . de la série d’origine ps (n) obtenue à la fréquence Fe . Après avoir effectué la
décimation des échantillons, on reconstitue une série de taille N (par exemple, si d = 2,
on utilise les N/2 échantillons précédents), ce qui nous permet d’obtenir une nouvelle
précision en fréquence ∆fd =
Fe
dN
[10]. Cependant, du fait de la diminution artificielle
de la fréquence d’échantillonnage, la largeur de bande B que l’on obtient est réduite et
s’étend de :
Fe
Fe
B= −
; +
2d
2d
Par conséquent, il y a donc risque de recouvrement spectral si le signal avant décimation
présente des composantes fréquentielles en dehors de cette bande B. Il est donc impératif
de filtrer le signal avant l’opération de décimation.
Si nous prenons le cas d’un défaut rotorique, nous savons qu’une augmentation de
l’amplitude des composantes situées à des fréquences caractéristiques dans le spectre du
courant statorique révèle la présence d’une ou plusieurs barres cassées. Pour les machines
de forte puissance, ces composantes peuvent être relativement proches de la composante
fondamentale fs des courants statoriques, ce qui rend leur détection difficile avec une résolution fréquentielle non adaptée. Dans ce cas, l’effet zoom devient indispensable lorsque
l’on ne peut agir ni sur la fréquence d’échantillonnage Fe ni sur le nombre de points N .
Son implantation dans l’approche glissante décrite précédemment est relativement simple
comme le montre notamment Abed dans [16].
I.4 : Méthodes de diagnostic actuelles
I.4
23
Méthodes de diagnostic actuellement utilisées pour
détecter les défauts électriques et/ou mécaniques
Afin de mieux situer notre travail, il a été nécessaire de regarder quelles sont les
différentes méthodes de diagnostic actuellement utilisées pour détecter la présence d’une
anomalie au sein d’une machine asynchrone. Comme les chercheurs de part le monde
travaillent sur ce sujet depuis un certain nombre d’années, beaucoup de travaux ont vu
le jour. Dans cette partie, nous avons choisi de décrire les méthodes les plus couramment
rencontrées pour le diagnostic des défauts électriques et/ou mécaniques en précisant leurs
points faibles et leurs points forts.
I.4.1
Analyse temps-fréquence et temps-échelle
La non-stationnarité des signaux est une propriété très courante mais difficile à maîtriser. Si nous prenons le cas d’une machine asynchrone, certaines utilisations obligent cette
dernière à fonctionner sous des couples de charges variant très souvent dans le temps. C’est
pour cette raison que des techniques de traitements temps-fréquence et temps-échelle ont
vu le jour.
I.4.1.1
Analyse temps-fréquence
Le courant du moteur asynchrone peut être assimilé à un signal non-stationnaire dans
certaines applications (variation aléatoire du couple de charge modifiant la valeur efficace
du courant absorbé). De plus, nous savons que les techniques qui utilisent la transformée
de Fourier ne sont pas suffisantes pour représenter ce type de signal. Durant ces dernières
années, l’avancement des méthodes statistiques de surveillance de signaux a fourni des
outils efficaces pour traiter les signaux non-stationnaires. En particulier, les transformations temps-fréquence donnent un cadre mathématique optimal pour l’analyse des signaux
non-stationnaires [17][18]. Par exemple, la transformation de Wigner-Ville permet d’obtenir une représentation temps-fréquence permettant d’effectuer un diagnostic relativement
précis de l’état du système analysé. Cette transformation est une fonction réelle qui définie
une distribution d’énergie dans le plan temps-fréquence. Le temps de calcul d’une telle
représentation peut être prohibitif et l’interprétation de l’image résultante est souvent
24
Chapitre I : Etat de l’art
difficile, ce qui rend la détection de défaut complexe. C’est pour cette raison qu’en 1999,
une méthode d’analyse temps-fréquence adaptative pour détecter les barres rotoriques
cassées et les défauts de roulements a été proposée. L’idée clé dans cette méthode est de
transformer le courant du moteur en une représentation temps-fréquence pour capturer
la variation dans le temps des composantes spectrales comme nous le montre la figure I.2.
Ensuite, une analyse statistique du spectre fréquentiel est effectuée pour distinguer les
conditions de défaut par rapport aux conditions de fonctionnement normales du moteur.
Puisque chaque moteur a une géométrie distincte, une approche particulière est alors utilisée. Dans cette approche, l’algorithme est programmé pour identifier le fonctionnement
normal du moteur avant la détection réelle du défaut [19].
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
(1 + 2g)fs
(1 − 2g)fs
0
−50
−100
−150
−200
35
30
60
25
55
20
15
50
10
45
5
0
Temps (sec)
40
Fréquence (Hz)
Fig. I.2 : Représentation temps-fréquence du courant statorique lors d’une variation du
couple de charge (Résultats de simulation avec une barre cassée)
I.4.1.2
Analyse temps-échelle
Ce mode d’analyse est utilisé pour détecter des phénomènes qui se déroulent sur des
échelles de fréquences différentes rencontrées dans un signal. L’idée fondamentale est de
décomposer le signal à l’aide de fonctions analysantes particulières construites à partir
d’une ondelettes mère oscillante et à moyenne nulle [20]. A partir de l’ondelette mère, il
est possible de créer des ondelettes analysantes centrées autour d’une valeur et à échelle
variable limitée.
I.4 : Méthodes de diagnostic actuelles
25
Une technique de fenêtrage avec une région de taille variable est utilisée pour améliorer
l’analyse du signal, ce signal pouvant être par exemple le courant statorique du moteur
asynchrone. L’analyse par ondelettes permet l’utilisation d’intervalles de temps longs,
pour avoir une information basse fréquence la plus précise possible, et d’intervalles de
temps plus courts, pour avoir une information riche en hautes fréquences. La capacité
d’exécuter l’analyse locale est un des dispositifs les plus intéressants de la transformation
en ondelettes. L’utilisation des ondelettes pour la surveillance des défauts et le diagnostic
des moteurs asynchrones est un avantage car cette technique permet d’améliorer l’analyse
du courant statorique pendant les phases transitoires. Les ondelettes peuvent être utilisées
pour une analyse localisée dans le domaine temps-fréquence ou temps-échelle. C’est par
conséquent un outil adéquat pour la surveillance et le diagnostic de défaut des machines
électriques lorsqu’il est indispensable de les utiliser à vitesse variable [21].
I.4.2
Analyse cepstrale
Le mot "cepstre" a été initialement proposé par Bogert en 1963 [22]. Le cepstre est
un anagramme du mot spectre. La raison de ce choix est que nous obtenons le cepstre
en effectuant une analyse spectrale supplémentaire sur le spectre fréquenciel du signal
observé. En d’autre mots, le cepstre est défini comme étant la puissance spectrale du
logarithme du spectre de la puissance. L’intérêt du cepstre est de pouvoir détecter une
périodicité dans le spectre de fréquence d’un signal et de la transformer en un pic unique
sur l’échelle des quéfrences [23]. Pour être capable de distinguer une périodicité dans un
spectre, il est nécessaire qu’un nombre suffisant de périodicités suffisamment espacées
soit présent dans le spectre. Le cepstre est plus particulièrement utilisé dans les analyses
vibratoires des machines tournantes. Les principales applications concernent la détection
des défauts dans les roulements, les turbines ou encore les engrenages.
I.4.3
Analyse spectrale à haute résolution
Les méthodes, dites à haute résolution (HR) fréquentielle, restent en pratique largement sous employées par rapport aux méthodes plus classiques qui reposent, comme nous
l’avons vu précédemment, sur le calcul de la transformée de Fourier. Les principaux obstacles à l’utilisation plus large des méthodes HR sont essentiellement liés au choix des
26
Chapitre I : Etat de l’art
paramètres libres (en particulier l’ordre du modèle) et à la dégradation des performances
de ce type de méthodes en présence de signaux complexes (grand nombre de composantes, très proches et d’amplitudes très différentes). Ce type d’analyse est utilisé lorsque
le nombre d’échantillons du signal est relativement faible (nombre de points compris entre
quelques dizaines et quelques centaines). En effet, pour un nombre de points fixé, les méthodes hautes résolutions permettent d’obtenir une meilleure résolution fréquentielle par
rapport à une analyse par transformée de Fourier classique. Notons aussi que les méthodes
à haute résolution requièrent des hypothèses sur la nature du bruit et sur le modèle du
signal.
I.4.4
Diagnostic des défauts par estimation paramétrique
Cette méthode de diagnostic utilise les paramètres structuraux d’un modèle de connaissance et extrait par la suite les paramètres du système à partir des lois de connaissance
pour détecter et localiser les défaillances. Le point essentiel dans l’efficacité de cette méthode est le choix du modèle de connaissance. En effet, le type de défaut que l’on voudra
détecter sera fonction du modèle utilisé.
Les premiers travaux relatant de l’estimation de paramètres ont débuté avec des modèles relativement simples (modèle de Park par exemple [24]) utilisés depuis plusieurs
années pour la commande des machines électriques. Ces modèles n’ont besoin que de
quatre paramètres pour effectuer le diagnostic de défaut ce qui, dans certain cas, ne permet pas de localiser avec précision la défaillance. L’étape suivante est donc nécessairement
le passage à un modèle de connaissance plus fin de la machine, tout en gardant la possibilité d’identifier les paramètres souhaités. Ces modèles peuvent être des modèles triphasés,
qui s’affranchissent de l’hypothèse d’une machine magnétiquement équilibrée, ou encore
des modèles à n phases, capables de refléter le fonctionnement de la machine sur une large
bande de fréquences [25].
Des algorithmes spécifiques ont été élaborés pour l’estimation séquentielle de paramètres. Le filtre de Kalman apparaît comme le plus adéquat de tous mais aussi le plus
délicat à mettre en œuvre. Tout d’abord, en tant qu’algorithme d’identification en temps
réel, le filtre de Kalman étendu délivre un modèle adaptatif, capable de prendre en compte
les évolutions normales des paramètres de la machine telles que la variation des résistances
I.4 : Méthodes de diagnostic actuelles
27
(en fonction de la température) ou encore la variation des inductances (en fonction du
niveau de saturation). Par ailleurs, les paramètres estimés, eux-mêmes, permettent une
première analyse des conditions de fonctionnement de la machine. Par exemple, une augmentation anormale de la valeur des résistances statoriques peut signifier un échauffement
excessif et donc une dégradation progressive des enroulements.
I.4.5
Diagnostic des défauts par reconnaissance des formes
Les méthodes de diagnostic qui utilisent la reconnaissance des formes sont peu nombreuses à ce jour. Un vecteur de paramètres, appelé vecteur de forme, est extrait à partir
de plusieurs mesures. Les règles de décisions adoptées permettent de classer les observations, décrites par le vecteur de forme, par rapport aux différents modes de fonctionnement
connus avec et sans défaut.
Pour classer ces observations, il faut obligatoirement être en mesure de fournir les
données pour tel ou tel mode de fonctionnement (fonctionnement avec un rotor sain
à 0% de charge ou alors fonctionnement avec une barre cassée à 100% de charge par
exemple). Pour cela, il faut disposer d’une base de données, ce qui permettra ensuite de
construire la classe correspondante au défaut créé (possible pour les machines de petites
et moyennes puissances). Une autre voie consisterait à calculer les paramètres du vecteur
de forme en effectuant des simulations numériques de la machine étudiée (indispensable
pour les moteurs de fortes puissances). Dans la dernière configuration, il faut un modèle
comportemental de la machine relativement précis pour obtenir des paramètres les plus
proches possibles de la réalité. Le choix de la classe à laquelle appartient le vecteur de
forme mesuré s’effectue par exemple grâce à des algorithmes de type k-PPV (k plus proches
voisins) ou par une approche utilisant les frontières de séparation [26].
I.4.6
Diagnostic des défauts par analyse du vecteur de Park
Une représentation en deux dimensions peut être utilisée pour décrire le phénomène
des moteurs asynchrones triphasés. Une des plus connues et des plus appropriées repose
sur le calcul des courants dits de Park [27]. En fonction des courants de phase isa (t), isb (t)
et isc (t), les courants de Park id (t) et iq (t) peuvent être calculés grâce aux deux relations
28
Chapitre I : Etat de l’art
suivantes [28] :
r
2
1
1
isa (t) − √ isb (t) − √ isc (t)
3
6
6
1
1
iq (t) = √ isb (t) − √ isc (t)
2
2
id (t) =
(I.18)
(I.19)
Nous représentons sur les figures I.3(a) et I.3(b) le tracé du courant id (t) en fonction
du courant iq (t) pour un fonctionnement de la machine avec un rotor sain et un rotor
défaillant (une barre cassée). Nous apercevons que le défaut rotorique induit un épaississement du contour du cercle, ce qui permet d’établir un diagnostic de défaut en effectuant
une surveillance des déviations de ce cercle par rapport au modèle de base.
Cette méthode de détection donne des résultats satisfaisants lorsque la machine fonctionne à son couple nominal. Dans le cas d’un fonctionnement à vide, les courbes obtenues
ne permettent pas de diagnostiquer un défaut rotorique car l’épaississement créé par la
rupture d’une ou plusieurs barres ne modifie quasiment pas l’épaisseur du cercle de base.
En 1998, une nouvelle implantation de l’approche par vecteur de Park a été proposée
[29]. En présence d’une barre cassée, le courant absorbé par le moteur asynchrone contient
des composantes latérales de part et d’autre de sa composante fondamentale dont les fréquences sont données par la relation (1 ± 2 k g)fs (dans cette relation, g représente le
glissement de la machine et fs la fréquence fondamentale des courants statoriques). Ces
composantes seront, par conséquent, aussi présentes dans les courants de Park id (t) et iq (t)
(équations I.18 et I.19). Dans ces conditions, il est très simple de montrer que le spectre
p
du module des courants de Park ( id (t)2 + iq (t)2 ) contient une composante continue gé-
nérée par la composante fondamentale du courant statorique plus des composantes de
fréquence 2 k gfs . De cette façon, le spectre des courants de Park, en éliminant préalablement la composante continue, ne contiendra que les composantes spécifiques au défaut de
la machine. Il sera alors plus facile de détecter ces composantes et de diagnostiquer la présence d’un défaut rotorique. La figure I.4(a) montre qu’en absence de défaut, le spectre
du module du vecteur de Park est caractérisé par l’absence de composantes spectrales
significatives. En revanche, l’analyse du spectre fréquentiel de ce vecteur lorsque la cage
d’écureuil est défaillante (figure I.4(b)) montre la présence des composantes spécifiques
au défaut rotorique aux fréquences 2 k gfs .
29
15
15
10
10
5
5
Courant iq (A)
Courant iq (A)
I.4 : Méthodes de diagnostic actuelles
0
0
−5
−5
−10
−10
−15
−15
−10
−5
0
Courant id (A)
5
10
−15
−15
15
(a) Rotor sain
−10
−5
0
Courant id (A)
5
10
15
(b) Rotor avec une barre cassée
Fig. I.3 : Vecteur de Park des courants statoriques pour 100% de charge avec une
2gfs
4gfs
0
0
−10
−10
−20
−30
−40
−50
−60
PSfrag replacements
−70
−80
Densité spectrale de puissance (dB)
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
alimentation non sinusoïdale (Résultats expérimentaux)
−40
−50
−60
−70
−80
−90
−90
−100
0
10
Fréquence (Hz)
15
20
4gfs
−30
−100
0
5
2gfs
−20
(a) Rotor sain
5
10
Fréquence (Hz)
15
20
(b) Rotor avec une barre cassée
Fig. I.4 : Spectre fréquentiel du module du vecteur de Park des courants statoriques
pour 100% de charge (Résultats expérimentaux)
30
Chapitre I : Etat de l’art
I.4.7
Diagnostic des défauts par le suivi des grandeurs mesurables
A ce jour, c’est l’analyse fréquentielle des grandeurs mesurables qui est le plus souvent
utilisée pour le diagnostic de défaut rotorique. Les grandeurs accessibles et mesurables
d’une machine asynchrone peuvent être :
– les courants absorbés ;
– le flux de dispersion ;
– la tension d’alimentation ;
– la tension de neutre (neutre alimentation - neutre machine) ;
– le couple électromagnétique ;
– la vitesse rotorique ;
– les vibrations.
Beaucoup de travaux ont été effectués sur les vibrations de la machine asynchrone. La
plupart des défauts connus peuvent être détectés avec ce type d’approche. Cependant,
l’équipement nécessaire pour l’acquisition des signaux reste encore coûteux.
I.4.7.1
Analyse fréquentielle des courants statoriques et du flux de dispersion
L’analyse des courants statoriques dans le domaine fréquentiel reste la méthode la plus
couramment utilisée car le spectre résultant contient une source de renseignement sur la
majorité des défauts électriques et magnétiques pouvant apparaître au sein d’une machine
asynchrone.
Nous savons que le suivi de l’amplitude des composantes caractéristiques de fréquence
(1 ± 2 k g)fs dans le spectre du courant permet de se renseigner sur l’état de la cage ro-
torique. A titre d’exemple, nous présentons sur les figures I.5(a) et I.5(b) le spectre du
courant statorique lorsque la machine fonctionne avec un rotor sain et un rotor défaillant
(une barre cassée). Nous apercevons une nette augmentation de l’amplitude de ces composantes, ce qui traduit la présence d’un défaut au sein de la cage d’écureuil. Certains
auteurs se sont penchés sur l’analyse du flux de dispersion de la machine asynchrone pour
la détection des courts-circuits entre spires statoriques. Ils ont montré que l’apparition de
ce type de défaut induisait des composantes additionnelles dans le spectre fréquentiel du
flux de dispersion [30]. Cette nouvelle approche permet de détecter, tant un défaut statorique, qu’un défaut rotorique en utilisant un capteur de flux relativement peu coûteux.
(1 − 2 k g )fs
31
0
0
−10
−10
−20
−30
−40
−50
−60
−70
PSfrag replacements
−80
−90
−100
−110
0
(1 + 2 k g )fs
Densité spectrale de puissance (dB)
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
I.4 : Méthodes de diagnostic actuelles
−20
(1 + 2 k g )fs
(1 − 2 k g )fs
−30
−40
−50
−60
−70
−80
−90
−100
20
40
60
Fréquence (Hz)
(a) Rotor sain
80
100
−110
0
20
40
60
Fréquence (Hz)
80
100
(b) Rotor avec une barre cassée
Fig. I.5 : Spectre du courant statorique (Résultats expérimentaux)
I.4.7.2
Analyse fréquentielle du couple électromagnétique et de la vitesse
rotorique
Lorsqu’une rupture de barre apparaît, les spectres fréquentiels de la vitesse rotorique
et du couple électromagnétique laissent paraître des composantes supplémentaires situées
aux fréquences 2 k g fs . Cependant, il s’est avéré que l’analyse de ces composantes ne nous
renseigne pas aussi bien sur le défaut rotorique que celles présentes dans le spectre du courant statorique (augmentation des amplitudes moins significative). De plus, l’acquisition
de ces deux signaux nécessite un équipement assez coûteux par rapport à un simple capteur de courant, ce qui limite leur utilisation pour le diagnostic de défauts des machines
asynchrones. Certains systèmes reconstruisent une image du couple électromagnétique à
partir des tensions et des courants mesurés sur la machine, mais cette approche reste
moins efficace que les méthodes précédemment citées.
I.4.7.3
Analyse fréquentielle de la tension de neutre
En 1998, Cash a utilisé la tension présente entre le neutre de la source d’alimentation
et le neutre de la machine asynchrone1 pour détecter des courts-circuits entre spires dans
le bobinage statorique [31]. Une analyse similaire a été effectuée par nos soins dans le but
de détecter un défaut rotorique dans les machines asynchrones [32] [33].
Nous avons montré que l’information donnée par la tension présente entre les deux
neutres était pertinente pour le diagnostic des défauts rotoriques. Cette technique a tout
1
à condition que la machine soit couplée en étoile sur l’alimentation
32
Chapitre I : Etat de l’art
d’abord été testée sur différents essais de simulation pour être ensuite validée sur des
essais expérimentaux. L’information la plus significative pour permettre un diagnostic
fiable de la cage rotorique se situe au niveau des composantes harmoniques de fréquence
fbt± = [3 (1 − g) ± g]fs . Nous présentons sur les figures I.6(a) et I.4(b) le spectre fréquentiel
de cette tension lorsque la machine asynchrone fonctionne avec une cage saine et une cage
0
0
−10
−10
+
fbt
−20
−30
−
fbt
−40
PSfrag replacements
−50
−60
−70
100
120
140
160
Fréquence (Hz)
(a) Rotor sain
180
200
Densité spectrale de puissance (dB)
g replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
présentant une barre cassée (essais effectués à charge nominale).
+
fbt
−
fbt
−20
−30
−40
−50
−60
−70
100
120
140
160
Fréquence (Hz)
180
200
(b) Rotor avec une barre cassée
Fig. I.6 : Spectre de la tension de neutre (Résultats expérimentaux)
Nous avons remarqué, à partir des essais expérimentaux, que l’augmentation de l’amplitude de ces composantes est plus significative que celle présente à la fréquence (1−2 g)f s
dans le spectre fréquentiel du courant statorique lorsque le défaut rotorique apparaît. De
plus, l’acquisition de ce signal reste aussi simple que le courant statorique. Cependant, il
est préférable que le neutre de la source d’alimentation ne doit pas être trop éloigné de
celui de la machine.
I.4.7.4
Analyse fréquentielle de la puissance instantanée
La quantité d’information donnée par la puissance instantanée d’une phase, qui n’est
autre que le produit de la tension d’alimentation et du courant absorbé par le moteur, est
plus importante que l’analyse du courant seul [34] [35]. En effet, en plus de la composante
fondamentale et des deux composantes latérales, le spectre de la puissance instantanée
contient une composante additionnelle située à la fréquence de défaut comme le montre
I.4 : Méthodes de diagnostic actuelles
33
la relation suivante :
π
mVLL IL h cos (2 ωs − ωf ) t − ϕ −
ps (t) = ps0 (t) +
2
6π i
π
+ cos (2 ωs + ωf ) t − ϕ −
+ 2 cos ϕ +
cos(ωf t)
6
6
avec
ps0 (t) = VLL ILL
h
(I.20)
π
π i
cos 2 ωs t − ϕ −
+ cos ϕ +
6
6
(I.21)
Dans cette expression, ps (t) représente la puissance instantanée d’une phase statorique,
m l’indice de modulation, VLL la valeur RMS de la tension entre phase, IL le courant de
ligne et ωf la pulsation d’oscillation (pulsation de défaut) exprimée en radians. Les termes
ωs et ϕ représentent respectivement la pulsation des courants d’alimentation exprimée en
radians et l’angle de déphasage entre le courant absorbé par le moteur et la tension.
Les figures I.7(a) et I.7(b) montrent clairement la présence de ces composantes basses
fréquences lorsque la cage de la machine présente une défaillance (essais effectuées à charge
nominale). Le fait de retrouver ces composantes dans une bande fréquentielle bornée facilite leur détection et permet donc d’améliorer le diagnostic de défaut. Cette représentation
rappelle celle obtenue avec l’analyse fréquentielle du module du vecteur de Park mais la
différence, avec l’analyse de la puissance, réside dans le fait que seule l’acquisition d’un
courant et d’une tension est nécessaire. Ce type de signal est aussi utilisé pour détecter
les défauts d’origine mécanique (variation du couple de charge par exemple) ou encore les
courts-circuits entre spires statoriques [36] [37] [38].
−30
0
2gfs
4gfs
6gfs
8gfs
2gfs
−50
PSfrag replacements
−60
−70
−80
−90
Densité spectrale de puissance (dB)
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
−10
−40
−20
4gfs
−30
6gfs
−40
−50
8gfs
−60
−70
−80
−90
−100
0
5
10
15
20
Fréquence (Hz)
(a) Rotor sain
25
30
−100
0
5
10
15
20
Fréquence (Hz)
25
(b) Rotor avec une barre cassée
Fig. I.7 : Spectre de la puissance instantanée (Résultats expérimentaux)
30
34
Chapitre I : Etat de l’art
I.4.8
Technique additionnelle
Récemment, une technique intéressante a été proposée par J. Milimonfared pour la
détection de barres cassées dans les moteurs asynchrones [39]. Cette technique est basée
sur un test d’ouverture de phase lorsque la machine asynchrone fonctionne à vide. Au
moment où les trois phases statoriques de la machine sont déconnectées de l’alimentation, nous savons que les courants rotoriques induisent des tensions dans les bobinages
statoriques. Lorsque le rotor de la machine est sain, la force magnétomotrice produite
par les courants des barres rotoriques après la déconnexion de la source d’alimentation
est à prédominance sinusoïdale. Par conséquent, les tensions générées dans les bobinages
statoriques ne contiennent pas ou peu d’harmoniques significatifs, mise à part l’harmonique fondamental ou encore les harmoniques créés par l’encochage rotorique. Si la cage
d’écureuil présente une ou plusieurs barres cassées, la tension induite dans les bobinages
statoriques n’est plus sinusoïdale ce qui provoque l’apparition de composantes harmoniques supplémentaires spécifiques au défaut rotorique.
Nous donnons aux figures I.8(a) et I.8(b) les spectres fréquentiels de la tension composée Uab présente aux bornes de la machine lors d’une déconnexion de la source d’alimentation. Comme prévu par les auteurs, nous avons une augmentation de l’amplitude des
0
Densité spectrale de puissance (dB)
Densité spectrale de puissance (dB)
0
−20
−40
−60
−80
−100
−120
0
200
400
600
Fréquence (Hz)
800
(a) Rotor sain
1000
−20
−40
−60
−80
−100
−120
0
200
400
600
Fréquence (Hz)
800
1000
(b) Rotor avec une barre cassée
Fig. I.8 : Spectre de la tension composée Uab après déconnexion de la source d’alimentation (Résultats expérimentaux)
composantes harmoniques de rang (6 m ± 1) (m = 0, 1, 2 . . .) lorsque la cage rotorique
présente une défaillance. La quantification du défaut reste cependant difficile étant donné
que le spectre de la tension composée obtenue pour un rotor sain présente des composantes
I.4 : Méthodes de diagnostic actuelles
35
harmoniques de fréquences identiques.
Cependant, la technique proposée est intéressante puisqu’elle se dégage des perturbations (harmoniques de temps) et des déséquilibres générés par la source d’alimentation.
De plus, cette méthode requiert peu de points pour le calcul de la transformée de Fourier
car il ne faut prendre que les premières périodes de la tension composée pour considérer
le signal comme étant stationnaire.
Le principal inconvénient est l’impossibilité d’utiliser cette méthode sur des machines
faisant partie intégrante d’un système de production. Cette technique peut cependant être
intéressante pour le diagnostic des défauts rotoriques dans une entreprise de fabrication
de machines électriques (diagnostic de la machine en sortie de chaîne de production par
exemple). La détection d’un défaut naissant avec cette technique reste, à l’heure actuelle,
encore difficile.
Conclusion
Nous avons montré que les principaux éléments de constitution d’un machine asynchrone triphasée peuvent présenter des défaillances qui induisent, pour la plupart d’entre
elles, un arrêt intempestif de la machine asynchrone. C’est pour pallier ce problème que
le diagnostic de défaut a pris une importance de plus en plus grandissante dans les milieux industriels. Cet essor a fait naître des techniques de diagnostic dans le but de se
prémunir de ces arrêts imprévisibles. Nous avons vu que la détection d’un défaut, qu’il
soit mécanique ou électrique, s’effectue majoritairement par la surveillance de l’amplitude
de composantes spécifiques dans le spectre fréquentiel d’une grandeur mesurable. C’est
pour cette raison que nous avons présenté quelques estimateurs classiques de la densité
spectrale de puissance d’un signal temporel.
Dans la continuité de la présentation, nous avons abordé les méthodes de détection
existantes en discutant de leurs atouts et de leurs faiblesses. Dans la majorité des cas étudiés, les techniques conventionnelles de diagnostic, qui utilisent la transformée de Fourier
rapide, suffisent. Cependant, il s’avère que lorsque le signal à analyser est non-stationnaire,
les transformations temps-fréquence et temps-échelle fournissent un outil plus adapté pour
la détection et le diagnostic de défauts. En effet, ces techniques montrent quelques avan-
36
Chapitre I : Etat de l’art
tages dans des applications particulières où la vitesse rotorique change rapidement.
Objectif de la thèse
Nous avons constaté que la majorité des méthodes utilisées pour le diagnostic des
défauts de la machine asynchrone ne permettent pas de détecter un défaut naissant. Par
exemple, la détection d’une barre partiellement cassée reste quasiment impossible à ce
jour. De plus, il s’est avéré que les méthodes de diagnostic basées sur la surveillance
des composantes du spectre fréquentiel des grandeurs temporelles de la machine utilisent
toujours une référence, référence obtenue en analysant le spectre fréquentiel du moteur
sain, pour diagnostiquer la présence d’un défaut. En complément de ces remarques, nous
trouvons peu de travaux consacrés au diagnostic de la machine asynchrone lorsque celleci est alimentée par un convertisseur statique. Ceci est paradoxal car les applications
industrielles utilisent de plus en plus de systèmes où les machines asynchrones fonctionnent
à vitesse variable. C’est donc dans ce sens que nous avons donc décidé d’orienter notre
travail.
Comme la détection d’un défaut rotorique au sein des machines asynchrones a déjà
fait l’objet de plusieurs études au sein du laboratoire, il a été décidé de poursuivre dans
cette voie [40] [41]. L’objectif fixé en début de thèse consistait à étudier les différents
phénomènes qui apparaissent au niveau des grandeurs temporelles de la machine lorsque
la cage rotorique présente un défaut de type rupture d’une ou plusieurs barres. Pour ce
faire, le développement d’un modèle de machine le plus fidèle possible a du être envisagé
(sa description fait l’objet du chapitre suivant). Après avoir analysé ces grandeurs dans le
domaine fréquentiel et déterminé les composantes créées par ce type de défaut, nous avons
porté notre attention sur l’élaboration de méthodes de diagnostic permettant la détection
d’un défaut rotorique naissant (une barre partiellement cassée) et d’un défaut rotorique
établi (une barre complètement cassée) lorsque la machine asynchrone est alimentée par
le réseau triphasé ou par un convertisseur statique.
Chapitre II
Modélisation de la machine asynchrone
Introduction
Il y a quelques années, les programmes de simulation faisaient intervenir la transformation de Clarke ou celle de Park pour pouvoir effectuer une simulation de la machine
asynchrone dans un temps relativement court [16] [42]. A ce jour, grâce à l’évolution des
technologies informatiques et des processeurs en particulier, nous pouvons nous passer de
ces transformations, ce qui permet, dans le cas de la machine asynchrone à cage d’écureuil,
de calculer tous les courants de barres rotoriques et d’anneaux de court-circuit.
Ce chapitre présente un modèle de la machine asynchrone à cage d’écureuil dont la
particularité est de n’introduire aucune transformation. Dans un premier temps nous discutons des méthodes couramment utilisées pour modéliser ce type de machine électrique.
Nous introduisons ensuite les outils nécessaires à la résolution du modèle choisi. Nous
montrerons que ce modèle est composé essentiellement de résistances et d’inductances,
ce qui nous amènera à présenter les méthodologies existantes pour déterminer la valeur
de ces paramètres. Des résultats de simulation, dans le cas d’un fonctionnement sain et
défaillant de la machine, seront présentés ainsi qu’une analyse harmonique des grandeurs
temporelles telles que le couple électromagnétique ou le courant statorique.
38
Chapitre II : Modélisation de la machine asynchrone
II.1
Méthodes de modélisation
A ce jour, les modèles qui décrivent le fonctionnement de la machine asynchrone à
cage d’écureuil peuvent être décomposés en deux parties bien distinctes :
– les modèles dits "physiques" ;
– les modèles dits "comportementaux".
En ce qui concerne les modèles physiques, ce sont les lois régissant l’électromagnétisme
qui sont utilisées pour décrire le fonctionnement de la machine asynchrone. Ces modèles
sont divers et peuvent varier en complexité et/ou en précision selon la méthode de modélisation utilisée [43]. Nous ne les citerons pas tous mais nous pouvons énoncer les plus
populaires dont ceux basés sur :
– la méthode des éléments finis ;
– la méthode des réseaux de perméance ;
– la méthode des circuits électriques magnétiquement couplés.
Les modèles comportementaux, quant à eux, reprennent les modèles physiques en
y incluant des paramètres supplémentaires. Ces paramètres permettent la détection, et
pour certains d’entre eux, la localisation du défaut observé. Nous introduisons alors une
description exhaustive de ces différentes méthodes de modélisation pour permettre une
compréhension adéquate des problèmes propres à chacune d’entre elles.
II.1.1
Méthode des éléments finis
La méthode des éléments finis est une approche qui requiert un temps de calcul important. Le circuit magnétique de la machine est découpé en plusieurs éléments de dimension
faible pour permettre de considérer le matériau magnétique linéaire sur les surfaces correspondantes. L’utilisation des équations de Maxwell, à partir des formes locales, permet de
résoudre le problème. La résolution analytique correspondante est complexe et ne permet
de traiter le phénomène de saturation que de façon approchée [4]. De nombreux logiciels
ont vu le jour pour permettre d’aborder cette approche difficile. Nous pouvons citer Flux
2D, Flux 3D ou encore Maxwell. Le but principal de ces logiciels est, rappelons le, de
déterminer la cartographie du champ magnétique présents dans les machines électriques
dans l’objectif d’optimiser le dimensionnement de ces dernières.
II.1 : Méthodes de modélisation
II.1.2
39
Méthode des réseaux de perméance
La méthode des réseaux de perméance est basée sur la décomposition en tubes de flux
élémentaires du circuit magnétique de la machine asynchrone. Chaque tube ainsi obtenu
est caractérisé par sa perméance suivant qu’il se trouve dans le fer ou dans l’air. A partir
de cette décomposition, on construit un réseau dit de perméance. Ces réseaux peuvent
être assimilés à un circuit électrique habituel à la différence près que ce sont les flux et
les différences de potentiels magnétiques qui entrent en jeu à la place des courants et
des différences de potentiels électriques. Cette approche permet de prendre en compte les
caractéristiques du fer utilisé pour la construction de la machine asynchrone. En effet,
le calcul des différentes perméances ne peut se faire qu’en fixant une valeur précise pour
la perméabilité relative du fer µr . Le mouvement de rotation de la machine est pris en
compte par l’intermédiaire de perméances d’entrefer variables selon la position du rotor
de la machine.
II.1.3
Méthode des circuits électriques magnétiquement couplés
Les inductances propres et mutuelles entre le stator et le rotor de la machine prennent
une place importante dans cette méthode de modélisation car elles contiennent la signature des différents phénomènes pouvant apparaître au sein de la machine asynchrone. Une
modélisation précise de ces inductances mènera à un apport d’informations supplémentaires sur les signaux tels que le courant statorique ou encore la vitesse rotorique. Cette
approche offre un bon compromis en terme de précision du modèle et de temps de calcul. De plus, ce type de modélisation permet de prendre en compte un certain nombre
de défauts d’origine électromagnétique tels que les défauts de court-circuit entre spires
statoriques, les défauts de type rupture de barre rotorique et/ou de portion d’anneau de
court-circuit. Nous pouvons aussi intégrer à ce type de modèle les défauts d’excentricité
statique et dynamique.
40
Chapitre II : Modélisation de la machine asynchrone
II.2
Modèle de la machine en absence de défaillance
Dans notre étude, nous utiliserons la méthode des circuits électriques magnétiquement
couplés pour simuler le fonctionnement de la machine asynchrone. Les travaux déjà effectués au sein de notre équipe depuis 1996 et les facilités apportées par cette approche pour
étudier les défauts magnétiques nous ont semblé être les plus adéquates pour analyser
l’influence d’une rupture de barre sur le fonctionnement de la machine asynchrone. Dans
cette méthode, les inductances peuvent être calculées soit en utilisant les fonctions de
bobinage comme l’ont fait les laboratoires du GREAH et du LEII, en sachant que cela
impose une connaissance précise de la forme du bobinage de la machine [44] [45] [46],
soit en utilisant une décomposition en séries de Fourier de l’induction d’entrefer de la
machine [47]. Cette dernière approche nous a semblé la plus adéquate étant donné que
nous n’avons pas les informations nécessaires pour calculer les inductances de la machine
par la méthode des fonctions de bobinage. En effet, le calcul de ces inductances par une
décomposition en séries de Fourier ne nécessite pas de connaissance précise du bobinage
de la machine car les termes relatifs à l’étalement, au raccourcissement, à l’inclinaison du
bobinage sont intégrés au calcul des inductances à travers des coefficients spécifiques. Ce
type de modélisation permet donc de prendre en compte les harmoniques des inductances
souhaités (simulation possible au fondamental de l’induction ou avec les harmoniques
d’espace les plus importants).
Tout type de modélisation ne peut se faire sans effectuer quelques hypothèses qui font
l’objet de la suite de cette partie. Nous développerons ensuite les équations des circuits
électriques statoriques et rotoriques pour permettre la résolution numérique du modèle
proposé.
II.2.1
Hypothèses de départ
Le premier objectif de cette modélisation est de mettre en évidence l’influence des
défauts électriques sur les grandeurs temporelles de la machine asynchrone (courants,
vitesse, couple, ...). Pour ce faire, il est indispensable de poser certaines hypothèses qui
ont pour but de faciliter la mise en équations des circuits électriques de la machine.
Cependant, étant donné que le modèle de la machine asynchrone à cage est développé en
II.2 : Modèle de la machine en absence de défaillance
41
vue de la surveillance et du diagnostic, il faut imposer un minimum d’hypothèses si nous
voulons que le vecteur de sortie (grandeurs temporelles) soit le plus exploitable possible.
Dans l’approche proposée, nous avons supposé la linéarité du circuit magnétique (perméabilité relative du fer très grande devant 1). Cette hypothèse nous a permis d’introduire
le concept d’inductance propre et mutuelle entre les bobinages statoriques et rotoriques.
L’effet de peau, dans cette approche, a été négligé. Nous avons supposé que les barres rotoriques étaient isolées les unes des autres ce qui permet d’éliminer les courants inter-barres
et leurs effets au sein même de la cage rotorique. De plus, les pertes fer de la machine, les
effets capacitifs et les effets thermiques ont été négligés dans la construction du modèle
de la machine asynchrone à cage d’écureuil.
Le modèle exposé prend en compte les harmoniques d’espace du bobinage statorique
les plus importants ainsi que l’inclinaison des barres rotoriques. Les harmoniques de temps
créés par un réseau d’alimentation triphasé ou par un convertisseur statique ont été incorporés dans la modélisation de l’alimentation de la machine asynchrone.
II.2.2
Structure du stator
Le stator de la machine étudiée est un stator triphasé de m encoches statoriques. Une
phase statorique est composée de plusieurs bobines logées dans les encoches du stator.
PSfrag replacements
R
Ces bobines statoriques
sont placées de sorte à obtenir une distribution de la force mala
Lla
gnétomotrice la plusRlbsinusoïdale possible le long de l’entrefer. La figure II.1 donne une
Llb
Rlc
représentation de la Lmodélisation choisie pour les trois phases statoriques de la machine
lc
e sa
e sb
e sc
Js1
Js2
Js3
Rs a
υsa
ila
ilb
ilc
isa
Rs b
υsb
Ls a
isb
Rs c
υsc
Ls b
isc
Ls c
Fig. II.1 : Circuits électriques adoptés pour la modélisation des trois phases statoriques
42
Chapitre II : Modélisation de la machine asynchrone
asynchrone. La valeur des inductances est fonction du nombre de bobines ainsi que du
type de bobinage mis en place dans les encoches statoriques (concentrique, imbriqué, ...),
celle des résistances dépend essentiellement de la longueur, de la section et du type de
cuivre utilisé.
II.2.3
Structure du rotor
La cage d’écureuil de la machine se compose de Nr encoches rotoriques qui peuvent
être soit ouvertes soit fermées sur l’entrefer. La cage rotorique peut se décomposer en
(Nr + 1) circuits électriques rotoriques indépendants. En effet, si nous considérons deux
barres rotoriques adjacentes ainsi que les segments d’anneau de court-circuit les reliant,
nous obtenons une boucle rotorique fermée qui peut être étudiée sous forme de circuit
électrique. Un des anneaux de court-circuit crée par conséquent une boucle supplémentaire
ce qui porte le nombre de boucle totale à (Nr +1). Nous associons à chacune de ces boucles
un courant, ce qui nous amène à calculer (Nr + 1) courants rotoriques. Chaque barre
rotorique est modélisée par une inductance en série avec une résistance, tout comme
chaque segment d’anneau de court-circuit [48]. La figure II.2 nous donne la forme des
circuits électriques adoptée pour la modélisation de la cage d’écureuil rotorique. Pour
permettre une compréhension adéquate du modèle de la cage d’écureuil de la machine,
on nomme :
– Rrbk la résistance d’une barre rotorique k ;
– Lrbk l’inductance de fuite d’une barre rotorique k ;
la résistance du segment d’anneau de court-circuit extérieur k ;
– Raext
k
– Lext
ak l’inductance de fuite du segment d’anneau de court-circuit extérieur k ;
la résistance du segment d’anneau de court-circuit intérieur k ;
– Raint
k
– Lint
ak l’inductance du segment d’anneau de court-circuit intérieur k ;
– irbk le courant circulant dans la barre rotorique k ;
– iint
ak le courant dans le segment d’anneau de court-circuit intérieur k ;
– iext
ak le courant dans le segment d’anneau de court-circuit extérieur k ;
– jrk le courant circulant dans la boucle rotorique k ;
– jrcc le courant circulant dans l’anneau de court-circuit intérieur.
II.2 : Modèle de la machine en absence de défaillance
43
ext
Ra
jrk-1
ext
La
k+2
iaext
Lrb
k+2
Lrb
k+2
Nr
iaext
Nr
Nr-1
ext
La
ext
Ra
k+2
irb
Lrb
ext
Ra
irb
k+2
jrk+2
k+1
Rrb
Rrb
k+2
Nr
Nr-1
Lrb
jrNr
Nr
ext
Nr-1
La
k+1
irb
k+1
Rrb
iaext
Rrb
k+1
irb
Nr
iaext
1
k+1
i aintk+2
R
int
La k+2
jrk+1
ext
La
k+1
Lrb
Rrb
k
irb
i aintk+1
k
R
R
i aintk
jr k
Rrb
k-1
int
La k
int
Ra k-1
int
La k-1
int
jr 1
int
int
a k+1
int
ak
i aintNr
int
a Nr
ext
Ra
La Nr
R
int
a1
i aint1
Rrb
Lrb
1
irb
int
int
ext
k
int
a k+2
La k+1
k
R
Ra
1
Nr
jrcc
La 1
R
1
int
a2
int
La 2
i aint2
ext
Rrb
La
jr 2
2
i a k-1
iaext
irb
k
Lrb
irb
k-1
k-1
Rrb
ext
La
iaext
2
2
Lrb
2
ext
k-2
k
jrk-1
irb
Lrb
ext
Ra
k-2
k-2
k-1
ext
a k-1
i
ext
La
1
1
k-1
Fig. II.2 : Circuits électriques adoptés pour la modélisation de la cage rotorique
Ra
2
2
44
Chapitre II : Modélisation de la machine asynchrone
II.2.4
Equations différentielles associées
II.2.4.1
Equations différentielles du stator
Ces équations différentielles vont nous permettre d’associer le vecteur tension, le vecteur courant ainsi que le vecteur flux pour les trois phases statoriques s a , sb et sc . En
appliquant la loi d’Ohm sur les trois phases statoriques, nous obtenons :
[Vs ] = [Rs ] [Is ] +
d [Φs ]
dt
(II.1)
où [Vs ] représente le vecteur tension, [Is ] le vecteur courant, [Φs ] le vecteur flux tel que :

v sa


[Vs ] =  vsb

v sc


i sa




[I
]
=
 i sb

s


i sc


φ sa




[Φ
]
=
 φ sb

s


φ sc





(II.2)
La matrice des résistances [Rs ], où sont regroupées les résistances de chacune des phases
statoriques, se met sous la forme suivante :

R sa


[Rs ] =  0

0
0
R sb
0
0



0 

R sc
(II.3)
Les trois phases statoriques sont non seulement magnétiquement couplées entre elles mais
également avec les circuit électriques rotoriques. Par conséquent, les courants de boucles
rotoriques notés ici [Jr ] interviennent dans les équations des trois flux statoriques comme
le montre l’équation ci dessous :
[Φs ] = [Ls ] [Is ] + [Msr ] [Jr ]
(II.4)
La matrice inductance [Ls ] se compose des inductances propres, de magnétisation, de
fuites et mutuelles des trois phases statoriques. Elle peut se mettre sous la forme :

L
Ms a s b Ms a s c
 sa sa

[Ls ] =  Msb sa Lsb sb Msb sc

Ms c s a Ms c s b L s c s c



 où

L s a s a = L m sa sa + L f sa sa
L s b s b = L m sb sb + L f sb sb
L s c s c = L m sc sc + L f sc sc
(II.5)
II.2 : Modèle de la machine en absence de défaillance
45
La matrice des inductances mutuelles [Msr ] entre les trois phases statoriques et les (Nr +1)
boucles rotoriques se met sous

M
 sa r 1

[Msr ] =  Msb r1

Ms c r 1
la forme matricielle suivante :
Ms a r 2 · · ·
M sa r k · · ·
Msa rN r Msa rcc
Ms b r 2 · · ·
M sb r k · · ·
Msb rN r Msb rcc
Ms c r 2 · · ·
M sc r k · · ·
Msc rN r Msc rcc
Le vecteur [Jr ] regroupe les (Nr + 1) courants de boucles rotoriques :
[Jr ] =
h
jr1 jr2 . . . jrk . . . jrN r jrcc





iT
(II.6)
(II.7)
Les équations des trois phases statoriques de la machine étant maintenant décrites, les
équations associées aux circuits électriques de la cage rotorique sont maintenant abordées.
II.2.4.2
Equations différentielles du rotor
Tout comme pour les équations du stator de la machine asynchrone, les équations
natives des circuits électriques rotoriques peuvent se mettre sous une forme matricielle.
Nous relions les tensions de chacune des boucles rotoriques avec les courants et les flux
grâce à l’équation :
[Vr ] = [Rr ] [Jr ] +
d [Φr ]
dt
(II.8)
Le vecteur [Φr ], donné dans l’équation précédente, se décompose de la façon suivante :
[Φr ] =
h
φr1 φr2 . . . φrk . . . φrN r φrcc
iT
(II.9)
Nous devons noter que dans le cas particulier de la machine asynchrone à cage d’écureuil,
le vecteur tension [Vr ] est nul.
Les résistances des (Nr + 1) boucles rotoriques sont regroupées dans la matrice [Rr ] qui
est décrite à l’équation II.11. Les boucles rotoriques étant magnétiquement couplées aux
phases statoriques, le vecteur flux [Φr ] dépend non seulement des courants de boucles
rotoriques mais aussi des courants de chacune des phases statoriques si bien que :
[Φr ] = [Lr ] [Jr ] + [Mrs ] [Is ]
(II.10)
où la matrice inductance [Lr ], décrite à l’équation II.12, se compose des inductances
propres, de magnétisation, de fuite et mutuelles de chaque boucle rotorique. La matrice
[Lr ] =
[Rr ] =
Rrt1
Nr
−Rrb1
.
..
0
..
.
−Rrb
−Raint
1
−Rrb1
Rrt2
.
..
0
..
.
0
−Raint
2
0
−Rrb2
.
..
0
..
.
0
−Raint
3
avec
···
···
.
..
···
..
.
···
···
Rrt1
.
..
0
0
.
..
−Rrb
..
.
0
k−1
−Raint
k−1
=
.
..
=
..
.
Rrtk
..
.
···
···
.
..
Rrtk
..
.
0
0
0
.
..
−Rrb
k
..
.
0
···
···
.
..
···
..
.
···
···
0
0
.
..
N r−1
0
..
.
−Rrb
−Raint
N r−1
+ Raint
+ Raext
1
1
.
..
−Raint
k+1
b1
k
+ Rrb + Raint
+ Raext
k
k
+ Rr
−Raint
k
Rr
k−1
bN r
R rb
..
.
−Rrb
0
.
..
0
..
.
Nr
RrtN r
−Raint
Nr
−Raint
1
−Raint
2
.
..
−Raint
k
..
.
Raint
k
−Raint
Nr
Nr
k=1
Mr1 rN r−1
+ Raint
+ Raext
Nr
Nr
···
Mr2 rN r−1
Nr
Mr1 rk+1
+ R rb
Mr2 rk+1
N r−1
M r1 rk
R rb
M r2 rk
···
.
.
.
···
.
.
.
=
Mr1 rk−1
.
.
.
···
.
.
.
RrtN r
···
Mr2 rk−1
.
.
.
Mrk rk+1 − Lf bk
···
−L
M r1 r3
.
.
.
Lrrk
.
.
.
f b1
···
.
.
.
.
.
.
Lrr2
M r2 r3 − L f b2
.
.
.
Mr r
− Lf bk−1
k
k−1
.
.
.
M r1 r2
.
.
.
M rk r3
···
.
.
.
Lrr1
M r2 r1 − L f b1
.
.
.
M rk r2
···
MrN r rN r−1
.
.
.
M rk r1
.
.
.
MrN r rk+1
int
−La
N r−1
−
.
.
.
M rN r rk
−
.
.
.
MrN r rk−1
Lf bN r−1
M rN r r3
L f bN r
M rN r r2
M rN r r1
int
−La
k+1
Lmb1 + LrbN r
int + Lext
+ Lrb1 + La
a1
1
.
.
.
···
int
−La
k
Lmbk + Lrbk−1
int + Lext
+ Lrbk + La
ak
k
.
.
.
− L f bN r
M r2 rN r
M r1 rN r
.
.
.
0
.
.
.
LrrN r
int
−La
Nr
(II.11)
int
−La
1
int
−La
2
.
.
.
int
−La
k
.
.
.
int
La
k
int
−La
Nr
Nr
k=1
int
−La
k−1
=
.
.
.
=
.
.
.
int + Lext
LmbN r + LrbN r−1 + LrbN r + La
aN r
Nr
···
Lrr1
.
.
.
.
.
.
=
Lrrk
LrrN r
int
−La
3
int
−La
2
int
−La
1
avec
Chapitre II : Modélisation de la machine asynchrone
46
(II.12)
II.2 : Modèle de la machine en absence de défaillance
47
[Mrs ], décrite à l’équation II.13, se compose des inductances mutuelles entre les (Nr + 1)
boucles rotoriques et les trois phases statoriques.

Mr 1 s a Mr 1 s b Mr 1 s c


 Mr 2 s a Mr 2 s b Mr 2 s c

..
..
..


.
.
.


[Mrs ] =  Mrk sa Mrk sb Mrk sc


..
..
..

.
.
.


 Mr N r s a Mr N r s b Mr N r s c

Mrcc sa Mrcc sb Mrcc sc

















(II.13)
Notons qu’à travers la réciprocité des inductances mutuelles entre les phases statoriques
et les boucles rotoriques, nous avons [Mrs ] = [Msr ]T . Les équations électriques des (Nr +1)
boucles rotoriques étant décrites, nous abordons la description des équations mécaniques
de la machine asynchrone.
II.2.4.3
Equations mécaniques de la machine
Les équations mécaniques qui régissent le fonctionnement de la machine asynchrone
peuvent se mettre sous la forme :
Jt
dΩ
= Cem − fv Ω − Cr
dt
dθ
Ω =
dt
(II.14)
(II.15)
où Jt représente le moment d’inertie de la machine étudiée, Ω sa vitesse rotorique, C em
son couple électromagnétique, fv son frottement visqueux et Cr son couple de charge.
L’équation II.15 lie la vitesse rotorique Ω à la position du rotor θ. Les paramètres Jt , fv
et Cr dépendent directement de la machine étudiée et de sa charge. Le calcul du couple
électromagnétique est déterminé en étudiant la coénergie magnétique avec l’équation :
Wco =

[Is ]
T 
[Ls ]
1 
 
2
[Jr ]
[Mrs ]
[Msr ]
[Lr ]
 
 
[Is ]
[Jr ]


(II.16)
Si cette coénergie est exprimée en fonction des différents courants de phases de la machine,
le couple électromagnétique se calcule en dérivant cette dernière par rapport à la position
48
Chapitre II : Modélisation de la machine asynchrone
θ que prend le rotor vis-à-vis du stator. L’expression du couple électromagnétique C em
peut finalement être déterminée grâce à la relation :
Cem =

T

 

1  [Is ]  d  [Ls ] [Msr ]   [Is ] 
2
dθ [Mrs ] [Lr ]
[Jr ]
[Jr ]
(II.17)
Nous proposons ci-après un récapitulatif des équations électriques et mécaniques qui régissent le fonctionnement de la machine asynchrone à cage.











































II.2.5
d [Φs ]
dt
[Φs ] = [Ls ] [Is ] + [Msr ] [Jr ]
d [Φr ]
[Vr ] = [Rr ] [Jr ] +
dt
[Φr ] = [Lr ] [Jr ] + [Mrs ] [Is ]

T

 

[I
]
[L
]
[M
]
[I
]
1
s
s
sr
 d 
  s 
Cem = 
2
dθ
[Jr ]
[Mrs ] [Lr ]
[Jr ]
1
dΩ
= (Cem − fv Ω − Cr )
dt
Jt
dθ
Ω=
dt
[Vs ] = [Rs ] [Is ] +
(II.18)
Prise en compte des harmoniques d’espace dans le calcul
des inductances de la machine
Les harmoniques d’espace apparaissent lorsque la forme de la force magnétomotrice
n’est pas sinusoïdale le long de l’entrefer. Pour intégrer ce phénomène au modèle de
la machine asynchrone, une méthode consiste à calculer les différentes inductances de la
machine à partir de l’expression de l’induction d’entrefer créée par chaque phase statorique
[49] [50] [51]. L’induction d’entrefer, qui dépend de la force magnétomotrice créée par les
trois phases statoriques, est décomposée en séries de Fourier pour permettre de prendre
en compte les harmoniques les plus importants.
II.2.5.1
Induction d’entrefer statorique
Une forme possible de la force magnétomotrice créée par la phase statorique sa de
la machine asynchrone est représentée sur la figure II.3. La décomposition en séries de
S19
S20
S21
S22
S23
S24
S25
S26
S27
S28
S29
S30
S31
S32
S33
S34
S35
S36
II.2 : Modèle de la machine en absence de défaillance
49
Fmma
nI
2
5nI
12
nI
3
nI
4
nI
6
nI
12
θs
0
− nI
12
θs −
− Nπr
nI
6
− nI
4
π − nI
3
Nr
π − 5nI
−π 12
+
Fr1
− nI
2
−
Fr1
0
Fig. II.3 : Forme de la force magnétomotrice d’une phase statorique d’une machine
asynchrone ayant 36 encoches statoriques et une paire de pôle
Fourier de cette force magnétomotrice donne :
∞
X
2 ne I (−1)k
Fmma (θs ) =
cos((2k + 1) p θs )
π
p
2k
+
1
k=0
(II.19)
où p, θs et ne représentent respectivement le nombre de paire de pôle, l’angle mécanique
et le nombre de spires par encoche. En considérant le fait que le stator et le rotor de la
machine sont lisses, l’expression de l’induction d’entrefer créée par la phase statorique s a
devient alors :
∞
X 2 ne I (−1)k
µ0
Fmma (θs ) =
µ0
cos((2k + 1) p θs )
Bsa (θs ) =
e
π p e 2k + 1
k=0
(II.20)
où e représente la longueur moyenne de l’entrefer et µ0 la perméabilité relative de l’air.
Comme le bobinage de la machine asynchrone peut prendre différentes formes, nous devons introduire plusieurs coefficients tels que le coefficient d’étalement kse2k+1 , le coefficient
d’inclinaison ksi2k+1 et le coefficient de bobinage ksr2k+1 propre à chaque phase statorique
dans l’expression II.20. Ces coefficients sont fonction du rang de l’harmonique de l’induction d’entrefer considéré, leurs expressions mathématiques sont données ci-après :
sin (2k + 1)p me Nπs
kse2k+1 =
(II.21)
me sin (2k + 1) p Nπs
ksi2k+1
sin p (2k + 1)
=
p (2k + 1) α2
α
2
(II.22)
50
Chapitre II : Modélisation de la machine asynchrone
ksr2k+1
π
π
= sin (2k + 1) δ
sin (2k + 1)
2
2
(II.23)
où les termes me , Ns , δ, α représentent le nombre d’encoches par pôle et par phase, le
nombre d’encoches statoriques, la valeur du raccourci utilisée pour le bobinage statorique
et la valeur de l’inclinaison des encoches statoriques et/ou rotoriques. Par conséquent, en
introduisant un coefficient global ksw2k+1 égal au produit des trois coefficients précédemment décrits (ksw2k+1 = kse2k+1 ksr2k+1 ksi2k+1 ), nous obtenons pour l’induction d’entrefer
finale de la phase statorique sa :
∞
X
2 Nsw I (−1)k
Bsa (θs ) =
µ0
ksw2k+1 cos ((2k + 1) p θs )
π
p
e
2k
+
1
k=0
(II.24)
La forme que prennent les inductions d’entrefer des phases sb et sc est identique à celle
de la phase sa sauf qu’elles sont déphasées de ± 23 πp .
La figure II.4 nous montre le niveau d’amplitude des différents harmoniques créés par la
distribution de l’induction d’entrefer en fonction du raccourcissement choisi pour le bobinage statorique. Nous pouvons noter qu’un raccourcissement des bobinages statoriques de
2/3 a pour effet d’annuler les harmoniques d’espace de rang 3 k, il n’influe pas sur l’amplitude des autres. Par contre, en ce qui concerne le raccourci 5/6, il permet d’atténuer
l’amplitude de tous les harmoniques d’espace mais n’en n’annule aucun [52].
PSfrag replacements
Amplitude (% du fondamental)
25
Raccourci 1
Raccourci 2/3
Raccourci 5/6
20
15
10
5
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
Rang harmonique
Fig. II.4 : Niveau d’amplitude des différents harmoniques d’espace
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S10
S11
S12
S13
S14
S15
S16
S17
S18
S19
S20
S21
S22
S23
S24
S25
S26
S27
S28
S29
S30
S31
S32
S33
S34
S35
S36
II.2 : Modèle de la machine en absence de défaillance
II.2.5.2
51
Induction d’entrefer rotorique
La distribution de la force magnétomotrice d’une boucle rotorique est telle qu’elle ne
prend seulement que deux valeurs suivant que nous sommes à l’intérieur ou à l’extérieur
de la boucle (figure II.5). Par conséquent, nous obtenons deux types d’inductance :
– l’inductance magnétisante d’une boucle rotorique ;
– l’inductance mutuelle entre deux boucles rotoriques.
L’expression de l’induction d’entrefer créée par une boucle rotorique nous donne, en supposant une perméance d’entrefer constante :
Brk (θr ) =
nI
2
5nI
12
nI
3
nI
4
nI
6
nI
12
− nI
2
− 5nI
12
− nI
3
− nI
4
nI
−6
− nI
12
µ0
Frk (θr )
e
(II.25)
C’est à partir de cette induction que les inductances de magnétisation des boucles rotoriques ainsi que les inductances mutuelles entre chaque boucle seront calculées.
Fr k
+
Frk
Fmm1
0
− Nπr
−π
0
π
Nr
π
θr
−
Frk
Fig. II.5 : Forme de la force magnétomotrice d’une boucle rotorique
II.2.6
Calcul des inductances du modèle de la machine
Les inductions d’entrefer étant connues, nous pouvons calculer l’expression des inductances statoriques et rotoriques de la machine en déterminant le flux propre et le flux
mutuel de chacune des phases.
II.2.6.1
Inductance de magnétisation d’une phase statorique
Le calcul du flux magnétisant d’une phase statorique s’effectue grâce à la relation :
I
φ si sj =
Nsw Bsi (θs ) dS avec dS = L R dθs
(II.26)
i=j
S
52
Chapitre II : Modélisation de la machine asynchrone
où les indices i et j peuvent se substituer indépendamment à la lettre a, b ou c. Les termes
L et R représentent la longueur active du circuit magnétique et le rayon moyen à l’entrefer.
L’expression du flux d’une phase statorique donne :
π
p
φsi sj = Nsw ksw2k+1 L R
i=j
φ si sj
i=j
Z2
Bsi (θs ) dθs
(II.27)
− 2πp
∞
2
X
4
1
I
Nsw
= µ0 2
LR
k2
2 sw2k+1
π
p e
(2k
+
1)
k=0
(II.28)
ce qui nous permet d’obtenir l’expression de l’inductance magnétisante correspondante :
L m si sj
i=j
∞
2
2
X
ksw
4
Nsw
2k+1
= µ0 2 L R
π
p e
(2k + 1)2
k=0
(II.29)
où le terme (2k + 1) représente toujours le rang de l’harmonique d’espace considéré.
II.2.6.2
Inductance mutuelle entre phases statoriques
Pour le calcul de ces inductances, il suffit d’introduire l’angle mécanique ϕ si sj dans le
calcul du flux. Cet angle représente l’écart angulaire entre la phase i et la phase j statorique. L’expression de l’inductance mutuelle entre deux phases statoriques nous donne :
Ms i s j =
i6=j
∞
2
X
ksw
4
N2
2k+1
cos((2k + 1) p ϕsi sj )
µ0 2sw L R
2
π
p e
(2k
+
1)
k=0
(II.30)
où l’angle ϕsi sj est égale à ± 23 πp pour un stator triphasé.
II.2.6.3
Inductances mutuelles entre les phases statoriques et les boucles rotoriques
Le calcul de ces inductances s’effectue en introduisant le coefficient global rotorique
krw2k+1 (notre rotor étant à cage, seul le coefficient d’inclinaison est pris en compte) et
l’angle mécanique ϕrm si entre la phase statorique i et la boucle rotorique m pour le calcul
du flux, ce qui nous donne :
π
φrm si = Nrw krw2k+1 L R
ZNr
− Nπ
r
Bsi (θs − ϕrm si ) dθr
(II.31)
II.2 : Modèle de la machine en absence de défaillance
avec θs = θr + θ et ϕrm si = (i − 1)
53
2π
2π
− (m − 1)
3p
Nr
En divisant cette expression par le courant concerné, nous obtenons pour l’expression de
l’inductance mutuelle entre les phases statoriques et les boucles rotoriques :
Mr m s i =
∞
X
Mrs2k+1 cos (2k + 1) p
k=0
où Mrs2k+1
2π
2π
θ + (m − 1)
− (i − 1)
Nr
3p
(II.32)
π
(−1)k
Nsw Nrw
4
ksw2k+1 krw2k+1 sin (2 k + 1) p
LR
= µ0
π
p2 e
(2k + 1)2
Nr
De plus, comme les circuits électriques statoriques sont en quadrature avec l’anneau de
court-circuit intérieur, les inductances mutuelles correspondantes sont nulles.
II.2.6.4
Inductance de magnétisation d’une boucle rotorique
Comme pour le calcul des inductances de magnétisation statoriques, l’inductance magnétisante d’une boucle rotorique est déduite de l’expression du flux correspondant donné
par l’expression :
φ r bk =
Z Z
Brk .dS =
jr
Nr − 1
µ0 k 2 π L R
2
e
Nr
(II.33)
L’inductance magnétisante est alors égale à :
L r bk =
II.2.6.5
Nr − 1 µ0
2πLR
Nr 2 e
(II.34)
Inductances mutuelles entre les boucles rotoriques
Ces inductances se calculent en introduisant l’angle mécanique ϕrm rn dans le calcul
du flux. Cet angle représente l’écart angulaire entre la boucle rotorique m et la boucle
rotorique n de la cage d’écureuil. L’expression de l’inductance mutuelle entre deux boucles
rotoriques donne :
Mr m r n = M r n r m = −
1 µ0
2πLR
Nr 2 e
(II.35)
où les indices m et n peuvent être remplacés indépendamment par les nombres 1, . . . , N r .
Comme toutes les expressions des inductances dépendent de la valeur de certaines
grandeurs (L, R, e, ou encore Nr ), nous avons dû effectuer des mesures géométriques
directement sur la machine asynchrone concernée. La connaissance de ces paramètres nous
permet de présenter la forme des inductances mutuelles entre les bobinages statoriques et
rotoriques pour un nombre d’harmoniques d’espace fixé.
54
Chapitre II : Modélisation de la machine asynchrone
II.2.6.6
Synthèses
La figure II.6 nous donne la forme des inductances mutuelles entre les trois phases
statoriques sa , sb , et sc et la boucle rotorique r1 en fonction de la position angulaire
du rotor pour un nombre d’harmonique d’espace égal à 17 (2k + 1 = 17). La figure
II.7 nous donne la forme de l’inductance mutuelle entre la phase statorique sa et les
boucles rotoriques r1 , r2 , r3 et r4 pour un nombre d’harmoniques d’espace identique. Ces
courbes montrent que les inductances mutuelles ne sont pas purement sinusoïdales. La
prise en compte des harmoniques d’espace pour le calcul de ces inductances permet de
s’affranchir d’une hypothèse couramment rencontrée (force magnétomotrice sinusoïdale).
Nous donnons aux figures II.8 et II.9 les dérivées des inductances mutuelles représentées
sur les figures II.6 et II.7.
II.2.7
Détermination des paramètres de la machine asynchrone
en vue de sa simulation
Les inductances magnétisantes ainsi que les inductances mutuelles entre les circuits
statoriques et rotoriques de la machine étant maintenant connues, nous allons déterminer
la valeur :
– des inductances de fuites des bobinages statoriques ;
– des résistances et des inductances de fuites des barres de la cage rotorique ;
– des résistances et des inductances de fuites des segments d’anneaux de court-circuit
rotorique,
– de la résistance des bobinages statoriques ;
– des paramètres mécaniques.
Il existe plusieurs approches, pour évaluer ces paramètres, basées sur différents types
d’essais expérimentaux. Les résistances statoriques de la machine ont été déterminées
en appliquant un échelon de tension aux bornes d’une des trois phases. Les résistances
des barres et des segments d’anneau de court-circuit ont été calculées en utilisant les
dimensions géométriques de la cage et en considérant que la matière utilisée pour sa
construction est de l’aluminium injecté. Les inductances de fuites statoriques L fsi si et
rotoriques Lrbk ont été assimilées à des inductances de fuites d’encoches, lesquelles ont été
II.2 : Modèle de la machine en absence de défaillance
55
−4
PSfrag replacements
Inductance (H)
5
x 10
2.5
M s a r1
M s b r1
M s c r1
0
−2.5
−5
0
2
4
6
8
10
12
Angle de déplacement rotorique (Rd)
Fig. II.6 : Inductance mutuelle entre les trois phases statoriques et une boucle rotorique
−4
PSfrag replacements
Inductance (H)
5
x 10
2.5
M s a r1
M s a r2
0
M s a r3
M s a r4
−2.5
−5
0
2
4
6
8
10
12
Angle de déplacement rotorique (Rd)
Fig. II.7 : Inductance mutuelle entre une phase statorique et quatre boucles rotoriques
−4
PSfrag replacements
Inductance (H)
5
x 10
2.5
dMsa r1
dMsb r1
dMsc r1
0
−2.5
−5
0
2
4
6
8
10
12
Angle de déplacement rotorique (Rd)
Fig. II.8 : Dérivé de l’inductance mutuelle entre les trois phases statoriques et une boucle
rotorique
−4
5
dMsa r1
Inductance (H)
PSfrag replacements
x 10
2.5
dMsa r2
0
dMsa r3
dMsa r4
−2.5
−5
0
2
4
6
8
10
12
Angle de déplacement rotorique (Rd)
Fig. II.9 : Dérivé de l’inductance mutuelle entre une phase statorique et quatre boucles
rotoriques
56
Chapitre II : Modélisation de la machine asynchrone
évaluées par calcul grâce aux relations données dans [1]. La valeur des inductances de fuites
int
des segments d’anneau de court-circuit extérieur et intérieur Lext
ak ou Lak a été déterminée
en prenant l’hypothèse qu’elles étaient égales à l’inductance de fuite d’une barre de la
int
cage rotorique (Lext
ak = Lak = Lrbk ) comme l’a suggéré Vas dans [53]. Les paramètres
mécaniques, quant à eux, ont été évalués en effectuant un essai de ralentissement.
II.2.8
Alimentation de la machine asynchrone
Tous les paramètres de la machine asynchrone étant maintenant connus, il nous reste
à intégrer l’alimentation électrique. Cette alimentation peut s’effectuer de deux façons
différentes, soit la machine est alimentée directement à partir du réseau triphasé, soit elle
est alimentée à travers un convertisseur statique. De plus, en fonction des informations
recueillies sur la plaque signalétique, les phases statoriques de la machine asynchrone
peuvent être couplées en étoile ou en triangle.
II.2.8.1
Modélisation du convertisseur statique
La machine asynchrone peut être alimentée par un convertisseur statique (onduleur
de tension par exemple), qu’elle soit couplée en étoile ou en triangle. Le point neutre du
convertisseur étant rarement disponible, il n’y a, par conséquent, que trois fils qui relient
le convertisseur statique et la machine asynchrone. Nous choisissons donc, pour modéliser
le convertisseur, une structure à trois forces électromotrices, comme l’illustre la figure
II.10. La modélisation des trois câbles de ligne reliant l’onduleur de tension à la machine
PSfrag replacements
asynchrone est faite en introduisant sur chacune des phases, une inductance notée L li
mise en série avec une résistance notée Rli (l’indice i se substituant indépendamment aux
lettres a, b ou c) [4].
E
2
E
2
e sa
Lla
ila
Rla
Ara
e sb
Llb
ilb
Rlb
Arb
e sc
Llc
ilc
Rlc
Arc
Fig. II.10 : Modélisation du convertisseur statique
II.2 : Modèle de la machine en absence de défaillance
57
Lorsque la machine asynchrone est connectée directement au réseau d’alimentation
triphasé, le modèle adopté pour ce type d’alimentation est exactement le même que celui
décrit précédemment. La seule différence réside dans la forme des tensions esa , esb et
esc appliquées aux trois phases statoriques. Si la machine asynchrone est connectée au
réseau triphasé, ces trois forces électromotrices délivreront une tension dite sinusoïdale
(aux harmoniques de temps prés). Par contre, si l’alimentation se fait par un convertisseur
statique, les trois forces électromotrices délivreront une tension hachée dont la fréquence
de l’onde fondamentale permettra de faire varier la vitesse de la machine.
Le vecteur [Es ] regroupe les trois sources de tensions indépendantes et le vecteur [Il ] les
trois courants délivrés à la machine asynchrone :
h
iT
h
iT
[Es ] = esa esb esc
et [Il ] = ila ilb ilc
(II.36)
Nous regroupons les trois résistances de ligne dans la matrice [Rl ] et les trois inductances
de ligne dans la matrice [Ll ] tel que :

R
0
0
 la

[Rl ] =  0 Rlb 0

0
0 R lc


L
0
0

 la


 et [Ll ] =  0 Llb 0


0
0 L lc





(II.37)
La modélisation de l’alimentation étant définie, nous allons pouvoir l’associer aux équations différentielles qui régissent le fonctionnement de la machine asynchrone. Nous exposons ci-après les démarches qui permettent d’aboutir au système d’équations final en
fonction du couplage choisi (étoile ou triangle).
II.2.8.2
Méthode des départements
La méthodes des départements décrites dans [4] et [46] est une méthode particulièrement bien adaptée pour la résolution de problème impliquant les circuits électriques,
surtout lorsque ceux-ci peuvent être résolus en tension. Au final, nous obtenons un système d’équations différentielles du premier ordre dont la résolution permet de connaître
toutes les grandeurs (tensions, courants) du circuit électrique étudié.
II.2.8.3
Couplage de la machine asynchrone
Dans le cas d’un couplage des phases statoriques en étoile, le circuit électrique compte
deux noeuds et trois branches, ce qui découpe le plan en deux départements comme
58
Chapitre II : Modélisation de la machine asynchrone
le montre la figure II.11. Deux courants de boucles, appelés Js1 et Js2 , sont associés à
chaque département. Les six courants de lignes s’expriment en fonction des deux courants
de boucle à travers la matrice de connexion étoile [Cet ] comme ceci :




1
0


J s1



[Il ] = [Is ] = [Cet ] [Jset ] avec [Cet ] =  −1 −1  et [Jset ] = 


J s2
0
1
(II.38)
Pour une connection des phases statoriques en triangle, le circuit électrique comporte
quatre noeuds et six branches, ce qui découpe le plan en trois départements comme le
montre la figure II.12. Trois courants de boucles, appelés Js1 , Js2 et Js3 , sont associés à
chaque département. Les six courants de branches (trois courants de lignes et trois courants de phases) peuvent s’exprimer en fonction des trois courants de boucles statoriques
grâce à la matrice de connection triangle [Ctri ] comme ceci :


1
0 0





 −1 −1 0 




j


 s1
 0
1 0 
[Il ]
 et [Js ] = 

 = [Ctri ] [Jstri ] avec [Ctri ] = 
 js 2
tri



 1
0 1 
[Is ]


js 3


 0
0 1 


0 −1 1





(II.39)
Le système d’équation II.18 doit être modifié pour prendre en compte le couplage étoile
ou le couplage triangle de la machine asynchrone sur l’alimentation. De façon générale, en
posant [Cg ] la matrice de connection globale pour un couplage étoile ou triangle, [R g ] la
matrice des résistances globales du système, [Lg ] la matrice des inductances globales du
système (ces deux matrices dépendent aussi du couplage choisi), [J ] le vecteur courant
composé des courants de boucles statoriques et rotoriques et [E] le vecteur regroupant les
sources de tensions indépendantes, nous aboutissons à la formulation suivante :
d
T
T
[Cg ] [Lg ] [Cg ] [J ]
[C ] [E] = [C ] [R ] [C ] [J ] +
{z
}
| g{z } | g {z g g}
dt |
[E]
[R]
[L]
(II.40)
L’équation précédente peut être développée pour faire apparaître le terme relatif à la
vitesse de rotation de la machine Ω tel que :
d [J ]
d [L]
[J ] + [L]
[E] = [R] + Ω
dθ
dt
(II.41)
II.2 : Modèle de la machine en absence de défaillance
59
υ la
PSfrag replacements
esa
L la
i la
R la
Rs a
υsa
i sa
Js 1
Ls a
υsb
υ lb
esb
L lb
i sb
i lb
R lb
Ls b
υsc
Ls c
isc
Rs b
Rs c
Js 3
Js 2
υ lc
esc
L lc
i lc
R lc
Fig. II.11 : Couplage en étoile des phases statoriques
υ la
PSfrag replacements
esa
L la
i la
R la
Rs a
Rs b
υsa
Js 1
i sa
Ls a
L lb
i lb
Ls c
R lb
i sc
Rs c
υsc
Js 2
υ lc
esc
L lc
i lc
υsb
Ls b
Js 3
υ lb
esb
isb
R lc
Fig. II.12 : Couplage en triangle des phases statoriques
60
Chapitre II : Modélisation de la machine asynchrone
L’expression permettant d’obtenir le couple électromagnétique est par conséquent fonction
du vecteur des courants de boucles [J ] :
Cem =
d [L]
1
[J ]T
[J ]
2
dθ
(II.42)
Par conséquent, le système final lorsque la machine asynchrone est couplée soit en étoile,
soit en triangle à l’alimentation électrique (réseau ou convertisseur) devient :

d [L]
d [J ]


[E] = [R] + Ω
[J ] + [L]



dθ
dt





d [L]
1

 Cem = [J ]T
[J ]
2
dθ

1
 dΩ

= (Cem − fv Ω − Cr )



dt
Jt





 Ω = dθ
dt
(II.43)
Si nous reprenons les circuits électriques rotoriques présentés à la figure II.2 (page 43), nous
pouvons nous apercevoir que les courants de barres, les courants des segments d’anneaux
de court-circuit extérieur et intérieur et les courants de boucles rotoriques sont liés par la
matrice de connexion rotorique [Cr ] dont une description complète peut être trouvée dans
[46]. Quelques exemples de conversion sont présentés ci-après :
irb1
..
.
=
j r2 − jr1
..
.
=
irbk
..
.
= jrk+1 − jrk
..
.
=
irbNr = jr1 − jrNr
II.2.9
iext
a1
..
.
iext
ak
..
.
=
=
=
=
j r1
..
.
iint
a1
..
.
= jrcc =
.
= .. =
−jr1
..
.
j rk
..
.
iint
ak
..
.
= jrcc =
.
= .. =
−jrk
..
.
iext
a Nr = j r Nr
(II.44)
iint
aNr = jrcc = −jrNr
Exploitation du modèle de la machine asynchrone en absence de défaillances
Le modèle complet de la machine asynchrone est maintenant connu, nous pouvons
étudier l’évolution des grandeurs temporelles tels que les courants, le couple ou encore la
vitesse rotorique lorsque la cage rotorique ne présente aucune défaillance. Pour prendre
en compte les harmoniques de temps dans le modèle de la machine asynchrone, les trois
sources de tensions indépendantes qui composent le vecteur [Es ] (équation II.36) ont pour
II.2 : Modèle de la machine en absence de défaillance
61
expression :

∞
∞
X
√ X



esa =
esah = 2
Esah cos(h ωs t − ϕh )




h=1
h=1



∞

X
X
√ ∞
2π
)
Esbh cos(h ωs t − ϕh − h
esbh = 2
esb =
3


h=1
h=1



∞

X
X
√ ∞

4π


e
=
e
=
Esch cos(h ωs t − ϕh − h
2
)

sch
 sc
3
h=1
(II.45)
h=1
Dans la suite de l’étude, nous ne présentons qu’une analyse fréquentielle des grandeurs temporelles de la machine asynchrone. Dans ce contexte, une analyse temporelle
de ces grandeurs n’aurait aucun intérêt sachant que la cage rotorique ne présente pas de
défaillance. De plus, une comparaison de cette analyse fréquentielle avec celle obtenue
lorsque la cage rotorique présente un défaut permettra de visualiser avec précision les
composantes créées par la rupture de barre.
Le type de modélisation choisi permet d’étudier indépendamment l’influence de chaque
harmonique d’espace sur les grandeurs temporelles de la machine asynchrone. De plus,
la prise en compte des harmoniques de temps (tensions d’alimentation) permet, en plus
de l’étude spécifique aux harmoniques d’espace, d’analyser l’influence de ceux-ci sur ces
mêmes grandeurs. La possibilité de prendre en compte un quelconque harmonique d’espace
et/ou un quelconque harmonique de temps permet d’étudier le contenu harmonique des
grandeurs temporelles de la machine pour un point de fonctionnement donné.
Afin de faciliter l’analyse du contenu spectral des grandeurs temporelles, nous utilisons
les expressions des inductions totales statorique et rotorique créées par les bobinages
statoriques et rotoriques de la machine asynchrone [54].
En supposant un entrefer lisse et constant sur toute la périphérie du stator et du
rotor, l’induction d’entrefer créée par les trois bobinages statoriques de la machine peut
être calculée grâce à la relation :
BsT (θs , t) =
3
X
µ0
i=1
e
Fsi (θs , t)
(II.46)
où Fsi (θs , t) représente le développement en séries de Fourier de la force magnétomotrice
de la phase statorique i ayant pour expression :
∞
X
2π
Fsi (θs , t) =
Fs(2 kes +1) isi (t) cos (2 kes + 1) p θs − (i − 1)
3p
k =0
es
(II.47)
62
Chapitre II : Modélisation de la machine asynchrone
Le courant de phase isi (t) se calcul grâce à l’équation :
∞
X
isi (t) =
Iskts cos kts
kts =1
2π
− ϕskts
ωs t − (i − 1)
3
(II.48)
si nous choisissons des courants quelconques.
Les termes kes et kts représentent respectivement le rang des harmoniques d’espace
du bobinage statorique et le rang des harmoniques de temps des courants statoriques
considérés dans le modèle de la machine asynchrone.
L’induction d’entrefer créée par les Nr boucles de la cage rotorique de la machine peut
être mise sous la forme :
BrT (θr , t) =
Nr
X
µ0
k=1
e
(II.49)
Frk (θr , t)
où Frk (θr , t) représente le développement en série de Fourier de la force magnétomotrice
de la boucle rotorique k ayant pour expression :
Frk (θr , t) =
∞
X
ker =1
Frker
2π
jrk (t) cos ker p θr − (k − 1)
Nr p
(II.50)
Le courant de boucle jrk (t) se calcul grâce à la relation :
jrk (t) =
∞
X
ktr =1
Jrktr cos ktr
2π
− ϕrktr
ωr t − (k − 1)
Nr
(II.51)
pour des courants de boucle quelconques.
Les termes ker et ktr représentent respectivement le rang des harmoniques d’espace
des bobinages rotoriques et le rang des harmoniques de temps des courants rotoriques
considérés dans le modèle de la machine asynchrone.
Les figures II.13, II.14, II.15 et II.16 présentent le contenu spectral d’un courant statorique, d’un courant de barre rotorique, du couple électromagnétique ainsi que de la vitesse
rotorique lorsque la machine asynchrone ne présente aucune défaillance (fonctionnement
sous condition nominale). Nous avons considéré ici les 17 premiers harmoniques d’espace
(kes = 8) ainsi que les 17 premiers harmoniques de temps (kts = 17).
Le contenu spectral du courant statorique (figure II.13) ne se limite pas seulement à
la composante fondamentale de fréquence 50 Hz. En effet, les harmoniques d’espace et de
temps contribuent à augmenter la richesse harmonique de ce signal. Les différentes composantes de ce spectre peuvent être déterminées en analysant l’induction rotorique donnée
II.2 : Modèle de la machine en absence de défaillance
63
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
0
isa (f )
−50
−100
−150
−200
0
500
1000
1500
2000
2500
Fréquence (Hz)
Fig. II.13 : Spectre du courant statorique : Rotor sain
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
0
irb1 (f )
−50
−100
−150
−200
0
500
1000
1500
2000
2500
Fréquence (Hz)
Fig. II.14 : Spectre du courant rotorique : Rotor sain
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
0
Cem (f )
−50
−100
−150
−200
0
500
1000
1500
2000
2500
Fréquence (Hz)
Fig. II.15 : Spectre du couple : Rotor sain
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
0
Ω (f )
−50
−100
−150
−200
−250
0
500
1000
1500
2000
Fréquence (Hz)
Fig. II.16 : Spectre de la vitesse : Rotor sain
2500
64
Chapitre II : Modélisation de la machine asynchrone
à l’équations II.46 exprimée dans le repère statorique. Les composantes du spectre du
courant d’une barre rotorique peuvent être déterminées en analysant l’induction d’entrefer statorique donnée à l’équation II.46 exprimée dans le repère rotorique. Nous pouvons
noter que plusieurs composantes, situées aux fréquences (6 k ± 1) g fs , apparaissent (figure
II.14). Ces harmoniques sont dus à l’interaction entre les harmoniques d’espace et les har-
moniques de temps du modèle car elles n’apparaissent pas lorsque nous considérons une
alimentation purement sinusoïdale (kst = 1 et kes = 8) ou lorsque nous ne considérons
que le fondamental de la force magnétomotrice (kst = 17 et kes = 1). Le contenu spectral
du couple électromagnétique peut être analysé en étudiant l’interaction de l’induction
statorique et de l’induction rotorique (inductions exprimées auparavant dans le repère
statorique). Le contenu spectral de la vitesse rotorique est identique à celui du couple
électromagnétique aux amplitudes des composantes près.
Nous proposons de comparer les spectres obtenus avec ceux issus d’une analyse de la
machine asynchrone fonctionnant avec un rotor défaillant. Nous savons que la présence
d’un défaut au sein de la cage rotorique fait apparaître des composantes additionnelles
dans le spectre fréquentiel des grandeurs temporelles analysées précédemment. Par conséquent, une comparaison entre les spectres obtenus avec un rotor sain et un rotor défaillant
nous permettra de mieux discerner les composantes créées par le défaut rotorique.
II.3
Modèle de la machine asynchrone en présence de
défaillances
Le type de défaut que nous étudions est la rupture d’une ou plusieurs barres de la
cage d’écureuil de la machine asynchrone. La simulation de ce type de défaillance peut
être faite en utilisant deux méthodes différentes, le but étant d’annuler le courant qui
traverse la barre incriminée. Le circuit électrique rotorique donné à la figure II.2 doit être
reconsidéré pour permettre la prise en compte du défaut rotorique dans le modèle de la
machine.
Une première méthode de modélisation consiste à reconstituer totalement le circuit
électrique rotorique. Dans ce type d’approche, la barre rotorique défaillante est enlevée
du circuit électrique, ce qui oblige à recalculer les matrices résistance [R r ] et inductance
II.3 : Modèle de la machine asynchrone en présence de défaillances
65
[Lr ] de la machine asynchrone. En effet, la suppression d’une barre de la cage nous donne
une matrice [Rr ] et [Lr ] de rang inférieur à celle développée pour la machine saine. La
modification de l’ordre des matrices rotoriques oblige à recalculer les lois électriques et
magnétiques de la boucle k. Nous présentons sur la figure II.17 la structure finale que prend
le circuit électrique rotorique lorsque nous sommes en présence d’une barre défaillante.
La seconde approche envisageable consiste à augmenter artificiellement la valeur de
la résistance de la barre incriminée d’un facteur suffisant pour que le courant qui la
traverse soit le plus proche possible de zéro en régime permanent. En comparaison avec
la première méthode, la structure du circuit électrique rotorique n’est pas modifiée car
nous considérons, dans ce type de modélisation, qu’une rupture de barre n’altère pas les
inductances propres et mutuelles de la cage rotorique. Par conséquent, le programme de
simulation s’adaptera à cette nouvelle contrainte et nous donnera l’évolution temporelle
des différents signaux pour un fonctionnement de la machine avec ce type de défaut.
Pour simuler une barre défaillante au sein de la cage rotorique, nous avons utilisé
la deuxième méthode dans un souci de simplicité. De plus, la simulation d’une barre
partiellement cassée (barre fissurée de moitié par exemple) ne peut pas être envisagée si
nous utilisons la première méthode de modélisation alors qu’elle est tout à fait faisable
avec la seconde.
Les défauts qui peuvent apparaître au niveau des segments d’anneau de court-circuit
ont souvent les même origines que celles présentées pour la cassure d’une barre de la
cage rotorique. La méthodologie adoptée pour la prise en compte de ce type de défaut
dans le modèle est elle aussi identique à l’approche utilisée pour la simulation d’une
barre rotorique défaillante. La simulation d’une rupture d’un segment d’anneau de courtcircuit s’effectue en augmentant la valeur de sa résistance de telle sorte que le courant le
traversant soit le plus proche possible de zéro en régime permanent. Le circuit électrique
rotorique est donc modifié lors de l’apparition d’un tel défaut et prend la forme donnée
à la figure II.18. Après avoir décrit les dispositions adoptées pour la modélisation d’une
barre rotorique cassée et/ou d’un segment d’anneau de court-circuit cassé, nous allons
maintenant étudier l’évolution temporelle des grandeurs de la machine lorsque la cage
d’écureuil présente une puis deux barres rotoriques cassées.
66
Chapitre II : Modélisation de la machine asynchrone
jr 1
ext
Ra
jrk-1
ext
La
k+2
iaext
Lrb
k+2
Rrb
Lrb
Lrb
k+2
Nr
iaext
Nr
Nr-1
ext
La
1
ext
Ra
k+2
Nr
1
irb
Lrb
ext
Ra
irb
k+2
jrk+2
k+1
Rrb
Rrb
k+2
Nr-1
Lrb
jrNr
Nr
ext
La
Nr-1
k+1
irb
k+1
Rrb
iaext
Rrb
k+1
irb
Nr
iaext
1
k+1
int
i a k+2
jrk+1
ext
La
irb
int
i a Nr
Ra Nr
int
La Nr
int
Ra k+2
int
Rrb
k
int
La k+2
k+1
Lrb
Ra 1
Ra k+1
int
Ra k
iak
ext
jr k
k
Rrb
k-1
jrcc
La 1
jr 2
int
Ra 2
int
int
La k
int
Ra k-1
int
La k-1
int
int
La 2
ia2
ext
Rrb
La
2
i a k-1
iaext
irb
k
Lrb
irb
k-1
k-1
Rrb
ext
La
k
iaext
2
2
Lrb
2
ext
k-2
Ra
jrk-1
irb
Lrb
ext
Ra
k-2
k-2
k-1
iaext
k-1
ext
La
irb
k-1
1
Fig. II.17 : Circuits électriques adoptés pour la modélisation du rotor en présence d’une
barre cassée
1
i aint1
int
int
La k+1
k
ext
Ra
int
int
i aintk+1
k
int
Ra
1
Nr
2
2
II.3 : Modèle de la machine asynchrone en présence de défaillances
jr 1
67
ext
Ra
jrk-1
ext
La
k+2
iaext
Lrb
k+2
Lrb
k+2
Nr
iaext
Nr
Nr-1
ext
La
ext
Ra
k+2
irb
Lrb
ext
Ra
irb
k+2
jrk+2
k+1
Rrb
Rrb
k+2
Nr-1
Lrb
jrNr
Nr
ext
La
Nr-1
k+1
irb
k+1
Rrb
iaext
Nr
Rrb
k+1
irb
Nr
iaext
1
k+1
int
i a k+2
R
int
La k+2
jrk+1
ext
La
k+1
Lrb
Rrb
k
irb
int
a k+2
R
int
i a Nr
int
a Nr
ext
int
Ra
La Nr
int
i aintk+1
k
Ra k+1
Rrb
jrcc
int
Ra k
iak
ext
jr k
k
iaext
Rrb
irb
k
Lrb
L
irb
R
L
int
a k-1
int
a2
i aint2
ext
Rrb
k-1
k-1
La
jr 2
2
irb
Rrb
1
1
int
L
int
a k-1
k-1
ext
La
1
iaext
2
2
Lrb
2
ext
k-2
k
Ra
jrk-1
irb
Lrb
ext
Ra
k-2
k-2
k-1
iaext
k-1
ext
La
1
Ra 2
int
ak
i aintk-1
i aint1
Lrb
int
La k+1
k
int
Ra
1
Nr
k-1
Fig. II.18 : Circuits électriques adoptés pour la modélisation du rotor en présence d’une
portion d’anneau de court-circuit cassée
2
2
68
Chapitre II : Modélisation de la machine asynchrone
II.3.1
Exploitation du modèle en présence de barre(s) rotorique(s)
cassée(s)
Nous allons étudier l’impact d’un défaut de barre sur l’évolution temporelle des différentes grandeurs de la machine asynchrone. Nous décrivons les conditions de fonctionnement adoptées pour ensuite étudier ces grandeurs lorsque la machine asynchrone défaillante fonctionne à son régime nominal.
II.3.1.1
Alimentation de la machine par le réseau triphasé
Une source de tension de valeur efficace 230 Volts est appliquée aux bornes des trois
phases statoriques de la machine asynchrone couplées en étoile. Les trois tensions indépendantes du modèle prennent en compte les 17 premiers harmoniques de temps de la source
d’alimentation et nous gardons dans le modèle les 17 premiers harmoniques d’espace pour
le calcul des inductances de la machine. Le couple soumis à la machine pour cette étude
est de 11,8 N.m.
Nous présentons sur les figures II.19 à II.23 l’évolution temporelle des grandeurs de la
machine asynchrone lorsque nous passons d’un fonctionnement sain à un fonctionnement
défaillant. Pour analyser l’effet de la rupture de barre sur ces grandeurs, nous avons
choisi de rendre la barre rb1 de la cage rotorique défaillante à l’instant t = 3 secondes en
imposant une résistance de barre 80 fois supérieure à celle donnée pour un fonctionnement
sain (cette valeur a été choisie de sorte que le courant qui traverse la barre défaillante
soit le plus proche possible de zéro). Par la suite, nous avons créé un second défaut en
augmentant la résistance de la barre rb2 à l’instant t = 4 secondes.
En analysant la figure II.19 où nous présentons l’évolution de la vitesse rotorique, nous
visualisons l’apparition d’une légère ondulation lorsque la rupture de la première barre
rotorique apparaît. Cette ondulation, qui augmente lorsque le deuxième défaut est créé,
oscille à une fréquence de 2 g fs . Cette variation de vitesse est très faible (inférieure à 1
rd/s) car elle dépend essentiellement de l’inertie J de l’ensemble machine-charge. Plus
l’inertie de l’ensemble sera grande, moins la variation de vitesse sera importante [55] [56].
L’analyse du couple électromagnétique (figure II.20) montre une modification importante de son allure lorsque les défauts rotoriques apparaissent. La présence d’une oscillation lorsque le rotor de la machine est sain est due à la prise en compte des harmoniques
II.3 : Modèle de la machine asynchrone en présence de défaillances
69
de temps et d’espace dans le modèle. Nous apercevons qu’une légère modulation vient
perturber l’évolution du couple lorsque la première barre est cassée. Nous remarquons
aussi que cette modulation prend plus d’importance avec l’apparition du second défaut.
En théorie, cette modulation d’amplitude a une fréquence identique à celle de la vitesse,
c’est à dire 2 g fs , mais, comme nous pouvons le visualiser, il est relativement difficile de
la discerner avec une simple analyse visuelle.
La figure II.21 représente l’évolution du courant absorbé par une phase statorique.
Comme pour les deux grandeurs précédentes, le défaut rotorique induit une très légère
modulation d’amplitude. Il faut attendre le second défaut (deux barres cassées) pour
permettre de la visualiser clairement.
Nous avons représenté l’enveloppe de ce courant sur la figure II.22. Comme nous
pouvons le voir, cette modulation reste somme toute très faible, trop faible pour permettre
d’effectuer un diagnostic précis de l’état de la cage rotorique. De plus, la présence des
harmoniques de temps et d’espace dans le modèle ne facilite pas l’analyse de ce signal qui
devrait faire apparaître une modulation d’amplitude de fréquence 2 g f s .
La figure II.23 représente l’évolution du courant dans la barre rb3 . Nous pouvons noter
que la rupture de la première barre induit une très faible augmentation du courant qui la
traverse. Au moment du premier défaut, le courant qui circulait dans la barre défaillante
(barre rb1 ) se partage dans les barres rotoriques adjacentes. Lorsque la seconde barre est
cassée (barre rb2 ), nous remarquons que le courant de la barre no 3 augmente significativement. En effet, c’est le courant qui circulait dans la barre no 2 qui est partagé, en majorité,
dans les barres no 3 et no 28. Nous reportons sur la figure II.24 la répartition des courants
traversant les barres rotoriques à un instant t pour les trois modes de fonctionnement
étudiés (rotor sain, une barre cassée et deux barres cassées). Nous pouvons remarquer
que lorsque le défaut atteint deux barres cassées (nous rappelons que la cage rotorique de
la machine étudiée comporte 28 barres), le courant maximum traversant les barres adjacentes à celles défaillantes est quasiment deux fois supérieur au courant rotorique obtenu
avec une cage d’écureuil saine. Une augmentation anormale du courant dans les barres
peut provoquer un échauffement local et conduire à une nouvelle rupture.
D’après l’analyse précédente, nous pouvons noter que la détection d’une ou plusieurs
barres rotoriques défaillantes est très difficile si l’on ne se base que sur l’analyse des signaux
70
Chapitre II : Modélisation de la machine asynchrone
299
Ω (t)
298,5
PSfrag replacements
Vitesse (Rd/sec)
Rotor Sain
2 barres cassées
1 barre cassée
298
297.5
297
296,5
296
2,5
3
3,5
4
4,5
5
Temps (Sec)
Fig. II.19 : Evolution de la vitesse de rotation
15
Cem (t)
14.5
Rotor Sain
PSfrag replacements
2 barres cassées
1 barre cassée
Couple (N.m)
14
13.5
13
12.5
12
11.5
2,5
3
3,5
4
4,5
5
Temps (Sec)
Fig. II.20 : Evolution du couple électromagnétique
15
Rotor Sain
isa (t)
2 barres cassées
10
Courant statorique (A)
PSfrag replacements
1 barre cassée
5
0
−5
−10
2,5
3
3,5
4
4,5
5
Temps (Sec)
Fig. II.21 : Evolution du courant statorique
11
PSfrag replacements
Enveloppe du courant (A)
Rotor Sain
1 barre cassée
Env(isa (t))
2 barres cassées
10,5
10
9,5
9
8,5
2,5
3
3;5
4
4,5
5
Temps (Sec)
Fig. II.22 : Evolution de l’enveloppe du courant statorique
II.3 : Modèle de la machine asynchrone en présence de défaillances
71
400
Rotor Sain
PSfrag replacements
Courant rotorique (A)
300
1 barre cassée
ib3 (t)
2 barres cassées
200
100
0
−100
−200
−300
−400
2,5
3
3,5
4
4,5
5
Temps (Sec)
Fig. II.23 : Evolution du courant de la barre rotorique no 3
400
Rotor sain
300
200
100
0
−100
−200
0
5
10
15
20
25
Courant rotorique (A)
400
1 barre cassée
300
200
100
0
−100
−200
0
5
10
15
20
25
400
2 barres cassées
300
PSfrag replacements
200
100
0
−100
−200
0
5
10
15
N° des barres rotoriques
20
25
Fig. II.24 : Répartition des courants dans les barres rotoriques à un instant t
72
Chapitre II : Modélisation de la machine asynchrone
temporels. Les signaux tels que le couple ou encore le courant statorique sont riches en
harmoniques, ce qui ne permet pas de discerner avec facilité la modulation d’amplitude
de fréquence 2 g fs créée par le défaut rotorique. Une analyse des signaux temporels dans
le domaine fréquentiel devient donc obligatoire pour visualiser les composantes créées par
la rupture d’une ou plusieurs barres rotoriques. Cette étude est présentée dans la suite du
document.
II.3.1.2
Alimentation de la machine par un convertisseur statique
Une analyse des grandeurs temporelles de la machine lorsque celle-ci est alimentée par
un convertisseur statique a été effectuée à partir du modèle de simulation proposé.
Dans ce cas d’étude, les trois tensions indépendantes du modèle gênèrent une tension
identique à celle obtenue en sortie d’un variateur de vitesse commandé en Modulation de
la Largeur d’Impulsion (comparaison sinus-triangle). Nous avons gardé dans le modèle
les 17 premiers harmoniques d’espace pour le calcul des inductances de la machine en
imposant un couple de charge de 11,8 N.m. L’analyse des grandeurs temporelles n’est pas
présentée ici étant donné que les perturbations générées par l’alimentation en MLI donnent
des courbes encore plus difficiles à analyser dans le domaine temporel que celles obtenues
avec une alimentation par trois tensions quasi-sinusoïdales. Ces phénomènes confortent le
fait que pour effectuer un diagnostic fiable et précis de l’état de la cage rotorique, il est
préférable d’analyser ces grandeurs dans le domaine fréquentiel pour faire apparaître les
composantes significatives d’un défaut rotorique.
II.3.2
Analyse harmonique du vecteur de sortie
Nous présentons sur les figures II.25, II.26, II.27 et II.28 le spectre fréquentiel des grandeurs temporelles de la machine asynchrone lorsque celle-ci fonctionne avec une barre rotorique cassée. Il est clairement visible que les spectres présentés sont beaucoup plus riches
en harmoniques que ceux issus de l’analyse avec un rotor sain (figures II.13, II.14, II.15 et
II.16). Cette modification apparaît aussi bien dans la partie basse fréquence (plage fréquentielle [0 - 100] Hz) que dans la partie haute fréquence (plage fréquentielle [100 - 2500] Hz).
II.3 : Modèle de la machine asynchrone en présence de défaillances
73
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
0
isa (f )
−50
−100
−150
−200
0
500
1000
1500
2000
2500
Fréquence (Hz)
Fig. II.25 : Spectre du courant statorique : Une barre cassée (kes = 8 et kts = 17)
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
0
irb1 (f )
−50
−100
−150
−200
0
500
1000
1500
2000
2500
Fréquence (Hz)
Fig. II.26 : Spectre du courant rotorique : Une barre cassée (kes = 8 et kts = 17)
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
0
Cem (f )
−50
−100
−150
−200
0
500
1000
1500
2000
2500
Fréquence (Hz)
Fig. II.27 : Spectre du couple : Une barre cassée (kes = 8 et kts = 17)
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
0
Ω (f )
−50
−100
−150
−200
−250
0
500
1000
1500
2000
2500
Fréquence (Hz)
Fig. II.28 : Spectre de la vitesse : Une barre cassée (kes = 8 et kts = 17)
74
Chapitre II : Modélisation de la machine asynchrone
II.3.2.1
Analyse des spectres dans la plage [0 - 100] Hz
Si nous portons notre attention sur le spectre du courant statorique dans la bande
[0 - 100] Hz (figure II.29), nous pouvons remarquer la présence de plusieurs composantes
dont les fréquences, bien connues à ce jour, sont données par la relation :
±
= (1 ± 2 k g)fs
fbc
k
(II.52)
Comme le mentionne Filippetti [56], nous savons que la rupture d’une barre de la cage
rotorique induit dans le spectre du courant statorique une composante de fréquence
(1 − 2 g)fs . En effet, la rupture d’une barre rotorique crée, dans l’entrefer de la machine,
un champ tournant inverse de fréquence g fs . L’interaction de ce champ tournant avec la
vitesse rotorique crée une composante de fréquence (1 − 2 g)fs dans le spectre du courant
statorique1 . La présence de cette modulation dans le courant statorique induit une oscil-
lation sur le couple électromagnétique de la machine de fréquence 2 g fs . Cette oscillation
de couple crée inévitablement une oscillation de la vitesse rotorique à la même fréquence.
Cette oscillation de vitesse induit une nouvelle composante de fréquence (1 + 2 g)f s dans
le spectre du courant statorique. Cette composante crée dans l’entrefer un nouveau champ
tournant inverse de fréquence 3 g fs . En utilisant la même approche, ce champ tournant
induit une nouvelle composante de fréquence (1 − 4 g)fs dans le spectre du courant statorique2 . Le couple électromagnétique ainsi que la vitesse rotorique laissent paraître une
nouvelle oscillation ayant pour fréquence 4 g fs . Cette oscillation crée dans le courant
statorique une nouvelle composante de fréquence (1 + 4 g)fs . Cette nouvelle modulation
crée un nouveau champ tournant inverse dans l’entrefer de la machine de fréquence 6 g f s .
Nous présentons, dans l’annexe A, les calculs permettant de valider l’approche proposée.
Comme nous l’avons précédemment mentionné, la rupture d’une barre de la cage rotorique ne doit induire qu’une seule composante dans le spectre basse fréquence du courant
statorique. Les autres composantes étant dues à l’interaction de la vitesse avec les champs
tournants inverses présents dans l’entrefer de la machine [56]. Nous avons effectué une simulation de la machine asynchrone défaillante (une barre cassée) en imposant une vitesse
rotorique constante. La figure II.31 montre le spectre du courant statorique obtenu dans
ce cas de fonctionnement. Seule la composante de fréquence (1 − 2 g)fs apparaît dans le
1
2
Cette fréquence se calcule grâce à la relation (1 − g)fs − g fs = (1 − 2 g)fs
Cette fréquence se calcule grâce à la relation (1 − g)fs − 3 g fs = (1 − 4 g)fs
II.3 : Modèle de la machine asynchrone en présence de défaillances
75
spectre fréquentiel du courant statorique. A partir de ce résultat et en fonction de l’analyse faite, nous pouvons dire que l’amplitude des composantes de fréquence (1 ± 2 k g)f s
en excluant celle à (1 − 2 g)fs est dépendante de la vitesse de la machine, ce qui revient
à dire qu’elle est dépendante de l’inertie de l’ensemble moteur-charge.
Nous venons de montrer que les composantes de fréquence (1 ± 2 k g)fs présentes dans
le spectre du courant statorique peuvent être utilisées pour la détection d’une ou plusieurs
barres rotoriques cassées. La rupture d’une portion d’anneau de court-circuit peut aussi
être détectée en utilisant ces composantes car, tout comme la rupture d’une barre de la
cage, ce défaut rotorique induit lui aussi un champ tournant inverse de fréquence g f s
dans l’entrefer de la machine asynchrone, produisant ainsi les mêmes composantes dans
le spectre fréquentiel du courant statorique.
Nous avons trouvé intéressant d’analyser le spectre du courant statorique lorsque nous
ne considérons que le fondamental de la force magnétomotrice où que le fondamental de la
tension d’alimentation. Nous présentons sur les figures II.32 et II.33 les spectres obtenus
dans ces deux configurations. Il apparaît clairement que les résultats sont très différents
de ceux obtenus en incluant, dans la même simulation, les harmoniques d’espace et les
harmoniques de temps les plus importants. Dans la configuration adoptée, nous nous
rapprochons avec beaucoup plus de précision des essais expérimentaux. Cette analyse
montre que les modèles de machine limités au fondamental de la force magnétomotrice
ne sont pas assez précis pour prédire le contenu fréquentiel du courant absorbé par la
machine asynchrone en présence d’un défaut rotorique.
La figure II.34 représente le spectre du courant statorique pour une simulation incluant
les 99 premiers harmoniques d’espace. En comparaison avec une simulation prenant en
compte les 17 premiers harmoniques d’espace (figure II.29), nous pouvons remarquer qu’il
n’y a pas de différence significative au niveau des amplitudes des composantes de fréquence (1 ± 2 k g)fs . Cette comparaison permet de nous limiter à la prise en compte des
harmoniques d’espace les plus importants en amplitude au lieu de prendre en considéra-
tion la forme complète du bobinage statorique pour le calcul des inductances propres et
mutuelles de la machine.
−100
(1 + 8g)fs
−80
isa (f )
(1 + 6g)fs
−60
(1 − 4g)fs
(1 − 6g)fs
−40
(1 − 8g)fs
Densité spectrale de puissance (dB)
−20
(1 + 4g)fs
0
(1 + 2g)fs
Chapitre II : Modélisation de la machine asynchrone
(1 − 2g)fs
76
−120
−140
−160
−180
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. II.29 : Spectre du courant statorique [0 - 100] Hz : Une barre cassée (kes = 8 et
PSfrag replacements
kts = 17)
Cem (f )
−20
16gfs
−120
14gfs
−100
12gfs
8gfs
10gfs
−80
6gfs
−60
4gfs
−40
2gfs
Densité spectrale de puissance (dB)
0
−140
−160
−180
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. II.30 : Spectre du couple [0 - 100] Hz : Une barre cassée (kes = 8 et kts = 17)
(1 − 2g)fs
0
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
−20
−40
isa (f )
−60
−80
−100
−120
−140
−160
−180
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. II.31 : Spectre du courant statorique à vitesse constante [0 - 100] Hz : Une barre
cassée (kes = 8 et kts = 1)
−40
−60
−80
(1 + 2g)fs
(1 − 4g)fs
Densité spectrale de puissance (dB)
−20
−100
77
isa (f )
(1 + 4g)fs
0
(1 − 2g)fs
II.3 : Modèle de la machine asynchrone en présence de défaillances
PSfrag replacements
−120
−140
−160
−180
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. II.32 : Spectre du courant statorique [0 - 100] Hz : Une barre cassée (kes = 0 et
kts = 8)
−60
−80
(1 + 2g)fs
(1 − 4g)fs
Densité spectrale de puissance (dB)
−40
−100
isa (f )
(1 + 4g)fs
0
−20
(1 − 2g)fs
PSfrag replacements
−120
−140
−160
−180
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. II.33 : Spectre du courant statorique [0 - 100] Hz : Une barre cassée (kes = 8 et
kts = 1)
isa (f )
kes =8
0
DSP (dB)
−50
−100
−150
−200
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
isa (f )
kes =49
0
PSfrag replacements
DSP (dB)
−50
−100
−150
−200
0
100
200
300
400
500
600
Fréquence (Hz)
700
800
900
1000
Fig. II.34 : Comparaison du spectre du courant statorique [0 - 1000] Hz : Une barre
cassée (kts = 17)
78
Chapitre II : Modélisation de la machine asynchrone
II.3.2.2
Analyse des spectres dans la plage [100 - 1000] Hz
La rupture d’une barre de la cage rotorique fait apparaître des composantes dans la
partie haute fréquence du spectre du courant statorique. En effet, Deleroi dans [57] a
démontré par une analyse relativement complexe, que l’apparition d’un tel défaut induit
des composantes additionnelles dans le spectre fréquentiel du courant aux fréquences
données par la relation :
±
fhe
= (x (1 − g) ± g) fs avec x =
x
k
= 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . .
p
(II.53)
Ces composantes, tout comme la composante à (1 − 2 g)fs , n’apparaissent que lorsque la
cage rotorique de la machine asynchrone présente un défaut. Dans la suite de l’étude, les
composantes correspondant à ces fréquences seront appelées "composantes principales de
l’harmonique x" (x : 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...) et seront notées Cphx .
Nous présentons à la figure II.35 le spectre du courant statorique dans la bande fréquentielle [100 - 1000] Hz. Cette figure permet de visualiser la présence des composantes
principales des harmoniques d’espace Cphx . Nous remarquons la présence de composantes
additionnelles autour de ces composantes harmoniques. Si nous reprenons la simulation
effectuée à vitesse constante, nous remarquons que seule les composantes principales C phx
sont présentes dans le spectre haute fréquence du courant (figure II.36). Cette analyse
permet de déduire que ces composantes additionnelles sont créées par la variation de la
vitesse rotorique. Si nous effectuons un zoom sur la partie fréquentielle où se situe les composantes principales de l’harmonique 5 (figure II.37), nous nous apercevons que toutes les
fréquences additionnelles sont espacées les unes des autres de 2 g fs . Ceci se vérifie aussi
sur les harmoniques d’espace 7, 11, 13, ... etc. Par conséquent, nous devons compléter
l’équation II.53 par un terme permettant de prendre en compte ces harmoniques car ils
sont eux aussi significatifs de la présence d’un défaut au sein de la cage rotorique de la
machine. Cette nouvelle équation sera :
±
fhe
= (x (1 − g) ± (1 + 2 η) g) fs
x
avec x =
(II.54)
k
= 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . . et η = 0, 1, 2, 3, . . .
p
Le suivi de l’amplitude de ces composantes peut apporter un complément d’information
sur l’état de la cage rotorique. Kliman [58] a montré que la rupture d’une barre de la
II.3 : Modèle de la machine asynchrone en présence de défaillances
79
PSfrag replacements
0
Densité spectrale de puissance (dB)
−20
isa (f )
Cph7
Cph5
Cph11
−40
Cph17
Cph13
Cph19
−60
−80
−100
−120
−140
−160
−180
−200
−220
100
200
300
400
500
600
Fréquence (Hz)
700
800
900
1000
Fig. II.35 : Spectre du courant statorique [100 - 1000] Hz : Une barre cassée (kes = 8 et
kts = 17)
PSfrag replacements
0
Densité spectrale de puissance (dB)
−20
isa (f )
Cph7
Cph5
Cph11
−40
Cph17
Cph13
Cph19
−60
−80
−100
−120
−140
−160
−180
−200
−220
100
200
300
400
500
600
Fréquence (Hz)
700
800
900
1000
Fig. II.36 : Spectre du courant statorique à vitesse constante [100 - 1000] Hz : Une barre
cassée (kes = 8 et kts = 1)
0
isa (f )
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
−20
2gfs
−40
Cph5
−60
−80
−100
−120
−140
−160
−180
−200
−220
200
210
220
230
240
Fréquence (Hz)
250
260
270
280
Fig. II.37 : Spectre du courant statorique [200 - 280] Hz : Une barre cassée (kes = 8 et
kts = 17)
80
Chapitre II : Modélisation de la machine asynchrone
cage rotorique produit une perturbation importante de la distribution du flux magnétique
dans l’entrefer alors que les défauts tels que l’excentricité du rotor par rapport au stator,
l’ovalisation du rotor ou encore une simple variation du couple de charge produisent une
perturbation plus diffuse générant des champs tournants harmoniques plus faibles. Par
exemple, une variation du couple de charge de fréquence 2 g fs , induit, dans le spectre du
courant statorique, des composantes situées aux mêmes fréquences que celles créées par
une rupture de barre (équation II.52) [59] [60]. Cependant, ce type de variation a une très
faible influence sur les composantes fréquentielles présentes dans la partie haute fréquence
du spectre. En d’autres termes, les composantes de fréquence (x (1 − g) ± (1 + 2 η) g) f s
ne sont pas perturbées par ce type de défaut mécanique.
Par conséquent, une analyse de l’amplitude des composantes harmoniques permettrait
de discerner un défaut rotorique de type barre cassée d’un défaut mécanique de type variation du couple de charge. A titre d’exemple, nous donnons aux figures II.38 et II.39 le
spectre du courant statorique lorsque le couple de charge présente une oscillation de fréquence 2 g fs . Nous pouvons remarquer la présence de composantes ayant pour fréquence
(1 ± 2 k g)fs (figure II.38), alors que nous n’avons aucune composante correspondant
aux fréquences (x (1 − g) ± (1 + 2 η) g) fs (figure II.39). Dans ce cas d’étude, l’analyse de
l’amplitude des composantes harmoniques est très importante pour permettre de dissocier
un défaut de barre d’un défaut mécanique de type variation du couple de charge.
Une nouvelle simulation de la machine avec deux barres rotoriques cassées a été effectuée. Nous avons noté une augmentation significative de l’amplitude des composantes
de fréquence (1 ± 2 k g)fs et (x (1 − g) ± (1 + 2 η) g) fs dans le spectre du courant sta-
torique. Par conséquent, si nous notons une augmentation significative de l’amplitude de
ces composantes, nous pouvons considérer qu’un défaut est apparu au sein de la cage
d’écureuil de la machine asynchrone. La méthode de diagnostic la plus simple, pour détecter un défaut rotorique, consiste à suivre l’amplitude de ces composantes spécifiques
à des intervalles de temps régulier. Comme l’apparition d’une barre cassée ne provoque
pas un arrêt immédiat de la machine, il n’est donc pas nécessaire d’avoir un suivi de ces
amplitudes à la seconde. Une analyse effectuée toute les 5 minutes suffirait amplement.
II.3 : Modèle de la machine asynchrone en présence de défaillances
81
0
isa (f )
−20
(1 + 2kg)fs
(1 − 2kg)fs
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
−40
−60
−80
−100
−120
−140
−160
−180
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. II.38 : Spectre du courant statorique [0 - 100] Hz : Variation du couple de charge
à 2 g fs (kes = 8 et kts = 17)
−60
−80
−100
−120
950 Hz
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
−40
850 Hz
550 Hz
350 Hz
−20
650 Hz
isa (f )
250 Hz
0
−140
−160
−180
−200
−220
100
200
300
400
500
600
Fréquence (Hz)
700
800
900
1000
Fig. II.39 : Spectre du courant statorique [100 - 1000] Hz : Variation du couple de charge
à 2 g fs (kes = 8 et kts = 17)
82
Chapitre II : Modélisation de la machine asynchrone
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté un modèle permettant la simulation d’une machine asynchrone à cage d’écureuil. Les conséquences d’une rupture de barre (ou d’un
segment d’anneaux) de la cage d’écureuil s’obtiennent très simplement, il suffit d’augmenter la résistance de la barre incriminée (ou la résistance de la portion d’anneaux
considérée). Ce modèle de machine a permis de comprendre les phénomènes physiques
mise en jeu lors de l’apparition d’un tel défaut.
Nous avons ensuite étudié les grandeurs temporelles de la machine asynchrone dans le
domaine fréquentiel en utilisant les méthodes d’analyses décrites dans le chapitre I. Cette
approche nous a permis d’identifier les signatures fréquentielles causées par la rupture
d’une ou plusieurs barres de la cage rotorique. Il s’est avéré que la surveillance de l’amplitude des composantes de fréquence (1 ± 2 k g)fs et (x (1 − g) ± (1 + 2 η) g) fs présentes
dans le spectre fréquentiel du courant statorique permet de détecter la présence d’un défaut au niveau de la cage rotorique de la machine. A partir de ces informations, il est alors
possible de développer des méthodes de surveillance et de diagnostic appropriées, sujet
des deux chapitres suivants.
Chapitre III
Diagnostic de défaut par le calcul
d’indices de défaillances
Introduction
L’étude menée dans le chapitre précèdent a permis d’analyser et de comprendre les
phénomènes qui apparaissent au niveau des grandeurs temporelles de la machine asynchrone telles que le courant statorique ou encore le couple électromagnétique lorsque la
machine fonctionne avec un rotor sain ou un rotor défaillant (rupture d’une barre de la
cage d’écureuil). La validation expérimentale est, dans notre domaine, indispensable car
il peut exister une importante différence entre les résultats issus de la simulation et ceux
issus de l’expérimentation. L’origine de cette différence est due en partie aux hypothèses
faites lors de la modélisation de la machine asynchrone.
Ce chapitre est destiné au développement et à l’expérimentation d’une méthode de
diagnostic permettant la détection d’un défaut au niveau de la cage rotorique. Deux
niveaux de défaillance sont étudiés, la rupture partielle et la rupture totale d’une barre de
la cage rotorique de la machine asynchrone. Nous présentons dans un premier temps les
différentes étapes théoriques qui nous ont permis d’aboutir à la méthodologie finale puis,
dans un second temps, nous appliquons la méthode proposée sur des essais expérimentaux
pour permettre de valider sa robustesse et son efficacité lors de l’apparition d’une telle
défaillance.
84
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
III.1
Étude théorique
Nous avons pu, grâce au chapitre précédent, déterminer quelles étaient les composantes
spectrales les plus significatives pour la détection d’une ou plusieurs barres rotoriques
cassées. Les méthodes qui utilisent l’estimation de la densité spectrale de puissance sont
à ce jour les méthodes les plus connues et les plus utilisées pour diagnostiquer la présence
ou non d’un défaut au niveau de la cage d’écureuil de la machine. Plus précisément, c’est
la représentation dans le domaine fréquentiel du courant absorbé qui est la plus populaire
car elle ne nécessite, pour son analyse, qu’une instrumentation simple et peu onéreuse.
De plus, le transfert de ce type de signal se fait le plus souvent sans modifier l’installation
dans laquelle la machine asynchrone opère.
III.1.1
Analyse du courant statorique
Nous présentons sur la figure III.1 la densité spectrale de puissance du courant statorique d’une phase de la machine pour une cage rotorique saine et sur la figure III.2 la
densité spectrale de puissance de cette même grandeur pour une cage rotorique défaillante 1
(une barre cassée). Nous remarquons que l’apparition du défaut rotorique provoque une
augmentation de l’amplitude de certaines composantes. De plus, nous pouvons voir sur
ces deux figures que nous avons des composantes d’amplitude différente de part et d’autre
de la composante fondamentale ce qui signifie que le courant statorique est modulé en
amplitude mais aussi en fréquence. L’équation III.1 rappelle l’expression des fréquences
où se situent ces composantes spécifiques. Une surveillance de l’évolution de ces amplitudes donnerait alors une information pertinente sur l’état de la cage rotorique comme
nous l’avons montré dans le chapitre précèdent.
±
fbc
= (1 ± 2 k g) fs
k
(III.1)
Nous pouvons remarquer que le spectre du courant absorbé par la machine asynchrone en
absence et en présence de défaillance ressemble très fortement à un signal temporel modulé
en amplitude [61] [62]. Nous représentons sur la figure III.3 le spectre d’un signal théorique
de pulsation fondamentale ωs modulé en amplitude par un autre signal sinusoïdal de
1
les DSP sont calculées en utilisant une fenêtre de Hanning
III.1 : Étude théorique
85
0
isa (f )
Densité spectrale de puissance (dB)
−20
−40
−60
−80
−100
PSfrag replacements
−120
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. III.1 : Spectre fréquentiel du courant statorique expérimental pour un rotor sain
0
isa (f )
Densité spectrale de puissance (dB)
−20
−40
−60
−80
−100
PSfrag replacements
−120
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. III.2 : Spectre fréquentiel du courant statorique expérimental pour un rotor défaillant (1 barre cassée)
86
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
pulsation ωm dont l’expression est donnée à l’équation III.2. Dans cette expression, le
terme mc est appelé indice de modulation.
isa (t) =
√
2 Is cos(ωs t) (1 + mc cos(ωm t))
(III.2)
isa (t) = isa0 (t) (1 + mc cos(ωm t))
L’observation du courant statorique nous a conduit à généraliser cette expression en introduisant de nouvelles composantes dites "modulantes". Cette nouvelle expression devient :
!
X
X
mck cos(k ωm t)
isa (t) = isa0 (t) 1 +
k=1
isa (t) = isa0 (t) +
X
X
k=1
√
2 I s m ck
[cos((ωs − k ωm )t) + cos((ωs + k ωm ) t)] (III.3)
2
où le terme X représente le nombre de composantes modulantes présentes autour de la
fréquence fondamentale. Par exemple, si nous décidons de choisir X = 3 en imposant des
indices de modulation mck différents les uns des autres, nous obtenons le spectre donné à
la figure III.4. Nous pouvons voir l’apparition de trois composantes fréquentielles de part
et d’autre de la fréquence fondamentale fs . Si nous prenons une valeur particulière pour
l’indice k, nous remarquons que la composante de droite à une amplitude identique à celle
de gauche (modulation d’amplitude symétrique autour de la fréquence porteuse).
La forme du spectre fréquentiel obtenue grâce à la relation III.3 (figure III.4) ne correspond pas exactement aux spectres du courant expérimental donnés aux figures III.1
ou III.2. En effet, si nous analysons ces deux spectres fréquentiels, nous remarquons que
les composantes spectrales se situant à gauche de la fréquence fondamentale ont une
amplitude plus importante que celles se situant à droite. Par conséquent, nous devons
décomposer la modulation d’amplitude de notre signal théorique en deux parties. Cette
décomposition introduit implicitement la modulation de fréquence présente dans le courant expérimental. La répartition des amplitudes des composantes de gauche et de droite
dans l’expression mathématique de isa (t) donne :
isa (t) = isa0 (t)+
X
X
k=1
√
X
X
2 I s m ck
cos((ωs −k ωm ) t)+
2
k=1
√
0
2 I s m ck
cos((ωs +k ωm ) t) (III.4)
2
Le spectre fréquentiel du signal de l’équation III.4 est donné à la figure III.5. L’avantage
de cette expression réside dans le fait que nous pouvons obtenir des composantes ayant
III.1 : Étude théorique
87
une amplitude plus importante à gauche qu’à droite de la fréquence fondamentale si nous
0
choisissons une valeur des indices mck supérieure à celle des indices mck (pour un terme
k identique). De plus, comme la modulation est non symétrique, nous ne pouvons plus
0
appeler les termes mck et mck indices de modulation. A ce stade de l’étude, nous les
appellerons "indices d’amplitude".
En introduisant le déphasage angulaire entre la tension et le courant circulant dans
une phase statorique d’une machine asynchrone, l’expression finale devient :
isa (t) = isa0 (t) +
X
X
k=1
√
0
X √
X
2 I s m ck
2 I s m ck
cos((ωs − k ωm ) t − ϕ) +
cos((ωs + k ωm ) t − ϕ)
2
2
k=1
(III.5)
avec pour équation de départ :
√
isa0 (t) =
2 Is cos(ωs t − ϕ)
Pour retrouver une correspondance avec la théorie de la modulation d’amplitude, nous
devons reformuler l’expression du courant de sorte à faire apparaître une amplitude identique pour les composantes de droite et de gauche du spectre. L’expression du courant
statorique de la machine asynchrone peut ainsi se mettre sous la forme :
isa (t) = isa0 (t) +
X
X
k=1
+
X
X
k=1
√
2 Is
0
(mck + mck ) cos(k ωm t) (cos ϕ cos(ωs t) + sin ϕ sin(ωs t))
2
√
2 Is
0
(mck − mck ) sin(k ωm t) (cos ϕ sin(ωs t) − sin ϕ cos(ωs t))
2
(III.6)
Cette relation mathématique permet de définir deux nouveaux indices dont les expressions
sont :
0
mcmk
0
(mck + mck )
(mck − mck )
=
et mcok =
2
2
(III.7)
L’indice mcmk sera appelé indice de modulation du courant statorique et peut donc
faire référence à la théorie de la modulation d’amplitude [62]. L’indice mcok sera, quant à
lui, appelé indice d’oscillation du courant statorique. La figure III.6 représente le spectre
théorique permettant une meilleure compréhension de ces deux nouveaux indices (k = 1).
Si plusieurs signaux sinusoïdaux modulent la même porteuse, ce qui est le cas dans
l’analyse du spectre du courant statorique, la puissance de celle-ci demeurera inchangée alors que les signaux modulants augmenteront la puissance contenue dans les bandes
88
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
0.5
isa (f )
Amplitude (A)
0.4
0.3
0.2
0.1
PSfrag replacements
0
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. III.3 : Spectre fréquentiel du signal théorique donné à l’équation III.2
0.5
isa (f )
Amplitude (A)
0.4
0.3
0.2
0.1
PSfrag replacements
0
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. III.4 : Spectre fréquentiel du signal théorique donné à l’équation III.3
0.5
isa (f )
PSfrag replacements
Amplitude (A)
0.4
0.3
0
m ck
m ck
0.2
0.1
0
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. III.5 : Spectre fréquentiel du signal théorique donné à l’équation III.4
0.5
isa (f )
0.4
0
PSfrag replacements
Amplitude (A)
0
0.3
mcm1 =
(mc1 +mc1 )
2
mco1 =
(mc1 −mc1 )
2
0.2
0.1
0
30
35
40
45
50
Fréquence (Hz)
55
60
65
70
Fig. III.6 : Spectre fréquentiel du signal théorique donné à l’équation III.6
III.1 : Étude théorique
89
latérales. L’indice d’amplitude étant proportionnel à l’amplitude du signal modulant, différents indices d’amplitude mc1 , mc2 , mc3 , ... correspondront aux différents signaux modulants. Par conséquent, nous pouvons introduire un indice d’amplitude global m ct qui
sera tel que la puissance totale contenue dans les composantes latérales sera égale à la
somme des puissances individuelles des bandes latérales comme le montre la relation :
m2 Pc
m2 Pc
m2 Pc
m2ct Pc
= c1
+ c2
+ c3
+ ...
2
2
2
2
(III.8)
Dans ces expressions, la puissance spectrale Pc représente la puissance de la composante
X
de fréquence fs . L’indice d’amplitude global vaut alors m2ct =
m2ck .
k
En adoptant la même démarche, nous pouvons donner l’expression de l’indice de modu-
lation global ainsi que l’expression de l’indice d’oscillation global de l’équation III.6 :
m2cgm =
X
m2cmk
(III.9)
m2cok
(III.10)
k
m2cgo =
X
k
A partir des différents indices, nous déterminons un indice d’amplitude global permettant
la prise en compte de l’amplitude de toutes les composantes se situant à gauche et à droite
de la composante fondamentale du courant statorique. Cet indice global se calcule à partir
de la relation mathématique :
m2ct
=
Kl
X
k=1
m2ck
+
Kr
X
0
mc2k
(III.11)
k=1
Dans cette équation, les termes Kl et Kr représentent respectivement le nombre de composantes modulantes se situant à gauche et à droite de la composante fondamentale de
fréquence fs .
Le calcul de ces différents indices ne peut pas se faire sans évaluer l’amplitude de la
composante spectrale concernée. Ayant accès à l’amplitude de la composante fondamentale, la détermination de l’amplitude des composantes de gauche et de droite permettra
d’évaluer chaque indice d’amplitude et donc de calculer les indices globaux correspondants.
Sachant que l’amplitude de chaque composante latérale Asc peut s’exprimer en fonction
de son indice d’amplitude mc et de l’amplitude de la composante fondamentale Acf grâce
90
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
à la relation Asc =
mc Acf
2
, nous pouvons donc déterminer la valeur de chaque indice d’am-
plitude en utilisant l’expression :
mc Acf 1
mc
2Asc
A sc
=
=
ce qui nous donne mc =
Acf
2 Acf
2
Acf
(III.12)
Dans le cas étudié, l’amplitude Asc peut être celle d’une composante pouvant se situer à
gauche ou à droite de l’amplitude fondamentale. Une fois que chaque indice d’amplitude
est connu, nous pouvons calculer la valeur des différents indices globaux précédemment
énoncés.
En analysant la démarche précédente, nous pouvons remarquer que si l’amplitude des
composantes dites "modulantes" augmente, alors les indices d’amplitude correspondant
feront de même. Par conséquent, en analysant la valeur des différents indices globaux
(qui dépendent de chaque indice d’amplitude), nous pourrons savoir si l’amplitude de ces
composantes évolue au cours du temps. Le diagnostic de défaut de la machine asynchrone
peut donc être basé sur le suivi de ces indices globaux. En effet, le calcul du spectre
fréquentiel du courant statorique de la machine donne accès aux amplitudes des composantes présentes autour de la fréquence fondamentale. Une évaluation de ces amplitudes
permet donc de calculer les indices d’amplitude associés (équation III.12). Si nous prenons
le cas du défaut étudié, la rupture partielle ou totale d’une barre de la cage rotorique provoque l’apparition et l’augmentation des composantes dont les fréquences sont rappelées
à l’équation III.1. Cette augmentation est visible pour une barre rotorique cassée en comparaison avec une machine asynchrone fonctionnant avec un rotor sain (figures III.1 et
III.2). Plus le défaut rotorique est important (cassure de plusieurs barres adjacentes par
exemple), plus les indices d’amplitude des composantes latérales seront élevés. Par conséquent, l’évaluation de ces différents indices globaux peut être vue comme une méthode
sure et efficace pour la détection et le diagnostic d’une barre rotorique partiellement ou
totalement cassée.
Afin d’obtenir un système autonome, il nous faut calculer les différents indices globaux
de manière automatique. La difficulté dans la méthodologie présentée est l’évaluation avec
une grande précision de l’amplitude des composantes spectrales créées par le défaut rotorique afin d’obtenir les indices d’amplitude les plus précis possibles. Pour évaluer l’amplitude d’une composante, nous devons tout d’abord connaître la fréquence qui lui est
associée. Dans le cas d’un défaut de barre, nous savons où se situent ces composantes en
III.1 : Étude théorique
91
calculant, grâce à l’équation III.1, la valeur de leurs fréquences. La principale difficulté
réside dans le fait que ces fréquences varient avec le glissement g de la machine. Pour un
point de fonctionnement nominal, ce glissement vaut quelques pour-cent, ce qui permet de
discerner ces composantes de la composante fondamentale fs . Par contre, lorsque le glissement est très proche de zéro (fonctionnement à faible charge ou à vide), ces composantes
sont relativement proches de la composante fondamentale fs , ce qui rend leur détection
beaucoup plus difficile. Pour contourner ce problème, nous allons montrer ci-après que
l’utilisation de la puissance instantanée d’une phase permet de détecter les composantes
créées par le défaut rotorique avec plus de facilité.
III.1.2
Analyse de la puissance instantanée
En considérant une alimentation purement sinusoïdale de la machine, la tension et le
courant d’une phase statorique peuvent se mettre sous la forme suivante :
√
2 Vs cos(ωs t)
√
2 Is cos(ωs t − ϕ)
isa0 (t) =
vs (t) =
(III.13)
(III.14)
ce qui nous donne, en terme de puissance instantanée :
psa0 (t) = Vs Is [cos(2 ωs t − ϕ) + cos ϕ]
(III.15)
La représentation de ce signal dans le domaine fréquentiel fait apparaître une composante périodique de fréquence 2 fs plus une composante continue. Nous avons montré
que l’apparition d’un défaut rotorique crée une modulation d’amplitude sur le courant
absorbé par la machine. Par conséquent, en multipliant l’équation III.13 par l’équation
III.5, l’expression de la puissance instantanée d’une phase statorique, en présence d’un
défaut rotorique, donne :
psa (t) = psa0 (t) +
X V s Is m p
k
+
X Vs Is m0p
X V s Is
k
+
2
X V s Is
k
cos((2 ωs − k ωm ) t − ϕ)
k
cos((2 ωs + k ωm ) t − ϕ)
2
k
+
k
2
2
0
[mpk + mpk ] cos ϕ cos(k ωm t)
0
[mpk − mpk ] sin ϕ sin(k ωm t)
(III.16)
92
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
Cette expression fait apparaître en plus de la composante de fréquence 2fs et de la composante continue, des composantes de fréquence 2fs ± kfm autour de la fréquence fon-
damentale ainsi que des composantes de fréquence kfm dans la partie basse fréquence
du spectre. Pour trouver une similitude avec la théorie de la modulation d’amplitude,
l’expression de la puissance instantanée peut aussi se mettre sous la forme :
psa (t) = psa0 (t) +
X V s Is
k
+
X V s Is
k
+
2
X V s Is
k
+
2
2
X V s Is
k
2
0
(mpk + mpk ) cos(k ωm t) (cos ϕ cos(2 ωs t) + sin ϕ sin(2 ωs t))
0
(mpk − mpk ) sin(k ωm t) (cos ϕ sin(2 ωs t) − sin ϕ cos(2 ωs t))
0
(mpk + mpk ) cos ϕ cos(k ωm t)
0
(III.17)
(mpk − mpk ) sin ϕ sin(k ωm t)
L’analyse de cette expression permet de calculer un indice de modulation noté m pmk et
un indice d’oscillation noté mpok spécifique au signal de la puissance instantanée d’une
phase statorique de la machine :
0
mpmk
0
(mpk + mpk )
(mpk − mpk )
=
et mpok =
2
2
(III.18)
Nous avons montré, à travers l’équation III.16, que l’amplitude des composantes spécifiques, présentes dans la partie basse fréquence du spectre de la puissance, dépend de la
valeur de l’angle de déphasage ϕ (déphasage entre le courant et la tension simple d’une
phase) et de la valeur des indices d’amplitude des composantes de fréquence 2fs ± kfm .
En fixant des indices d’amplitude constants, nous remarquons que l’amplitude de ces
composantes augmente lorsque le déphasage ϕ diminue. A partir de cette remarque, nous
pouvons dire que pour un fonctionnement à faible charge (voire à vide), l’amplitude de ces
composantes sera plus importante que celles présentes autour de la composante fondamentale. Cette remarque laisse présager qu’une détection du défaut rotorique serait plus aisée
en utilisant les indices d’amplitude calculés à partir des composantes basses fréquences par
rapport aux indices d’amplitude calculés à partir des composantes de fréquence 2f s ± kfm
présentes dans le spectre de la puissance instantanée, ou des composantes de fréquence
fs ± kfm présentes dans le spectre du courant statorique lorsque la machine fonctionne à
faible charge (rappelons que dans le cas d’une rupture de barre, la fréquence de modulation fm est égale à 2gfs ).
III.1 : Étude théorique
93
Connaissant ces données, il nous est facile de déterminer leurs amplitudes et par conséquent de définir un nouvel indice d’amplitude mbfk que nous appellerons, dans ce document, "indice d’amplitude basse fréquence". La relation qui permet de calculer la valeur
de l’amplitude de la composante basse fréquence d’indice k est :
A pk =
X V s Is q
2
k
m2pk + m0p2k + 2 mpk m0pk cos(2ϕ)
(III.19)
De cette équation, il est aisé de déduire l’expression de l’indice d’amplitude basse fréquence
mbfk :
mbfk =
q
m2pk + m0p2k + 2 mpk m0pk cos(2ϕ)
(III.20)
En se reportant à l’équation III.8, l’indice de modulation global mgmp , l’indice d’oscillation
global mgop , l’indice d’amplitude global mtp et l’indice d’amplitude basse fréquence global
mbft de la puissance instantanée d’une phase se calculent à partir des expressions :
m2pgm =
X
m2pmk
(III.21)
m2pok
(III.22)
k
m2pgo =
X
k
m2pt =
X
m2pk +
k
m2bft =
X
X
0
mp2k
(III.23)
k
m2bfk
(III.24)
k
La valeur de ces indices globaux augmente seulement lorsque le défaut rotorique apparaît
au sein de la cage d’écureuil. Le spectre de l’équation théorique de la puissance instantanée (équation III.16) est représenté sur la figure III.7. Nous observons la présence des
composantes de défaut autour de la fréquence fondamentale (composantes de fréquence
2fs ± kfm ) plus les composantes basses fréquences d’expression kfm = 2kgfs . En com-
paraison avec le spectre théorique du courant statorique donné à la figure III.8, nous
pouvons conclure que l’analyse de la puissance instantanée apporte une information supplémentaire dans la partie basse fréquence de son spectre. Ce complément d’information
permettra de détecter les fréquences de modulation créées par le défaut rotorique directement à partir du spectre basse fréquence de cette puissance. Une fois la fréquence 2 g f s
déterminée, nous pourrons calculer les fréquences des composantes présentes autour de
la fréquence fondamentale du courant et de la puissance et ainsi évaluer leurs amplitudes
respectives pour calculer la valeur des différents indices globaux cités précédemment.
94
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
0.5
psa (f )
0.45
0.4
0.35
Amplitude (A)
mbft
0.3
0.25
mp t
0.2
PSfrag replacements
0.15
0.1
0.05
0
0
20
40
60
80
100
120
Fréquence (Hz)
140
160
180
200
Fig. III.7 : Spectre fréquentiel de la puissance instantanée théorique (équation III.16)
0.5
isa (f )
0.45
0.4
Amplitude (A)
0.35
0.3
0.25
mct
0.2
0.15
PSfrag replacements
0.1
0.05
0
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. III.8 : Spectre fréquentiel du courant statorique théorique (équation III.5)
III.2 : Application
95
Nous venons de décrire la méthode de diagnostic que nous souhaitons utiliser pour
détecter la présence d’un défaut de barre au sein de la cage d’écureuil. Le test de cette
approche sur différents essais expérimentaux va nous permettre de vérifier sa validité.
III.2
Application
Nous venons de voir que le calcul des différents indices nécessite la détection de la
composante de fréquence 2 g fs présente dans le spectre fréquentiel de la puissance instantanée d’une phase statorique. Pour obtenir une représentation du courant statorique et
de la puissance instantanée dans le domaine fréquentiel, nous utilisons le périodogramme
de Bartlett décrit dans le chapitre I calculé avec une fenêtre de Hanning [63]. Cette application est restreinte ici au cas où la cage rotorique présente une barre partiellement
cassée et une barre totalement cassée dans le cas d’une alimentation directe par le réseau
triphasé et d’une alimentation par un variateur de vitesse commandé en U/f .
III.2.1
Banc d’essai et mesure
Pour tester la méthode de diagnostic proposée, notre laboratoire s’est doté d’un banc
d’essai et mesure composé d’une machine asynchrone de 3 kW (une paire de pôle) et
d’une machine à courant continu. La machine asynchrone étudiée fonctionne avec une
cage rotorique de 28 barres fabriquée en aluminium. La vitesse rotorique de cette machine
peut varier de 2800 tr/min (fonctionnement au couple nominal) à 2990 tr/min (fonctionnement à vide). Les photos et la description totale du banc sont données dans l’annexe
B de ce document. Les deux signaux (courant statorique et tension simple) sont prélevés
simultanément grâce à une carte spécifique. L’échantillonnage des signaux peut s’effectuer en choisissant une fréquence comprise entre 1 kHz et 2,5 MHz. Pour notre analyse,
nous avons choisi une fréquence d’échantillonnage de 2 kHz et un nombre de points égal
à 218 = 262144 valeurs. L’alimentation de la machine peut se faire soit par le réseau
triphasé, soit par un variateur de vitesse commandé en U/f . La figure III.9 représente le
synoptique du banc d’essai et mesure utilisé.
96
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
Variateur
de vitesse
Capteur de courant
Alimentation
triphasée
Caisse
de charge
résistive
g replacements
Moteur à
courant continu
Sonde de
tension
Moteur asynchrone
Carte d’acquisition
CS 1602
Micro ordinateur
Fig. III.9 : Synoptique du banc d’essai et mesure
III.2.2
Alimentation de la machine par le réseau triphasé
Nous nous intéressons dans un premier temps au diagnostic de la machine asynchrone
lorsque cette dernière est connectée à un réseau triphasé délivrant trois tensions simples
de valeur efficace 230 Volts et de fréquence 50 Hz. Nous étudions les cas où la machine
asynchrone présente une barre partiellement cassée (environ 50% de la barre est percé) et
une barre totalement cassée sous différents couples de charge.
La figure III.10 représente le spectre de la puissance instantanée d’une phase de la
machine lorsque nous utilisons le périodogramme simple décrit dans le chapitre I. La figure
III.11, représente le même signal mais avec l’utilisation du périodogramme de Bartlett.
Nous pouvons constater que le bruit du spectre, appelé aussi variance du spectre, est
réduit dans de fortes proportions. En effet, l’utilisation de segments dont la longueur D
est fixée à 32768 valeurs impose un nombre de segments L égal à 8. Par conséquent, le
spectre calculé sur ces 32768 valeurs est moyenné 8 fois ce qui réduit la variance (ou
III.2 : Application
97
0
psa (f )
Densité spectrale de puissance (dB)
−25
−50
−75
−100
−125
PSfrag replacements
−150
0
20
40
60
80
100
120
Fréquence (Hz)
140
160
180
200
Fig. III.10 : Spectre de la puissance instantanée d’une phase statorique calculée avec le
périodogramme simple
0
psa (f )
Densité spectrale de puissance (dB)
−25
−50
−75
−100
−125
PSfrag replacements
−150
0
20
40
60
80
100
120
Fréquence (Hz)
140
160
180
200
Fig. III.11 : Spectre de la puissance instantanée d’une phase statorique calculée avec le
périodogramme de Bartlett (Moyenné sur 8 segments)
98
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
le bruit) du périodogramme final et facilite la détection des composantes désirées. La
fréquence d’échantillonnage Fe étant de 2 kHz, la résolution fréquentielle de nos spectres
sera donc égale à 0,061 Hz (Fe /N ).
Pour différencier les essais expérimentaux, nous utiliserons les notations suivantes :
– S-C100 pour un essai effectué avec un rotor sain sous une charge de 100% ;
– 1b-C75 pour un essai effectué avec une barre cassée sous une charge de 75% ;
– 05b-C0 pour un essai effectué avec une barre partiellement cassée à vide.
La figure III.12 représente le spectre du courant statorique d’une phase de la machine
asynchrone dans la plage fréquentielle [0 - 100] Hz lorsque celle-ci fonctionne dans la
configuration S-C100. Nous pouvons remarquer que pour ce mode de fonctionnement il
existe, dans ce spectre fréquentiel, des composantes de faibles amplitudes de fréquence
(1 ± 2 k g)fs . Ces composantes fréquentielles se retrouvent dans le spectre de la puissance instantanée (en basse fréquence et autour de la composante fondamentale à 100
Hz) comme nous pouvons le visualiser sur les figures III.13 et III.14. L’apparition de ce
type de composantes lorsque la machine fonctionne avec un rotor sain s’explique par la
présence d’une faible asymétrie rotorique. Une machine électrique n’étant évidemment
pas parfaite, il existe sur tout type de machines, des phénomènes provoquant ce genre de
perturbations. Comme cette asymétrie induit une légère modification de la distribution
du flux magnétique dans l’entrefer de la machine, le spectre fréquentiel du courant statorique contient des composantes de faibles amplitudes dont les fréquences sont identiques
à celles créées par une rupture de barre.
Dans la méthode de diagnostic étudiée, l’amplitude de ces composantes sera utilisée
comme référence pour diagnostiquer la présence d’une anomalie au rotor de la machine
asynchrone. Cette référence sera obtenue en calculant la valeur des différents indices globaux du courant statorique et de la puissance instantanée lorsque la cage rotorique sera
considérée comme étant saine. Une augmentation de la valeur de ces indices signifiera la
présence d’une asymétrie plus importante due à la présence d’une barre ou d’une portion d’anneau de court-circuit partiellement ou totalement cassée au niveau de la cage
rotorique.
III.2 : Application
99
0
isa (f )
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
−10
−20
−30
(1 − 2 g)fs
−40
−50
−60
−70
−80
−90
−100
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. III.12 : Spectre du courant statorique : S-C100 [0 - 100] Hz
0
psa (f )
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
−10
−20
2(1 − g)fs
−30
−40
−50
−60
−70
−80
−90
−100
0
20
40
60
80
100
120
Fréquence (Hz)
140
160
180
200
Fig. III.13 : Spectre de la puissance instantanée : S-C100 [0 - 200] Hz
psa (f )
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
−40
2 g fs
−50
−60
−70
−80
−90
−100
0
5
10
15
20
Fréquence (Hz)
25
30
35
Fig. III.14 : Spectre de la puissance instantanée : S-C100 [0 - 35] Hz
100
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
III.2.2.1
Calcul du glissement de la machine
La principale difficulté de la méthode proposée réside dans la détection des composantes de fréquence 2 k g fs contenues dans le spectre basse fréquence de la puissance
instantanée.
Nous avons montré dans le chapitre II que l’amplitude de la composante de fréquence
(1 − 2 g)fs présente dans le spectre fréquentiel du courant statorique était toujours plus
grande que celles situées aux fréquences (1 − 2 k g)fs (k > 1) et (1 + 2 k g)fs . Par consé-
quent, la composante à 2 g fs dans le spectre de la puissance instantanée aura une ampli-
tude plus importante que celles à 2 k g fs (k > 1). A partir de cette remarque, la composante qui aura la plus grande amplitude dans une bande de fréquence fixée correspondra
obligatoirement à la composante de fréquence 2 g fs créée par l’asymétrie rotorique de la
machine en supposant que la machine asynchrone ne soit pas perturbée, voire altérée, par
un phénomène autre que celui créé par la cassure d’une barre rotorique. Pour résoudre ce
problème, il suffit de visualiser le contenu spectral de la puissance instantanée du moteur
à analyser (spectre de référence) pour vérifier l’absence de composantes perturbatrices
dans la partie basse fréquence.
La détection des amplitudes des composantes de fréquence 2 k g fs du spectre de la
puissance instantanée se fait à l’aide d’un seuil dont la valeur dépend de la moyenne du
spectre et de l’écart-type du bruit calculés dans une plage fréquentielle [f min - fmax ]. Les
bornes fmin et fmax sont choisies en fonction du type de machine utilisée (à paramètrer à la
mise en place du système de détection). Comme notre machine asynchrone fonctionne avec
une vitesse se situant entre 2800 tr/min et 2990 tr/min, nous obtiendrons une fréquence
2 g fs comprise entre 0,33 Hz minimum et 6,67 Hz maximum. Le nombre maximal de
composantes que nous désirons détecter dans la bande fréquentielle [fmin - fmax ] du spectre
de la puissance instantanée est de 5 (nous considérons que l’apparition de 5 composantes
dans la partie basse fréquence du spectre correspond à un défaut relativement important).
La bande fréquentielle choisie pour la détection des composantes de fréquence 2 k g f s sera
donc [0,2 - 35] Hz. La figure III.15 représente le spectre de la puissance instantanée avec
le seuil permettant la détection des composantes de fréquence 2 k g fs (fonctionnement
S-C100).
La détection de la composante de fréquence 2 g fs s’effectue en suivant les étapes
III.2 : Application
101
chronologiques ci-dessous :
1. Définition d’un seuil de détection dans la plage fréquentielle [0,2 - 35] Hz.
2. Sélection des maxima supérieurs à ce seuil.
3. Le maximum ayant la plus forte amplitude est choisi comme étant celui correspondant à la composante de fréquence 2 g fs (asymétrie rotorique).
4. Vérification de la fréquence de ces maxima (il faut qu’elle soit multiple entier de la
fréquence 2 g fs ±0, 5%). Si tel est le cas, nous considérons les composantes associées
à ces fréquences comme étant des composantes créées par le défaut rotorique.
Le résultat de cet algorithme fournit le nombre de composantes ayant une amplitude supérieure au seuil de détection et dont les fréquences sont un multiple entier de la fréquence
de défaut 2 g fs . Ce nombre de composantes sera dans la suite de l’étude appelé Kpn .
Grâce à la fréquence 2 g fs , nous pouvons déduire la valeur du glissement de la machine et
calculer la vitesse de rotation de l’arbre rotorique. Une fois le glissement g et le nombre de
composantes Kpn connus, nous calculons la fréquence des composantes présentes autour
de la fréquence fondamentale du courant statorique et de la puissance instantanée grâce
aux relations (1 ± 2 k g)fs et 2(1 ± k g)fs . A partir de ces fréquences, nous pouvons évaluer
l’amplitude des composantes correspondantes avec une tolérance toujours inférieure à 1%.
Nous évaluons l’amplitude de 2 Kpn composantes autour de la fréquence fondamentale du
spectre du courant et de la puissance (Kpn composantes à gauche et Kpn composantes à
droite).
A ce stade de l’étude, nous connaissons les fréquences et les amplitudes de chaque
psa (f )
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
−40
Seuil
2 g fs
−50
Seuil
−60
−70
−80
−90
−100
0
5
10
15
20
Fréquence (Hz)
25
30
35
Fig. III.15 : Spectre de la puissance avec le seuil de détection : S-C100 [0 - 35] Hz
102
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
composante créée, soit par l’asymétrie rotorique "naturelle" (rotor sain), soit par le défaut
de barre ou d’anneaux. Nous pouvons alors calculer les indices globaux du courant en
utilisant les équations III.9, III.10 et III.11 ainsi que les indices globaux de la puissance
instantanée en utilisant les équations III.21, III.22, III.23 et III.24.
Comme nous l’avons précédemment mentionné, nous étudions le comportement de la
machine asynchrone lorsque celle-ci fonctionne sous différents couples de charge ( 14 , 12 ,
et
4
4
3
4
du couple nominal de la machine). Nous nous intéressons dans un premier temps au
cas où la machine fonctionne avec un rotor sain. Une fois ces analyses effectuées, nous
étudions le comportement de cette dernière lorsque sa cage rotorique présente une barre
partiellement cassée et une barre totalement cassée. Dans un dernier essai, nous proposons
d’étudier la détection d’un défaut rotorique lorsque la machine asynchrone fonctionne à
vide.
III.2.2.2
Résultats expérimentaux
Les valeurs des différents indices globaux calculés lorsque la machine est connectée
au réseau d’alimentation triphasé sont répertoriées dans le tableau III.1. La première colonne de ce tableau correspond à l’état du rotor de la machine asynchrone, la seconde et
la troisième colonne donnent respectivement la puissance moyenne de la phase analysée
et la valeur de la fréquence 2 g fs détectée dans la bande basse fréquence du spectre de la
puissance instantanée, la quatrième colonne donne la valeur du seuil de détection utilisée
pour le calcul du nombre de composantes Kpn , la cinquième colonne donne la vitesse de
rotation de la machine (calculée à partir de la fréquence 2 g fs ), la sixième colonne donne
le nombre de composantes Kpn détectées dans la bande fréquentielle [fmin - fmax ], les
colonnes suivantes nous renseignent sur la valeur des indices globaux du spectre fréquentiel de la puissance instantanée et du courant d’une phase statorique. L’analyse de ce
tableau révèle deux informations importantes. L’apparition du défaut rotorique provoque
d’une part un accroissement du nombre de composantes dans le spectre basse fréquence
de la puissance instantanée (valeur Kpn ) et d’autre part une augmentation de tous les
indices globaux. Cette augmentation est causée par un accroissement de l’amplitude des
composantes fréquentielles créées par la rupture de la barre.
Dans la littérature, il est courant de trouver des méthodes de diagnostic qui ne se basent
(Watts)
1351
1335
1377
991
1050
985
690
691
681
378
386
371
99
102
97
S-C100
05b-C100
1b-C100
S-C75
05b-C75
1b-C75
S-C50
05b-C50
1b-C50
S-C25
05b-C25
1b-C25
S-C0
05b-C0
1b-C0
0,27
0,27
0,30
1,53
1,47
1,59
2,99
2,87
3,17
4,64
4,27
4,94
6,67
5,98
6,53
2gfs
Puis. moy. Fréquence
rotor
Etat du
-68,74
-72,65
-70,46
-62,26
-71,15
-68,08
-66,67
-73,00
-73,48
-71,08
-72,03
-75,85
-63,23
-74,25
-76,92
détection
Seuil de
2993
2993
2990
2954
2956
2952
2910
2913
2904
2860
2872
2851
2799
2820
2803
(tr/min)
Vitesse
2
1
1
3
2
2
4
3
2
4
3
3
3
3
2
Kpn
0,0041
0,0027
0,0024
0,0240
0,0115
0,0044
0,0279
0,0040
0,0017
0,0408
0,0061
0,0024
0,0435
0,0063
0,0020
mbft
0,0114
0,0082
0,0080
0,0358
0,0214
0,0100
0,0393
0,0057
0,0023
0,0470
0,0068
0,0036
0,0454
0,0060
0,0028
m pt
0,0065
0,0069
0,0046
0,0281
0,0100
0,0048
0,0350
0,0038
0,0018
0,0442
0,0070
0,0024
0,0408
0,0053
0,0021
m ct
0,0079
0,0062
0,0057
0,0246
0,0120
0,0059
0,0256
0,0037
0,0015
0,0288
0,0043
0,0021
0,0260
0,0037
0,0015
mpgm
0,0018
0,0003
0,0004
0,0059
0,0092
0,0038
0,0109
0,0017
0,0007
0,0165
0,0023
0,0015
0,0189
0,0021
0,0012
mpgo
0,0045
0,0049
0,0033
0,0198
0,0061
0,0030
0,0233
0,0026
0,0012
0,0274
0,0044
0,0014
0,0237
0,0033
0,0012
mcgm
Tab. III.1 : Indices globaux d’une phase statorique pour une connexion directe sur le réseau d’alimentation
0,0007
0,0006
5e−5
0,0019
0,0036
0,0014
0,0083
0,0007
0,0004
0,0151
0,0022
0,0008
0,0164
0,0018
0,0009
mcgo
III.2 : Application
103
104
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
que sur l’analyse de la composante de fréquence (1 − 2 g)fs présente dans le spectre du
courant statorique. En effet, nous avons montré dans le chapitre II que cette composante
est directement liée au défaut rotorique. Cependant, si nous comparons la valeur de l’indice d’amplitude de cette composante (indice mc1 ) avec la valeur de l’indice global calculé
en prenant en compte l’amplitude de toutes les composantes spectrales (tableau III.2),
il apparaît clairement qu’il est plus judicieux d’utiliser l’indice global m ct (contribution
de toutes les composantes) car il augmente plus significativement que l’indice m c1 lors
de l’apparition du défaut rotorique. La même analyse peut être faite avec la puissance
instantanée (composantes situées aux fréquences 2 g fs et 2(1 − g)fs . D’une manière géné-
rale, l’analyse des indices globaux calculés à partir du spectre du courant statorique et de
la puissance instantanée permet de se rendre compte plus facilement de l’état de la cage
rotorique de la machine.
Nous avons montré que l’apparition d’un défaut rotorique (qu’il soit partiel ou total)
faisait croître la valeur des différents indices globaux et, pour certains niveaux de charge,
augmenter le nombre de composante Kpn . Ces deux paramètres donnent donc une image
pertinente de l’état de la cage rotorique et peuvent, par conséquent, être utilisés pour
définir deux critères de détection qui vont être étudiés dans la suite du document.
III.2.2.2.1
Critère de détection no 1
Le premier critère choisi pour la détection d’un défaut rotorique combine l’information
donnée par Kpn et l’information donnée par les indices globaux. La forme de ce critère
de détection est donné au tableau III.3. Dans ce critère, mX peut être remplacé par
n’importe quel indice global (mbft , mtp , mtc , mpgm , mpgo , mcgm où mcgo ). Nous avons
choisi empiriquement une valeur de 2 pour le terme α. En effet, nous supposons que si
la multiplication du nombre de composantes Kpn par l’indice global mX est supérieure à
2 fois celle obtenue lorsque la cage rotorique est saine, cela est suffisant pour signaler la
présence d’une défaillance au niveau de la cage de la machine.
Les résultats obtenus en appliquant ce critère de détection sont donnés dans les tableaux III.4 et III.5. Le tableau III.4 nous renseigne sur les résultats obtenus avec les
indices globaux mbft , mpt et mct alors que le tableau III.5 nous renseigne sur les résultats
obtenus avec les indices globaux mpgm , mpgo , mcgm et mcgo .
mbf1
0,0019
0,0059
0,0428
0,0023
0,0055
0,0392
0,0016
0,0037
0,0257
0,0043
0,0114
0,0227
0,0024
0,0027
0,0039
Rotor
S-C100
05b-C100
1b-C100
S-C75
05b-C75
1b-C75
S-C50
05b-C50
1b-C50
S-C25
05b-C25
1b-C25
S-C0
05b-C0
1b-C0
0,0041
0,0027
0,0024
0,0240
0,0115
0,0044
0,0279
0,0040
0,0017
0,0408
0,0061
0,0024
0,0435
0,0063
0,0020
mbft
0,0086
0,0059
0,0060
0,0266
0,0211
0,0096
0,0324
0,0046
0,0019
0,0418
0,0057
0,0034
0,0436
0,0050
0,0027
m p1
0,0114
0,0082
0,0080
0,0358
0,0214
0,0100
0,0393
0,0057
0,0023
0,0470
0,0068
0,0036
0,0454
0,0060
0,0028
m pt
0,0042
0,0043
0,0032
0,0180
0,0095
0,0043
0,0276
0,0020
0,0014
0,0390
0,0052
0,0021
0,0389
0,0043
0,0020
m c1
0,0065
0,0069
0,0046
0,0281
0,0100
0,0048
0,0350
0,0038
0,0018
0,0442
0,0070
0,0024
0,0408
0,0053
0,0021
m ct
0,0069
0,0062
0,0057
0,0215
0,0119
0,0058
0,0023
0,0032
0,0013
0,0267
0,0037
0,0020
0,0252
0,0032
0,0015
mpm1
0,0079
0,0062
0,0057
0,0246
0,0120
0,0059
0,0256
0,0037
0,0015
0,0288
0,0043
0,0021
0,0260
0,0037
0,0015
mpgm
0,0017
-0,0003
0,0004
0,0051
0,0093
0,0039
0,0096
0,0015
0,0006
0,0152
0,0020
0,0015
0,0184
0,0018
0,0012
mpo1
0,0018
0,0003
0,0004
0,0059
0,0092
0,0038
0,0109
0,0017
0,0007
0,0165
0,0023
0,0015
0,0189
0,0021
0,0012
mpgo
0,0036
0,0049
0,0033
0,0168
0,0059
0,0029
0,0204
0,0019
0,0010
0,0251
0,0034
0,0013
0,0023
0,0028
0,0012
mcm1
0,0045
0,0049
0,0033
0,0198
0,0061
0,0030
0,0233
0,0026
0,0012
0,0274
0,0044
0,0014
0,0237
0,0033
0,0012
mcgm
6e−4
−6e −4
0,0007
5e−5
5e −5
0,0007
0,0019
0,0036
0,0014
0,0083
0,0007
0,0004
0,0151
0,0023
0,0008
0,0164
0,0018
0,0009
mcgo
0,0012
0,0036
0,0014
0,0072
0,0001
0,0004
0,0139
0,0017
0,0008
0,0016
0,0015
0,0009
mco1
Tab. III.2 : Comparaison entre la valeur des indices d’amplitudes des composantes pour k = 1 et la valeur des indices globaux
III.2 : Application
105
106
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
Tab. III.3 : Critère de détection no 1
Test
Résultats
si (KpnMesuré mXMesuré ) < α (KpnSain mXSain )
Pas de défaut
si (KpnMesuré mXMesuré ) > α (KpnSain mXSain )
Défaut rotorique
Tab. III.4 : Résultats du critère de détection no 1 sur les indices globaux mbft , mpt et
m ct
Rotor
Kpn
2Kpn mbft
S-C100
2
0,0080
05b-C100
3
0, 0189f
0, 0180f
0, 0159f
1b-C100
3
0, 1305f
0, 1363f
0, 1224f
S-C75
3
05b-C75
3
0, 0183f
0, 0204nf
0, 0210f
1b-C75
4
0, 1632f
0, 1880f
0, 1768f
S-C50
2
05b-C50
3
0, 0120f
0, 0171f
0, 0114f
1b-C50
4
0, 1116f
0, 1572f
0, 1400f
S-C25
2
05b-C25
2
0, 0230f
0, 0428f
0, 0200f
1b-C25
3
0, 0720f
0, 1074f
0, 0843f
S-C 0
1
05b-C0
1
0, 0027nf
0, 0082nf
0, 0069nf
1b-C0
2
0, 0082f
0, 0228f
0, 0130f
Kpn mbft
2Kpn mpt
Kpn mpt
0,0112
0,0144
0,0144
0,0092
0,0176
0,0072
0,0400
0,0048
Kpn mct
0,0084
0,0216
0,0068
2Kpn mct
0,0192
0,0160
0,0092
xnf : Pas de défaut détecté - xf : Défaut détecté
Kpn
2
3
3
3
3
4
2
3
4
2
2
3
1
1
2
Rotor
S-C100
05b-C100
1b-C100
S-C75
05b-C75
1b-C75
S-C50
05b-C50
1b-C50
S-C25
05b-C25
1b-C25
S-C0
05b-C0
1b-C0
0, 0158f
0, 0058nf
0, 0739f
0, 0239f
0, 1022f
0, 0110f
0, 1154f
0, 0128f
0, 0779f
0, 0112f
Kpn mpgm
0,0007
0,0154
0,0027
0,0089
0,0048
2Kpn mpgo
0, 0036f
0, 0001nf
0, 0178f
0, 0185f
0, 0437f
0, 0051f
0, 0660f
0, 0063nf
0, 0567f
0, 0063f
Kpn mpgo
0,0065
0,0123
0,0048
0,0087
0,0048
2Kpn mcgm
xnf : Pas de défaut détecté - xf : Défaut détecté
0,0113
0,0237
0,0059
0,0124
0,0062
2Kpn mpgm
0, 0090f
0, 0049nf
0, 0593f
0, 0122nf
0, 0931f
0, 0077f
0, 1095f
0, 0131f
0, 0711f
0, 0098f
Kpn mcgm
0,0001
0,0056
0,0017
0,0051
0,0034
2Kpn mcgo
0, 0015f
0, 0006f
0, 0056f
0, 0072f
0, 0334f
0, 0020f
0, 0604f
0, 0068f
0, 0493f
0, 0053f
Kpn mcgo
Tab. III.5 : Résultats du critère de détection no 1 sur les indices globaux mpgm , mpgo , mcgm , mcgo
III.2 : Application
107
108
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
Remarque 1 : Nous analysons tout d’abord les cas où le couple de charge imposé à
la machine est supérieur ou égal à 25%. Le fonctionnement lorsque la machine asynchrone
opère à vide sera étudié à part.
Le critère de détection no 1 appliqué aux indices globaux mbft et mct permet de détecter
une barre partiellement cassée et une barre complètement cassée quelque soit le couple
de charge. L’analyse des résultats avec l’indice global mpt nous montre que seul le défaut
impliquant une barre partiellement cassée lorsque la machine fonctionne sous 75% de
charge n’est pas détecté. En ce qui concerne les indices globaux mpgm et mcgo , la détection
du défaut rotorique est possible pour tous les cas de charge étudiés. Pour l’indice global
mpgo , le seul défaut non détecté est celui où la cage présente une barre partiellement cassée
sous 75% de charge. L’indice global mcgm quant à lui ne permet pas de détecter une barre
partiellement cassée sous 25% de charge.
Remarque 2 : Dans cette partie, nous analysons les résultats obtenus lorsque la
machine asynchrone opère à vide.
Pour ce mode fonctionnement, nous savons qu’il est relativement difficile de détecter
un défaut rotorique étant donné que le courant circulant dans les barres de la cage d’écureuil est faible. A vide, la détection de la composante de fréquence 2 g fs dans le spectre
de la puissance instantanée est difficile sachant que le minimum de la fréquence 2 g fs
était de 0,33 Hz dans notre cas. Pour obtenir des composantes spectrales distinctes les
unes des autres et permettre de distinguer la composante à 2 g fs , nous avons du modifier
les paramètres utilisés pour le calcul du périodogramme de Bartlett. Nous utilisons 64536
points pour mieux séparer la composante fréquentielle 2 g fs de la composante continue
résiduelle présente dans le spectre de la puissance instantanée. Au final, la nouvelle résolution fréquentielle obtenue pour le calcul du spectre fréquentiel est de 0,0305 Hz. Cette
nouvelle résolution permet d’évaluer les amplitudes des composantes de fréquence 2 k g f s
avec plus de précision pour permettre de déterminer le nombre de composantes Kpn ainsi
que l’indice global basse fréquence mbft correspondant.
Les figures III.16 à III.18 représentent respectivement les spectres basse fréquence de
la puissance instantanée pour un rotor sain, un rotor avec une barre partiellement cassée
et un rotor avec une barre totalement cassée lorsque la machine fonctionne à vide. Les
valeurs de Kpn et des différents indices globaux, pour ce mode de fonctionnement, sont
III.2 : Application
109
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
−30
psa (f )
−40
2gfs
−50
−60
−70
−80
−90
−100
0
1
2
3
4
5
Fréquence (Hz)
6
7
8
9
10
Fig. III.16 : Spectre de la puissance instantanée : S-C0 [0 - 10] Hz
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
−30
psa (f )
−40
2gfs
−50
−60
−70
−80
−90
−100
0
1
2
3
4
5
Fréquence (Hz)
6
7
8
9
10
Fig. III.17 : Spectre de la puissance instantanée : 05b-C0 [0 - 10] Hz
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
−30
psa (f )
2gfs
−40
−50
4gfs
−60
−70
−80
−90
−100
0
1
2
3
4
5
Fréquence (Hz)
6
7
8
9
10
Fig. III.18 : Spectre de la puissance instantanée : 1b-C0 [0 - 10] Hz
110
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
reportés dans les trois dernières lignes des tableaux III.1 et III.2.
L’analyse de ces résultats montre que la valeur des indices globaux augmentent très
faiblement lorsque le défaut rotorique correspond à une barre partiellement cassée. De
plus, nous devons noter que le nombre Kpn pour ce défaut reste constant et égal à 1. Par
contre, le défaut impliquant une barre complètement cassée provoque une croissance plus
significative des indices globaux et une augmentation du nombre de composantes Kpn
dans le spectre basse fréquence de la puissance instantanée. L’application du critère n o 1
sur ces résultats est reportée dans les tableaux III.4 et III.5. Le défaut partiel sur une
barre n’est pas détecté sauf avec l’indice global mcgo , alors que celui impliquant une barre
complète est diagnostiqué quelque soit l’indice utilisé.
L’étude des résultats obtenus avec ce critère de détection lorsque la machine asynchrone fonctionne avec un couple de charge supérieure ou égale à 25% nous a permis de
distinguer que seuls les indices globaux mbft , mct , mpgm et mcgo permettent la détection
d’une barre défaillante (défaut partiel ou total). Pour un fonctionnement de la machine à
vide, seul l’indice global mcgo permet la détection des deux défauts rotoriques étudiés.
Il est intéressant de comparer l’augmentation du rapport KpnDéfaut mxDéfaut par rapport
au rapport 2KpnSain mxSain pour permettre de déterminer quel est l’indice donnant l’information la plus pertinente pour le diagnostic de défaut de la cage rotorique. Le résultat
de cette comparaison apparaît dans le tableau III.6. Nous avons inscrit en caractère gras
l’augmentation la plus significative pour chaque cas d’étude.
Si nous considérons une charge supérieure ou égale à 25%, les indices globaux de la
puissance instantanée mbft et du courant statorique mct augmentent notablement dans
trois cas sur huit, alors que les indices globaux mpgm et mcgo arrivent en tête seulement
dans un seul cas. Cette remarque nous amène à ne favoriser que les indices globaux mbft
et mct pour le diagnostic de défaut final.
Si nous restreignons l’analyse à ces deux indices, nous pouvons remarquer que l’indice
global qui donne l’information la plus significative lorsque le rotor présente une barre
partiellement cassée se trouve être l’indice mbft . En effet, sur les quatre analyses faites
avec ce niveau de défaillance, l’augmentation de cet indice est plus importante dans trois de
ces cas (comparaison entre l’indice mbft et l’indice mct pour un couple de charge supérieur
ou égal à 25%). Cependant, lors du passage d’une barre partiellement cassée à une barre
III.2 : Application
111
Tab. III.6 : Comparaison des rapports utilisant les indices globaux mbft , mct , mpgm et
mcgo par rapport au fonctionnement sain (critère de détection no 1)
Rotor
R(mbft )∗
R(mct )∗
R(mpgm )∗
R(mcgo )∗
05b-C100
+136 %
+89 %
+81 %
+53 %
1b-C100
+1531 %
+1357 %
+1165 %
+1327 %
05b-C75
+27 %
+45 %
+4 %
+34 %
1b-C75
+1033 %
+1127 %
+832 %
+1082 %
05b-C50
+76 %
+58 %
+86 %
+18 %
1b-C50
+1541 %
+1844 %
+1629 %
+1852 %
05b-C25
+31 %
+4 %
+1 %
+28 %
1b-C25
+309 %
+339 %
+212 %
+0.15 %
05b-C0
-44 %
-25 %
-49 %
+450 %
1b-C0
+71 %
+41 %
+40 %
+1376 %
∗
R(mx ) =
(KpnDéfaut mxDéfaut )
(2KpnSain mxSain )
−1
complètement cassée, c’est l’indice global mct qui augmente le plus significativement.
Cette remarque montre clairement qu’il ne faut pas se limiter à l’étude d’un seul indice
pour le diagnostic de défaut rotorique mais qu’il serait préférable de les prendre tous en
considération.
De plus, nous devons noter que ces résultats proviennent de plusieurs essais expérimentaux issus d’une seule machine (machine décrite dans l’annexe B en page 201). Si
nous appliquons ce critère sur des essais issus d’une machine asynchrone différente, il
serait possible que les indices les plus pertinents ne soit plus mct et mbft mais peut être
mpt et mcgo . Il serait donc intéressant de développer une approche "système expert" qui
prendrait en compte l’évolution de chaque indice global car, comme nous l’avons vu, ils
nous donnent tous une image de l’état de la cage rotorique. Cela permettrait de prendre
en compte tout types d’informations avec des degrés de certitudes différents.
Il est aussi intéressant de noter que pour un fonctionnement à vide de la machine
asynchrone, ce ne sont pas les indices globaux mct et mbft qui permettent de détecter le
défaut rotorique partiel mais l’indice global mcgo . En effet, comme nous pouvons le voir
112
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
dans le tableau III.6, l’augmentation de la valeur de cet indice est la plus significative de
toutes, que ce soit pour une rupture partielle ou totale d’une barre de la cage rotorique.
Cependant, nous préférons émettre une hypothèse quant à la validité du critère appliqué
sur les indices globaux lorsque que la machine fonctionne à vide étant donné que les
amplitudes des composantes créées par la rupture de barre sont très faibles. Il serait
préférable, comme nous l’avons mentionné précédemment, de les étudier tous et de voir
leur évolution au cours du temps (si plusieurs indices globaux augmentent en même temps
alors nous pouvons considérer que la cage présente un défaut rotorique partiel).
III.2.2.2.2
Analyse des harmoniques d’espace
Nous avons vu au chapitre II que les harmoniques créés par la répartition des bobinages
statoriques généraient des composantes additionnelles dans le spectre du courant de ligne
lors de l’apparition d’un défaut rotorique aux fréquences :
fhex = (x (1 − g) ± (1 + 2 η) g) fs
où x =
(III.25)
k
= 3, 5, 7, . . . et η = 0, 1, 2, 3, . . .
p
Nous avons montré qu’il était possible de différencier un défaut de charge (variation du
couple de charge) d’un défaut rotorique (rupture d’une ou plusieurs barres de la cage) en
analysant l’évolution de l’amplitude de ces composantes. Par conséquent, pour permettre
de dissocier ces deux types de défauts, il serait intéressant de calculer un indice global qui
traduirait le niveau d’amplitude de ces composantes "harmoniques".
Le calcul de l’amplitude des composantes créées par les harmoniques d’espace s’effectue de la même manière que celles présentes autour des fréquences fondamentales du
courant et de la puissance d’une phase statorique. Nous calculons l’indice d’amplitude
de chaque composante harmonique en utilisant l’équation III.12 (nous évaluons l’amplitude de (2 Kpn + 2) composantes pour chaque harmonique d’espace). A partir de ces
indices, nous calculons deux indices globaux. Le premier, noté mhex1 , correspond à l’indice global calculé à partir des indices d’amplitude des deux composantes principales
(η = 0 dans l’équation III.25). Le second, noté mhext , correspond à l’indice global calculé
à partir des indices d’amplitude de toutes les composantes de l’harmonique d’espace x
(η = 0, ..., Kpn ). Nous présentons sur la figure III.19 le spectre fréquentiel d’un courant
III.2 : Application
113
théorique modulé en amplitude et contenant ces composantes harmoniques dont l’équation
peut se mettre sous la forme :
isa (t) = isa0 (t) +
2
X
k=1
+
4 X
1
X
h=1 η=0
+
4 X
1
X
h=1 η=0
√
√
0
2 √
X
2Is mck
2Is mck
cos((ωs − kωm )t − ϕ) +
cos((ωs + kωm )t − ϕ)
2
2
k=1
2Is mhe(2h+1)(1+2η)
2
√
cos(((2h + 1)(1 − g) − (1 + 2η)g) ωs t − ϕ)
0
2Is mhe(2h+1)(1+2η)
2
cos(((2h + 1)(1 − g) + (1 + 2η)g) ωs t − ϕ)
(III.26)
Nous notons sur cette figure les différents indices globaux spécifiques à chaque harmonique
d’espace étudié. Un agrandissement de ce spectre fréquentiel dans la plage [200 - 280] Hz
(figure III.20) permet de différencier les composantes utilisées pour le calcul de l’indice
global mhex1 (x = 2h + 1) de celles utilisées pour le calcul de l’indice global mhext .
Dans la suite de l’étude, nous restreignons le calcul aux 13 premiers harmoniques
d’espace du courant statorique car les composantes fréquentielles (composantes des harmoniques d’espace) se situant au delà de 650 Hz ne sont pas très utiles du fait de leurs
faibles amplitudes, que ce soit pour un rotor sain ou un rotor défaillant.
Nous présentons sur les figures III.21 à III.23 l’évolution des composantes de l’harmonique d’espace no 7 lors de l’apparition des deux défauts rotoriques étudiés. Nous pouvons
remarquer visuellement que plus le défaut rotorique prend de l’importance, plus l’amplitude de ces composantes augmente.
Si nous reprenons la figure III.23, nous pouvons remarquer qu’une composante de
l’harmonique no 7 a pour fréquence fhe5 = (7 (1 − g) + 7 g) fs = 350 Hz. Nous savons
qu’en plus des composantes harmoniques générées par le bobinage statorique, le spectre
du courant statorique contient les composantes harmoniques des trois tensions d’alimentation dont les fréquences sont un multiple entier impair de 50 Hz (150 Hz, 250 Hz, 350
Hz, ...). Par conséquent, nous retrouvons à la même fréquence une composante créée par
l’harmonique d’espace no 7 et une composante créée par les tensions d’alimentation. Au
final, ce sont les harmoniques de ces tensions qui apparaissent dans le spectre fréquentiel
étant donné qu’ils ont une influence plus importante sur le courant statorique. Pour éviter
de prendre en compte ces composantes dans le calcul des indices globaux, nous excluons
l’amplitude de toutes les composantes de fréquence (2 h + 1) fs (k > 1) dans le programme
114
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
1
isa (f )
0.9
0.8
PSfrag replacements
Amplitude (A)
0.7
0.6
mhe5t
0.5
mhe7t
mhe3t
0.4
mhe9t
0.3
0.2
0.1
0
0
50
100
150
200
250
300
Fréquence (Hz)
350
400
450
500
Fig. III.19 : Spectre théorique d’un signal modulé en amplitude avec harmonique d’espace [0 - 500] Hz
0.8
isa (f )
0.7
0.6
mhe5t
Amplitude (A)
0.5
0.4
mhe51
0.3
PSfrag replacements
0.2
0.1
0
200
210
220
230
240
Fréquence (Hz)
250
260
270
280
Fig. III.20 : Spectre théorique d’un signal modulé en amplitude avec harmonique d’espace [200 - 280] Hz
III.2 : Application
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
0
−20
115
isa (f )
0
k = (1 + 2η)
η=2
0
0
[7(1 − g) − k g]fs
−40
[7(1 − g) + k g]fs
−60
−80
−100
−120
280
290
300
310
320
330
340
Fréquence (Hz)
350
360
370
380
Fig. III.21 : Spectre du courant statorique dans la bande [280 - 380] Hz (Harmonique
d’espace no 7) : S-C100
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
0
−20
isa (f )
0
k = (1 + 2η)
η=3
0
[7(1 − g) − k g]fs
0
[7(1 − g) + k g]fs
−40
−60
−80
−100
−120
280
290
300
310
320
330
340
Fréquence (Hz)
350
360
370
380
Fig. III.22 : Spectre du courant statorique dans la bande [280 - 380] Hz (Harmonique
d’espace no 7) : 05b-C100
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
0
−20
0
k = (1 + 2η)
η=3
isa (f )
0
[7(1 − g) + k g]fs
0
[7(1 − g) − k g]fs
−40
−60
−80
−100
−120
280
290
300
310
320
330
Fréquence (Hz)
340
350
360
370
Fig. III.23 : Spectre du courant statorique dans la bande [280 - 380] Hz (Harmonique
d’espace no 7) : 1b-C100
116
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
pour effectuer le calcul des différents indices globaux spécifiques aux harmoniques d’espace.
Nous récapitulons dans le tableau III.7 la valeur des indices globaux mhex1 représentatifs de l’amplitude des composantes principales de l’harmonique d’espace x ainsi que la
valeur des indices globaux calculée en prenant en compte toutes les composantes spectrales
de l’harmonique x. Il apparaît clairement que ces indices augmentent lors de l’apparition
du défaut rotorique. Nous donnons dans le tableau III.8 la croissance de ces indices globaux par rapport à ceux calculés lorsque la machine fonctionne avec un rotor sain. Cette
représentation permet de visualiser plus facilement quels sont les harmoniques d’espace
les plus intéressants en vue d’améliorer le diagnostic de défaut final.
Le tableau III.8 met en évidence le fait que l’harmonique d’espace no 5 donne l’information la plus pertinente sur l’état de la cage rotorique car c’est l’amplitude de ces
composantes qui augmentent le plus significativement lors de l’apparition d’un défaut
rotorique partiel ou total. L’harmonique d’espace no 11 nous délivre aussi une information intéressante car l’amplitude de ces harmoniques augmente quelque soit le niveau de
défaut étudié. La valeur des indices globaux des harmoniques d’espace no 3 et no 9 augmente très faiblement lors de l’apparition du défaut rotorique. Cette faible croissance est
due au raccourcissement de 2/3 utilisé lors de la mise en place du bobinage statorique
qui, rappelons-le, annule l’effet des harmoniques d’espace multiple de 3 (figure II.4 de
la page 50). La présence de ces harmoniques dans le spectre du courant statorique est
essentiellement causée par le phénomène de saturation du circuit magnétique de la machine. C’est en partie pour cette raison que ces indices globaux restent faibles. Notons
que dans certains cas, nous obtenons une réduction de la valeur de leurs indices globaux
lorsque le défaut correspond à une barre partiellement cassée. Ce phénomène se traduit
par une diminution de leurs amplitudes respectives lors de l’apparition du défaut rotorique. Une barre partiellement ou totalement cassée n’influence pas beaucoup l’amplitude
de ces harmoniques d’espace. Nous pouvons remarquer aussi que les indices globaux des
harmoniques no 5 et no 7, calculés à partir des composantes principales (η = 0), augmentent
plus significativement que ceux calculés avec toutes les composantes de défauts dans le
cas d’une barre totalement cassée. Cependant, ce sont les indices globaux calculés à partir
de toutes les composantes qui nous donnent la meilleure information pour l’étude d’une
Kpn
2
3
3
3
3
4
2
3
4
2
2
3
Rotor
S-C100
05b-C100
1b-C100
S-C75
05b-C75
1b-C75
S-C50
05b-C50
1b-C50
S-C25
05b-C25
1b-C25
0,0103
0,0107
0,0051
0,0048
0,0030
0,0015
0,0046
0,0018
0,0024
0,0015
0,0005
0,0017
mhe31
0,0105
0,0108
0,0051
0,0050
0,0030
0,0015
0,0048
0,0018
0,0024
0,0018
0,0006
0,0017
mhe3t
0,0185
0,0035
0,0011
0,0233
0,0034
0,0014
0,0305
0,0038
0,0012
0,0234
0,0029
0,0013
mhe51
0,0204
0,0039
0,0013
0,0248
0,0039
0,0015
0,0314
0,0041
0,0013
0,0236
0,0032
0,0014
mhe5t
0,0084
0,0008
0,0013
0,0094
0,0011
0,0013
0,0126
0,0014
0,0009
0,0091
0,0011
0,0009
mhe71
0,0093
0,0014
0,0016
0,0103
0,0017
0,0015
0,0138
0,0021
0,0011
0,0102
0,0016
0,0011
mhe7t
0,0010
0,0002
0,0001
0,0010
0,0001
0,0001
0,0011
0,0001
0,0001
0,0007
0,0001
0,0001
mhe91
0,0014
0,0002
0,0004
0,0012
0,0002
0,0002
0,0014
0,0005
0,0002
0,0009
0,0002
0,0001
mhe9t
0,0020
0,0007
0,0004
0,0026
0,0012
0,0006
0,0033
0,0012
0,0005
0,0024
0,0010
0,0006
mhe111
0,0028
0,0008
0,0006
0,0040
0,0014
0,0008
0,0054
0,0014
0,0006
0,0041
0,0012
0,0007
mhe11t
Tab. III.7 : Valeurs des indices globaux calculés sur les composantes harmoniques
0,0017
0,0003
0,0004
0,0022
0,0004
0,0005
0,0030
0,0004
0,0004
0,0024
0,0005
0,0005
mhe131
0,0023
0,0004
0,0005
0,0030
0,0008
0,0006
0,0041
0,0010
0,0005
0,0031
0,0008
0,0006
mhe13t
III.2 : Application
117
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
118
1b-C50
05b-C50
1b-C75
05b-C75
1b-C100
05b-C100
Rotor
110 % 110 %
221 % 228 %
100 %
92 %
-27 %
-8 %
-68 %
mhe31
99 %
101 %
-25 %
7%
-66 %
mhe3t
1513 % 1433 %
208 %
1511 % 1506 %
135 %
2549 % 2266 %
234 %
mhe51
208 %
1717 % 1624 %
128 %
189 %
131 %
mhe5t
531 %
-36 %
636 %
-11 %
906 %
27 %
mhe71
-12 %
605 %
13 %
1333 % 1225 %
64 %
490 %
104 %
860 %
52 %
mhe7t
754 %
38 %
659 %
10 %
728 %
10 %
mhe91
-38 %
479 %
16 %
1040 % 719 %
-4 %
288 %
203 %
574 %
35 %
mhe9t
411 %
77 %
314 %
87 %
541 %
140 %
297 %
63 %
mhe111
337 %
18 %
393 %
73 %
764 %
121 %
515 %
76 %
mhe11t
368 %
-6 %
354 %
-11 %
648 %
6%
368 %
-5 %
mhe131
373 %
-8 %
368 %
29 %
746 %
108 %
457 %
43 %
mhe13t
Tab. III.8 : Augmentation des indices globaux calculés sur les composantes harmoniques par rapport au fonctionnement sain
05b-C25
102 % 104 %
151 %
1b-C25
III.2 : Application
119
barre partiellement cassée.
Les indices globaux des harmoniques d’espace lorsque la machine asynchrone fonctionne à vide ne sont pas présents dans les tableaux III.7 et III.8. Les résultats obtenus
dans ce cas de fonctionnement étaient erronés car l’algorithme qui permet de calculer
les différents indices globaux ne trouve pas les amplitudes exactes des composantes de
fréquence fhex = (x (1 − g) ± (1 + 2 η) g) fs .
Par exemple, si nous prenons le cas de l’harmonique d’espace no 7, les fréquences à
détecter valent (7(1 − g) − g)fs et (7(1 − g) + g)fs pour η = 0 (composantes principales
de l’harmonique no 7), ce qui nous donne, pour un glissement de 0,3%, des fréquences de
valeurs 348,8 Hz et 349,1 Hz. Notre seuil de tolérance étant de 1%, la bande de fréquence
pour la recherche de l’amplitude maximale vaut alors [347 - 350,5] Hz pour la composante
de fréquence (7(1 − g) − g)fs et [347,35 - 350,84] Hz pour la composante de fréquence
(7(1 − g) + g)fs . Ce chevauchement pose un problème pour la détection de l’amplitude
maximale car si celle-ci ce situe entre 347,35 Hz et 350,84 Hz, le programme choisira
la même composante pour les fréquences (7(1 − g) − g)fs et (7(1 − g) + g)fs donnant
alors un indice global pour l’harmonique d’espace no 7 erroné. Plus l’harmonique d’espace
analysé sera grand (par exemple les harmoniques 9, 11 ou 13), plus le chevauchement des
bandes fréquentielles sera important (équation III.25). Nous avons essayé de ramener le
seuil de tolérance à 0,1% mais les résultats obtenus n’ont pas été plus concluants. De plus,
l’amplitude de ces composantes dans les essais à vide était difficilement identifiable du fait
du peu de courant circulant dans les barres rotoriques. Par conséquent, le diagnostic de
défaut pour cet essai ne peut être basé que sur l’analyse des composantes présentes autour
de la fréquence fondamentale du courant et de la puissance d’une phase de la machine.
Nous avons montré que ce critère de détection permettait d’effectuer le diagnostic
d’une barre partiellement cassée pour un couple de charge supérieur à 10%
2
du couple
de charge nominal et d’une barre totalement cassée pour tous les couples de charge. Bien
entendu le diagnostic d’un défaut impliquant la rupture de plus d’une barre rotorique
peut être envisagé au vue des résultats obtenus avec une seule barre rotorique défaillante.
2
Des essais complémentaires entre 0% et 25% de charge ont été effectués pour déterminer les limites
de la détection d’une barre partiellement cassée.
120
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
III.2.2.2.3
Critère de détection no 2
Le diagnostic de défaut utilisant le premier critère de détection nous donne deux
informations, soit le rotor est sain, soit le rotor est défaillant. Étant donné que ce critère
base son diagnostic en combinant les informations données par les termes Kpn et mX , nous
avons envisagé un critère de détection qui permettrait de les utiliser séparément. Sans
prendre en compte l’information complémentaire donnée par les harmoniques d’espace, ce
critère de détection peut être mis sous la forme donnée au tableau III.9.
Ce critère permet d’alerter l’opérateur d’un défaut naissant en associant une couleur
(Vert, Orange, Rouge) lorsque le résultat de la multiplication de l’indice global m XMesuré
par la valeur α devient supérieur ou égal à l’indice global mXSain ou lorsque le nombre
de composantes KpnMesuré devient supérieur au nombre de composantes détectées pour un
fonctionnement avec un rotor sain (KpnSain ). Si le nombre de composante KpnMesuré est
strictement supérieur à la valeur KpnSain combinée avec la condition impliquant les indices
globaux, le défaut au rotor de la machine est considéré comme établi. Le terme α utilisé
dans ce critère prend la même valeur que celui utilisé dans le critère de détection n o 1, c’est
à dire 2. Pour valider cette approche, nous appliquons ce nouveau critère de détection aux
données du tableau III.2.
Nous reportons dans le tableau III.10 les résultats obtenus avec les indices globaux
mbft , mpt et mct et dans le tableau III.11, les résultats obtenus avec les indices globaux
mpgm , mpgo , mcgm et mcgo .
Les cas d’étude où le défaut rotorique n’a pas pu être détecté est inscrit en caractère
gras. L’analyse du tableau III.10 montre que si nous utilisons les indices globaux mbft et
mct , ce critère de détection permet d’informer l’opérateur d’une défaillance rotorique pour
Tab. III.9 : Critère de détection no 2
Test
Résultats
si (mXMesuré < α mXSain )
Pas de défaut (V)
si (mXMesuré < α mXSain ) & (KpnMesuré > KpnSain )
Défaut rotorique partiel (O)
si (mXMesuré ≥ α mXSain ) & (KpnMesuré = KpnSain )
Défaut rotorique partiel (O)
si (mXMesuré ≥ α mXSain ) & (KpnMesuré > KpnSain )
Défaut rotorique établi (R)
Kpn
2
3
3
3
3
4
2
3
4
2
2
3
1
1
2
Rotor
S-C100
05b-C100
1b-C100
S-C75
05b-C75
1b-C75
S-C50
05b-C50
1b-C50
S-C25
05b-C25
1b-C25
S-C0
05b-C0
1b-C0
0,0048
0,0048
0,0048
0,0088
0,0088
0,0088
0,0034
0,0034
0,0034
0,0048
0,0048
0,0048
0,0040
0,0040
0,0040
α mbft
0,0041
0,0027
0,0024
0,0240
0,0115
0,0044
0,0279
0,0040
0,0017
0,0408
0,0057
0,0024
0,0435
0,0063
0,0020
mbft
O
V
V
R
O
V
R
R
V
R
O
V
R
R
V
Res
0,0036
0,0454
0,0060
0,0028
m pt
0,0080
0,0358
0,0214
0,0100
0,0393
0,0057
0,0023
0,0470
0,0160
0,0115
0,0160 0,0082
0,0160
0,0200
0,0200
0,0200
0,0046
0,0046
0,0046
0,0072
0,0072 0,0064
0,0072
0,0056
0,0056
0,0056
α m pt
O
V
V
R
O
V
R
R
V
R
V
V
R
R
V
Res
0,0092
0,0092
0,0092
0,0096
0,0096
0,0096
0,0036
0,0036
0,0036
0,0048
0,0048
0,0048
0,0042
0,0042
0,0042
α m ct
0,0064
0,0069
0,0046
0,0281
0,0100
0,0048
0,0350
0,0038
0,0018
0,0442
0,0051
0,0024
0,0408
0,0058
0,0021
m ct
O
V
V
R
O
V
R
R
V
R
O
V
R
R
V
Res
Tab. III.10 : Résultats du critère de détection no 2 appliqué aux indices globaux mbft , mpt et mct
III.2 : Application
121
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
122
05b-C0
S-C0
1b-C25
05b-C25
S-C25
1b-C50
05b-C50
S-C50
1b-C75
05b-C75
S-C75
1b-C100
05b-C100
S-C100
Rotor
2
1
1
3
2
2
4
3
2
4
3
3
3
3
2
Kpn
0,0114
0,0114 0,0062
0,0114
0,0118
0,0118
0,0118
0,0030
0,0030
0,0030
0,0042
0,0030
0,0030
0,0030
α mpgm
0,0057
0,0246
0,0120
0,0059
0,0256
0,0037
0,0015
0,0288
0,0042 0,0040
0,0042
0,0079
0,0021
0,0260
0,0037
0,0015
mpgm
O
V
V
R
O
V
R
R
V
R
V
V
R
R
V
Res.
0,0008
0,0008 0,0003
0,0008
0,0076
0,0076
0,0076
0,0014
0,0014
0,0014
0,0030
0,0024
0,0024
0,0024
α mpgo
0,0004
0,0059
0,0092
0,0038
0,0109
0,0017
0,0007
0,0165
0,0030 0,0021
0,0030
0,0018
0,0015
0,0189
0,0021
0,0012
mpgo
R
V
V
O
O
V
R
R
V
R
V
V
R
O
V
Res.
0,0066
0,0066
0,0066
0,0060
0,0060
0,0060
0,0024
0,0024
0,0024
0,0028
0,0028
0,0028
0,0024
0,0024
0,0024
α mcgm
0,0045
0,0049
0,0033
0,0198
0,0061
0,0030
0,0233
0,0026
0,0012
0,0274
0,0032
0,0014
0,0237
0,0033
0,0012
mcgm
O
V
V
R
O
V
R
R
V
R
O
V
R
R
V
Res.
0,0001
0,0001
0,0001
0,0028
0,0028
0,0028
0,0008
0,0008
0,0008
0,0016
0,0016
0,0016
0,0018
0,0018
0,0018
α mcgo
0,0007
0,0006
0,00005
0,0019
0,0036
0,0014
0,0083
0,0007
0,0004
0,0151
0,0015
0,0008
0,0164
0,0018
0,0009
mcgo
R
O
V
O
O
V
R
V
V
R
V
V
R
R
V
Res.
Tab. III.11 : Résultats du critère de détection no 2 appliqué aux indices globaux mpgm , mpgo , mcgm et mcgo
1b-C0
III.2 : Application
123
quasiment tous les cas étudiés.
La non détection d’une barre partiellement cassée lorsque la machine fonctionne à vide
est encore présente pour ces indices globaux. Notons que l’indice mpt ne permet pas d’informer l’opérateur du défaut rotorique impliquant une barre partiellement cassée lorsque
le niveau de charge est de 75%. Il faudrait que le nombre de composantes Kpn augmente
ou que les amplitudes des composantes présentes autour de la fréquence fondamentale de
la puissance instantanée croissent. Cela imposerait la présence d’un défaut rotorique plus
important (deux barres rotoriques cassées).
Les résultats donnés aux tableau III.11 sont relativement semblables à ceux issus du
tableau III.10. Le problème de la détection d’une barre partiellement cassée sous 75% de
charge reste présent pour les indices globaux mpgm , mpgo et mcgo , ce qui n’est pas le cas
pour l’indice global mcgm . Les résultats obtenus lorsque la machine opère à vide montrent
que seul l’indice global mcgo permet de prévenir l’opérateur de la présence d’une défaillance
rotorique.
Cependant, tout comme le critère no 1, nous devons émettre une hypothèse quant à la
validité de cette décision. Il serait plus intéressant d’utiliser la totalité des indices pour
obtenir un diagnostic fiable de l’état du rotor de la machine car l’information donnée
par l’indice mcgo ne nous parait pas assez fiable. L’augmentation de sa valeur reste trop
modérée pour ce cas de fonctionnement.
Une amélioration du critère de détection no 2 pourrait être envisagée pour permettre à
l’opérateur de différencier un défaut de barre d’un défaut de charge (variation du couple
résistant) en intégrant l’analyse de l’indice global issu des composantes créées par l’harmonique d’espace no 5. Nous avons choisi cet indice car, au vu des résultats présentés au
tableau III.8, c’est celui qui nous donne l’information la plus pertinente sur l’état de la
cage rotorique (cet indice peu être différent pour un autre type de machine). Une condition supplémentaire au critère de détection no 2, en supposant que les indices globaux
autour des fréquences fondamentales augmentent plus rapidement que l’indice global de
l’harmonique d’espace no 5, donnerait lieu à un nouveau critère de détection dont la forme
est donnée au tableau III.12. Malheureusement, notre banc d’essai et mesure ne nous
permettant pas d’expérimenter des défauts de charge, nous ne pouvons pas valider ce
nouveau critère de détection avec des essais expérimentaux. La mise en place de ce type
124
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
Tab. III.12 : Amélioration du critère de détection no 2
Test
Résultats
si (KpnMesuré = KpnSain )
et (mXMesuré < α mXSain ) & (mhe5tMesuré < α mhe5tSain )
Pas de défaut (V)
et (mXMesuré > α mXSain ) & (mhe5tMesuré < α mhe5tSain )
Défaut de charge partiel (CO)
et (mXMesuré > α mXSain ) & (mhe5tMesuré > α mhe5tSain )
Défaut rotorique partiel (RO)
si (KpnMesuré > KpnSain )
et (mXMesuré < α mXSain ) & (mhe5tMesuré < α mhe5tSain )
Défaut partiel∗ (CO ou RO)
et (mXMesuré > α mXSain ) & (mhe5tMesuré < α mhe5tSain )
Défaut de charge établi (CR)
et (mXMesuré > α mXSain ) & (mhe5tMesuré > α mhe5tSain )
Défaut rotorique établi (RR)
* De rotor ou de charge
de défaut sur le banc sera effectué dans un avenir proche.
Dans la méthode de diagnostic présentée, la composante de fréquence 2 g fs présente
dans le spectre basse fréquence de la puissance instantanée a permis de calculer la valeur
du glissement de la machine. Dans le cas d’une charge inférieure à 50% de la charge nominale, la valeur de ce glissement est relativement faible ce qui nous oblige à acquérir le
signal du courant et de la tension simple d’une phase sur 32768 points avec une fréquence
d’échantillonnage de 2 kHz pour obtenir une résolution fréquentielle adéquate. Cependant,
pour des utilisateurs n’ayant pas une carte d’acquisition permettant d’échantillonner autant de points, d’autres méthodes existent pour déterminer la valeur du glissement g de
la machine [64].
III.2.2.3
Méthodes complémentaires pour le calcul du glissement de la machine
Une méthode classique pour l’évaluation du glissement de la machine est l’utilisation
i
h
Nr
des composantes de fréquence p (1 − g) ± 1 fs créées par les encoches de la cage roto-
rique dans le spectre du courant statorique [65]. Ces composantes sont toujours présentes
dans ce spectre, que ce soit pour un rotor sain ou un rotor défaillant. Des auteurs utilisent
III.2 : Application
125
souvent ces composantes pour estimer la vitesse rotorique de la machine asynchrone [66]
[67].
Cependant, la détection de ces composantes lorsque la machine fonctionne à faible
charge reste difficile. En effet, pour une valeur de glissement faible, ces composantes
peuvent se confondre avec celles issues des trois tensions d’alimentation dont les fréquences
i
h
sont données par la relation Npr ± 1 fs . Nous présentons sur les figures III.24 et III.25 les
i
h
Nr
composantes de fréquence p (1 − g) ± 1 fs lorsque la machine asynchrone fonctionne
à pleine charge puis à demi charge. Nous apercevons que les composantes principales
d’encoches se déplacent vers la droite étant donné que la vitesse rotorique augmente lors
du passage d’une charge de 100% (g = 6,5%) à une charge de 50% (g = 3,2%).
Pour un fonctionnement de la machine à vide (figure III.26), les composantes de
i
h
fréquence Npr (1 − g) ± 1 fs sont relativement proches des composantes de fréquence
h
i
Nr
± 1 fs générées par les trois tensions d’alimentation. Cependant, l’analyse de ce
p
i
h
spectre permet de se rendre compte que la détection de la composante à Npr (1 − g) + 1 fs
i
h
reste aisée car son amplitude est plus importante que celle à Npr + 1 fs . Si les harmoniques de temps des tensions avaient une amplitude plus importante que les composantes
créées par les encoches rotoriques, un problème de détection se serait posé. De plus, il est
impératif de connaître le nombre de barres qui composent la cage rotorique pour permettre
de détecter ce type de composantes.
Les composantes de fréquence 1 ±
(1−g)
p
fs créées par l’excentricité statique et/ou
dynamique dans le spectre du courant statorique peuvent être utilisées pour déterminer la
valeur du glissement de la machine. Nous avons localisé sur les figures III.27 et III.28 ces
composantes lorsque la machine asynchrone fonctionne avec un couple de charge de 100%
et un couple de charge de 50%. Comme nous avons, dans notre cas, une machine à une
paire de pôle, la première composante se situe à la fréquence g fs . Il est évident que pour
détecter cette composante dans le spectre du courant statorique, nous devons avoir une
résolution fréquentielle adaptée. Par contre, la composante de fréquence 1 + (1−g)
fs se
p
situe au voisinage de la composante à 100 Hz. La détection de ces deux composantes est
encore possible pour un fonctionnement de la machine à 100% et à 50% de charge. La
fs
figure III.29 fait ressortir la difficulté de la détection de la composante à 1 − (1−g)
p
dans le cas d’un fonctionnement à vide. En effet, cette composante se situerait à une
126
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
0
isa (f )
Nr
p
−20
−40
Nr
p
(1 − g) + 1 fs
(1 − g) − 1 fs
Nr
p
Nr
p
−60
+ 1 fs
− 1 fs
−80
−100
−120
−140
1200
1250
1300
1350
Fréquence (Hz)
1400
1450
1500
Fig. III.24 : Spectre du courant statorique dans la bande [1200 - 1500] Hz : S-C100
0
isa (f )
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
−20
−40
Nr
p
Nr
p
(1 − g) + 1 fs
(1 − g) − 1 fs
Nr
p
Nr
p
− 1 fs
+ 1 fs
−60
−80
−100
−120
−140
1200
1250
1300
1350
Fréquence (Hz)
1400
1450
1500
Fig. III.25 : Spectre du courant statorique dans la bande [1200 - 1500] Hz : S-C50
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
0
isa (f )
−20
Nr
p
(1 − g) + 1 fs
Nr
p
Nr
p
−40
(1 − g) − 1 fs
+ 1 fs
Nr
p
−60
− 1 fs
−80
−100
−120
−140
1200
1250
1300
1350
Fréquence (Hz)
1400
1450
1500
Fig. III.26 : Spectre du courant statorique dans la bande [1200 - 1500] Hz : S-C0
III.2 : Application
127
0
isa (f )
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
−10
−20
−30
−40
fs + (1 − g) fps
fs − (1 − g) fps
−50
−60
−70
−80
−90
−100
0
50
100
150
Fréquence (Hz)
Fig. III.27 : Spectre du courant statorique dans la bande [0 - 150] Hz : S-C100
0
isa (f )
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
−10
−20
fs + (1 − g) fps
−30
−40
fs − (1 − g) fps
−50
−60
−70
−80
−90
−100
0
50
100
150
Fréquence (Hz)
Fig. III.28 : Spectre du courant statorique dans la bande [0 - 150] Hz : S-C50
0
isa (f )
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
−10
−20
fs + (1 − g) fps
−30
−40
−50
−60
−70
−80
−90
−100
0
50
100
150
Fréquence (Hz)
Fig. III.29 : Spectre du courant statorique dans la bande [0 - 150] Hz : S-C0
128
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
fréquence de 0,21 Hz dans le spectre du courant, ce qui rendrais sa détection relativement
difficile avec la résolution fréquentielle utilisée (0,07 Hz). La détection de la composante à
fs est plus simple à condition qu’elle ait une amplitude plus importante que
1 + (1−g)
p
celle présente à 100 Hz. Nous venons de montrer que pour un glissement relativement
faible, la détection des composantes créées par les encoches rotorique peut être difficile
si les tensions d’alimentation sont riches en harmoniques. En ce qui concerne les com
posantes de fréquence 1 ± (1−g)
fs , une excentricité naturelle relativement importante
p
doit être présente au sein de la machine pour permettre d’évaluer leurs fréquences dans le
spectre fréquentiel du courant statorique. Lorsque la taille du signal est petite, la méthode
qui utilise les composantes générées par les encoches rotoriques reste la plus appropriée
(les fréquences sont élevées ce qui permet une évaluation rapide du glissement). Il est
important de noter que pour utiliser ces deux méthodes, seule l’acquisition du courant
est nécessaire en comparaison avec la méthode utilisant la composante de fréquence 2 g f s
du spectre de la puissance instantanée (obligation de prélever le courant et la tension).
Cependant, les composantes créées par la rupture partielle d’une barre rotorique dans le
spectre basse fréquence de cette puissance donnaient une information plus pertinente que
celles présentes dans le spectre du courant statorique.
Nous avons montré, dans cette partie, l’efficacité de la méthode employée lorsque
la machine asynchrone est connectée à un réseau d’alimentation triphasé. La prochaine
étape consiste à étudier cette approche lorsque la machine asynchrone est alimentée par
un variateur de vitesse commandé en U/f .
III.2.3
Alimentation de la machine par un variateur de vitesse
Les méthodes de diagnostic lorsque la machine asynchrone est connectée à un variateur
de vitesse commandé en U/f sont peu nombreuses. En effet, nous savons que les signaux
temporels tel que le courant traversant un enroulement ou encore la tension à ses bornes
sont très perturbés pour ce mode d’alimentation. En effet, ces signaux sont affectés par
des harmoniques multiples de la fréquence de commutation du convertisseur. Leur contenu
fréquentiel est par conséquent très riche, ce qui rend la détection d’un défaut rotorique
ou statorique plus difficile. Nous allons, à travers différents essais expérimentaux, tester
l’efficacité de la méthode de diagnostic proposée lorsque l’alimentation de la machine se
III.2 : Application
129
fait par l’intermédiaire d’un convertisseur statique.
III.2.3.1
Problématique
Nous donnons aux figures III.30 et III.31 les spectres fréquentiels du courant statorique
lorsque la machine asynchrone est alimentée par un variateur de vitesse et par le réseau
triphasé. A travers ces deux figures, il apparaît clairement que le niveau de bruit du spectre
fréquentiel du courant statorique lorsque la machine est alimentée par le convertisseur est
beaucoup plus important que pour une alimentation par le réseau triphasé. De plus, il est
important de noter que les harmoniques de temps, présents dans le spectre du courant
statorique (composantes de fréquence 150 Hz, 250 Hz, 350 Hz, ...), ont une amplitude plus
importante lorsque le moteur est alimenté par le convertisseur statique. Cette différence
est due essentiellement à la richesse harmonique des tensions de sortie du variateur de
vitesse.
Nous présentons sur la figure III.32 une comparaison du spectre fréquentiel du courant
statorique pour les deux modes d’alimentation. Il apparaît clairement que les composantes
créées par l’asymétrie naturelle du rotor par rapport au stator sont confondues dans le
bruit lorsque l’alimentation se fait par le variateur de vitesse.
Les figures III.33 et III.34 donnent une représentation du spectre de la puissance instantanée d’une phase de la machine pour les deux différents modes d’alimentation. Nous
pouvons émettre la même remarque que pour le spectre du courant statorique à savoir un
bruit relativement important lorsque la machine est alimentée par le convertisseur statique. Tout comme sur la figure III.32, la figure III.35 ne laisse paraître aucune composante
créée par l’asymétrie naturelle de la machine de autour de la composante fondamentale à
100 Hz.
Pour effectuer le diagnostic de défaut de la machine asynchrone lorsque cette dernière
est connectée au réseau d’alimentation triphasé, nous utilisions la bande basse fréquence
du spectre de la puissance instantanée d’une phase statorique pour détecter les composantes de fréquence 2 k g fs et ainsi déterminer la valeur du glissement. Que la machine
fonctionne avec un rotor sain ou un rotor défaillant, il existait au moins une composante
à 2 g fs dans le spectre de cette puissance et ce, pour tout niveau de charge.
Le spectre basse fréquence de la puissance instantanée d’une phase statorique pour une
130
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
0
isa (f )
−20
−40
−60
−80
−100
−120
0
100
200
300
400
500
600
Fréquence (Hz)
700
800
900
1000
Fig. III.30 : Spectre du courant statorique dans la bande [0 - 1000] Hz : U/f S-C100
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
0
isa (f )
−20
−40
−60
−80
−100
−120
0
100
200
300
400
500
600
Fréquence (Hz)
700
800
900
1000
Fig. III.31 : Spectre du courant statorique dans la bande [0 - 1000] Hz : Reseau S-C100
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
0
isa (f )U/f
isa (f )Res
−20
−40
−60
−80
−100
−120
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. III.32 : Spectre du courant statorique dans la bande [0 - 100] Hz S-C100. Comparaison Réseau et U/f
III.2 : Application
131
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
0
psa (f )
−20
−40
−60
−80
−100
−120
0
100
200
300
400
500
600
Fréquence (Hz)
700
800
900
1000
Fig. III.33 : Spectre de la puissance d’une phase statorique dans la bande [0 - 1000]
Hz : U/f S-C100
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
0
psa (f )
−20
−40
−60
−80
−100
−120
0
100
200
300
400
500
600
Fréquence (Hz)
700
800
900
1000
Fig. III.34 : Spectre de la puissance d’une phase statorique dans la bande [0 - 1000]
Hz : Reseau S-C100
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
0
psa (f )U/f
psa (f )Res
−20
−40
−60
−80
−100
−120
0
20
40
60
80
100
120
Fréquence (Hz)
140
160
180
200
Fig. III.35 : Spectre de la puissance d’une phase statorique dans la bande [0 - 200] Hz
S-C100. Comparaison Réseau et U/f
132
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
alimentation par le variateur dans la configuration S-C100 est présenté sur la figure III.36.
Nous n’apercevons pas de composantes de fréquence 2 g fs dans cette partie du spectre.
L’algorithme qui permet de calculer le glissement de la machine détecte une composante à
11,29 Hz, ce qui ne correspond malheureusement pas à la composante de fréquence 2 g fs
créée par l’asymétrie naturelle. Nous supposons que cette composante est créée par le
variateur de vitesse. En effet, l’analyse de la figure III.37 montre que cette composante
est présente dans le spectre de la tension de sortie du variateur de vitesse. Toutes les
composantes fréquentielles présentes dans le spectre de la tension de sortie du variateur
se retrouvent obligatoirement dans le spectre du courant statorique. Cette perturbation
induit donc une erreur quant à l’évaluation du glissement de la machine, ce qui nous donne
un diagnostic de l’état du rotor erroné. Il nous faut donc envisager une autre méthode
pour évaluer la vitesse rotorique de la machine asynchrone.
III.2.3.2
Calcul du glissement de la machine
Nous avons énoncé dans la section III.2.2.3 différentes possibilités pour évaluer de
façon précise le glissement d’une machine asynchrone. L’observation du spectre du courant
statorique dans la bande fréquentielle [0 - 100] Hz pour une alimentation par le variateur
(figure III.32) ne fait pas apparaître les composantes dues à l’excentricité naturelle g f s et
(2 − g)fs car ces composantes sont elles aussi noyées dans le bruit spectral. Aussi, pour
déterminer le glissement, nous devons utiliser les deux composantes créées par les encoches
i
h
de la cage rotorique dont les fréquences, rappelons-le, ont pour relation Npr (1 − g) ± 1 fs .
Nous donnons à la figure III.38 le spectre du courant statorique dans la plage fréquentielle
[0 - 2000] Hz ainsi que la position exacte de ces deux composantes dans une configuration
S-C100.
Nous ne pouvons plus, dans ce cas, échantillonner notre signal avec une fréquence de
2 kHz car ces composantes se situent au delà de 1000 Hz. Cependant, pour continuer à
travailler avec une variance minimale et une bonne résolution fréquentielle, nous utilisons
le périodogramme de Welch calculé sur 216 points avec un recouvrement de 215 (50%)
échantillons pour estimer les spectres de puissance (Cf partie I.3.4.2 page 20). La fréquence
d’échantillonnage Fe utilisée est alors de 5 kHz ce qui nous permet d’obtenir une résolution
fréquentielle de 0,076 Hz.
III.2 : Application
133
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
−35
psa (f )
−40
11.29 Hz
−45
−50
−55
−60
−65
0
5
10
15
20
Fréquence (Hz)
25
30
35
Fig. III.36 : Spectre de la puissance d’une phase statorique dans la bande [0 - 35] Hz :
U/f S-C100
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
0
vsa (f )
−10
−20
(50 − 11.29) Hz
−30
(50 + 11.29) Hz
−40
−50
−60
−70
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. III.37 : Spectre de la tension d’une phase statorique dans la bande [0 - 100] Hz :
U/f S-C100
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
0
isa (f )
−10
−20
Nr
(1 − g) − 1 fs
p
Nr
(1 − g) + 1 fs
p
−30
−40
−50
−60
−70
−80
−90
0
200
400
600
800
1000
1200
Fréquence (Hz)
1400
1600
1800
2000
Fig. III.38 : Spectre du courant statorique dans la bande [0 - 2000] Hz : U/f S-C100
134
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
Comme nous l’avons mentionné précédemment, la détection de ces composantes peut
i
h
devenir très difficile si les composantes harmoniques de fréquences Npr ± 1 fs générées
par la source d’alimentation ont une amplitude importante. Dans notre cas, le spectre du
courant statorique n’est pas perturbé par ces composantes étant donné que la tension d’alimentation, issue du variateur de vitesse, ne contient pas d’harmoniques hautes fréquences
i
h
Nr
ayant des amplitudes élevées. De plus, la composante de fréquence p (1 − g) + 1 fs a une
h
i
amplitude beaucoup plus significative que la composante de fréquence Npr (1 − g) − 1 fs ,
ce qui facilitera sa détection. La connaissance précise de la fréquence de cette composante
permet donc de connaître la valeur du glissement de la machine. Nous pourrons, par la
suite, calculer la valeur des fréquences ayant pour relation (1 ± 2 k g)f s en vue de déterminer les amplitudes et les indices correspondants. Une fois ceux-ci connus, la valeur
de l’indice global mct sera évaluée. La différence entre cette méthode et la méthode de
diagnostic utilisée lors d’une connexion directe au réseau triphasé réside en l’absence d’information sur le nombre de composantes Kpn présentes dans le spectre basse fréquence
de la puissance instantanée. Nous ne connaissons donc plus le nombre de composantes
que nous devons détecter de part et d’autre de la fréquence fondamentale du courant. Un
choix arbitraire de cette valeur sera donc retenu.
III.2.3.3
Résultats expérimentaux
Le variateur utilisé pour ces essais est un variateur de vitesse d’une puissance de 3
kW de type Télémécanique Altivar 66 permettant de faire varier la vitesse de la machine
asynchrone de 0 tr/min à 3000 tr/min avec une commande en U/f .
Les essais ont été effectués pour une fréquence d’alimentation de 50 Hz, 40 Hz, 25 Hz,
et 15 Hz. Nous analysons les mêmes défauts rotoriques (une barre partiellement cassée et
une barre totalement cassée) avec des niveaux de charge identiques à ceux utilisés lors des
essais avec une alimentation triphasé sinusoïdale. Les notations adoptées pour ces essais
sont :
– S-50-C100 pour une alimentation à 50 Hz avec un rotor sain sous 100% de charge ;
– 05b-25-C75 pour une alimentation à 25 Hz avec un rotor ayant une barre partiellement cassée sous 75% de charge ;
III.2 : Application
135
– 1b-25-C25 pour une alimentation à 25 Hz avec un rotor ayant une barre totalement
cassée sous 25% de charge.
Nous donnons dans le tableau III.13 les résultats obtenus pour les différents essais
proposés. Nous avons choisi de détecter 3 composantes à gauche et 3 composantes à
droite, ce qui remplace le nombre de composantes Kpn habituellement utilisé.
Le tableau III.13 donne les valeurs de :
– l’indice d’amplitude mc1 de la première composante à gauche du courant statorique ;
– l’indice global mct du courant statorique ;
– l’indice d’amplitude mp1 de la première composante à gauche de la puissance instantanée d’une phase statorique ;
– l’indice global mpt de la puissance instantanée d’une phase statorique.
Nous n’étudions dans cette partie que les indices globaux mct et mpt de la puissance
instantanée et du courant statorique. Les autres indices tel que l’indice global m cgmt ou
encore mpgot ne sont pas calculés car, comme nous l’avons précisé, ils n’ont pas donné de
résultats significatifs lors d’une alimentation directe de la machine par le réseau triphasé.
Nous devons noter dans un premier temps que la valeur de la vitesse de la machine
i
h
calculée à partir de la composante fréquentielle fr+ = Npr (1 − g) + 1 fs correspond exac-
tement à celle mesurée manuellement sur le banc d’essai et mesure, et ce, pour chaque
essai étudié. Les résultats donnés au tableau III.13 montrent que les indices globaux augmentent dans de très faibles proportions lorsque nous sommes en présence d’une barre
partiellement cassée. Par contre, pour une barre rotorique complètement cassée, les indices globaux du courant et de la puissance instantanée augmentent nettement, ce qui
permet de détecter le défaut rotorique sans aucun problème. Les essais effectués pour un
niveau de charge nul (fonctionnement à vide) ne sont pas présentés dans cette partie car
les indices globaux calculés dans le cas d’un rotor défaillant ne différaient pas de ceux
obtenus avec un rotor sain.
Nous allons maintenant porter notre attention sur les résultats obtenus lorsque la
machine asynchrone est alimentée à une fréquence fondamentale de 25 Hz. Les résultats
obtenus pour ce mode de fonctionnement sont répertoriés dans le tableau III.14.
Lorsque la fréquence fondamentale des courants statoriques est de 25 Hz, les indices
globaux calculés à partir du spectre du courant statorique augmentent lorsque le défaut
136
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
Tab. III.13 : Indices d’amplitude et indices globaux du courant et de la puissance
instantanée d’une phase statorique pour une alimentation en U/f (fs = 50 Hz)
fr+ (Hz)
g
m c1
m ct
m p1
m pt
S-50-C100
1357
0,0654
0,0019
0,0038
0,0025
0,0063
05b-50-C100
1371
0,0557
0,0031
0,0051
0,0037
0,0086
1b-50-C100
1356
0,0662
0,0368
0,0410
0,0429
0,0503
S-50-C75
1380
0,0465
0,0027
0,0048
0,0038
0,0141
05b-50-C75
1393
0,0369
0,0027
0,0063
0,0036
0,0079
1b-50-C75
1385
0,0427
0,0399
0,0467
0,0397
0,0490
S-50-C50
1403
0,0285
0,0046
0,0077
0,0046
0,0107
05b-50-C50
1410
0,0236
0,0095
0,0117
0,0157
0,0262
1b-50-C50
1404
0,0278
0,0310
0,0400
0,0278
0,0399
S-50-C25
1421
0,0119
0,0032
0,0277
0,0131
0,0481
05b-50-C25
1424
0,0099
0,0044
0,0272
0,0132
0,0414
1b-50-C25
1423
0,0114 0,0227 0,0427
h
i
Nr
+
fr = p (1 − g) + 1 fs
0,0301
0,0654
Rotor
rotorique apparaît. L’augmentation est, une nouvelle fois, beaucoup plus significative avec
une barre complètement cassée. En ce qui concerne l’indice global de la puissance instantanée, le défaut impliquant une barre partiellement cassée n’introduit aucune augmentation
pour une charge de 100% et une charge de 75%.
Si nous devions introduire un critère de détection comme nous l’avons fait pour une
alimentation de la machine sur le réseau triphasé, nous choisirions le critère donné au
tableau III.15 car nous ne connaissons pas le nombre de composante Kpn .
Dans ce critère, mX peut se substituer soit à l’indice global mct , soit à l’indice global
mpt . Nous donnons au terme α la même valeur que pour les essais effectués à partir
du réseau triphasé (α = 2) pour permettre de comparer les deux modes d’alimentation.
Les résultats obtenus, en appliquant ce critère, sont répertoriés dans les tableaux III.16 et
III.17. Nous pouvons remarquer que le défaut rotorique impliquant une barre partiellement
cassée n’est pas détecté dans la majorité des essais effectués. Par contre, lorsqu’une barre
III.2 : Application
137
Tab. III.14 : Indices d’amplitude et indices globaux du courant et de la puissance
instantanée d’une phase statorique pour une alimentation en U/f (fs = 25 Hz)
fr+ (Hz)
g
m c1
m ct
m p1
m pt
S-25-C100
630
0,1446
0,0010
0,0029
0,0042
0,0104
05b-25-C100
643
0,1238
0,0048
0,0057
0,0054
0,0104
1b-25-C100
631
0,1405
0,0543
0,0570
0,0542
0,0612
S-25-C75
658
0,0997
0,0014
0,0029
0,0040
0,0100
05b-25-C75
666
0,0843
0,0043
0,0060
0,0052
0,0100
1b-25-C75
659
0,0982
0,0419
0,0465
0,0456
0,0550
S-25-C50
683
0,0610
0,0010
0,0036
0,0040
0,0094
05b-25-C50
687
0,0521
0,0022
0,0054
0,0037
0,0107
1b-25-C50
683
0,0574
0,0354
0,0419
0,0358
0,0438
S-25-C25
705
0,0234
0,0020
0,0043
0,0048
0,0124
05b-25-C25
705
0,0236
0,0079
0,0105
0,0078
0,0138
1b-25-C25
704
0,0249 0,0042 0,0205
i
h
Nr
+
fr = p (1 − g) + 1 fs
0,0078
0,0303
Rotor
Tab. III.15 : Critère de détection n0 3
Test
Résultats
si mXMesuré < α mXSain
Pas de défaut
si mXMesuré > α mXSain
Défaut rotorique
138
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
de la cage rotorique est complètement cassée, la détection est possible dans tous les cas
excepté lorsque le moteur asynchrone fonctionne avec une fréquence d’alimentation de 50
Hz sous 25% de charge.
Les indices globaux du courant statorique augmentent plus significativement que ceux
de la puissance lorsque le défaut rotorique apparaît. L’indice global m bft , calculé à partir
du spectre basse fréquence de la puissance instantanée, n’a pas été présenté étant donné
que la détection des composantes de fréquence 2 k g fs n’est pas possible dans la plupart
des cas. A titre d’exemple, la figure III.39 montre que le nombre de composantes détectées
dans la bande basse fréquence de la puissance instantanée est égale à une (fréquence à
2 g fs ) alors que la rupture de barre induit trois composantes de part et d’autre de la
fréquence fondamentale du courant statorique (figure III.40). Pour une alimentation par
le réseau triphasé et sous les mêmes conditions de fonctionnement (100% de charge), le
spectre basse fréquence de la puissance instantanée contenait trois composantes. Cette
différence peut être causée par la tension présente aux bornes de la phase statorique
étudiée. En effet, cette tension non sinusoïdale induit des fréquences perturbatrices dans
le spectre de la puissance instantanée. Par conséquent, l’analyse de l’indice global m bft
nous donne une information de l’état du rotor beaucoup moins satisfaisante que celle
obtenue avec les indices globaux mct et mpt .
Ces derniers résultats nous dévoilent la difficulté rencontrée en ce qui concerne la détection d’un défaut de barre au sein de la cage d’écureuil des machines asynchrones lorsque
ces dernières sont alimentées par un convertisseur statique. Même si les résultats présentés
nous permettent de détecter une barre rotorique complètement cassée, la détection d’un
défaut naissant reste encore difficile. Les essais pour une fréquence d’alimentation de 15
Hz et de 40 Hz ne sont pas présentés dans ce document car les résultats obtenus sont très
semblables à ceux donnés précédemment.
Tout comme pour une alimentation par le réseau, les composantes induites par le bobinage statorique (harmoniques d’espace) donnent des informations supplémentaires sur
l’état de la cage rotorique. Les amplitudes de chacun de ces harmoniques peuvent être
évaluées pour permettre de calculer l’indice global correspondant. Dans le cas d’une alimentation de la machine par un convertisseur statique, les harmoniques de temps présents
dans le spectre du courant statorique ont une amplitude plus importante en comparaison
0, 0427nf
1b-50-C25
0,0962
0,0214
0,0282
0,0126
α mptSain
0, 0654nf
0, 0414nf
0, 0399f
0, 0262f
0, 0490f
0, 0079nf
0, 0503f
0, 0088nf
mptMesuré
xf : Défaut détecté - xnf : Pas de défaut détecté
0, 0272nf
05b-50-C25
0,0554
0, 0400f
1b-50-C50
S-50-C25
0, 0117nf
05b-50-C50
0,0154
0, 0467f
1b-50-C75
S-50-C50
0, 0063nf
05b-50-C75
0,0096
0, 0410f
1b-50-C100
S-50-C75
0, 0051nf
0,0076
S-50-C100
mctMesuré
05b-50-C100
α mctSain
Rotor
Tab. III.16 : Résultats obtenus avec le critère no 3 (50 Hz)
0,0086
0,0072
0,0058
0,0058
α mctSain
0, 0205f
0, 0105f
0, 0419f
0, 0054nf
0, 0465f
0, 0060f
0, 0570f
0, 0057nf
mctMesuré
0,0248
0,0188
0,0200
0,0208
α mptSain
0, 0303f
0, 0138nf
0, 0438f
0, 0107nf
0, 0550f
0, 0100nf
0, 0612f
0, 0140nf
mptMesuré
xf : Défaut détecté - xnf : Pas de défaut détecté
1b-25-C25
05b-25-C25
S-25-C25
1b-25-C50
05b-25-C50
S-25-C50
1b-25-C75
05b-25-C75
S-25-C75
1b-25-C100
05b-25-C100
S-25-C100
Rotor
Tab. III.17 : Résultats obtenus avec le critère no 3 (25 Hz)
III.2 : Application
139
140
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
−35
psa (f )
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
−40
2 g fs
−45
−50
−55
−60
−65
−70
0
5
10
15
20
Fréquence (Hz)
25
30
35
Fig. III.39 : Puissance instantanée d’une phase statorique dans la bande [0 - 35] Hz :
U/f 1b-50-C100
0
isa (f )
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
−10
Kpn = 3
−20
−30
−40
−50
−60
−70
−80
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. III.40 : Courant d’une phase statorique dans la bande [0 - 100] Hz : U/f 1b-50-C100
III.2 : Application
141
avec une alimentation directe par le réseau. Les perturbations générées par ce type de
convertisseur rendent la détection de ces composantes harmoniques plus difficile. Cependant, nous avons essayé de regardé l’évolution de leur amplitude pour les quatre fréquences
d’alimentation étudiées pour nous rendre compte de l’impact d’un tel défaut sur ces harmoniques d’espace.
Nous répertorions dans le tableau III.18 la valeur des indices globaux calculés à partir de l’amplitude des composantes fréquentielles des 13 premiers harmoniques d’espace
présents dans le spectre du courant statorique lorsque la fréquence d’alimentation est
de 50 Hz. Nous rappelons que les indices globaux notés mhex1 sont calculés à partir de
l’amplitude des composantes fondamentales des harmoniques d’espace, c’est-à-dire les
composantes ayant pour fréquence fhex = (x (1 − g) ± g) fs alors que les indices globaux notés mhext sont calculés à partir de l’amplitude des composantes de fréquence
fhex = (x (1 − g) ± (1 + 2 η) g) fs (η allant de 0 à 3).
Si nous prenons le cas d’un défaut rotorique partiel, nous remarquons que les indices
globaux spécifiques aux harmoniques d’espace ne sont pas représentatifs du défaut rotorique. En effet, nous pouvons remarquer que leurs valeurs augmentent très faiblement
lors de l’apparition du défaut. De plus, pour certains niveaux de charge, nous pouvons
remarquer que la valeur de ces indices diminue. L’analyse des résultats obtenus avec le
défaut impliquant une barre complètement cassée montre que les indices globaux augmentent eux aussi dans de très faibles proportions par rapport au fonctionnement sain.
Seule l’analyse de l’indice global de l’harmonique d’espace no 5 traduit une modification
de l’état de la cage rotorique.
Les résultats obtenus avec une fréquence d’alimentation de 15 et 25 Hz ont donné de
moins bons résultats que ceux issus d’une alimentation à 50 Hz. Seuls les résultats obtenus
avec une alimentation à 40 Hz permettaient de visualiser clairement le défaut impliquant
une barre complètement cassée.
En comparaison avec les indices globaux calculés à partir des composantes créées
par les harmoniques d’espace du courant statorique lorsque la machine asynchrone est
alimentée par le réseau triphasé (tableau III.7), nous remarquons que l’utilisation d’un
variateur de vitesse rend l’analyse de ces valeurs beaucoup plus difficile. Cette dernière
remarque nous conduit à ne pas inclure ces indices dans le diagnostic de défaut final. La
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
142
Tab. III.18 : Valeurs des indices globaux calculés sur les composantes harmoniques pour une alimentation avec un variateur de
05b-50-C25
S-50-C25
1b-50-C50
05b-50-C50
S-50-C50
1b-50-C75
05b-50-C75
S-50-C75
1b-50-C100
05b-50-C100
S-50-C100
Rotor
0,0065
0,0072
0,0049
0,0074
0,0040
0,0040
0,0070
0,0031
0,0029
0,0048
0,0026
0,0024
mhe31
0,0100
0,0142
0,0084
0,0096
0,0078
0,0076
0,0085
0,0057
0,0057
0,0059
0,0049
0,0043
mhe3t
0,0165
0,0036
0,0094
0,0283
0,0046
0,0039
0,0270
0,0038
0,0025
0,0234
0,0044
0,0021
mhe51
0,0183
0,0076
0,0109
0,0298
0,0068
0,0068
0,0278
0,0056
0,0050
0,0239
0,0055
0,0040
mhe5t
0,0097
0,0031
0,0034
0,0128
0,0029
0,0028
0,0120
0,0025
0,0022
0,0063
0,0026
0,0019
mhe71
0,0118
0,0059
0,0063
0,0146
0,0063
0,0059
0,0136
0,0047
0,0043
0,0079
0,0043
0,0034
mhe7t
0,0022
0,0020
0,0021
0,0021
0,0023
0,0024
0,0019
0,0018
0,0016
0,0015
0,0014
0,0015
mhe91
0,0047
0,0059
0,0046
0,0042
0,0042
0,0046
0,0035
0,0033
0,0035
0,0029
0,0030
0,0029
mhe9t
0,0028
0,0017
0,0017
0,0031
0,0021
0,0016
0,0036
0,0016
0,0013
0,0019
0,0015
0,0011
mhe111
0,0046
0,0031
0,0038
0,0048
0,0034
0,0033
0,0053
0,0026
0,0025
0,0042
0,0025
0,0022
mhe11t
0,0028
0,0012
0,0014
0,0034
0,0011
0,0013
0,0035
0,0009
0,0010
0,0020
0,0010
0,0008
mhe131
0,0039
0,0026
0,0027
0,0045
0,0025
0,0025
0,0044
0,0021
0,0020
0,0027
0,0018
0,0016
mhe13t
vitesse à 50 Hz
1b-50-C25
III.2 : Application
143
surveillance de leur valeur reste cependant un moyen efficace de conforter le diagnostic de
barre cassée au rotor d’une machine asynchrone.
III.2.3.4
Approche complémentaire
Dans le cas où les courants absorbés par le moteur asynchrone ne peuvent être utilisés
pour le diagnostic de défaut rotorique, l’analyse des courants du réseau d’alimentation,
c’est-à-dire des courants absorbés par le variateur, peuvent apporter une information sur
l’état de la cage rotorique. En effet, les composantes fréquentielles générées par la rupture
d’une barre de la cage sont aussi présentes dans le spectre des courants absorbés par le
variateur comme nous le montre les figures III.42 (alimentation de la machine à 50 Hz)
et III.44 (alimentation de la machine à 25 Hz). Par rapport aux spectres fréquentiels des
courants absorbés par la machine (figures III.41 et III.43), nous pouvons remarquer que
le nombre de composantes créées par le défaut est plus faible, tout comme leur amplitude
respective.
L’analyse des figures III.42 et III.44 permet de nous rendre compte que les fréquences
générées par le défaut rotorique dans le spectre fréquentiel des courants absorbés par le
±
convertisseur statique ne correspondent plus à l’équation fbc
= (1 ± 2 k g) fs habituellek
ment utilisées pour le diagnostic de défaut, mais à l’équation :
±
= f sr ± 2 k g f sm
fbc
k
(III.27)
où fsr représente la fréquence des courants au niveau du réseau d’alimentation (courants
avant le variateur) et fsm la fréquence des courants absorbés par le moteur asynchrone
(courants après le variateur). Si nous considérons que le rapport entre la fréquence des
courants absorbés par le moteur fsm et la fréquence des courants présents au niveau du
réseau fsr est constant, alors l’équation III.27 peut se mettre sous la forme :
±
fbc
= (1 ± 2 k g β)fsr avec β =
k
f sm
f sr
(III.28)
Il est donc possible d’utiliser les courants issus du réseau d’alimentation triphasé pour
détecter la présence d’un défaut au rotor d’une machine asynchrone. Cependant, au vu
des résultats présentés, la détection d’une barre rotorique cassée reste difficile étant donné
que la modulation d’amplitude (créée par le défaut rotorique) qui apparaît au niveau des
courants absorbés par le moteur est fortement altérée par l’utilisation d’un variateur de
144
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
−40
−50
(1 + 4g)fsm
−30
isa (f )
fsm = 50 Hz
(1 + 2g)fsm
(1 − 2g)fsm
−20
(1 − 4g)fsm
−10
(1 − 6g)fsm
Densité spectrale de puissance (dB)
0
−60
−70
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. III.41 : Courant d’une phase statorique dans la bande [0 - 100] Hz : U/f 1b-50-C100
PSfrag replacements
PSfrag replacements
ila (f )
fsm =50 Hz
fsr =50 Hz
−20
−30
−40
fsr + 2gfsm
−10
fsr − 2gfsm
Densité spectrale de puissance (dB)
0
−50
−60
−70
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. III.42 : Courant d’une phase du reseau dans la bande [0 - 100] Hz : U/f 1b-50-C100
−40
−50
(1 − 2g)fsm
−30
(1 − 2g)fsm
−20
isa (f )
fsm = 25 Hz
(1 − 2g)fsm
−10
(1 − 2g)fsm
Densité spectrale de puissance (dB)
0
−60
−70
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. III.43 : Courant d’une phase statorique dans la bande [0 - 100] Hz. U/f 1b-25-C100
PSfrag replacements
ila (f )
fsm =25 Hz
fsr =50 Hz
−20
−30
−40
fsr + 2gfsm
−10
fsr − 2gfsm
Densité spectrale de puissance (dB)
0
−50
−60
−70
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. III.44 : Courant d’une phase du reseau dans la bande [0 - 100] Hz : U/f 1b-25-C100
III.2 : Application
145
vitesse. Ce type d’analyse pourrait apporter un complément d’information sur l’état de
la machine tout comme peut l’être l’analyse des composantes harmoniques des courants
statoriques.
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons étudié et présenté une méthode de diagnostic qui s’appuie
sur l’évaluation de plusieurs indices globaux. Le calcul de ces indices repose sur l’évaluation
de l’amplitude des composantes spectrales des spectres du courant ou de la puissance
instantanée suite à l’apparition d’un défaut rotorique. Nous avons étudié deux niveaux de
défaillances à savoir une barre partiellement cassée (environ 50% de la barre est cassée)
et une barre totalement cassée lorsque la machine asynchrone est alimentée soit par le
réseau triphasé, soit par un variateur de vitesse commandé en U/f .
Pour une alimentation de la machine par le réseau triphasé, les résultats obtenus ont
permis de diagnostiquer la présence d’une barre partiellement cassée en analysant les différents indices globaux du courant et de la puissance instantanée d’une phase. De plus,
nous avons montré que les composantes situées dans le spectre basse fréquence de la
puissance instantanée donnaient une information plus significative que celles présentes
dans le spectre du courant statorique lorsque le défaut rotorique était partiel. Nous avons
aussi montré qu’une barre totalement cassée lorsque la machine fonctionne à vide pouvait être détectée avec la méthode proposée. En complément de cette étude, nous avons
analysé l’influence du défaut rotorique sur les harmoniques d’espace présents dans le
spectre du courant statorique. Les résultats obtenus ont permis de montrer que l’analyse
de l’amplitude de ces harmoniques d’espace donnait une information supplémentaire et
non négligeable pour le diagnostic de défauts rotoriques.
L’utilisation de la méthode de diagnostic lorsque la machine asynchrone est alimentée
par un variateur de vitesse nous a posé plusieurs difficultés. Les perturbations générées par
le convertisseur statique rendaient impossible la détection du défaut rotorique car l’évaluation du glissement de la machine en utilisant les composantes présentes dans le spectre
basse fréquence de la puissance instantanée était erronée. Nous avons donc dû utiliser une
méthode différente pour évaluer la vitesse rotorique de la machine asynchrone. En nous
146
Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances
basant sur une méthode très souvent utilisée pour la commande vectorielle sans capteur
des machines, nous avons calculé le glissement de cette dernière en utilisant une des deux
composantes créées par les encoches de la cage rotorique dans le spectre fréquentiel du
courant statorique. Nous avons montré que le diagnostic d’une barre partiellement cassée
restait très difficile pour ce type d’alimentation. Cependant, l’étude du défaut impliquant
une barre rotorique complètement cassée nous a permis de montrer que la méthode de
diagnostic proposée était fiable. L’analyse de l’amplitude des composantes relatives aux
harmoniques d’espace n’a pas été très convaincante pour ce type d’alimentation car le
spectre du courant statorique s’est révélé être très perturbé par le variateur de vitesse
dans les régions fréquentielles où se situent ces composantes.
La méthode de diagnostic proposée pourrait être utilisée et étendue aux diagnostic
d’autres types de défauts. Nous savons que l’analyse du courant statorique permet de
détecter un grand nombre de défaillances, qu’elles soient d’origine électrique et/ou mécanique à condition de connaître la fréquence des composantes qu’elles induisent dans son
spectre fréquentiel [68]. Les différents critères de détection proposés pourraient être implantés dans un processus d’analyse "on-line". L’utilisation de la transformée de Fourier
glissante, décrite dans la partie I.3.5.1 du chapitre I (page 21), permettrait d’évaluer les
spectres fréquentiels des grandeurs temporelles "in-situ".
L’optimisation des algorithmes de détection présentés aux tableaux III.9 et III.12 doit
aussi être envisagée. En effet, la décision que nous avons prise sur l’état de la cage rotorique
dépendait de la valeur du paramètre α. Il parait évident que cette valeur peut varier en
fonction du type de moteur analysé. Par conséquent, il faudrait procéder à des essais
sur d’autres machines asynchrones (dans une gamme de puissance variée) pour pouvoir
déterminer une loi de comportement pour ce paramètre. De plus, l’utilisation de méthodes
décisionnelles élaborées, comme par exemple une étude statistique des différents indices
globaux obtenus, améliorerait la méthode de diagnostic proposée [69] [70]. Cette partie
s’inscrit donc dans les perspectives à envisager en ce qui concerne la suite à apporter à ce
travail.
Chapitre IV
Diagnostic de défaut sans référence
Introduction
Pour détecter la présence d’un défaut au rotor d’une machine asynchrone, les méthodes
de diagnostic sont classiquement basées sur l’analyse fréquentielle de signaux révélateurs.
Il est habituel d’utiliser le module de la transformée de Fourier du courant absorbé par
la machine pour détecter la présence de ce type de défaillance. En effet, une comparaison
de l’amplitude des composantes signataires du défaut avec un seuil de référence (seuil
calculé lorsque la machine est saine) est utilisée pour détecter la présence d’une anomalie
au niveau des circuits électriques rotoriques de la machine.
Dans ce chapitre, une attention particulière est portée au contenu de la phase du
spectre du courant statorique. Cette représentation est employée plus généralement en
traitement d’image où la phase du signal analysé contient une information plus pertinente
que son module. Cependant, nous allons montrer que l’information donnée par la phase du
spectre du courant statorique permet de conclure sur la présence d’un défaut au rotor de
la machine asynchrone. Cette analyse permet de développer et de proposer une méthode
de diagnostic de défauts rotoriques basée exclusivement sur cette information. Dans la
suite de l’étude, nous montrons qu’il est possible d’améliorer le diagnostic de la machine
en exploitant l’information donnée par la transformée de Hilbert appliquée au module du
spectre du courant statorique.
Nous validons ces deux approches à travers différents essais expérimentaux effectués
sur une machine asynchrone à cage d’écureuil de 3 kW.
148
Chapitre IV : Diagnostic de défaut sans référence
IV.1
Phase du spectre du courant statorique
Si nous reprenons la relation mathématique de la transformée de Fourier d’une suite
finie {ps (0), . . . , ps (N − 1)}, nous avons :
N −1
2πnk
1 X
F (k) =
ps (n) e−j N
N n=0
(IV.1)
Le résultat de cette relation mathématique donne un signal complexe et permet d’écrire
la transformée de Fourier du signal ps (n) sous la forme :
F (k) = <(F (k)) + j =(F (k)) = FRe (k) + j FIm (k)
(IV.2)
Dans cette étude, nous portons une attention particulière à la phase de cette transformée,
obtenue grâce à la relation IV.3, pour analyser l’état de la cage d’écureuil d’une machine
asynchrone.
ϕT F (k) = arctan
IV.1.1
FIm (k)
FRe (k)
(IV.3)
Influence d’un défaut rotorique sur la phase du spectre du
courant statorique
Pour alimenter la réflexion, le module et la phase du spectre du courant statorique
lorsque la cage rotorique présente une barre cassée (1b-C100) (connexion au réseau d’alimentation triphasé) sont représentés aux figures IV.1 et IV.2. Il apparaît clairement que
les composantes de fréquence (1 ± 2 k g)fs sont présentes dans le module du spectre du
courant statorique comme nous le montre la figure IV.1. La phase de ce spectre, quant
à elle, fait apparaître aux fréquences (1 ± 2 k g)fs des variations de phase brutales entre
−π et +π pour les fréquences inférieures à 50 Hz et entre +π et −π pour les fréquences
supérieures à 50 Hz. Ces variations sont comprises entre −π et +π étant donné que le
calcul de la phase ϕT F (f ) se limite aux quatre cadrans du cercle trigonométrique.
Pour être certain que les sauts de phase de fréquence (1 ± 2 k g)fs présents dans cette
phase sont dus à la présence d’une barre rotorique endommagée, nous avons calculé et
étudié la phase du spectre du courant statorique lorsque la machine asynchrone fonctionne
avec un rotor sain (figure IV.3). Pour ce mode de fonctionnement, la phase ϕT F (f ) contient
des sauts aux fréquences (1 ± 2 k g)fs beaucoup moins importants que ceux issus de
IV.1 : Phase du spectre du courant statorique
149
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
0
isa (f )
−20
−40
−60
−80
−100
−120
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. IV.1 : Spectre du courant statorique : Réseau 1b-C100 [0 - 100] Hz
4
ϕT F (f )
(1 − 2kg)fs
3
PSfrag replacements
Phase de la FFT (Rd)
2
1
0
−1
−2
(1 + 2kg)fs
−3
−4
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. IV.2 : Phase du spectre du courant statorique : Réseau 1b-C100 [0 - 100] Hz
4
ϕT F (f )
3
PSfrag replacements
Phase de la FFT (Rd)
2
(1 − 2g)fs
1
(1 + 2g)fs
0
−1
−2
−3
−4
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. IV.3 : Phase du spectre du courant statorique : Réseau Sain-C100 [0 - 100] Hz
150
Chapitre IV : Diagnostic de défaut sans référence
l’analyse avec une barre rotorique endommagée. Cette analyse permet de conforter le
fait que l’apparition d’une barre cassée au rotor de la machine entraîne une augmentation
des sauts de phase aux fréquences (1 ± 2 k g)fs dans la phase du spectre du courant
statorique.
Une analyse des figures IV.2 et IV.3 permet de visualiser un changement net de la
valeur de la phase à 50 Hz. Nous pouvons en conclure que la détection du saut de phase 1
à la fréquence (1 − 2 g)fs dû à la rupture d’une ou plusieurs barres rotoriques dans la
phase du spectre du courant sera par conséquent plus simple à effectuer que la détection
de la composante de même fréquence dans le spectre de la densité spectrale de puissance.
Cette approche offre des perspectives très intéressantes pour l’étude des machines asynchrones de fortes puissances qui fonctionnent avec un glissement nominal très faible. Un
glissement faible sous entend une composante de fréquence (1 − 2 g)fs très proche de la
composante fondamentale du courant statorique fs . L’utilisation du spectre fréquentiel du
courant statorique, pour effectuer la détection de cette composante, implique une longueur
d’échantillonnage du signal à analyser suffisamment importante pour obtenir une résolution fréquentielle faible, et permettre de distinguer la composante de fréquence (1 − 2 g)f s
de celle de fréquence fs . L’utilisation de la phase du spectre permet de se prémunir de
cette contrainte dans une certaine mesure. En effet, la résolution fréquentielle n’a aucune
incidence sur le changement brusque qui se produit sur la phase à 50 Hz, ce qui facilite
la détection du saut de phase à la fréquence (1 − 2 g)fs . En d’autres termes, si pour un
nombre de points échantillonnés N et un temps d’acquisition T la détection de la compo-
sante de fréquence (1 − 2 g)fs dans le spectre fréquentiel ne peut se faire (non détection
causée par une largeur du pic central importante due au fenêtrage), nous aurons tout
de même la présence d’un saut dans la phase de la transformée de Fourier, ce qui nous
permettra de déterminer la valeur de la fréquence de la composante de défaut.
La forme que prend cette phase peut s’expliquer en analysant la partie réelle et la partie
imaginaire de la transformée de Fourier du courant statorique FRe et FIm (équation IV.2).
Nous avons représenté sur la figure IV.4(a) la partie réelle et imaginaire de la transformée
de Fourier du courant statorique lorsque le rotor présente une barre cassée, et sur la figure
IV.4(b) la phase correspondante. Dans ces relevés, il apparaît clairement que la forme de la
1
nous appellerons "sauts de phase" les variations brusques de la phase en fonction de la fréquence
IV.1 : Phase du spectre du courant statorique
151
phase de la transformée de Fourier du courant statorique est liée aux signes que prennent
les parties réelle et imaginaire pour une fréquence f particulière. Une analyse similaire
peut être faite sur la partie où se situe les sauts de phase créés par le défaut rotorique
(figures IV.5(a) et IV.5(b)).
Nous avons voulu vérifier si la forme de la partie réelle et celle de la partie imaginaire
obtenue en expérimentation se retrouve sur les signaux de simulation que nous avons
présentés dans le chapitre II. Cela nous permet de vérifier que la forme de ces signaux
n’a pas comme origine une perturbation inconnue. Pour cela, nous analysons le courant
statorique de la machine lorsque celle-ci fonctionne avec un rotor défaillant (une barre
cassée). Les parties réelle et imaginaire de la transformée de Fourier de ce signal ainsi
que la phase correspondante sont représentées à la figure IV.6 lorsque l’analyse se fait
autour de la fréquence fondamentale et à la figure IV.7 lorsque l’analyse se fait autour de
la fréquence (1 − 2 g)fs .
L’analyse de la figure IV.6(a) montre que la partie imaginaire est très grande devant la
partie réelle (qui n’est pas égale à zéro mais à -2600 en 50 Hz). Cela est dû au fait que le
signal étudié est un sinus et non un cosinus, ce qui minimise les effets de la partie réelle de
la transformée de Fourier. Cependant, la forme des courbes obtenues ne correspond pas
à celle des signaux expérimentaux. En effet, les signaux théoriques font apparaître une
seule composante (ou un seul saut) de valeur négative quelle que soit la fréquence (en ce
qui concerne la partie imaginaire). Cela n’est pas le cas de la partie imaginaire du courant
statorique expérimental qui prend une valeur négative et positive autour de 50 Hz. Une
analyse similaire peut être faite sur la partie réelle de la transformée de Fourier du courant
théorique et du courant expérimental. Cependant, l’analyse de la plage fréquentielle où
se situe la fréquence créée par le défaut rotorique (figure IV.7) montre un phénomène
proche de celui rencontré avec l’analyse du courant expérimental. En effet, le phénomène
apparaissant à cette fréquence est assez semblable à celui obtenu dans l’analyse du courant
expérimental (passage de la partie négative à la partie positive et inversement). Nous
donnons aux figures IV.8 et IV.9 une vue de la phase du courant d’expérimentation et de
simulation dans la plage fréquentielle [0 - 100] Hz. Ces deux relevés montrent que, hormis
pour la fréquence 50 Hz, les phénomènes qui apparaissent dans la phase du spectre du
courant se retrouvent dans les signaux de simulation.
152
Chapitre IV : Diagnostic de défaut sans référence
5
x 10
FRe (f )
FIm (f )
Partie réelle et imaginaire
6
4
2
(a)
0
−2
−4
−6
49,75
PSfrag replacements
49,8
49,85
49,9
49,95
50
50,05
Fréquence (Hz)
50,1
50,15
50,2
50,25
Phase de la FFT (Rd)
4
ϕT F (f )
3
2
(b)
1
0
−1
−2
49,75
49,8
49,85
49,9
49,95
50
50,05
Fréquence (Hz)
50,1
50,15
50,2
50,25
Fig. IV.4 : Partie réelle et partie imaginaire de la TF du courant expérimental (a) et
phase correspondante (b) [49,75 - 50,25] Hz
Partie réelle et imaginaire
1
FRe (f )
FIm (f )
0,5
(a)
0
−0,5
−1
43,2
PSfrag replacements
43,25
43,3
43,35
Fréquence (Hz)
43,4
43,45
43,5
Phase de la FFT (Rd)
4
ϕT F (f )
2
(b)
0
−2
−4
43,2
43,25
43,3
43,35
Fréquence (Hz)
43,4
43,45
43,5
Fig. IV.5 : Partie réelle et partie imaginaire de la TF du courant expérimental (a) et
phase correspondante (b) [43,2 - 43,5] Hz
IV.1 : Phase du spectre du courant statorique
153
5
Partie réelle et imaginaire
6
x 10
FRe (f )
FIm (f )
4
2
(a)
0
−2
−4
−6
49,75
PSfrag replacements
49,8
49,85
49,9
49,95
50
50,05
Fréquence (Hz)
50,1
50,15
50,2
50,25
Phase de la FFT (Rd)
4
ϕT F (f )
2
(b)
0
−2
−4
49,75
49,8
49,85
49,9
49,95
50
50,05
Fréquence (Hz)
50,1
50,15
50,2
50,25
Fig. IV.6 : Partie réelle et partie imaginaire de la TF du courant de simulation (a) et
phase correspondante (b) [49,75 - 50,25] Hz : Réseau 1b-C100
Partie réelle et imaginaire
1500
FRe (f )
FIm (f )
1000
500
(a)
0
−500
−1000
−1500
44
PSfrag replacements
44,2
44,4
44,6
44,8
Fréquence (Hz)
45
45,2
45,4
Phase de la FFT (Rd)
4
ϕT F (f )
2
(b)
0
−2
−4
44
44,2
44,4
44,6
44,8
Fréquence (Hz)
45
45,2
45,4
Fig. IV.7 : Partie réelle et partie imaginaire de la TF du courant de simulation (a) et
phase correspondante (b) [44 - 45,4] Hz : Réseau 1b-C100
154
Chapitre IV : Diagnostic de défaut sans référence
4
ϕT F (f )
3
Phase du spectre (Rd)
2
1
0
−1
−2
−3
PSfrag replacements
−4
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. IV.8 : Vue générale de la phase du spectre du courant statorique : Expérimentation
Réseau 1b-C100
4
ϕT F (f )
3
Phase du spectre (Rad)
2
1
0
−1
−2
−3
PSfrag replacements
−4
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. IV.9 : Vue générale de la phase du spectre du courant statorique : Simulation
Réseau 1b-C100
IV.1 : Phase du spectre du courant statorique
155
En théorie, l’analyse du spectre d’un signal doit nous renseigner sur trois caractéristiques : son amplitude, sa phase et sa fréquence [62]. En ce qui concerne la phase, son
calcul doit donner le déphasage de chaque sinusoïde qui compose le signal étudié par
rapport à l’origine d’une onde cosinusoïdale. Normalement, la phase du spectre du courant statorique obtenu en simulation ou en expérimentation devrait donner la valeur du
déphasage de chaque composante du signal aux fréquences où elles apparaissent. Si nous
prenons un signal sinusoïdal d’expression A sin(2πf0 t), le calcul de sa TFR donne une
partie réelle nulle et une partie imaginaire d’amplitude −A/2 en f0 . La phase, qui est
fonction des signes que prennent la partie réelle et imaginaire de la TFR, renvoie donc
une composante de valeur -90o en f0 (partie réelle nulle et partie imaginaire négative).
Cette composante apparaît si et seulement si la fréquence f0 est un multiple entier de la
fréquence de résolution utilisée. Dans le cas contraire, la partie réelle de la TFR n’est plus
nulle ce qui modifie la forme de la phase du signal (apparition d’un saut de phase à f 0 ).
C’est ce phénomène qui apparaît dans l’étude des signaux expérimentaux. En effet, que
ce soit pour la composante à fs ou pour les composantes à (1 ± 2 k g)fs , les fréquences
correspondantes ne sont pas un multiple entier de la fréquence de résolution utilisée. En
conséquence, les parties réelle et imaginaire de la transformée de Fourier du courant statorique passent d’une valeur positive à une valeur négative (ou inversement) autour de
chaque fréquence, ce qui provoque l’apparition de sauts dans la phase du spectre (figures
IV.4 et IV.5). Cela signifie que la fréquence de la composante fondamentale du courant
expérimental n’est pas égale à 50 Hz car la fréquence de résolution utilisée pour l’analyse
est de 0,01 Hz (en fait, le réseau EDF ne délivre pas une fréquence exacte de 50 Hz).
Comme la fréquence des composantes créées par le défaut rotorique dépend du glissement
de la machine, il est peu probable que sa valeur soit un multiple entier de la fréquence
de résolution. C’est pour cette raison que nous avons des saut de phase à ces fréquences
caractéristiques et à la fréquence fondamentale (fréquence à 50 Hz). Le fait de ne pas avoir
de saut à 50 Hz dans la phase du courant de simulation vient du fait que nous imposons
la fréquence d’alimentation, ce qui limite la forme de la phase autour de cette fréquence
(partie imaginaire toujours négative et très faible partie réelle). Cependant, il apparaît
clairement que l’effet créé par la barre cassée autour des fréquences de défauts (1±2 k g)f s
en simulation et en expérimentation est relativement semblable.
156
Chapitre IV : Diagnostic de défaut sans référence
IV.1.2
Utilisation de la phase pour le diagnostic de défaut rotorique
Nous venons de montrer que l’analyse de la phase du spectre du courant statorique
nous renseigne sur l’état du rotor de la machine asynchrone. Nous avons pu remarquer que
les sauts de phase présents aux fréquences (1±2 k g)fs étaient clairement dus à la présence
d’une ou plusieurs barres rotoriques endommagées. Par conséquent, en se basant sur cette
information, il est possible d’établir un diagnostic de la cage d’écureuil en analysant ces
sauts de phase particuliers.
Pour effectuer un diagnostic de défaut rotorique sans nécessiter de comparaison avec
une référence (référence obtenu à partir d’un fonctionnement sain), la décision finale, c’est
à dire "est-ce que le rotor est sain ou pas ?", doit être faite exclusivement à partir du signal analysé. Ceci nous permettra par la suite d’appliquer la méthode à des machines de
petite puissance ou de forte puissance. Nous savons que toutes les machines asynchrones
présentent une légère asymétrie de construction qui induit, dans le spectre du courant
statorique, une composante de fréquence (1 − 2 g)fs . Certaines fois, l’oscillation de vitesse
créée par cette composante est assez importante pour laisser paraître une composante
additionnelle de fréquence (1 + 2 g)fs dans ce même spectre fréquentiel. Cependant, les
fabriquants de moteurs asynchrones veillent à ce que leurs machines présentent une asymétrie la plus faible possible car elle pourrait être la principale cause de l’apparition d’un
défaut. A titre d’exemple, une excentricité statique engendre un courant homopolaire qui
se referme dans les roulements à billes diminuant notablement leur durée de vie.
C’est dans cette optique que la méthode de diagnostic va être développée. Nous étudions la phase ϕT F (f ) et plus particulièrement le saut présent à la fréquence (1 + 2 g)fs .
Normalement, ce saut de phase est très faible voir nul pour une machine asynchrone saine,
et cela quelque soit le niveau de charge. Pour la machine étudiée, un retour à la figure
IV.3 permet de remarquer la présence d’un léger saut de phase à la fréquence (1 + 2 g)fs ,
saut créé par une légère fluctuation de la vitesse rotorique.
IV.1.2.1
Méthode de diagnostic
Nous proposons la détection d’une barre cassée en étudiant exclusivement le saut de
phase se situant à la fréquence (1+2 g)fs . Nous comparons l’écart-type de la phase ϕT F (f )
IV.1 : Phase du spectre du courant statorique
157
calculé sur deux plages fréquentielles différentes. En effet, le premier écart-type, que
nous noterons σc , sera calculé sur la plage fréquentielle (1 + 2 g)fs − 2δ , (1 + 2 g)fs + 2δ .
Cette plage cerne l’endroit où se situe le saut de phase ayant pour fréquence (1 +
2 g)fs . Le second écart-type, que nous noterons σm , sera calculé sur la plage fréquen
tielle (1 + 2 g)fs + 2δ , (1 + 4 g)fs − 2δ . Cet écart-type sera une image du bruit de mesure
présent entre les sauts se situant aux fréquences (1 + 2 g)fs et (1 + 4 g)fs . Rappelons que
la relation mathématique permettant de calculer l’écart-type σx , non biaisé, d’un signal
x est :
v
u
u
σx = t
N
N
X
1 X
1
xi −
xi
N − 1 i=1
N i=1
!2
(IV.4)
où N représente le nombre d’échantillons du signal.
Le terme δ, qui prendra la valeur 1 Hz pour les essais effectués, permet de paramètrer
la largeur de la bande fréquentielle sur laquelle sera calculée l’écart-type σ c . Une représentation visuelle permettant une compréhension adéquate du calcul de ces deux écarts-types
est donnée à la figure IV.10. L’écart-type σc est calculé sur la plage fréquentielle rouge
alors que l’écart-type σm est calculé sur la plage fréquentielle bleue.
IV.1.2.2
Critère de détection
Une fois la valeur des paramètres σc et σm connue, le diagnostic de défaut sera fonction
d’un critère de détection qui prendra la forme donnée au tableau IV.1. Un choix de valeurs
de α différentes permet d’informer de la sévérité du défaut rotorique. Dans la cas étudié,
nous choisissons de donner à ce paramètre les valeurs 3 et 5 (choisies en fonction du type
de moteur utilisé). Le critère de détection prend alors la nouvelle forme donnée au tableau
IV.2.
IV.1.2.3
Calcul du glissement de la machine asynchrone
Les deux plages fréquentielles où sont évaluées les deux écarts-types σc et σm nécessitent la connaissance du glissement g de la machine. L’idée retenue est l’utilisation du
saut situé à la fréquence (1 − 2 g)fs qui est toujours présent dans la phase ϕT F (f ). De
plus, il s’est avéré que pour la majorité des essais effectués (sains et défaillants), c’est
l’amplitude de ce saut qui est la plus prononcée, ce qui facilite sa détection. Une fois cette
158
2
ϕT F (f )
1.9
2 g fs − δ
δ
1.8
1.7
Phase (Rd)
g replacements
Chapitre IV : Diagnostic de défaut sans référence
δ
2
1.6
1.5
1.4
1.3
(1 + 4 g)fs
(1 + 2 g)fs
1.2
1.1
1
55
56
57
58
59
60
Fréquence (Hz)
61
62
63
64
65
Fig. IV.10 : Représentation du processus de calcul des deux écarts-types
Tab. IV.1 : Critère de détection utilisant la phase de la TF
Test
σc
≤α
si
σm
σc
>α
si
σm
Résultats
Pas de défaut
Défaut rotorique
Tab. IV.2 : Modification du critère de détection utilisant la phase de la TF
Test
σc
si
≤3
σm
σc
≤5
si 3 <
σm
σc
si
>5
σm
Résultats
Absence de défaut rotorique
Présence d’un défaut rotorique partiel
Présence d’un défaut rotorique important
IV.1 : Phase du spectre du courant statorique
159
fréquence connue, un simple calcul permet la détermination du glissement g de la machine,
ce qui nous donne la valeur de la fréquence à (1 + 2 g)fs désirée. La détection du saut
situé à la fréquence (1 − 2 g)fs se fait par la recherche de l’amplitude maximale dans une
plage fréquentielle qui sera fonction du type de machine étudiée. En effet, nous pouvons
connaître la valeur minimale que prendra la fréquence à (1 − 2 g)fs étant donné que nous
connaissons la fréquence fondamentale fs des courants statoriques (fréquence imposée par
le réseau). Le glissement maximum de la machine calculé à partir de la relation :
gmax = 1 −
p Ωmin
ωs
(IV.5)
permet d’obtenir la fréquence minimale fbcmin qui est alors égale à (1 − 2 gmax )fs . Notre
machine asynchrone fonctionne avec une vitesse nominale de 2800 tr/min, ce qui nous
donne une fréquence minimale fbcmin de 43,3 Hz. La plage fréquentielle choisie pour la
détection du saut de phase de fréquence (1 − 2 g)fs sera donc [40 - 50] Hz. Lors d’une
détection de plusieurs maxima (lorsque nous sommes à faible charge par exemple), nous
choisissons celui qui se situe au plus près du saut brusque à 50 Hz.
Les étapes chronologiques pour la détection d’une défaillance au rotor de la machine
asynchrone sont :
1. Détection des maxima dans la plage fréquentielle [40 - 50] Hz de la phase ϕT F (f ),
2. Sélection du maximum correspondant à la fréquence (1 − 2 g)fs ,
3. Calcul du glissement g de la machine,
4. Détermination des paramètres σc et σm par rapport à la fréquence (1 + 2 g)fs ,
5. Décision.
IV.1.3
Résultats expérimentaux
Dans cette partie, nous appliquons la méthode de détection décrite précédemment sur
les mêmes signaux expérimentaux que ceux décrits dans le chapitre III (niveaux de charge
et niveaux de défaillance identiques). Nous testons la méthode lorsque l’alimentation
de la machine se fait soit par le réseau triphasé EDF soit par un variateur de vitesse
Télémécanique de type Altivar 66. La fréquence d’échantillonnage du courant statorique
est de 2 kHz et la longueur des échantillons de 2.105 points.
160
Chapitre IV : Diagnostic de défaut sans référence
IV.1.3.1
Alimentation de la machine par le réseau triphasé
Dans cette partie nous étudions la méthode proposée lorsque la machine est alimentée
directement à partir du réseau triphasé. Les résultats obtenus, pour ce mode d’alimentation, sont présentés dans le tableau IV.3. La première colonne de ce tableau correspond
au fonctionnement de la machine (abréviations décrites à la page 98), la seconde colonne
donne la valeur de la fréquence (1 − 2 g)fs détectée dans la plage fréquentielle [40 - 50] Hz,
la troisième donne la valeur de l’écart-type σc , la quatrième donne la valeur de l’écart-
type σm , la colonne suivante donne le rapport
σc
σm
obtenu et enfin la dernière colonne
de ce tableau donne la décision prise en fonction du rapport
σc
σm
et du critère donné au
tableau IV.2. Pour appuyer les résultats obtenus, nous représentons sur les figures IV.11,
IV.12 et IV.13 les courbes de la phase ϕT F (f ) lorsque la machine fonctionne sous 100%
de charge avec respectivement un rotor sain, une barre partiellement cassée et une barre
totalement cassée. Les figures IV.14, IV.15 et IV.16, quant à elles, représentent la phase
ϕT F (f ) lorsque la machine fonctionne sous 25% de charge avec les mêmes niveaux de
défaillance que ceux cités précédemment. Sur ces figures, nous représentons par un trait
continu rouge la plage fréquentielle où est calculé l’écart-type σc , par un trait continu
bleu la plage où est calculé l’écart-type σm et par un cercle rouge le maximum du saut de
phase se situant à la fréquence (1 − 2 g)fs .
L’analyse du rapport des écarts-types
σc
σm
est très intéressante. En effet, nous pouvons
remarquer que ce rapport est faible pour une machine fonctionnant avec un rotor sain
quel que soit le niveau de charge. Cela conforte le fait que le saut de phase à (1 + 2 g)f s
peut être utilisé pour le diagnostic de barre cassée car son amplitude dépend fortement
de l’état de la cage rotorique. Nous apercevons, dans le tableau IV.3, que pour certains
fonctionnements sains (par exemple pour une charge de 50%) nous ne détectons pas de
saut de phase à (1 − 2 g)fs . Cela signifie que le saut présent à cette fréquence n’est pas
assez important pour être considéré comme un saut significatif. Dans ce cas, comme ce
saut n’est pas détecté, la méthode de diagnostic considère que la cage rotorique est en
bon état.
L’apparition d’un défaut rotorique partiel n’induit pas une augmentation significative
de l’écart-type σc par rapport l’écart-type σm . Pour certain mode de fonctionnement,
le bruit présent sur le signal de la phase augmente la valeur de l’écart-type σ m ce qui
IV.1 : Phase du spectre du courant statorique
161
Tab. IV.3 : Résultats de la méthode de diagnostic appliquée à la phase de la transformée
de Fourier pour une connexion au réseau triphasé (calcul des écarts-types σc et σm )
Rotor
Fréquence fbc
σc
σm
σc
σm
S-C100
43,49
0,0797
0,0797
1
05b-C100
44,03
0,1213
0,0275
4,4109
1b-C100
43,28
1,6178
0,0134
120,73
S-C75
Décision
Def
Pas de détection de max
Def
Def
05b-C75
45,71
0,0367
0,0197
1,8329
1b-C75
45,45
0,4274
0,0699
6,1144
S-C50
Def
Pas de détection de max
Def
Def
Def
05b-C50
47,13
0,0203
0,0125
1,6240
Def
1b-C50
46,97
0,4597
0,0548
8,3887
S-C25
48,42
0,2669
0,2395
1,1144
Def
05b-C25
48,57
0,0192
0,0180
1,0667
Def
1b-C25
48,50
0,3812
0,0381
10,005
Def
Def
S-C0
Pas de détection de max
Def
05b-C0
Pas de détection de max
Def
1b-C0
Pas de détection de max
Def
De
Pas de défaut –
De
Défaut partiel –
De
Défaut important
162
Chapitre IV : Diagnostic de défaut sans référence
4
ϕT F (f )
3
Phase (Rd)
2
1
0
−1
−2
PSfrag replacements
−3
−4
40
45
50
55
Fréquence (Hz)
60
65
Fig. IV.11 : Phase ϕT F (f ) du courant statorique : Réseau S-C100
4
ϕT F (f )
3
Phase (Rd)
2
1
0
−1
−2
PSfrag replacements
−3
−4
40
45
50
55
Fréquence (Hz)
60
65
70
Fig. IV.12 : Phase ϕT F (f ) du courant statorique : Réseau 05b-C100
4
ϕT F (f )
3
Phase (Rd)
2
1
0
−1
−2
PSfrag replacements
−3
−4
40
45
50
55
Fréquence (Hz)
60
65
70
Fig. IV.13 : Phase ϕT F (f ) du courant statorique : Réseau 1b-C100
IV.1 : Phase du spectre du courant statorique
163
4
ϕT F (f )
3
Phase (Rd)
2
1
0
−1
−2
PSfrag replacements
−3
−4
40
45
50
55
Fréquence (Hz)
60
65
70
Fig. IV.14 : Phase ϕT F (f ) du courant statorique : Réseau S-C25
4
ϕT F (f )
3
Phase (Rd)
2
1
0
−1
−2
PSfrag replacements
−3
−4
40
45
50
55
Fréquence (Hz)
60
65
70
Fig. IV.15 : Phase ϕT F (f ) du courant statorique : Réseau 05b-C25
4
ϕT F (f )
3
Phase (Rd)
2
1
0
−1
−2
PSfrag replacements
−3
−4
40
45
50
55
Fréquence (Hz)
60
65
70
Fig. IV.16 : Phase ϕT F (f ) du courant statorique : Réseau 1b-C25
164
Chapitre IV : Diagnostic de défaut sans référence
ne permet pas au rapport
σc
σm
d’atteindre une valeur suffisante pour diagnostiquer une
telle défaillance. Pour un défaut rotorique impliquant une barre complètement cassée, le
rapport minimum entre les écarts-types σc et σm est 6,11 (charge 75%) et le rapport maximum est 120 (charge 100%). L’effet d’une barre cassée sur le saut de phase de fréquence
(1 + 2 g)fs pour une charge de 75% est assez faible. Hormis pour un fonctionnement à
100% de charge, le rapport
σc
σm
n’augmente pas significativement. Nous pouvons remarquer
que la méthode de diagnostic n’a pas pu détecter le défaut pour un fonctionnement de la
machine à vide. Ceci est dû au fait que la phase ϕT F (f ) ne présente aucun maximum dans
la plage fréquentielle [40 - 50] Hz. Le faible courant circulant dans les barres est la cause
principale de cette non détection. Avec cette approche, la cage rotorique de la machine
est alors considérée comme saine.
A partir des résultats donnés par le tableau IV.3, nous pouvons valider l’approche
proposée sachant que le défaut impliquant une barre complètement cassée est détecté pour
un niveau de charge minimum de 25%. La barre rotorique partiellement cassée reste non
détectée avec cette approche excepté lorsque la machine fonctionne à son couple nominale.
Notons que très peu de méthodes existent à ce jour qui permettent la détection d’un tel
défaut. Par exemple, dans [26], les auteurs analysent un défaut rotorique impliquant trois
barres cassées pour affirmer la présence d’une défaillance au sein de la cage. Leur méthode
de diagnostic, appliquée à un rotor présentant une barre partiellement cassée, considère
que le rotor de la machine est sain. Le point intéressant dans ces résultats reste la détection
d’une barre cassée (sur les 28 que compte la cage rotorique) pour une charge supérieure
à 25%. Par conséquent, même si le défaut impliquant une barre partiellement cassée n’a
pas pu être diagnostiqué, les résultats obtenus sont satisfaisants.
IV.1.3.2
Alimentation de la machine par un variateur de vitesse
La méthode de diagnostic a montré ses qualités lorsque la machine asynchrone est
connectée directement au réseau triphasé. L’étape suivante consiste à étudier cette méthode de diagnostic lorsque la machine est alimentée par un variateur de vitesse. Le
variateur de vitesse utilisé est un variateur commandé en U/f qui permet de faire varier
la fréquence des courants d’alimentation de 0 à 50 Hz. Nous avons étudié, dans cette
partie, les mêmes niveaux de défauts que précédemment.
IV.1 : Phase du spectre du courant statorique
165
Les résultats obtenus pour ce mode d’alimentation n’ont pas donné satisfaction. En
effet, le défaut impliquant une barre complètement cassée lorsque la machine est soumise
à tous les niveaux de charge proposés n’a pu être détecté avec la méthode proposée. Ceci
est dû à deux problèmes bien distincts :
– Le premier problème rencontré est la présence d’un bruit important dans la plage
fréquentielle (1 + 2 g)fs + 2δ , (1 + 4 g)fs − 2δ , ce qui induit un écart-type σm important. Nous représentons sur la figure IV.17 la phase du courant statorique lorsque
la machine asynchrone fonctionne avec une barre rotorique défaillante pour une fréquence fondamentale des courants statoriques de 50 Hz. Nous pouvons remarquer la
présence de nombreux sauts de phase dans la plage fréquentielle bleu ce qui induit
une valeur de σm importante. Le rapport
σc
σm
est par conséquent très faible, trop faible
pour permettre la détection du défaut rotorique ( σσmc < 3). Une analyse similaire de
la phase a été effectuée lorsque la fréquence des courants était de 25 Hz (figure
IV.18). Sur cette représentation, nous pouvons remarquer que la phase contient de
nombreux sauts à des fréquences quelconques voire incohérentes. Ces sauts, dont
l’amplitude reste assez faible, donnent quand même une valeur de l’écart-type σ m
importante, provoquant ainsi un diagnostic erroné de la cage rotorique.
– Le second problème rencontré est la mauvaise détection du saut de phase situé à la
fréquence (1 − 2 g)fs . En effet, la présence de sauts de phase quelconques dans la
plage fréquentielle [fs -10, fs ] ne permet pas de détecter le saut de phase nécessaire
au calcul du glissement de la machine (saut de phase de fréquence (1 − 2 g)fs ). Si
un saut de phase, assez conséquent pour être considéré comme un maximum, se
situe dans la plage fréquentielle [(1 − 2 g)fs , fs ], le calcul du glissement sera alors
erroné étant donné que ce saut sera considéré comme étant celui créé par le défaut
rotorique. Le problème cité précédemment est illustré à la figure IV.19. Pour ce
mode de fonctionnement, la charge appliquée à la machine asynchrone est de 100%
(g ' 6%), ce qui nous donne une fréquence (1 − 2 g)fs d’environ 43 Hz. Le saut de
phase détecté par le programme de diagnostic renvoie, dans ce cas, une fréquence de
47,8 Hz, ce qui ne correspond pas à la fréquence du saut créé par le défaut rotorique.
Cette erreur de détection entraîne un calcul des écarts-types σc et σm sur des plages
fréquentielles erronées et engendre un diagnostic incorrect de l’état du rotor de la
166
Chapitre IV : Diagnostic de défaut sans référence
4
ϕT F (f )
3
Phase (Rd)
2
1
0
−1
−2
PSfrag replacements
−3
−4
40
45
50
55
Fréquence (Hz)
60
65
Fig. IV.17 : Phase ϕT F (f ) du courant statorique pour fs = 50 Hz : U/f 1b-C100
4
ϕT F (f )
3
Phase (Rd)
2
1
0
−1
−2
PSfrag replacements
−3
−4
20
25
30
Fréquence (Hz)
35
40
45
Fig. IV.18 : Phase ϕT F (f ) du courant statorique pour fs = 25 Hz : U/f 1b-C100
4
ϕT F (f )
3
Phase (Rd)
2
1
0
−1
−2
PSfrag replacements
−3
−4
40
45
50
55
Fréquence (Hz)
60
65
Fig. IV.19 : Phase ϕT F (f ) du courant statorique pour fs = 50 Hz : U/f Sain-C100
IV.1 : Phase du spectre du courant statorique
167
machine. Nous pouvons remarquer que la plage fréquentielle de la figure IV.19 où
est calculée l’écart-type σm n’a pas la même largeur que celle de la figure IV.17 alors
que le niveau de charge est identique.
IV.1.4
Bilan de cette approche
La méthode de diagnostic de barre cassée, basée sur le rapport de deux écarts-types
calculés à partir de la phase du spectre du courant statorique a donné des résultats
intéressants lorsque la machine asynchrone est alimentée par le réseau triphasé. Cette
nouvelle approche qui, rappelons-le, ne se base sur aucun seuil de référence (moteur sain),
a permis de détecter une barre de la cage rotorique complètement cassée. La détection
d’un défaut rotorique partiel étant difficile à effectuer avec cette approche.
L’utilisation de cette méthode lorsque la machine asynchrone est alimentée par un
variateur de vitesse n’a pas permis de détecter les défauts rotoriques étudiés. La cause
principale de cette non détection est la présence de sauts de phase importants dans les
plages fréquentielles où sont calculés les écarts-types σc et σm . De plus, pour certain cas de
fonctionnement, la détection du saut situé à la fréquence (1 − 2 g)fs n’a pu se faire car des
sauts de phase présents entre cette fréquence et la fréquence fondamentale fs induisaient
des choix de maxima erronés.
Nous avons vu que la forme de cette phase était dépendante des signes que prennent
la partie réelle et la partie imaginaire de la transformée de Fourier du courant statorique.
Nous avons expliqué que la forme adoptée par ces deux parties était fonction de la résolution fréquentielle utilisée. En effet, il faudrait avoir une résolution fréquentielle la plus
faible possible pour que chaque fréquence étudiée soit un multiple entier de cette dernière.
Ne pouvant jouer ni sur le nombre de point N , ni sur la fréquence d’échantillonnage F e , il
est difficile de modifier la méthode de détection pour permettre la prise en considération
de cet effet et donc, d’améliorer la forme de cette phase.
L’idée d’utiliser la transformée de Hilbert est issue de toutes ces remarques. L’avantage
de cette transformée est le fait que nous pouvons connaître exactement la forme de la
partie réelle et de la partie imaginaire. C’est un point essentiel car cette information
permet la connaissance exacte de la forme de la phase correspondante, contrairement à
la transformée de Fourier. L’utilisation de cette transformée pour le diagnostic de défaut
168
Chapitre IV : Diagnostic de défaut sans référence
rotorique fait donc l’objet de la partie suivante. Nous donnons dans un premier temps
les définitions de base de cette transformée pour permettre ensuite de l’appliquer au
diagnostic de défaut rotorique.
IV.2
Transformée de Hilbert
Nous avons montré, dans la partie précédente, que la forme des parties réelle et imaginaire de la phase du spectre du courant statorique provoquait des sauts "quelconques"
lors d’une alimentation par convertisseur statique, induisant ainsi un diagnostic de défaut
erroné pour certains modes de fonctionnements. Ce problème peut être contourné avec
l’utilisation de la transformée de Hilbert, comme nous allons le démontrer ci-après.
IV.2.1
Définitions de base
La transformée de Hilbert d’un signal réel uni-dimensionnel y(t) peut être calculée en
utilisant la relation :
1
v(t) = −
π
Z
∞
−∞
y(η)
1
dη =
η−t
π
Z
∞
−∞
y(η)
dη
t−η
(IV.6)
La transformée de Hilbert inverse quant à elle nous est donnée par la relation :
Z
Z
1 ∞ v(η)
1 ∞ v(η)
y(t) =
dη = −
dη
π −∞ η − t
π −∞ t − η
(IV.7)
Généralement, la transformée de Hilbert est exprimée en utilisant les notations propres
aux convolutions telles que :
1
πt
1
y(t) = v(t) ∗
πt
(IV.8)
v(t) = y(t) ∗
(IV.9)
Contrairement à la transformée de Fourier qui transforme un signal issu du domaine
temporel en un signal exprimé dans le domaine fréquentiel, la transformée de Hilbert ne
change pas le domaine de la variable y(t). En effet, la transformée de Hilbert d’un signal
dépendant de la variable t est elle aussi fonction de cette même variable. La transformée
de Fourier du noyau de la transformée de Hilbert, c’est à dire Θ(t) =
1
πt
(équations IV.8
et IV.9) est :
Θ(t) =
1 TF
=⇒ −j sgn(ω)
πt
(IV.10)
IV.2 : Transformée de Hilbert
169
où la fonction signe, notée "sgn" prend les valeurs suivantes :



+1 pour ω > 0



sgn(ω) =
0 pour ω = 0




 −1 pour ω < 0
(IV.11)
La multiplication de ce noyau par le théorème de convolution issu de l’analyse de Fourier
donne le spectre de la transformée de Hilbert :
TF
(IV.12)
v(t) =⇒ V (ω) = −j sgn(ω) Y (ω)
Cette relation permet le calcul de la transformée de Hilbert à partir de la transformée de
Fourier inverse du spectre donnée par l’équation précédente2 :
T F −1
TF
y(t) =⇒ Y (ω) =⇒ V (ω) = −j sgn(ω) Y (ω) =⇒ v(t)
(IV.13)
Le calcul de la transformée de Fourier peut se faire en utilisant les algorithmes TFD
(transformée de Fourier discrète) ou encore TFR (transformée de Fourier rapide) vus au
chapitre I.
De façon générale, un signal réel y(t) peut être décomposé en une somme de deux termes :
y(t) = yp (t) + yi (t)
(IV.14)
yp (t) =
y(t) + y(−t)
2
(IV.15)
yi (t) =
y(t) − y(−t)
2
(IV.16)
où le terme pair vaut :
et le terme impair vaut :
La transformée de Fourier de y(t) est une fonction complexe qui peut se mettre sous la
forme :
Y (ω) = <(Y (ω)) + j =(Y (ω)) = YRe (ω) + j YIm (ω)
(IV.17)
La multiplication de la transformée de Fourier Y (ω) par l’opérateur −j sgn(ω) change la
partie réelle en partie imaginaire et vice versa (équation IV.12). Le spectre de la transformée de Hilbert, quant à lui, peut se mettre sous la forme :
V (ω) = <(V (ω)) + j =(V (ω)) = VRe (ω) + j VIm (ω)
2
T F −1 signifie transformée de Fourier inverse.
(IV.18)
170
Chapitre IV : Diagnostic de défaut sans référence
ou, en se basant sur les démonstrations précédentes :
VRe (ω) = −j sgn(ω)[j YIm (ω)] = sgn(ω) YIm (ω)
(IV.19)
VIm (ω) = −j sgn(ω) YRe (ω)
(IV.20)
et
Par conséquent, nous pouvons remarquer que la transformée de Hilbert change tous les
termes pairs en termes impairs et tous les termes impairs en termes pairs. Nous pouvons
alors donner la transformée de Hilbert des fonctions harmoniques cosinus et sinus 3 :
cos(ω t) =⇒ sin(ω t)
TH
(IV.21)
TH
(IV.22)
sin(ω t) =⇒ − cos(ω t)
e−j ω t =⇒ = −j sgn(ω)e−j ω t = sgn(ω) ej (ω t− 2 )
π
TH
(IV.23)
De ces équations, nous pouvons remarquer que la transformée de Hilbert change tous
les termes cosinus en termes sinus et tous les termes sinus en termes cosinus négatif. La
transformée de Hilbert dans le domaine temporel correspond à un déphasage de valeur
π
2
(ou 90˚) de tous les termes de la transformée de Fourier.
IV.2.2
De la transformée de Hilbert à la théorie de modulation
En complément du déphasage de
π
2
qu’elle introduit entre la partie réelle et la partie
imaginaire, la transformée de Hilbert peut être utilisée dans la théorie de modulation pour
déterminer la modulation d’amplitude, la modulation de phase ainsi que la modulation
de fréquence d’un signal temporel y(t).
La transformée de Hilbert d’un signal y(t) peut s’écrire sous la forme :
TH
y(t) =⇒ ye(t) = yeRe (t) + j yeIm (t)
(IV.24)
où yeIm (t) représente la transformée de Hilbert du signal yeRe (t). Le signal ye(t), quant à
lui, est couramment appelé signal analytique.
La modulation d’amplitude A(t) du signal temporel y(t) se calcule en utilisant la relation
suivante :
A(t) =
3
T H signifie transformée de Hilbert.
p
yeRe (t)2 + yeIm (t)2
(IV.25)
IV.2 : Transformée de Hilbert
171
Sa modulation de phase ϕ(t) se calcul grâce à la relation :
ϕ(t) = arctan
yeIm (t)
yeRe (t)
(IV.26)
A partir de cette modulation de phase, nous pouvons déterminer l’expression permettant
de calculer sa modulation de fréquence :
F (t) = F0 +
1 d ϕ(t)
2 π dt
(IV.27)
Si nous prenons comme exemple une fonction y(t) modulée en amplitude et en phase
ayant pour expression :
y(t) = 10 (1 + m cos(ωf t)) cos (ωs t + β cos(ωf t))
(IV.28)
ωf = 8 π ωs = 100 π m = 0, 03 β = 0, 01
(IV.29)
avec
le calcul de la transformée de Hilbert de ce signal donne un signal analytique complexe
ye(t) avec une partie réelle yeRe (t) et une partie imaginaire yeIm (t) (équation IV.24) que
nous représentons à la figure IV.20. Nous pouvons remarquer le déphasage de
π
2
entre les
deux signaux comme il l’a été démontré dans la partie IV.2.1. Le calcul du module de
ye(t) donne l’enveloppe du signal y(t) et le calcul de sa phase nous donne sa modulation
de phase ainsi que sa modulation de fréquence en fonction du temps.
Nous présentons à la figure IV.21 l’enveloppe du signal temporel y(t), c’est-à-dire sa
modulation d’amplitude au cours du temps, ainsi que sa modulation de phase à la figure
IV.22 et sa modulation de fréquence à la figure IV.23 obtenues à partir de ye(t).
IV.2.3
La transformée de Hilbert pour le diagnostic de défaut
rotorique
Cette partie développe la méthode de diagnostic basée sur le calcul de la phase du
signal analytique obtenu par une transformée de Hilbert du module du spectre du courant
absorbé par la machine asynchrone. En d’autre terme, plutôt que de travailler directement
sur le courant statorique (signal temporel), nous suggérons de travailler avec le module de
sa transformée de Fourier. Comme nous l’avons précédemment mentionnée, la transformée
de Hilbert d’un signal renvoie une représentation de ce signal dans le même domaine. Ainsi,
172
Chapitre IV : Diagnostic de défaut sans référence
yRe (t)
yIm (t)
PSfrag replacements
Partie réelle et imaginaire de y(t)
Partie imaginaire et partie complexe
10
5
0
−5
−10
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Temps (Sec)
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
Fig. IV.20 : Partie imaginaire et partie réelle de ye(t)
12
yRe (t)2 + yIm (t)2
y(t)
PSfrag replacements
Modulation amplitude
10
8
6
4
2
0
0
0.1
0.2
0.3
Temps (Sec)
0.4
0.5
0.6
Fig. IV.21 : Modulation d’amplitude de y(t)
y
40
(t)
arctan yIm(t)
Re
Modulation de phase (Deg)
30
20
10
0
−10
−20
PSfrag replacements
−30
−40
0
0.1
0.2
0.3
Temps (Sec)
0.4
0.5
0.6
Fig. IV.22 : Modulation de phase de y(t)
50.1
d ϕ(t)
F0 + 21π dt
Modulation de fréquence (Hz)
50.08
PSfrag replacements
50.06
50.04
50.02
50
49.98
49.96
49.94
49.92
49.9
0
0.1
0.2
0.3
Temps (Sec)
0.4
0.5
Fig. IV.23 : Modulation de fréquence de y(t)
0.6
IV.2 : Transformée de Hilbert
173
si nous appliquons la transformée de Hilbert sur le module de la transformée de Fourier
du courant statorique, le signal résultant sera par conséquent exprimé dans le domaine
fréquentiel.
Cette démarche utilise la transformée de Hilbert calculée à partir du module du spectre
du courant statorique, sa phase n’ayant aucune importance ici. Les figures IV.24 et IV.25
représentent la phase du signal analytique4 obtenu en calculant la transformée de Hilbert
du module du spectre du courant statorique de la machine lorsque cette dernière fonctionne avec un rotor sain et un rotor défaillant (le moteur se trouve dans la configuration
S-C100). Ces figures mettent en évidence la présence de "sauts de phase" aux fréquences
de défaut (1 ± 2 k g)fs . De plus, nous pouvons remarquer que l’apparition du défaut ro-
torique contribue à augmenter l’amplitude des sauts présents dans la phase ϕ T H (f ). Si
nous portons notre attention sur la figure IV.26, nous pouvons remarquer un changement
rapide de la phase au niveau du 50 Hz. Tout comme la phase de la TF du courant, le fait
d’avoir un changement de phase net à 50 Hz permettra d’évaluer l’amplitude du saut de
phase situé à la fréquence (1 − 2 g)fs plus facilement que l’amplitude de la composante de
même fréquence présente dans le module du spectre du courant statorique (figure IV.27).
Pour notre machine, la détection de cette fréquence ne pose aucun problème, que ce soit
dans le module du spectre ou dans la phase ϕT H (f ), mais lorsque l’étude porte sur des
moteurs de forte puissance, cette détection peut s’avérer difficile à cause de la faible valeur
du glissement (∼ 1%).
La différence entre la phase de la TF et la phase du signal analytique réside dans le fait
que cette dernière est calculée à partir du module du spectre du courant statorique. C’est à
dire que dés que la composante de fréquence (1−2 g)fs apparaît dans le module du spectre,
elle apparaîtra aussi dans la phase ϕT H (f ). Même si la composante créée par le défaut
rotorique a une amplitude relativement faible dans le module du spectre fréquentiel du
courant statorique, nous obtiendrons tout de même une représentation de celle-ci dans la
phase du signal analytique ϕT H (f ) car le module du spectre contiendra cette information.
De plus, il faut noter que l’amplitude des sauts de phase situés aux fréquences (1±2 k g)f s
de la phase ϕT H (f ) est directement liée à l’amplitude des composantes situées aux mêmes
fréquences dans le module du spectre du courant statorique.
4
Dans la suite de l’étude nous noterons ce signal analytique If
sa (f ) et la phase correspondante ϕT H (f )
174
Chapitre IV : Diagnostic de défaut sans référence
2
ϕT H (f )
PSfrag replacements
Phase de la TH (Rd)
1.5
1
0.5
(1 − 2 k g)fs
(1 + 2 k g)fs
0
−0.5
−1
−1.5
−2
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. IV.24 : Phase du signal analytique obtenu par une TH de |isa (f )| : S-C100
2
ϕT H (f )
PSfrag replacements
Phase de la TH (Rd)
1.5
(1 − 2 k g)fs
1
0.5
0
−0.5
(1 + 2 k g)fs
−1
−1.5
−2
0
10
20
30
40
50
Fréquence (Hz)
60
70
80
90
100
Fig. IV.25 : Phase du signal analytique obtenu par une TH de |isa (f )| : 1b-C100
2
ϕT H (f )
PSfrag replacements
Phase de la TH (Rd)
1.5
1
0.5
(1 + 2 g)fs
(1 − 2 g)fs
0
−0.5
−1
−1.5
−2
40
42
44
46
48
50
Fréquence (Hz)
52
54
56
58
60
Fig. IV.26 : Agrandissement de la figure IV.24 autour de 50 Hz
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
0
|isa (f )|
−20
−40
(1 − 2 g)fs
(1 + 2 g)fs
−60
−80
−100
−120
−140
40
42
44
46
48
50
Fréquence (Hz)
52
54
56
58
60
Fig. IV.27 : Module du spectre du courant statorique (normalisé en dB) : S-C100
IV.2 : Transformée de Hilbert
175
La présence de ces sauts de phase peut s’expliquer en étudiant la partie réelle et la
partie imaginaire du signal analytique If
sa (f ). Nous savons que le courant absorbé par
une machine asynchrone fonctionnant avec un rotor sain ou un rotor défaillant présente
toujours une modulation d’amplitude et de fréquence. En se référant au chapitre III, nous
pouvons donner l’expression du courant statorique isa (t) lorsque nous considérons une
modulation d’amplitude non symétrique autour de la fréquence porteuse f s :
0
X √
X √
X
X
2 m c k Is
2 m c k Is
cos(2 π(fs −k fm ) t−ϕ)+
cos(2 π(fs +k fm ) t−ϕ)
isa (t) = isa0 (t)+
2
2
k=1
k=1
(IV.30)
En se limitant aux premières fréquences créées par le défaut rotorique (X=1), l’équation
IV.30 peut se mettre sous la forme :
√
√
0
2 m c 1 Is
2 m c 1 Is
cos(2 π(fs − fm ) t − ϕ) +
cos(2 π(fs + fm ) t − ϕ)
isa (t) = isa0 (t) +
2
2
(IV.31)
Le module de la transformée de Fourier de ce signal est donné à la figure IV.28 lorsque
nous prenons comme paramètres :
0
mc1 = 0, 002 mc1 = 0, 0003 fm = 6 Hz fs = 50 Hz
(IV.32)
(La valeur de ces paramètres correspond au cas S-C100 étudié dans le chapitre III lorsque
la machine est connectée au réseau triphasé). Cette représentation est donnée en dB
(module normalisé par rapport au maximum) pour une meilleure visualisation mais nous
rappelons que la transformée de Hilbert s’applique sur le module linéaire. Ce spectre fréquentiel donne une composante de fréquence 50 Hz plus deux composantes de fréquences
(fs − fm ) et (fs + fm ). En reprenant les notations données à l’équation IV.24, nous obtenons :
TH
f
f
|isa (f )| =⇒ If
sa (f ) = Isa Re (f ) + j Isa Im (t)
(IV.33)
En théorie, la transformée de Fourier de cos(2 π fs t) donne deux pics de Dirac dans le domaine fréquentiel, positionnés aux fréquences −fs et fs avec comme amplitude 12 δ(f + fs )
et
1
2
δ(f − fs ). D’après [14], la transformée de Hilbert d’un pic de Dirac positionné à la
fréquence f = 0 vaut
1
.
πf
Par extension, la transformée de Hilbert d’un pic de Dirac
positionné à la fréquence −fs vaut donc
la fréquence fs vaut
1
π (f −fs )
1
π (f +fs )
et celle d’un pic de Dirac positionné à
(f étant le domaine dans lequel est exprimé le signal ana-
lysé). Par conséquent, la forme de If
saRe (f ) sera identique au module de la transformée
176
Chapitre IV : Diagnostic de défaut sans référence
de Fourier du courant et celle de If
sa Im (f ) sera une fonction impaire en
1
πf
en −fs et fs .
Nous donnons à la figure IV.29 une représentation de la partie réelle If
saRe (f ) et de la
partie imaginaire If
sa Im (f ) du signal analytique ainsi que la phase correspondante autour
de 50 Hz5 . La figure IV.30, quant à elle, représente les mêmes signaux mais autour de la
fréquence de défaut (fs − fm ).
Nous pouvons noter que les formes correspondent à celles attendues, c’est à dire que la
partie réelle du signal analytique est identique au module de la transformée de Fourier du
courant (une composante à 50 Hz et à fs − fm ) et que la partie imaginaire est une fonction
en
1
πf
impaire centrée sur fs = 50 Hz et sur fs − fm . La forme de cette phase dépend donc
du signe que prennent la partie réelle et la partie imaginaire du signal analytique If
sa (f )
lorsque l’on se déplace sur l’axe fréquentiel.
Pour le cas étudié (équation IV.31), la phase ϕT H (f ) commence à la valeur − π2 étant
donné que la partie réelle est nulle et que la partie imaginaire est négative. Cette phase
change de forme lorsque la partie réelle devient positive, c’est à dire aux alentours de 44 Hz
(partie réelle positive et partie imaginaire négative) ce qui la fait tendre vers zéro. Lorsque
la partie réelle redevient nulle, la phase retrouve une valeur de − π2 (partie réelle nulle et
partie imaginaire négative). Nous pouvons noter que pour chaque composante présente
dans le module de la transformée de Fourier du courant, la partie imaginaire du signal
analytique prend la forme d’une fonction en
1
π (f −fx )
(fx étant la fréquence où apparaît
la composante dans le module de la TF) (figure IV.29). Lorsque l’on se rapproche du 50
Hz, la partie réelle devient positive (la partie imaginaire est toujours négative) ce qui fait
tendre la phase vers zéro. Le passage de celle-ci par la valeur zéro se fait lorsque la partie
imaginaire devient nulle. Au delà de 50 Hz, la partie réelle et la partie imaginaire sont
toutes les deux positives, ce qui fait tendre la phase vers π2 , valeur qu’elle atteint lorsque
la partie réelle redevient nulle. A l’approche de 56 Hz (fs + fm ), la partie réelle devient
positive (partie imaginaire positive) ce qui fait tendre la phase vers zéro. Elle reprend
une valeur de
π
2
lorsque la partie réelle devient nulle. A partir de cet exemple et de ces
explications, il est clair que plus le module du spectre du courant statorique contiendra de
composantes "de défauts", plus le nombre de sauts dans la phase ϕT H (f ) sera important .
Nous devons aussi noter que, plus l’amplitude des composantes présentes dans le module
5
notons que la phase de If
sa (f ) se calcule avec la relation ϕT H (f ) = arctan
IsaIm (f )
IsaRe (f )
IV.2 : Transformée de Hilbert
177
PSfrag replacements
Densité spectrale de puissance (dB)
0
|isa (f )|
−20
−40
fs − f m
−60
fs + f m
−80
−100
−120
−140
−160
−180
40
42
44
46
48
50
Fréquence (Hz)
52
54
56
58
60
PSfrag replacements
Partie réelle et partie imaginaire
Fig. IV.28 : Module de la transformée de Fourier du signal donné à l’équation IV.31
4
6
x 10
IsaRe (f )
IsaIm (f )
1
πf
4
2
0
−2
−4
49,8
49,85
49,9
49,95
50
Fréquence (Hz)
50,05
50,1
50,15
50,2
Phase de la TH
2
ϕT H (f )
π
2
1
0
−1
− π2
−2
49,8
49,85
49,9
49,95
50
Fréquence (Hz)
50,05
50,1
50,15
50,2
Partie réelle et partie imaginaire
Fig. IV.29 : Partie réelle et imaginaire de If
sa (f ) et phase correspondante (fs )
PSfrag replacements
100
IsaRe (f )
IsaIm (f )
50
0
−50
−100
43,5
43,6
43,7
43,8
43,9
44
44,1
Fréquence (Hz)
44,2
44,3
44,4
44,5
Phase de la TH
0
ϕT H (f )
−0.5
−1
−1.5
−2
43,5
− π2
43,6
43,7
43,8
43,9
44
44,1
Fréquence (Hz)
44,2
44,3
44,4
44,5
Fig. IV.30 : Partie réelle et imaginaire de If
sa (f ) et phase correspondante (fs − fm )
178
Chapitre IV : Diagnostic de défaut sans référence
du spectre fréquentiel du courant sera grande, plus le saut de phase correspondant sera
important. En effet, les sauts de phase créés par les composantes fréquentielles peuvent
passer de − π2 à + π2 (où de + π2 à − π2 ) si les amplitudes de ces dernières sont assez signifi-
catives. La connaissance exacte des parties réelle et imaginaire du signal analytique If
sa (f )
présente donc un avantage par rapport à la phase de la transformée de Fourier que nous
avons décrite dans la partie IV.1.
Pour effectuer un diagnostic de défaut sans introduire de comparaison avec le fonctionnement sain, nous devons analyser exclusivement le signal traité qui, dans notre cas,
est la phase ϕT H (f ) tout comme nous l’avons fait avec la phase du spectre du courant
statorique ϕT F (f ). La méthode de diagnostic que nous allons appliquer à la phase ϕT H (f )
est identique à celle appliquée à la phase ϕT F (f ), c’est-à-dire que nous allons analyser exclusivement le saut de phase situé à la fréquence (1 + 2 g)fs . Normalement, il n’existe pas
de composante à la fréquence (1 + 2 g)fs dans le module du spectre fréquentiel du courant statorique lorsque la cage rotorique est saine ou alors son amplitude est relativement
faible. L’absence de composante à cette fréquence dans le spectre du courant statorique
se traduit par l’absence de saut de phase à cette même fréquence dans la phase ϕT H (f ).
Si, malgré tout, il en existe une de faible amplitude, un faible saut de phase apparaîtra
alors dans ϕT H (f ). Si nous reprenons la figure IV.26, nous remarquons que même avec
un rotor sain sous 100% de charge, nous avons la présence d’un saut de phase à la fréquence (1 − 2 g)fs ainsi qu’un léger saut de phase à la fréquence (1 + 2 g)fs . Ce saut de
phase traduit la présence d’une composante de faible amplitude dans le module du spectre
fréquentiel du courant statorique, ce qui se vérifie sur la figure IV.27.
En reprenant la même démarche que pour l’étude de la phase ϕT F (f ), nous com
parons l’écart-type σc , calculé sur la plage fréquentielle (1 + 2 g)fs − 2δ , (1 + 2 g)fs + 2δ
avec l’écart-type σm calculé sur la plage fréquentielle (1 + 2 g)fs + 2δ , (1 + 4 g)fs − 2δ .
Dans cette méthode de diagnostic, le terme δ prendra la même valeur que pour l’étude de
la phase ϕT F (f ), c’est à dire 1 Hz. La représentation visuelle du calcul des deux écartstypes σc et σm a été présentée sur la figure IV.10. Une fois la valeur des paramètres σc
et σm connue, le critère donné au tableau IV.1 peut être utilisé. Nous avons choisi de
donner à la condition α deux valeurs différentes pour indiquer si le défaut rotorique est
important ou non. Dans la cas étudié, nous donnons au paramètre α les valeurs 3 et 5
IV.2 : Transformée de Hilbert
179
(pour permettre de comparer les résultats issus de la phase du spectre du courant avec
ceux issus de la phase du signal analytique If
sa (f )). Le critère de détection final est énoncé
au tableau IV.2. Le calcul du glissement g de la machine ainsi que les étapes chronologiques pour la détection d’un défaut rotorique sont identiques à celles présentées dans la
méthode de diagnostic utilisant la phase ϕT F (f ). La méthode étant maintenant présentée,
nous proposons de tester sa validité sur les différents essais expérimentaux effectués.
IV.2.4
Résultats expérimentaux
Nous testons la méthode lorsque l’alimentation de la machine se fait soit par le réseau triphasé, soit par un variateur de vitesse. La fréquence d’échantillonnage du courant
statorique est toujours de 2 kHz et la longueur des échantillons de 2.105 points.
IV.2.4.1
Alimentation de la machine par le réseau triphasé
Dans cette partie nous appliquons la méthode proposée lorsque la machine est alimentée directement à partir du réseau triphasé. Nous donnons les résultats obtenus dans le
tableau IV.4. Les notations adoptées sont identiques à celles du tableau IV.3 (page 161).
Pour appuyer les résultats obtenus, nous donnons aux figures IV.31, IV.32 et IV.33
les courbes de la phase ϕT H (f ) lorsque la machine fonctionne sous 100% de charge avec
respectivement un rotor sain, une barre partiellement cassée et une barre totalement
cassée. Les figures IV.34, IV.35 et IV.36 représentent la phase ϕT H (f ) lorsque la machine
fonctionne sous 25% de charge avec les mêmes niveaux de défaillances. Sur ces figures,
nous représentons une nouvelle fois par un trait continu rouge la plage fréquentielle où
est calculé l’écart-type σc , par un trait continu bleu la plage fréquentielle où est calculé
l’écart-type σm et par un cercle rouge le maximum du saut de phase situé à la fréquence
(1 − 2 g)fs .
L’analyse du tableau IV.4 permet de valider l’approche proposée étant donné que tous
les défauts sont détectés si nous considérons que la machine fonctionne avec une charge
minimale de 25%. La fréquence (1 − 2 g)fs obtenue par le programme de détection des
maxima correspond exactement à la valeur de la fréquence créée par le défaut rotorique.
Nous pouvons remarquer que le rapport
σc
σm
est faible pour une machine fonctionnant avec
un rotor sain. Dans certain cas, comme par exemple pour une charge de 25%, nous n’avons
180
Chapitre IV : Diagnostic de défaut sans référence
Tab. IV.4 : Résultats de la méthode de diagnostic appliquée à la phase du signal analytique pour une connexion au réseau triphasé (calcul des écarts-types σc et σm )
Rotor
Fréquence fbc
σc
σm
σc
σm
S-C100
43,45
0,0169
0,0073
2,3150
05b-C100
44,00
0,0615
0,0067
9,1791
Def
1b-C100
43,54
0,3322
0,0050
66,440
Def
S-C75
45,08
0,0179
0,0071
2,5211
05b-C75
45,73
0,0508
0,0095
5,3473
Def
1b-C75
45,45
0,3322
0,0060
55,366
Def
S-C50
46,79
0,0198
0,0094
2,1064
05b-C50
47,14
0,0373
0,0060
6,2167
Def
1b-C50
47,01
0,2736
0,0113
24,212
Def
S-C25
48,40
0,0151
0,0192
0,7864
05b-C25
48,56
0,0223
0,0059
3,7797
1b-C25
48,50
0,1545
0,0189
8,1746
Décision
Def
Def
Def
Def
Def
Def
S-C0
Pas de détection de max
Def
05b-C0
Pas de détection de max
Def
1b-C0
Pas de détection de max
Def
De
Pas de défaut –
De
Défaut partiel –
De
Défaut important
IV.2 : Transformée de Hilbert
181
4
ϕT H (f )
3
Phase (Rd)
2
1
0
−1
−2
PSfrag replacements
−3
−4
40
45
50
55
Fréquence (Hz)
60
65
70
Fig. IV.31 : Phase ϕT H (f ) du signal analytique If
sa (f ) : Réseau S-C100
4
ϕT H (f )
3
Phase (Rd)
2
1
0
−1
−2
PSfrag replacements
−3
−4
40
45
50
55
Fréquence (Hz)
60
65
70
Fig. IV.32 : Phase ϕT H (f ) du signal analytique If
sa (f ) : Réseau 05b-C100
4
ϕT H (f )
3
Phase (Rd)
2
1
0
−1
−2
PSfrag replacements
−3
−4
40
45
50
55
Fréquence (Hz)
60
65
70
Fig. IV.33 : Phase ϕT H (f ) du signal analytique If
sa (f ) : Réseau 1b-C100
182
Chapitre IV : Diagnostic de défaut sans référence
4
ϕT H (f )
3
Phase (Rd)
2
1
0
−1
−2
PSfrag replacements
−3
−4
40
45
50
55
Fréquence (Hz)
60
65
70
Fig. IV.34 : Phase ϕT H (f ) du signal analytique If
sa (f ) : Réseau S-C25
4
ϕT H (f )
3
Phase (Rd)
2
1
0
−1
−2
PSfrag replacements
−3
−4
40
45
50
55
Fréquence (Hz)
60
65
70
Fig. IV.35 : Phase ϕT H (f ) du signal analytique If
sa (f ) : Réseau 05b-C25
4
ϕT H (f )
3
Phase (Rd)
2
1
0
−1
−2
PSfrag replacements
−3
−4
40
45
50
55
Fréquence (Hz)
60
65
70
Fig. IV.36 : Phase ϕT H (f ) du signal analytique If
sa (f ) : Réseau 1b-C25
IV.2 : Transformée de Hilbert
183
pas de saut de phase à (1 + 2 g)fs , ce qui implique un écart-type σc très faible. Dés que le
moteur asynchrone présente un défaut rotorique partiel, cet écart-type augmente dans un
rapport de 2, voire de 4 dans le cas d’une charge de 100%, ce qui permet de détecter le
défaut rotorique rapidement. L’analyse de la machine asynchrone lorsque celle-ci présente
une barre de la cage complètement cassée ne fait que conforter les résultats obtenus avec
une barre partiellement cassée. Pour ce niveau de défaillance, le rapport minimum entre
les écarts-types σc et σm est de 8 et le rapport maximum est de 66. En effet, le courant
traversant les barres de la cage rotorique pour un couple de charge de 100% est plus
important que pour un couple de charge 25%. C’est pour cette raison que la valeur de
l’écart-type σc (saut de phase situé à la fréquence (1 + 2 g)fs ) est plus importante lorsque
la charge appliquée à la machine asynchrone augmente. Nous pouvons remarquer que
la méthode de diagnostic n’a pas pu détecter les défauts rotoriques lorsque la machine
asynchrone fonctionne à vide. Ceci est dû au fait que la phase ϕT H (f ) ne présente aucun
maxima dans la plage fréquentielle [40 - 50] Hz. Le faible courant circulant dans les barres
est la cause principale de cette non détection. En effet, la composante qui se situe à la
fréquence (1 − 2 g)fs dans le module du spectre du courant statorique est trop faible, voire
inexistante, pour permettre de créer un saut de phase conséquent dans la phase ϕ T H (f ).
Il est possible de modifier les valeurs du critère de détection donné au tableau IV.2.
Par exemple, plus l’utilisateur choisira des paramètres importants, par exemple 10 et 15,
plus il sera discriminant dans le traitement des défauts. Dans notre étude, si nous avions
choisi ces valeurs, le défaut impliquant une barre partiellement cassée n’aurait pas pu être
détecté, seul le défaut impliquant une barre totalement cassée pour une charge supérieur
ou égale à 50% aurait pu être diagnostiqué. A l’opposé, si un système doit être surveillé
avec une grande vigilance, l’utilisateur minimisera les paramètres pour être certain que la
moindre défaillance soit détectée. Ce choix aura pour conséquence probable l’apparition de
fausses alarmes en fonction de la charge appliquée à la machine asynchrone. Par exemple
si nous avions choisi une valeur de 2,5 à la place de 3 dans le critère, nous aurions détecté,
pour un fonctionnement sous 75% de charge, un défaut partiel alors que la cage rotorique
est saine. A l’opposé, pour la même valeur nous aurions certainement détecté la présence
d’une très faible défaillance (inférieur à 50% de la barre cassée) pour un fonctionnement
à pleine charge.
184
Chapitre IV : Diagnostic de défaut sans référence
Nous venons de montrer l’efficacité de cette méthode de diagnostic pour la détection
d’un défaut rotorique (rupture partielle et totale d’une barre rotorique) lorsque la machine
asynchrone est alimentée par le réseau triphasé. En comparaison avec la méthode basée
sur le calcul de la phase du spectre du courant statorique ϕT F (f ), le défaut impliquant une
barre partiellement cassée a pu être détecté sans avoir recours à aucun seuil de référence.
De plus, il est important de noter que les signaux obtenus avec la transformée de Hilbert
sont beaucoup moins bruités que ceux calculés à partir de la transformée de Fourier.
IV.2.4.2
Alimentation de la machine par un variateur de vitesse
La méthode de diagnostic utilisant la phase ϕT H (f ) a montré son efficacité lorsque la
machine asynchrone est connectée au réseau triphasé. L’étape suivante consiste à étudier
cette méthode lorsque la machine est alimentée par un variateur de vitesse.
Les résultats obtenus avec ce type d’alimentation sont présentés dans les tableaux IV.5
pour une fréquence de synchronisme de 50 Hz et dans le tableau IV.6 pour une fréquence
de synchronisme de 25 Hz. Nous constatons que la méthode de diagnostic a des difficultés
à détecter un défaut rotorique lorsque la machine asynchrone fonctionne avec une charge
inférieure à 50%. La phase ϕT H (f ) contient un nombre important de sauts de phase dans
la plage fréquentielle [40 - 70] Hz. Ces sauts sont bien évidemment dus à la présence de
composantes perturbatrices générées par le variateur de vitesse dans la densité spectrale
de puissance du courant statorique. Pour certains modes de fonctionnement, ces sauts de
phase donnent un écart-type σm important ce qui provoque un rapport
σc
σm
trop faible
pour que le diagnostic de défaut puisse être fait (05b-50-C50 ou 1b-50-C50 par exemple).
Pour le cas S-50-C50, la méthode de diagnostic nous informe de la présence d’un
défaut rotorique partiel alors que le rotor est sain. Dans ce cas, il faudrait ajuster la
valeur minimale du critère donné au tableau IV.2 pour établir la présence ou non d’un
défaut partiel. Le rapport
σc
σm
pour ces modes de fonctionnement étant très proche de
3, il faudrait dans ce cas prendre une valeur supérieure pour permettre le diagnostic du
rotor sain. Le passage de ce paramètre d’une valeur 3 à 4 ne modifierait en rien les autres
décisions.
En ce qui concerne le tableau IV.6, nous pouvons remarquer que le défaut impliquant
une barre complètement cassée a pu être détectée pour un niveau de charge supérieur ou
IV.2 : Transformée de Hilbert
185
Tab. IV.5 : Résultats de la méthode de diagnostic appliquée à la phase du signal analytique pour une connexion à un variateur de vitesse avec fs = 50 Hz
Rotor
S-50-C100
Fréquence fbc
σc
σc
σm
σm
Pas de détection de max
Def
05b-50-C100
44,45
0,0534
0,0731
0,7300
1b-50-C100
43,52
0,4632
0,0763
6,0707
S-50-C75
45,17
0,0179
0,0071
2,5211
05b-50-C75
Décision
Pas de détection de max
Def
Def
Def
Def
1b-50-C75
45,46
0,3322
0,0060
4,8770
Def
S-50-C50
47,90
0,1063
0,0346
3,0706
Def
05b-50-C50
47,85
0,1321
0,0450
2,9348
Def
1b-50-C50
47,05
0,2007
0,0865
2,3214
Def
S-50-C25
Pas de détection de max
Def
05b-50-C25
48.05
0,1594
0,0763
2,0887
Def
1b-50-C25
48.40
0.0511
1.3251
0.0385
Def
S-50-C0
Pas de détection de max
Def
05b-50-C0
Pas de détection de max
Def
1b-50-C0
Pas de détection de max
Def
De
Pas de défaut –
De
Défaut partiel –
De
Défaut important
186
Chapitre IV : Diagnostic de défaut sans référence
Tab. IV.6 : Résultats de la méthode de diagnostic appliquée à la phase du signal analytique pour une connexion à un variateur de vitesse avec fs = 25 Hz
Rotor
Fréquence fbc
σc
σm
σc
σm
S-25-C100
15,92
0,0242
0,0649
0,3727
Def
05b-25-C100
18,95
0,0420
0,0378
1,1130
Def
1b-25-C100
18,22
0,4889
0,0421
11,609
S-25-C75
Pas de détection de max
Décision
Def
Def
05b-25-C75
20,77
0,0170
0,0339
0,5009
Def
1b-25-C75
20,27
0,3389
0,0334
10,160
S-25-C50
21,00
0,0606
0,1121
0,5405
Def
05b-25-C50
19,77
0,0391
0,0653
0,5982
Def
1b-25-C50
22,10
0,2045
0,0250
8,1732
Def
Def
S-25-C25
Pas de détection de max
Def
05b-25-C25
Pas de détection de max
Def
1b-25-C25
22,48
0,1149
0,0337
3,4080
Def
S-25-C0
Pas de détection de max
Def
05b-25-C0
Pas de détection de max
Def
1b-25-C0
Pas de détection de max
Def
De
Pas de défaut –
De
Défaut partiel –
De
Défaut important
IV.2 : Transformée de Hilbert
187
égale à 25%. La barre partiellement cassée n’a pas été détecté avec cette approche car la
phase ϕT H (f ) est trop perturbée par le variateur de vitesse dans la plage fréquentielle où
est calculé l’écart-type σm . De plus, que ce soit pour une fréquence de synchronisme de
50 Hz ou pour une fréquence de synchronisme de 25 Hz, l’utilisation de cette méthode de
diagnostic pour un fonctionnement de la machine à vide n’a pas été concluant. En effet,
tout comme pour l’étude de la phase de la transformée de Fourier, les faibles courants
circulant dans les barres rotoriques n’induisent pas de sauts de phase assez conséquents
pour permettre de calculer la valeur du glissement g de la machine.
Conclusion
Nous avons présenté dans ce chapitre deux méthodes permettant d’effectuer le diagnostic de la cage rotorique d’une machine asynchrone. Ces méthodes n’utilisent que l’information donnée par le courant statorique de la machine pour un point de fonctionnement
particulier, c’est à dire qu’elles ont la particularité de détecter un défaut sans effectuer de
comparaison avec une quelconque donnée issue d’un essai avec un rotor sain.
Deux approches ont été proposées pour diagnostiquer un défaut de barre. La première
approche se base sur le calcul de la phase de la transformée de Fourier du courant statorique. Nous avons montré qu’au même titre que l’analyse du module du spectre du
courant statorique, la phase contenait une information pertinente sur l’état de la cage
d’écureuil de la machine asynchrone lorsque cette dernière est connectée directement au
réseau triphasé. Grâce à ce signal, nous avons pu détecter la présence d’une barre cassée
lorsque la machine fonctionne avec une charge supérieure ou égale à 25% ainsi que la présence d’une barre partiellement cassée pour un fonctionnement avec une charge nominale.
Les résultats obtenus étant relativement intéressants, nous avons essayé d’effectuer une
analyse identique lorsque la machine asynchrone est alimentée par un variateur de vitesse.
Les résultats obtenus dans cette configuration n’ont pas donné satisfaction. En effet, les
perturbations générées par le variateur de vitesse dans la phase du spectre du courant
statorique ont rendu impossible la détection du défaut rotorique.
Afin d’améliorer le diagnostic de défaut, une seconde approche a été proposée. Cette
méthode utilise la même démarche que celle décrite précédemment, la seule différence
188
Chapitre IV : Diagnostic de défaut sans référence
réside dans le fait que ce n’est plus la phase de la transformée de Fourier du courant qui
est analysée par le programme de décision mais la phase du signal analytique obtenu par
une transformée de Hilbert du module du spectre du courant. Cette analyse a permis de
détecter une barre partiellement cassée ainsi qu’une barre complètement cassée pour une
charge supérieure à 25% (connexion au réseau triphasé). L’utilisation de cette approche
sur une machine alimentée par un variateur de vitesse a été effectuée. Nous avons réussi
à détecter une barre complètement cassée lorsque la fréquence de synchronisme était de
25 Hz et cela pour une charge supérieur ou égale à 25%. En ce qui concerne l’analyse du
courant statorique lorsque la fréquence imposée par le convertisseur statique est de 50 Hz,
seule la détection d’une barre complètement cassée sous 100% de charge a été possible. Le
courant statorique étant très perturbé par le variateur de vitesse dans la plage fréquentielle
[40 - 70] Hz, la détection d’une barre partiellement cassée et d’une barre complètement
cassée pour une charge inférieure ou égale à 75% est devenue impossible.
En conclusion, la dernière méthode proposée permet d’obtenir des résultats plus probants que l’analyse de la phase du spectre du courant statorique. Nous avons montré son
efficacité lorsque la machine asynchrone est connectée directement au réseau triphasé.
Pour une alimentation de celle-ci par un variateur industriel, des essais complémentaires
doivent être effectués. Il faudrait tester cette méthode lorsque la machine asynchrone est
connectée à un autre type de variateur (variateur plus récent utilisant une technique de
commande différente). De même, il serait intéressant de valider cette approche sur des
machines asynchrones de caractéristiques différentes (machines de plus forte puissance
par exemple) pour permettre de déterminer une loi de comportement pour le paramètre
α utilisé dans le critère de détection.
Lorsque ces différentes démarches auront été effectuées, nous pourrons alors envisager
l’utilisation d’un DSP (Processeur de Traitement Numérique du Signal) pour obtenir un
diagnostic de défaut en ligne sans avoir recours à une quelconque référence. Ainsi, le
diagnostic de la machine se ferait quel que soit le niveau de charge (niveau minimum
requis pour notre moteur : 25%). La contrainte de cette méthode réside dans l’obligation
de garder le courant statorique stationnaire le temps de son acquisition.
Conclusion générale
L’évolution croissante des machines asynchrones dans les secteurs industriels oblige
certains utilisateurs à se prémunir contre l’apparition d’un défaut provoquant le plus
souvent un arrêt intempestif de la machine. Le travail présenté traite donc du diagnostic
de défauts rotoriques et plus particulièrement des ruptures de barres pouvant survenir au
sein de la cage d’écureuil des machines asynchrones.
Dans le premier chapitre, nous avons rappelé les éléments de constitution de la machine
afin de préciser les différents défauts pouvant survenir sur ceux-ci. Nous avons ensuite présenté divers outils issus des techniques de traitements du signal permettant l’analyse des
signaux révélateurs d’un défaut électrique et/ou mécanique dans le domaine fréquentiel.
Pour finir, nous avons discuté des méthodes de diagnostic actuellement appliquées à la
machine asynchrone pour établir la présence d’un défaut en précisant leurs avantages et
leurs inconvénients. L’étude bibliographique menée a permis de se rendre compte que les
défauts rotoriques naissants étaient encore difficilement identifiables. De plus, pour établir
la présence d’une défaillance électrique et/ou mécanique, la plupart des méthodes utilisent
un seuil de référence déterminé à partir d’un essai avec une machine saine. Se passer de
cette information permettrait de diagnostiquer un défaut sans avoir recours à une quelconque base de données. C’est donc dans cette voie que nous avons souhaité orienter nos
travaux de recherche.
Compte tenu de la difficulté de recréer expérimentalement des situations de défauts,
il s’est vite avéré nécessaire de disposer d’un outil de simulation suffisamment représentatif des diverses situations (système sain et défaillant). Nous avons donc présenté dans la
deuxième partie de ce document un modèle permettant la simulation d’une machine asynchrone à cage d’écureuil. Nous avons décrit la méthodologie qui nous a permis d’aboutir à
la formulation des différentes équations régissant le système complet (circuits électriques
190
Conclusion générale
magnétiquement couplés) pour deux modes d’alimentation (alimentation par le réseau
électrique ou par un convertisseur statique). Cette approche a permis d’étudier l’influence
d’un défaut rotorique sur le comportement dynamique de la machine asynchrone. En complément de l’étude menée, nous avons montré que l’analyse des composantes créées par
les harmoniques d’espace dans le spectre fréquentiel du courant statorique permettait de
différencier un défaut rotorique d’un défaut mécanique (variation du couple de charge).
Ce modèle de machine nous a permis, d’une part, de choisir quel était le signal le plus
pertinent pour effectuer la détection d’un défaut rotorique et, d’autre part, de visualiser
les fréquences où se situaient les composantes créées par la rupture d’une barre rotorique.
Après avoir analysé les différents phénomènes créés par ce type de défaut sur les grandeurs temporelles de la machine, nous nous sommes intéressés plus particulièrement au
développement de nouvelles méthodes de diagnostic. Le troisième chapitre a été consacré à
la description d’une méthode de diagnostic qui permet la détection d’un défaut naissant au
rotor d’une machine asynchrone. Cette méthode s’appuie sur l’évaluation de l’amplitude
des composantes présentes dans le spectre du courant statorique et de la puissance absorbée par le moteur pour détecter l’apparition d’une barre rotorique partiellement cassée.
Les résultats obtenus ont permis de détecter la présence d’un défaut naissant (barre rotorique fissurée à hauteur de 50%) lorsque le moteur asynchrone fonctionne avec un couple
nominal supérieur ou égal à 10% du couple nominal ainsi qu’une barre complètement
cassée lorsque le moteur fonctionne à vide.
Dans le quatrième chapitre, nous avons présenté deux méthodes de diagnostic dont la
particularité est de s’affranchir d’une référence, référence habituellement obtenue par une
analyse de la machine lorsque cette dernière fonctionne avec un rotor sain. La première
méthode proposée utilise la phase du spectre du courant statorique calculée à partir d’une
transformée de Fourier rapide. Nous avons montré que l’utilisation de ce signal permettait
d’effectuer un diagnostic précis de l’état de la cage rotorique. Les résultats obtenus ont
permis de détecter une barre cassée pour un couple de charge supérieur ou égal à 25%.
La détection d’une barre partiellement cassée avec ce signal n’a pu être possible, cette
non détection étant essentiellement due à la présence d’un bruit relativement important.
La transformée de Hilbert appliquée au module du spectre du courant statorique a alors
été utilisée. Cette méthode, validée à partir de plusieurs essais expérimentaux, a permis
Conclusion générale
191
la détection d’un défaut rotorique naissant pour un couple de charge supérieur ou égal à
25% du couple nominal.
Ces travaux de recherche ont permis de développer et de valider à travers différents
essais expérimentaux trois méthodes de diagnostic. Ces méthodes, orientées principalement pour la détection d’une ou plusieurs barres rotoriques défaillantes, ont été validées
expérimentalement en permettant la détection d’un défaut naissant telle une barre partiellement cassée. Les travaux effectués sont cependant loin d’être achevés, et ceci pour
plusieurs raisons.
Premièrement, les méthodes de diagnostic utilisées doivent être améliorées, c’est à
dire que des essais complémentaires sur des moteurs de différentes puissances doivent être
effectués pour les rendre plus fiables et plus sûres. Deuxièmement, il serait intéressant
de les implanter sur DSP pour évaluer leur efficacité lors d’une détection "en ligne" du
défaut rotorique. Troisièmement, dans le cadre plus général du diagnostic de la machine,
il faudrait tester la capacité de nos méthodes à diagnostiquer d’autres types de défauts.
Par exemple, nous savons que l’apparition d’un défaut de roulement ou de court-circuit
inter-spires modifie le contenu spectral du courant statorique. L’évaluation d’un indice
calculé à partir des composantes spécifiques à ces défauts permettrait alors d’obtenir un
système de diagnostic complet.
Annexes
Annexe A
Analyse des forces électromotrices en
présence d’un défaut rotorique
L’expression de l’induction au niveau du stator est :
Bs = ks Is cos(ωs t + ϕBs − θM )
(A.1)
Au niveau du rotor, les courants dans les barres de la cage créent un champ dans l’entrefer
de pulsation g ωs par rapport à l’axe rotorique. Le rotor tourne à la vitesse (1 − g) ω s par
rapport au stator. Dans le cas d’une rupture de barre, le circuit est déséquilibré et, par
conséquent, crée une onde inverse dans l’entrefer de vitesse −g ωs par rapport au rotor. Par
rapport au stator, cette onde à une vitesse (1 − g) ωs − g ωs = (1 − 2 g) ωs . Les inductions
rotoriques sont composées d’une induction directe appelée Brd et d’une induction inverse
appelée Bri ayant pour expression par rapport à l’axe statorique :
Brd = krd Ird cos(ωs t + ϕBrd − θM )
Bri = kri Iri cos((1 − 2 g) ωs t + ϕBri − θM )
(A.2)
L’induction totale dans l’entrefer se calcule en effectuant la somme de l’induction statorique et de toutes les inductions rotoriques :
Btot = Bs + Brd + Bri
(A.3)
196
Annexe A : Analyse des forces électromotrices en présence d’un défaut rotorique
A.1
Énergie
A partir de l’équation A.3, nous pouvons évaluer l’énergie totale en sachant que celle-ci
se concentre essentiellement dans l’entrefer de la machine.
Wtot =
I
v
2
Btot
dV
2 µ0
(A.4)
avec dV = R L e dθ
En développant cette équation, l’énergie obtenue est :
Z
I 2
Btot
R L e 2π
(Bs + Brd + Bri )2 dθ
dV =
Wtot =
2
µ
2
µ
0
0
0
v
Z
R L e 2π 2
2
2
Wtot =
(Bs + Brd
+ Bri
+ 2 Bs Brd + 2 Bs Bri + 2 Brd Bri ) dθ
2 µ0 0
(A.5)
Cette équation se décompose en différentes énergies qui sont :
(A.6)
Wtot = Ws + Wrd + Wri + Wsrd + Wsri + Wrdri
L’énergie statorique Ws donne :
Ws
Ws
Z
R L e 2π
=
(ks Is cos(ωs t + ϕBs − θM ))2 dθ
2 µ0 0
RLe 2 2
=
k I π
2 µ0 s s
(A.7)
Les énergies rotoriques Wrd et Wri sont :
Wrd =
RLe 2 2
RLe 2 2
krd Ird π et Wri =
k I π
2 µ0
2 µ0 ri ri
(A.8)
L’énergie Wsrd due à l’interaction du stator et du rotor donne dans le sens direct :
Z
R L e 2π
(2 Bs Brd )dθ
Wsrd =
2 µ0 0
Z
R L e 2π
(ks Is cos(ωs t + ϕBs − θM ) krd Ird cos(ωs t + ϕBrd − θM ))dθ
Wsrd =
2 µ0 0
RLe
Wsrd =
ks Is krd Ird π cos(−ϕBs + ϕBrd )
(A.9)
µ0
L’énergie Wsri due à l’interaction du stator et du rotor donne dans le sens inverse :
Wsri =
RLe
ks Is krd Ird π cos(−2 g ωs t − ϕBs + ϕBri )
µ0
Seule l’énergie échangée entre le stator et le rotor crée un couple moteur.
(A.10)
A.2 : Couple
A.2
197
Couple
Le couple produit par la machine est dérivé du calcul de l’énergie par rapport à un angle
mécanique :
Cemtot = Cemsrd + Cemsri =
dWsrd dWsri
+
dαsrd
dαsri
(A.11)
avec αsrd = ϕBs + ϕBrd et αsri = ϕBs + ϕBri
Le couple total est alors donné par la relation :
Cemtot = π
RLe
ks Is (krd Ird sin(ϕBs + ϕBrd ) + kri Iri sin(2 g ωs t + ϕBs − ϕBri )) (A.12)
µ0
Cemtot = Cemcst + ∆Cem
(A.13)
Cette dernière équation montre que le couple produit par la machine est composé de deux
termes. Le premier est un couple constant dû au champ direct et le second un couple
pulsant dû au champ inverse de pulsation 2 g ωs .
A.3
Vitesse
L’équation de la vitesse d’une machine asynchrone se calcul grâce à la relation :
Jt
dΩ
= Cemtot − Cr
dt
(A.14)
où Cr représente le couple résistant (couple de charge). En admettant que le couple résistant soit égal au couple Cemsrd , nous obtenons pour l’équation de vitesse :
Jt
dΩ
= Cemsri
dt
Z
1
Ω =
Cemsri dt + Ω0
Jt
(A.15)
En remplaçant Cesri et en calculant l’intégrale, nous obtenons :
1
RLe
π
ks Is kri Iri cos(2 g ωs t + ϕBs − ϕBri )
2 J g ω s µ0
Ω = Ω0 + k cos(2 g ωs t + ϕBs − ϕBri ) = Ω0 + ∆Ω
Ω = Ω0 −
(A.16)
Nous remarquons que la vitesse à une pulsation égale à 2 g ωs identique à celle du couple
électromécanique.
198
Annexe A : Analyse des forces électromotrices en présence d’un défaut rotorique
A.4
Force électromotrice
La force électromotrice se calcule à partir du flux total dans l’entrefer de la machine.
e(t) = −
dφtot
dφs dφrd dφri
=−
−
−
dt
dt
dt
dt
(A.17)
Le flux est donné par la relation de base :
φ=
I
→
→
−−
B dS
(A.18)
s
La dérivée par rapport au temps du flux s’écrit :
dφ
dθ
= B(t) R L
dt
dt
(A.19)
En se basant sur l’équation précédente, la force magnétomotrice e(t) devient :
dθs
dθrd
dθri
− Brd (t) R L
− Bri (t) R L
dt
dt
dt
e(t) = −Bs (t) R L ωs − Brd (t) R L ωrd − Bri (t) R L ωri
e(t) = −Bs (t) R L
e(t) = −Bs (t) R L ωs − Brd (t) R L (Ω + g ωs ) − Bri (t) R L (Ω − g ωs )
(A.20)
En remplaçant les termes Bs (t), Brd (t) et Bri (t) par leurs expressions, nous obtenons1 :
e(t) = −ks Is R L ωs cos(ωs t + ϕBs − θM )
−krd Ird R L (Ω + g ωs ) cos(ωs t + ϕBrd − θM )
−kri Iri R L (Ω − g ωs ) cos((1 − 2 g) ωs t + ϕBri − θM )
(A.21)
Puis, en remplaçant Ω par Ω(t) = Ω0 + k cos(2 g ωs t + ϕBs − ϕBri ) = (1 − g) ωs +
k cos(2 g ωs t + ϕBs − ϕBri ), la forme de la force électromotrice devient :
e(t) = −ks Is R L ωs cos(ωs t + ϕBs − θM )
−krd Ird R L ((1 − g) ωs + k cos(2 g ωs t + ϕBs − ϕBri ) + g ωs ) cos(ωs t + ϕBrd − θM )
−kri Iri R L ((1 − g) ωs + k cos(2 g ωs t + ϕBs − ϕBri ) − g ωs ) cos((1 − 2 g) ωs t + ϕBri − θM )
e(t) = −ks Is R L ωs cos(ωs t + ϕBs − θM )
−krd Ird R L ((ωs + k cos(2 g ωs t + ϕBs − ϕBri )) cos(ωs t + ϕBrd − θM )
−kri Iri R L ((1 − 2 g) ωs + k cos(2 g ωs t + ϕBs − ϕBri )) cos((1 − 2 g) ωs t + ϕBri − θM )
(A.22)
1
en considérant un nombre de paire de pôle égal à 1
A.4 : Force électromotrice
199
En développant, nous avons :
e(t) = −ks Is R L ωs cos(ωs t + ϕBs − θM )
−krd Ird R L ωs cos(ωs t + ϕBrd − θM )
+krd Ird R L k cos(ωs t + ϕBrd − θM ) cos(2 g ωs t + ϕBs − ϕBri )
−kri Iri R L (1 − 2 g) ωs cos((1 − 2 g) ωs t + ϕBri − θM )
+kri Iri R L k cos((1 − 2 g) ωs t + ϕBri − θM ) cos(2 g ωs t + ϕBs − ϕBri )
(A.23)
En développant les termes en cosinus, la force électromotrice devient :
e(t) = −ks Is R L ωs cos(ωs t + ϕBs − θM )
−krd Ird R L ωs cos(ωs t + ϕBrd − θM )
krd Ird R L k
+
(cos((1 + 2 g)ωs t + ϕBs − ϕBri + ϕBrd − θM )
2
+ cos((1 − 2 g)ωs t − ϕBs + ϕBri + ϕBrd − θM ))
−kri Iri R L (1 − 2 g) ωs cos((1 − 2 g) ωs t + ϕBri − θM )
kri Iri R L k
+
(cos(ωs t + ϕBs − θM )
2
+ cos((1 − 4 g)ωs t − ϕBs + 2 ϕBri − θM ))
(A.24)
Soit encore :
e(t) = −ks Is R L ωs cos(ωs t + ϕBs − θM )
−krd Ird R L ωs cos(ωs t + ϕBrd − θM )
+krd Ird R L K cos((1 + 2 g)ωs t + ϕBs − ϕBri + ϕBrd − θM )
+krd Ird R L K cos[(1 − 2 g)ωs t − ϕBs + ϕBri + ϕBrd − θM ]
−kri Iri R L (1 − 2 g) ωs cos((1 − 2 g) ωs t + ϕBri − θM )
+kri Iri R L K cos(ωs t + ϕBs − θM )
+kri Iri R L K cos((1 − 4 g)ωs t − ϕBs + 2 ϕBri − θM )
avec
K=
1
RLe
k
=−
π
ks Is kri Iri
2
4 J g ω s µ0
(A.25)
200
Annexe A : Analyse des forces électromotrices en présence d’un défaut rotorique
A.5
Analyse des expressions
L’expression du couple est la somme de deux composantes, la première étant une composante constante due au champ direct (courant direct) et la seconde étant une composante
pulsante due au champ inverse (courant inverse créé par la rupture de barre).
Suite à une rupture de barre rotorique, un champ inverse dans l’entrefer est créé. Il apparaît alors dans l’expression de la vitesse une composante pulsante à 2 g ωs en supposant
un couple résistant constant est égale au couple direct de la machine asynchrone.
Pour l’expression des forces magnétomotrices dans le cas d’une rupture de barre rotorique,
nous avons :
– Une fréquence fs due au champ statorique Bs et aux champs rotoriques direct Brd
et inverse Bri .
– Une fréquence (1 − 2 g)fs due aux champs rotoriques direct Brd et inverse Bri .
– Une fréquence (1 + 2 g)fs due au champ rotorique direct Brd .
– Une fréquence (1 − 4 g)fs due au champ rotorique inverse Bri .
En utilisant la même démarche, nous pouvons montrer que la rupture d’une barre de la
cage rotorique induit des composantes fréquentielles dans le spectre du courant statorique
aux fréquences données par la relation :
±
fbc
= (1 ± 2 k g)fs
k
Annexe B
Description et identification du banc
d’essai et mesure
B.1
Description du banc d’essai et mesure
La machine asynchrone à cage d’écureuil utilisée pour les différents essais expérimentaux est une machine de 3 kW accouplée à une machine à courant continu de même
puissance (figure B.1). Le stator de cette machine asynchrone se compose de 36 encoches
alors que la cage rotorique se compose de 28 barres d’aluminium. L’accouplement mécanique qui lie les deux machines est un accouplement STRAFLEX fabriqué en acier forgé.
Le banc est pourvu d’un volant permettant la rotation du moteur asynchrone par rapport
à l’axe vertical. Cette rotation nous est très utile pour effectuer l’extraction du rotor de
la machine (figures B.2(a) et B.2(b)). Cela permet de changer la cage rotorique tout en
gardant la partie statorique de la machine solidaire du banc.
Nous présentons aux figures B.3(a) et B.3(b) les rotors ayant respectivement une barre
partiellement cassée et une barre complètement cassée. Nous avons décidé de percer les
barres rotoriques à la jointure entre une barre et l’anneau de court-circuit car c’est à cet
endroit de la cage que la rupture d’une barre est la plus probable (problèmes au niveau
de la soudure entre les barres et les deux anneaux). La charge appliquée à la machine
asynchrone est créée en connectant une caisse de résistance aux bornes de la machine à
courant continu qui fonctionne alors en génératrice. L’alimentation de la machine se fait
par une connexion directe sur le réseau triphasé ou par un variateur de vitesse de type
202
Annexe B : Description et identification du banc d’essai et mesure
Accouplement
souple
Machine à courant
continu
Volant
Moteur
asynchrone
Fig. B.1 : Banc d’essai et mesure
Rotor à cage
Moteur asynchrone
pivoté d’un 1/4 de tour
Extraction du rotor
(a) Moteur avec son rotor
(b) Moteur sans son rotor
Fig. B.2 : Extraction du rotor du moteur asynchrone
Barre totalement
cassée
Barre partiellement
cassée
(a) Une barre partiellement cassée
(b) Une barre complètement cassée
Fig. B.3 : Rotors défaillants
B.2 : Identification des paramètres de la machine asynchrone
203
Altivar 66 de la société Télémécanique.
L’acquisition des signaux est faite par l’intermédiaire de deux cartes d’acquisition
CS1602 fabriquées par la société Gage. Ces cartes permettent l’acquisition de quatre
signaux simultanés sur 16 bits avec une fréquence d’échantillonnage comprise entre 1
kHz et 2,5 MHz. La mémoire utilisée pour l’acquisition de chaque voie est de 512 Mo. La
visualisation des signaux sur l’écran de contrôle se fait par un logiciel appelée GageScope
qui présente les mêmes fonctionnalités qu’un oscilloscope classique.
B.2
Identification des paramètres de la machine asynchrone
Nous présentons dans cette partie les différents essais qui nous ont permis d’obtenir
les paramètres de la machine asynchrone en vue de sa simulation.
B.2.1
Essais classiques
Les essais classiques appliqués à la machine asynchrone se décomposent en trois parties :
– un essai à vide,
– un essai à rotor bloqué,
– un essai de séparation de la source de tension.
L’essai à vide permet de déterminer l’inductance cyclique Lsc de la machine asynchrone
ainsi que sa résistance statorique Rsx (l’indice x pouvant se substituer à la lettre a, b ou
c). Les paramètres σ et τr seront déterminés grâce à l’essai à rotor bloqué et à l’essai de
séparation de la source de tension.
B.2.2
Essai en continu
La machine asynchrone est connectée en étoile et alimentée par un échelon de tension
continu comme le montre la figure B.4. En résolvant les équations relatives à ce système,
204
Annexe B : Description et identification du banc d’essai et mesure
le courant isa (t) peut se mettre sous la forme :
isa (t) = I0 1 +
C −A
A−B
h
e
isa (t) = I0 1 + α e
t
(− A
)
(− τt )
1
+
C −B
B−A
+βe
(− τt )
2
e
t
(− B
)
(B.1)
i
(B.2)
En identifiant la courbe expérimentale de isa (t) donnée à la figure B.5, nous trouvons
I0 , α, β, τ1 et τ2 . A partir de ces termes nous trouvons A, B et C et en déduisons les
valeurs de :
2E
3 I0
= A
R sx =
τ1
τ2 = B
τr = C
τs = τ 1 + τ 2 − τ r
PSfrag replacements
Rla
Lla
Rlb
Llb
Rlc
Llc
e sa
e sb
e sc
Lsc = Rs (τ1 + τ2 − τr )
Rsa
υsa
Js1
Js2
Js3
i sa
Lsa
U(t)
υsb
υsc
Lsc
i sb
i sc
Lsb
Rsb
Rsc
Fig. B.4 : Schéma de connexion du stator pour l’essai avec un échelon de tension
B.2 : Identification des paramètres de la machine asynchrone
205
1
Courant expérimental
Courant théorique
0.9
0.8
Courant (A)
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
PSfrag replacements
0.2
0.1
0
0
0.2
0.4
0.6
Temps (sec)
0.8
1
1.2
Fig. B.5 : Identification des paramètres sur une croissance du courant statorique de la
machine asynchrone
Les paramètres ainsi obtenus pour notre moteur sont :
Rsx = 2,86 Ω, Lsc = 0,599 H, τr = 0,326 sec, τs = 0,0346 sec.
Ces paramètres permettent d’obtenir l’évolution des différentes grandeurs temporelles de
la machine asynchrone étudiée à partir du modèle développé dans le chapitre II.
Liste des tableaux
III.1
III.2
III.3
III.4
III.5
III.6
III.7
III.8
III.9
III.10
III.11
III.12
III.13
III.14
III.15
III.16
III.17
III.18
IV.1
IV.2
IV.3
Indices globaux d’une phase statorique pour une connexion directe sur le
réseau d’alimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparaison entre la valeur des indices d’amplitudes des composantes
pour k = 1 et la valeur des indices globaux . . . . . . . . . . . . . . . . .
Critère de détection no 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résultats du critère de détection no 1 sur les indices globaux mbft , mpt et
m ct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résultats du critère de détection no 1 sur les indices globaux mpgm , mpgo ,
mcgm , mcgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparaison des rapports utilisant les indices globaux mbft , mct , mpgm et
mcgo par rapport au fonctionnement sain (critère de détection no 1) . . . .
Valeurs des indices globaux calculés sur les composantes harmoniques . .
Augmentation des indices globaux calculés sur les composantes harmoniques par rapport au fonctionnement sain . . . . . . . . . . . . . . . . .
Critère de détection no 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résultats du critère de détection no 2 appliqué aux indices globaux mbft ,
mpt et mct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résultats du critère de détection no 2 appliqué aux indices globaux mpgm ,
mpgo , mcgm et mcgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Amélioration du critère de détection no 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indices d’amplitude et indices globaux du courant et de la puissance instantanée d’une phase statorique pour une alimentation en U/f (fs = 50
Hz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indices d’amplitude et indices globaux du courant et de la puissance instantanée d’une phase statorique pour une alimentation en U/f (fs = 25
Hz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Critère de détection n0 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résultats obtenus avec le critère no 3 (50 Hz) . . . . . . . . . . . . . . . .
Résultats obtenus avec le critère no 3 (25 Hz) . . . . . . . . . . . . . . . .
Valeurs des indices globaux calculés sur les composantes harmoniques
pour une alimentation avec un variateur de vitesse à 50 Hz . . . . . . . .
103
105
106
106
107
111
117
118
120
121
122
124
136
137
137
139
139
142
Critère de détection utilisant la phase de la TF . . . . . . . . . . . . . . . 158
Modification du critère de détection utilisant la phase de la TF . . . . . . 158
Résultats de la méthode de diagnostic appliquée à la phase de la transformée de Fourier pour une connexion au réseau triphasé (calcul des écartstypes σc et σm ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
210
Liste des tableaux
IV.4
IV.5
IV.6
Résultats de la méthode de diagnostic appliquée à la phase du signal
analytique pour une connexion au réseau triphasé (calcul des écarts-types
σc et σm ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Résultats de la méthode de diagnostic appliquée à la phase du signal
analytique pour une connexion à un variateur de vitesse avec fs = 50 Hz 185
Résultats de la méthode de diagnostic appliquée à la phase du signal
analytique pour une connexion à un variateur de vitesse avec fs = 25 Hz 186
Table des figures
I.1
I.2
I.3
I.4
I.5
I.6
I.7
I.8
II.1
II.2
II.3
II.4
II.5
II.6
II.7
II.8
II.9
II.10
II.11
II.12
II.13
II.14
II.15
II.16
II.17
II.18
II.19
Eléments de constitution d’une machine asynchrone à cage d’écureuil [2] .
Représentation temps-fréquence du courant statorique lors d’une variation du couple de charge (Résultats de simulation avec une barre cassée)
Vecteur de Park des courants statoriques pour 100% de charge avec une
alimentation non sinusoïdale (Résultats expérimentaux) . . . . . . . . . .
Spectre fréquentiel du module du vecteur de Park des courants statoriques
pour 100% de charge (Résultats expérimentaux) . . . . . . . . . . . . . .
Spectre du courant statorique (Résultats expérimentaux) . . . . . . . . .
Spectre de la tension de neutre (Résultats expérimentaux) . . . . . . . .
Spectre de la puissance instantanée (Résultats expérimentaux) . . . . . .
Spectre de la tension composée Uab après déconnexion de la source d’alimentation (Résultats expérimentaux) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Circuits électriques adoptés pour la modélisation des trois phases statoriques
Circuits électriques adoptés pour la modélisation de la cage rotorique . .
Forme de la force magnétomotrice d’une phase statorique d’une machine
asynchrone ayant 36 encoches statoriques et une paire de pôle . . . . . .
Niveau d’amplitude des différents harmoniques d’espace . . . . . . . . . .
Forme de la force magnétomotrice d’une boucle rotorique . . . . . . . . .
Inductance mutuelle entre les trois phases statoriques et une boucle rotorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inductance mutuelle entre une phase statorique et quatre boucles rotoriques
Dérivé de l’inductance mutuelle entre les trois phases statoriques et une
boucle rotorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dérivé de l’inductance mutuelle entre une phase statorique et quatre
boucles rotoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modélisation du convertisseur statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Couplage en étoile des phases statoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Couplage en triangle des phases statoriques . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spectre du courant statorique : Rotor sain . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spectre du courant rotorique : Rotor sain . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spectre du couple : Rotor sain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spectre de la vitesse : Rotor sain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Circuits électriques adoptés pour la modélisation du rotor en présence
d’une barre cassée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Circuits électriques adoptés pour la modélisation du rotor en présence
d’une portion d’anneau de court-circuit cassée . . . . . . . . . . . . . . .
Evolution de la vitesse de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
24
29
29
31
32
33
34
41
43
49
50
51
55
55
55
55
56
59
59
63
63
63
63
66
67
70
212
Table des figures
II.20
II.21
II.22
II.23
II.24
II.25
II.26
II.27
II.28
II.29
II.30
II.31
II.32
II.33
II.34
II.35
II.36
II.37
II.38
II.39
III.1
III.2
III.3
III.4
III.5
III.6
III.7
III.8
III.9
III.10
III.11
III.12
III.13
Evolution du couple électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Evolution du courant statorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Evolution de l’enveloppe du courant statorique . . . . . . . . . . . . . . .
Evolution du courant de la barre rotorique no 3 . . . . . . . . . . . . . . .
Répartition des courants dans les barres rotoriques à un instant t . . . . .
Spectre du courant statorique : Une barre cassée (kes = 8 et kts = 17) . .
Spectre du courant rotorique : Une barre cassée (kes = 8 et kts = 17) . . .
Spectre du couple : Une barre cassée (kes = 8 et kts = 17) . . . . . . . . .
Spectre de la vitesse : Une barre cassée (kes = 8 et kts = 17) . . . . . . .
Spectre du courant statorique [0 - 100] Hz : Une barre cassée (kes = 8 et
kts = 17) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spectre du couple [0 - 100] Hz : Une barre cassée (kes = 8 et kts = 17) . .
Spectre du courant statorique à vitesse constante [0 - 100] Hz : Une barre
cassée (kes = 8 et kts = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spectre du courant statorique [0 - 100] Hz : Une barre cassée (kes = 0 et
kts = 8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spectre du courant statorique [0 - 100] Hz : Une barre cassée (kes = 8 et
kts = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparaison du spectre du courant statorique [0 - 1000] Hz : Une barre
cassée (kts = 17) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spectre du courant statorique [100 - 1000] Hz : Une barre cassée (kes = 8
et kts = 17) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spectre du courant statorique à vitesse constante [100 - 1000] Hz : Une
barre cassée (kes = 8 et kts = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spectre du courant statorique [200 - 280] Hz : Une barre cassée (kes = 8
et kts = 17) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spectre du courant statorique [0 - 100] Hz : Variation du couple de charge
à 2 g fs (kes = 8 et kts = 17) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spectre du courant statorique [100 - 1000] Hz : Variation du couple de
charge à 2 g fs (kes = 8 et kts = 17) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spectre fréquentiel du courant statorique expérimental pour un rotor sain
Spectre fréquentiel du courant statorique expérimental pour un rotor défaillant (1 barre cassée) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spectre fréquentiel du signal théorique donné à l’équation III.2 . . . . . .
Spectre fréquentiel du signal théorique donné à l’équation III.3 . . . . . .
Spectre fréquentiel du signal théorique donné à l’équation III.4 . . . . . .
Spectre fréquentiel du signal théorique donné à l’équation III.6 . . . . . .
Spectre fréquentiel de la puissance instantanée théorique (équation III.16)
Spectre fréquentiel du courant statorique théorique (équation III.5) . . .
Synoptique du banc d’essai et mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spectre de la puissance instantanée d’une phase statorique calculée avec
le périodogramme simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spectre de la puissance instantanée d’une phase statorique calculée avec
le périodogramme de Bartlett (Moyenné sur 8 segments) . . . . . . . . .
Spectre du courant statorique : S-C100 [0 - 100] Hz . . . . . . . . . . . .
Spectre de la puissance instantanée : S-C100 [0 - 200] Hz . . . . . . . . .
70
70
70
71
71
73
73
73
73
76
76
76
77
77
77
79
79
79
81
81
85
85
88
88
88
88
94
94
96
97
97
99
99
Table des figures
III.14
III.15
III.16
III.17
III.18
III.19
213
III.40
III.41
III.42
III.43
III.44
Spectre de la puissance instantanée : S-C100 [0 - 35] Hz . . . . . . . . . . 99
Spectre de la puissance avec le seuil de détection : S-C100 [0 - 35] Hz . . 101
Spectre de la puissance instantanée : S-C0 [0 - 10] Hz . . . . . . . . . . . 109
Spectre de la puissance instantanée : 05b-C0 [0 - 10] Hz . . . . . . . . . 109
Spectre de la puissance instantanée : 1b-C0 [0 - 10] Hz . . . . . . . . . . 109
Spectre théorique d’un signal modulé en amplitude avec harmonique d’espace [0 - 500] Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Spectre théorique d’un signal modulé en amplitude avec harmonique d’espace [200 - 280] Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Spectre du courant statorique dans la bande [280 - 380] Hz (Harmonique
d’espace no 7) : S-C100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Spectre du courant statorique dans la bande [280 - 380] Hz (Harmonique
d’espace no 7) : 05b-C100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Spectre du courant statorique dans la bande [280 - 380] Hz (Harmonique
d’espace no 7) : 1b-C100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Spectre du courant statorique dans la bande [1200 - 1500] Hz : S-C100 . . 126
Spectre du courant statorique dans la bande [1200 - 1500] Hz : S-C50 . . 126
Spectre du courant statorique dans la bande [1200 - 1500] Hz : S-C0 . . . 126
Spectre du courant statorique dans la bande [0 - 150] Hz : S-C100 . . . . 127
Spectre du courant statorique dans la bande [0 - 150] Hz : S-C50 . . . . . 127
Spectre du courant statorique dans la bande [0 - 150] Hz : S-C0 . . . . . 127
Spectre du courant statorique dans la bande [0 - 1000] Hz : U/f S-C100 . 130
Spectre du courant statorique dans la bande [0 - 1000] Hz : Reseau S-C100130
Spectre du courant statorique dans la bande [0 - 100] Hz S-C100. Comparaison Réseau et U/f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Spectre de la puissance d’une phase statorique dans la bande [0 - 1000]
Hz : U/f S-C100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Spectre de la puissance d’une phase statorique dans la bande [0 - 1000]
Hz : Reseau S-C100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Spectre de la puissance d’une phase statorique dans la bande [0 - 200] Hz
S-C100. Comparaison Réseau et U/f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Spectre de la puissance d’une phase statorique dans la bande [0 - 35] Hz :
U/f S-C100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Spectre de la tension d’une phase statorique dans la bande [0 - 100] Hz :
U/f S-C100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Spectre du courant statorique dans la bande [0 - 2000] Hz : U/f S-C100 . 133
Puissance instantanée d’une phase statorique dans la bande [0 - 35] Hz :
U/f 1b-50-C100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Courant d’une phase statorique dans la bande [0 - 100] Hz : U/f 1b-50-C100140
Courant d’une phase statorique dans la bande [0 - 100] Hz : U/f 1b-50-C100144
Courant d’une phase du reseau dans la bande [0 - 100] Hz : U/f 1b-50-C100144
Courant d’une phase statorique dans la bande [0 - 100] Hz. U/f 1b-25-C100144
Courant d’une phase du reseau dans la bande [0 - 100] Hz : U/f 1b-25-C100144
IV.1
IV.2
IV.3
Spectre du courant statorique : Réseau 1b-C100 [0 - 100] Hz . . . . . . . 149
Phase du spectre du courant statorique : Réseau 1b-C100 [0 - 100] Hz . . 149
Phase du spectre du courant statorique : Réseau Sain-C100 [0 - 100] Hz . 149
III.20
III.21
III.22
III.23
III.24
III.25
III.26
III.27
III.28
III.29
III.30
III.31
III.32
III.33
III.34
III.35
III.36
III.37
III.38
III.39
214
Table des figures
IV.4
IV.5
IV.6
IV.7
IV.8
IV.9
IV.10
IV.11
IV.12
IV.13
IV.14
IV.15
IV.16
IV.17
IV.18
IV.19
IV.20
IV.21
IV.22
IV.23
IV.24
IV.25
IV.26
IV.27
IV.28
IV.29
IV.30
IV.31
IV.32
IV.33
IV.34
IV.35
IV.36
B.1
B.2
B.3
B.4
B.5
Partie réelle et partie imaginaire de la TF du courant expérimental (a) et
phase correspondante (b) [49,75 - 50,25] Hz . . . . . . . . . . . . . . . .
Partie réelle et partie imaginaire de la TF du courant expérimental (a) et
phase correspondante (b) [43,2 - 43,5] Hz . . . . . . . . . . . . . . . . .
Partie réelle et partie imaginaire de la TF du courant de simulation (a)
et phase correspondante (b) [49,75 - 50,25] Hz : Réseau 1b-C100 . . . .
Partie réelle et partie imaginaire de la TF du courant de simulation (a)
et phase correspondante (b) [44 - 45,4] Hz : Réseau 1b-C100 . . . . . .
Vue générale de la phase du spectre du courant statorique : Expérimentation Réseau 1b-C100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vue générale de la phase du spectre du courant statorique : Simulation
Réseau 1b-C100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Représentation du processus de calcul des deux écarts-types . . . . . .
Phase ϕT F (f ) du courant statorique : Réseau S-C100 . . . . . . . . . .
Phase ϕT F (f ) du courant statorique : Réseau 05b-C100 . . . . . . . . .
Phase ϕT F (f ) du courant statorique : Réseau 1b-C100 . . . . . . . . . .
Phase ϕT F (f ) du courant statorique : Réseau S-C25 . . . . . . . . . . .
Phase ϕT F (f ) du courant statorique : Réseau 05b-C25 . . . . . . . . . .
Phase ϕT F (f ) du courant statorique : Réseau 1b-C25 . . . . . . . . . .
Phase ϕT F (f ) du courant statorique pour fs = 50 Hz : U/f 1b-C100 . .
Phase ϕT F (f ) du courant statorique pour fs = 25 Hz : U/f 1b-C100 . .
Phase ϕT F (f ) du courant statorique pour fs = 50 Hz : U/f Sain-C100 .
Partie imaginaire et partie réelle de ye(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modulation d’amplitude de y(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modulation de phase de y(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modulation de fréquence de y(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phase du signal analytique obtenu par une TH de |isa (f )| : S-C100 . . .
Phase du signal analytique obtenu par une TH de |isa (f )| : 1b-C100 . .
Agrandissement de la figure IV.24 autour de 50 Hz . . . . . . . . . . .
Module du spectre du courant statorique (normalisé en dB) : S-C100 .
Module de la transformée de Fourier du signal donné à l’équation IV.31
Partie réelle et imaginaire de If
sa (f ) et phase correspondante (fs ) . . . .
Partie réelle et imaginaire de If
sa (f ) et phase correspondante (fs − fm ) .
Phase ϕT H (f ) du signal analytique If
sa (f ) : Réseau S-C100 . . . . . . .
f
Phase ϕT H (f ) du signal analytique Isa (f ) : Réseau 05b-C100 . . . . . .
Phase ϕT H (f ) du signal analytique If
sa (f ) : Réseau 1b-C100 . . . . . . .
f
Phase ϕT H (f ) du signal analytique Isa (f ) : Réseau S-C25 . . . . . . . .
Phase ϕT H (f ) du signal analytique If
sa (f ) : Réseau 05b-C25 . . . . . . .
f
Phase ϕT H (f ) du signal analytique Isa (f ) : Réseau 1b-C25 . . . . . . .
Banc d’essai et mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Extraction du rotor du moteur asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . .
Rotors défaillants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma de connexion du stator pour l’essai avec un échelon de tension .
Identification des paramètres sur une croissance du courant statorique de
la machine asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 152
. 152
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181
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202
202
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Contribution personnelle
Articles de revues et ouvrages internationaux avec comité de lecture
G. Didier, H. Razik and A. Rezzoug. An induction motor model including the first space
harmonics for broken rotor bar diagnosis. European Transactions on Electrical Power,
accepté en Janvier 2004, 14 pages.
Articles de revues et ouvrages nationaux avec comité de lecture
G. Didier et H. Razik. Sur la détection d’un défaut au rotor des moteurs asynchrones. La
revue 3EI no 27, Décembre 2001, pp. 53-62.
Session invitée à un congrès international avec actes et comité de
lecture
H. Razik and G. Didier. A novel method of induction motor diagnosis using the lineneutral voltage. EPE-PEMC’2004, September 2-4 2004, Riga, Létonie.
G. Didier, H. Razik, A. Abed and A. Rezzoug. On space harmonic model of a three
phase squirrel cage induction motor for diagnosis purpose. EPE-PEMC’2002, CD-ROM,
September 9-11 2002, Dubrovnik, Croatia.
Conférences et congrès internationaux avec actes et comité de lecture
H. Razik and G. Didier. A low cost method for the diagnostic of asynchronous motors in
case of rotor defects. IEEE-CIEP’2004, October 17-22 2004, Celaya, Mexique.
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Contribution personnelle
Equipe GDR M2EMS1 . Comparison of modelling methods and of diagnostic of asynchronous motor in case of defects. IEEE-CIEP’2004, October 17-22 2004, Celaya, Mexique.
G. Didier, H. Razik, O. Caspary and E. Ternisien. Rotor cage fault detection in induction motor using global modulation index on the instantaneous power spectrum. IEEESDEMPED 2003, August 24-26, 2003, Atlanta, USA.
H. Razik and G. Didier. On the monitoring of the defects of squirrel cage induction motors.
IEEE-Power Tech 2003, June 23-26, 2003, Bologna Italia.
G. Didier, H. Razik and A. Rezzoug. On the experiment detection of incipient rotor fault
of an induction motor. IEEE-IEMDC 2003, June 1-4, 2003, Madison WI, USA.
H. Razik, A. Abed, G. Didier, F. Weinachter and A. Rezzoug. Analysis of the current
spectral of an induction motor for diagnostic purposes. ICEM’2002, CD-ROM, August
26-28 2002, Bruges, Belgium.
G. Didier, H. Razik and A. Rezzoug. On the modelling of induction motor including the
first space harmonics for diagnosis purposes. ICEM’2002, CD-ROM, August 26-28 2002,
Bruges, Belgium.
Conférences et congrès nationaux avec actes et comité de lecture
Equipe GDR M2EMS1 . Comparaison de plusieurs méthodes de modélisation de la machine
asynchrone en présence de défauts. EF 2003, 9-10 décembre 2003, Supelec, Gif-sur-Yvette.
G. Didier, H. Razik et A. Rezzoug. Analyse de la tension de neutre en vue du diagnostic
de la machine asynchrone. EF 2003, 9-10 décembre 2003, Supelec, Gif-sur-Yvette.
Rapport et communications
H. Razik et G. Didier. Rapport intermédiaire (32 p.) : Intitulé : Etude sur un modèle
tenant compte des harmoniques d’espace dans les machines asynchrones.
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E. Boutleux, L. Morel, H. Yahoui, H. Hénao, C. Delmotte, G. A. Capolino, G. Rostaing, J. P. Rognon,
E. Foulon, L. Loron, G. Didier, H. Razik, G. Houdouin, G. Barakat, B. Dakyo, S. Tnani, G. Champenois,
J. C. Trigeassou, V. Devanneaux, B. Dagues, J. Faucher.
Vous pouvez effectuer des remarques à l’auteur en lui écrivant à l’adresse suivante :
Gaëtan DIDIER
Groupe de Recherche en Electrotechnique et Electronique de Nancy
GREEN − UMR 7037
Faculté des Sciences et Techniques − BP 239
54506 Vandoeuvre-lès-Nancy
Téléphone professionnel : 03 83 68 41 42
Secrétariat : 03 83 68 41 32
Fax : 03 83 68 41 33
Téléphone personnel : 06 72 76 42 28
[email protected]
Résumé
Dans cette étude, nous abordons le diagnostic des défauts rotoriques dans les machines asynchrones à cage d’écureuil. Après avoir décrit les différents éléments de constitution d’une machine
asynchrone et les principaux défauts pouvant survenir sur ceux-ci, nous proposons un modèle
de machine basée sur la méthode des circuits électriques magnétiquement couplés. Ce modèle
permet d’étudier l’influence d’un défaut de barre sur le comportement général du moteur asynchrone. En complément de l’étude menée, nous mettons en évidence l’importance de l’analyse
des harmoniques d’espace pour le diagnostic des défauts rotoriques.
Aprés avoir étudié les phénomènes créés par le défaut rotorique sur les différentes grandeurs
temporelles de la machine, nous nous intéressons plus particulièrement au développement de
nouvelles méthodes de diagnostic. Nous présentons trois méthodes permettant la détection d’un
défaut rotorique. La première méthode s’appuie sur l’évaluation de plusieurs indices calculés à
partir de l’amplitude des composantes présentes dans les spectres de la puissance instantanée
et du courant absorbé par le moteur. Les résultats obtenus avec cette approche permettent de
détecter la présence d’un défaut naissant (une barre partiellement cassée) lorsque le couple de
charge est supérieur ou égal à 10% du couple nominale ainsi qu’une barre complètement cassée
lorsque le moteur fonctionne à vide.
La seconde méthode de détection proposée utilise la phase du spectre du courant statorique
calculée à partir d’une transformée de Fourier. Cette approche a la particularité de ne se baser sur aucun seuil de référence pour établir la présence d’une rupture de barre au sein de la
cage d’écureuil. Avec cette approche, nous avons pu détecter la présence d’une barre rotorique
complètement cassée. Malheureusement, le bruit important contenu dans ce signal ne permet
pas de détecter un défaut rotorique naissant. Pour pallier ce problème, nous utilisons la phase
du signal analytique obtenue par une transformée de Hilbert du module du spectre du courant
statorique. Cette nouvelle approche, qui permet d’obtenir un signal plus stable et moins bruité,
permet la détection d’une barre partiellement cassée et d’une barre totalement cassée pour une
charge supérieure ou égale à 25%.
Mots-clés : Moteur asynchrone, Modélisation, Harmoniques d’espace, Diagnostic, Rupture de
barre, Indice de modulation, Périodogramme de Bartlett, Transformée de Fourier, Transformée
de Hilbert.
Modelisation and diagnosis of induction machine in presence of failures
Abstract
In this study, we move on to the broken rotor bar diagnosis of squirrel-cage induction machines.
The first part is devoted to the development of a model which is based on the magnetically coupled
electric circuits. This type of modelling makes it possible to study the influence of a bar defect on the
general behavior of the asynchronous motor. In complement of the undertaken study, we underscore the
importance of the analysis of the space harmonics for the broken rotor bar diagnosis.
After having studied the phenomena created by the presence of a rotor defect on the various temporal
sizes of the induction machine, we turn a particularly attention in the development of new diagnosis
methods. We present three methods allowing detection of a rotor defect of an induction machine.
The first method is based on the evaluation of several indexes calculated starting from the amplitude
of the components present in the spectra of the instantaneous power and the line current. The results
obtained with this new approach make it possible to detect an incipient defect (a partially broken bar)
when the asynchronous motor works with a load torque higher or equal to 10% of the nominal torque as
well as a completely broken bar when the motor works without load.
The second method of detection suggested uses the stator current spectrum phase calculated starting
from a Fourier Transform. This approach has the characteristic to be based on any threshold of reference
to establish the presence of a broken rotor bar, which is usually necessary to detect this type of defect.
The validation of this method on various experimental tests makes it possible to detect the presence of
one broken bar with a minimum load torque of 25%. Unfortunately, the important noise contained in this
signal does not make it possible to detect an incipient rotor defect. To get round this problem, we use
the analytic signal phase calculated starting from the Hilbert transform of the stator current spectrum
modulus. This new approach, which makes it possible to obtain a more stable and less disturbed signal,
makes it possible to diagnose a partially broken bar and one broken bar for a load torque superior or
equal to 25%.
Key-words : Induction motor, Modelling, Space Harmonics, Diagnosis, Broken rotor bar, Modulation
index, Bartlett periodogram, Fourier Transform, Hilbert Transform.