Bac Blanc 2015 Mathématiques - Terminale S 2 avril 2015

Obligatoire
Lycée Marlioz - Aix les Bains
Bac Blanc 2015
Mathématiques - Terminale S
Candidats n’ayant pas choisi la spécialité maths
2 avril 2015
Pour cette épreuve, la rédaction, la clarté et la précision des explications
entrent pour une large part dans l’appréciation des copies, sauf mention
explicite du contraire dans l’énoncé.
Le barème est donné à titre indicatif.
Les calculatrices sont autorisées.
Aucune sortie définitive n’est autorisée avant 9h00.
1

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Exercice 1 (3 points).
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n’est demandée. Pour
chacune des questions, une seule des quatre propositions est correcte. Chaque réponse correcte
rapporte un point. Une réponse erronée retire 0,5 point et l’absence de réponse n’enlève pas de
point. On notera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la
proposition choisie.
1. Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points A(2 ; 5 ; −1), B(3 ; 2 ; 1)
et C(1 ; 3 ; −2). Le triangle ABC est :
(a) rectangle et non isocèle
(b) isocèle et non rectangle
(c) rectangle et isocèle
(d) équilatéral
2. Soit A et B deux points distincts du plan. L’ensemble des points Mdu plan tels que
−−→
MA·−−→ MB= 0 est :
(a) l’ensemble vide
(b) la médiatrice du segment [AB]
(c) le cercle de diamètre [AB]
(d) la droite (AB)
3. La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH. Les points I et J sont les milieux
respectifs des arêtes [GH] et [FG]. Les points M et N sont les centres respectifs des faces
ABFE et BCGF.
AB
CD
E
HIG
J
F
M
N
Les droites (IJ) et (MN) sont :
(a) perpendiculaires
(b) sécantes, non perpendiculaires
(c) orthogonales
(d) parallèles

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Exercice 2 (4 points).
Deux éleveurs produisent une race de poissons d’ornement qui ne prennent leur couleur définitive
qu’à l’âge de trois mois :
— pour les alevins du premier élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de trois mois, 10 %
n’ont pas survécu, 75 % deviennent rouges et les 15 % restant deviennent gris.
— pour les alevins du deuxième élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de trois mois, 5 %
n’ont pas survécu, 65 % deviennent rouges et les 30 % restant deviennent gris.
Une animalerie achète les alevins, à l’âge de deux mois : 60 % au premier éleveur, 40 % au
second.
1. Un enfant achète un poisson le lendemain de son arrivée à l’animalerie, c’est-à-dire à l’âge
de deux mois.
a. Montrer que la probabilité que le poisson soit toujours vivant un mois plus tard est de
0,92.
b. Déterminer la probabilité qu’un mois plus tard le poisson soit rouge.
c. Sachant que le poisson est gris à l’âge de trois mois, quelle est la probabilité qu’il
provienne du premier élevage ?
2. Une personne choisit au hasard et de façon indépendante 5alevins de deux mois. Quelle
est la probabilité qu’un mois plus tard, seulement trois soient en vie ? On donnera une
valeur approchée à 10−2près.
3. L’animalerie décide de garder les alevins jusqu’à l’âge de trois mois, afin qu’ils soient
vendus avec leur couleur définitive. Elle gagne 1euro si le poisson est rouge, 0,25 euro s’il
est gris et perd 0,10 euro s’il ne survit pas.
Rappel : soit Xune variable aléatoire prenant les valeurs x1,x2, . . . xn. Pour 1≤i≤n,
on note pi=p(X=xi). L’espérance de Xest alors égale à :
E(X) =
n
X
i=1
pixi
Soit Xla variable aléatoire égale au gain algébrique de l’animalerie par poisson acheté.
Déterminer la loi de probabilité de Xet son espérance mathématique, arrondie au centime.

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Exercice 3 (4 points).
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé O;~ i,~ j, une courbe Cet
la droite (AB) où A et B sont les points de coordonnées respectives (0 ; 1) et (−1 ; 3).
~
i
~
j
A
B
C
On désigne par fla fonction dérivable sur Rdont la courbe représentative est C.
On suppose, de plus, qu’il existe un réel atel que pour tout réel x,
f(x) = x+1+axe−x2.
1. a. Justifier que la courbe Cpasse par le point A.
b. Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).
c. Démontrer que pour tout réel x,
f0(x)=1−a2x2−1e−x2.
d. On suppose que la droite (AB) est tangente à la courbe Cau point A.
Déterminer la valeur du réel a.
2. D’après la question précédente, pour tout réel x,
f(x) = x+ 1 −3xe−x2et f0(x) = 1 + 3 2x2−1e−x2.
a. Démontrer que pour tout réel xde l’intervalle ]−1 ; 0], f (x)>0.
b. Démontrer que pour tout réel xinférieur ou égal à −1, f0(x)>0.
c. Démontrer qu’il existe un unique réel cde l’intervalle −3
2;−1tel que f(c)=0.
Justifier que c < −3
2+ 2.10−2.

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Exercice 4 (4 points).
On considère la suite numérique (vn)définie pour tout entier naturel npar
v0= 1
vn+1 =9
6−vn
Partie A
1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel ndonné, tous les termes
de la suite, du rang 0au rang n.
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la
réponse.
Algorithme No1 Algorithme No2 Algorithme No3
Variables : Variables : Variables :
vest un réel vest un réel vest un réel
iet nsont des entiers naturels iet nsont des entiers naturels iet nsont des entiers naturels
Début de l’algorithme : Début de l’algorithme : Début de l’algorithme :
Lire nLire nLire n
vprend la valeur 1Pour ivariant de 1ànfaire vprend la valeur 1
Pour ivariant de 1ànfaire vprend la valeur 1Pour ivariant de 1ànfaire
vprend la valeur 9
6−vAfficher vAfficher v
Fin pour vprend la valeur 9
6−vvprend la valeur 9 6−v
Afficher vFin pour Fin pour
Afficher v
Fin algorithme Fin algorithme Fin algorithme
2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0< vn<3.
b. Démontrer que, pour tout entier naturel n, vn+1 −vn=(3 −vn)2
6−vn
.
La suite (vn)est-elle monotone ?
c. Démontrer que la suite (vn)est convergente.
Partie B Recherche de la limite de la suite (vn)
On considère la suite (wn)définie pour tout nentier naturel par
wn=1
vn−3.
1. Démontrer que (wn)est une suite arithmétique de raison −1
3
2. En déduire l’expression de (wn), puis celle de (vn)en fonction de n.
3. Déterminer la limite de la suite (vn).