Analyse probabiliste des réponses à un QCM

Analyse probabiliste des réponses à un QCM (Corrigé) /15
C5
Connaissances préalables : Distribution binomiale, Espérance mathématique.
Buts spécifiques : Calcul d’espérances et de probabilités.
Outils nécessaires: TI-83, Programme utilisateur DISTR.
TConsignes générales : Exprimez les résultats numériques avec une précision de deux décimales.
Un examinateur dispose de trois épreuves constituées de Questions à Choix Multiples (QCM) pour
mesurer les connaissances acquises à l'issue d'un apprentissage. Dans tous les cas, les questions proposent
plusieurs réponses dont une et une seule est la réponse correcte, les autres réponses fausses étant des
DISTRACTEURS.
Dans l'épreuve A, les QCM proposent toutes la réponse correcte et une réponse fausse (un distracteur).
Dans l'épreuve B, les QCM proposent toutes la réponse correcte et deux distracteurs.
Dansl'épreuve C, les QCM proposent toutes la réponse correcte et quatre distracteurs.
Les épreuves sont notées de manière classique : 1 point pour une réponse correcte, 0 point pour une
réponse fausse.
Chacune de ces épreuves comprend une version courte (10 questions) et une version longue (20
questions). (Il y a donc au total 6 épreuves).
L'examinateur n'ignore pas que les étudiants peuvent répondre au hasard. Pour apprécier les effets de ces
réponses aléatoires, il calcule plusieurs paramètres.
1. Calculez, pour chaque type d'épreuve, l'espérance mathématique de la note finale d'un étudiant ignorant
totalement la matière et répondant complètement au hasard.
10 questions 20 questions
Epreuve A (1 distracteur) 5,00 10,00
Epreuve B (2 distracteurs) 3,33 6,67
Epreuve C (4 distracteurs) 2,00 4,00
/3
Raisonnement :
La note finale de l'étudiant correspond au nombre de bonnes réponses qu'il donne à l'épreuve.
Notons X la variable aléatoire discrète correspondant au nombre de bonnes réponses données par un
étudiant qui répond aux questions totalement au hasard.
La distribution de probabilité de X est la suivante:
10 questions 20 questions
Epreuve A (1 distracteur) X~Bin(10;1/2) X~Bin(20;1/2)
Epreuve B (2 distracteurs) X~Bin(10;1/3) X~Bin(20;1/3)
Epreuve C (4 distracteurs) X~Bin(10;1/5) X~Bin(20;1/5)
C5/Corrigé - 1/3 -

Puisque l'espérance mathématique d'une variable aléatoire de loi Bin(n ;
π
) est donnée par n
π
,
l'espérance mathématique de la variable aléatoire X (c'est-à-dire le nombre de bonnes réponses que l'on
peut raisonnablement s'attendre à obtenir de la part de l'étudiant, ou encore la note que l'étudiant peut
raisonnablement espérer atteindre) est bien celle donnée dans le tableau de réponses ci-dessus.
2. Calculez ensuite l'espérance mathématique de la note rapportée sur 20 d'un étudiant ignorant répondant au
hasard.
10 questions 20 questions
Epreuve A (1 distracteur) 10,00 10,00
Epreuve B (2 distracteurs) 6,67 6,67
Epreuve C (4 distracteurs) 4,00 4,00
/2
Raisonnement :
La variable aléatoire X introduite en vue de la résolution du point 1 correspond au nombre de bonnes
réponses données par un étudiant qui répond aux questions totalement au hasard.
Notons Y la variable aléatoire correspondant à la note sur 20 obtenue par l’étudiant. Dans le cas où
l’épreuve compte 10 questions, chaque bonne réponse fait gagner 2 points à l’étudiant : Y = 2X et E(Y) =
E(2X) = 2E(X). L’espérance mathématique de Y est le double de celle de X. Dans le cas où l’épreuve
compte 20 questions, chaque bonne réponse fait gagner 1 point à l’étudiant : Y = X et E(Y) = E(X).
L’espérance mathématique de Y est égale à celle de X.
3. Quels commentaires généraux vous inspirent les résultats obtenus en 2 ?
Réponse :
L'espérance mathématique du résultat d'un étudiant ignorant répondant au hasard dans un
questionnaire à choix multiples
- est indépendant du nombre de questions posées (si ce résultat est ramené à un même maximum).
- diminue lorsque le nombre de distracteurs augmente (ce qui est tout à fait logique puisque la
probabilité de répondre correctement à une question diminue lorsque le nombre de distracteurs
augmente).
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Supposons que l'on considère qu'un étudiant a réussi l'épreuve s'il répond correctement à au moins la
moitié des questions.
C5/Corrigé - 2/3 -

C5/Corrigé - 3/3 -
4. Calculez, pour chaque type d'épreuve, la probabilité de réussir pour un étudiant ignorant qui répond au
hasard.
10 questions 20 questions
Epreuve A (1 distracteur) 0,62 0,59
Epreuve B (2 distracteurs) 0,21 0,09
Epreuve C (4 distracteurs) 0,03 0,00
/6
Raisonnement:
Les probabilités à calculer (à l’aide du programme utilisateur DISTR de votre calculatrice) sont les
suivantes :
10 questions 20 questions
Epreuve A (1 distracteur) P(X ≥ 5) avec
X~Bin(10;1/2)
P(X ≥ 10) avec
X~Bin(20;1/2)
Epreuve B (2 distracteurs) P(X ≥ 5) avec
X~Bin(10;1/3)
P(X ≥ 10) avec
X~Bin(20;1/3)
Epreuve C (4 distracteurs) P(X ≥ 5) avec
X~Bin(10;1/5)
P(X ≥ 10) avec
X~Bin(20;1/5)
5. Quels commentaires généraux vous inspirent les résultats obtenus en 4 ?
.
Réponse :
La probabilité pour qu'un étudiant répondant au hasard réussisse
- diminue lorsque le nombre de questions augmente,
- diminue lorsque le nombre de distracteurs augmente.
Commentaire : La probabilité de 0,62 (épreuve A, 10 questions) peut surprendre car elle revient
à constater qu'un étudiant répondant au hasard a plus d'une chance sur deux de réussir. Ce
paradoxe tient au fait qu'un étudiant ayant répondu correctement à 5 questions sur 10 est
considéré comme ayant réussi. Ce phénomène s'atténue lorsque le nombre de questions augmente
(épreuve A, 20 questions) et disparaît si ce nombre est impair.
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