TD3

Licence 2, module Math31 ANALYSE
Séries entières
1. Déterminer le disque de convergence de la série entière Panzndans les cas
suivants
(i) an= 2n(n+ 1) (ii) an=1
√n+ 1 (iii) an=n√n
(iv) an=(−1)n
n(v) an=in n(vi) an= ln n
(vii) an=n(n−1) ···(n−p)pour n≥pet p∈N∗fixé.
(viii) an=1
(n+ 1)α,α > 0(ix) an= exp(iαn),α > 0.
2. Pour chacune des séries entières Ssuivantes de coefficients an, déterminer le
rayon de convergence R, l’ensemble Ades nombres réels pour lesquels la série
converge absolument et l’ensemble Cdes nombres réels pour lesquels la série
converge.
a)
∞
X
n=1
cos 1
nxnb)
∞
X
n=2
(−1)nxn
ln nc)
∞
X
n=2
xn
ln n!d)
∞
X
n=0
E(√2n+ 1)xn
e)
∞
X
n=0
x2n
cosh nf)
∞
X
n=0
n!xng)
∞
X
n=0
n!xn2h)
∞
X
n=0 sin nπ
3nxn
3. Soit (an)une suite complexe convergeant vers l∈C. Soit Rle rayon de
convergence de la série entière Panzn.
(i) On suppose l6= 0. Montrer que R= 1.
(ii) On suppose l= 0. Montrer que R≥1. Peut-on dire mieux?
4. Soit αet βdeux nombres réels tels que αne soit pas de la forme kπ avec k
entier. Trouver le rayon de convergence R, calculer la somme pour tout nombre
complexe ztel que |z|< R, et étudier ce qui se passe si |z|=Rpour la série
entière:
S(z) =
∞
X
n=0
cos(nα +β)zn.
[Indication: en utilisant les formules trigonométriques, montrer que cos(nα +β)
ne tend pas vers 0quand n→ ∞].
5. Soit Panznune série entière de rayon de convergence R. Soit
Sn=
n
X
k=0
ak, n ∈N
et soit R0le rayon de convergence de PSnzn.
(i) En considérant la série produit de Panznet de Pzn, montrer l’inégalité
min(1, R)≤R0≤R .
(ii) Etudier les exemples suivants
an=1
n!, n ∈N
1

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et
a2n=(−1)n
n!et a2n+1 =(−1)n+1 n!n∈N.
6. Soit Panznune série entière de rayon de convergence R. On suppose R > 0.
Soient r∈]0, R[et r0∈]0, R[.
(i) Montrer
∞
X
n=0 |a2
n|(rr0)n≤ ∞
X
n=0 |an|rn! ∞
X
n=0 |an|(r0)n!
(on justifiera la convergence de chacune de ces séries).
(ii) En déduire que, pour tout p∈N∗, la série entière Pap
nzna pour rayon de
convergence Rp.
7. Soit Panznune série entière de rayon de convergence R. On suppose R > 0.
(i) Soit r∈]0, R[. Montrer qu’il existe M > 0tel que
∀n∈N,|anrn| ≤ M
(ii) Montrer que la série entière
∞
X
n=0
1
n!rnzn
a un rayon de convergence infini.
(iii) En déduire que la série entière
∞
X
n=0
an
n!zn
a un rayon de convergence infini.
8. Donner le développement en série entière au voisinage de 0, des fonctions f
définies ci-dessous et préciser le rayon de convergence.
a) f(x) = (2x+ 3)−2b) f(x)=(x+ 1) ln(x+ 1) c) f(x) = cos(x+ 1)
d) f(x) = √2−xe) f(x) = −ln(1−x)
1−x
9. Trouver le rayon de convergence R, calculer la somme pour tout réel xtel que
|x|< R, et étudier ce qui se passe si |x|=Rpour les séries entières suivantes:
a)
∞
X
n=1
xn
n(n+ 1) b)
∞
X
n=0
(−1)nx2n
4n2−1c)
∞
X
n=3
n2
(n−1)(n−2) xn
d)
∞
X
n=0
x4n+1
4n+ 1 e)
∞
X
n=1
xn
(3 + (−1)n)nf)
∞
X
n=1
nxn
g)
∞
X
n=1
n2xn−1h)
∞
X
n=0
xn
2n−1i)
∞
X
n=0
n
n+ 1 xn.
10. On souhaite réaliser un développement en série entière de la fonction
f:z∈C7−→ 1
z2+ 3z+ 2
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en z0=−4. Pour cela, on pose
g:h∈C7−→ f(z0+h)∈C.
(i) Déterminer le développement en série entière en 0de g. On précisera le
domaine de convergence.
(ii) En déduire le développement voulu. Préciser le domaine de convergence.
11. Donner le développement en série entière de
z∈C7−→ 1
1 + z+z2∈C
en 0. Préciser le domaine de convergence.
12. Soit exp l’exponentielle complexe. Montrer qu’on a les relations suivantes
pour z∈Cet w∈Cet n∈N:
exp z= exp ¯z
exp(z+w) = exp z·exp w
exp(nz) = (exp z)n
|exp z|= exp(Re z)
où Re zest la partie réelle de z.
13. Soit la fonction
f:x∈R7−→ 0si x= 0
exp(−1/x2)sinon
(i) Montrer que fest continue en 0.
(ii) Pour tout n > 0, montrer qu’il existe Pnun polynôme tel que
f(n)(x) = Pn(1/x) exp(−1/x2),∀x6= 0
(iii) En déduire que pour tout n > 0, la dérivée f(n)se prolonge en une fonction
continue sur Ren posant f(n)(0) = 0.
(iv) Pour n > 0, écrire le développement de Taylor-Young de fen 0.
(v) Est-ce que fest développable en série entière en 0?
14. Soit la série entière
S(x) =
∞
X
n=0
x2n+1
(2n+ 1)(2n−1) . . . 1.
Trouver le rayon de convergence. Trouver une équation différentielle simple
vérifiée par S. En résolvant cette équation en déduire que, pour tout xréel,
S(x) = ex2/2Zx
0
e−t2/2dt.
15. Chercher la série entière solution de l’équation différentielle
y00 +xy0+y= 0,
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vérifiant les conditions y(0) = 1 et y0(0) = 0.
16. Chercher les séries entières solutions des équations différentielles suivantes:
a) (1 + x2)y00 + 2xy0−2y= 2 b) (x2+x)y00 + (3x+ 1)y0+y=1+x
(1−x)3
c) x2y00 −x(x+ 6)y0+ 3(x+ 4)y= 0 d) x2y00 −x(x+ 4)y0+ 2(x+ 3)y= 0.
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