Application: le cyclotron Découverte de l`électron et mesure de e/m

OS, 11 avril 2006 243
Application: le cyclotron
• Premier accélérateur circulaire de protons
– Deux boîtes métalliques (en forme de demi-cercles),
appelées «dés», dans lesquelles règne un champ B
uniforme et constant
– Un champ électrique oscillant est appliqué entre les deux «dés»
– Les protons ont un mouvement:
• rectiligne uniformément accéléré entre les deux «dés»
• circulaire uniforme à l’intérieur de chaque «dé»
– Après chaque demi-tour le rayon R augmente,
mais le temps T mis pour faire ce demi-tour est constant:
• Condition de fonctionnement:
premier cyclotron
(4.5 pouces)
construit par
Lawrence et
Livingston
R=mv
qB , T = R v=m qB
r
E (t ) =
r
E
0
cos(t)
où =v
R=qB
m
•B
E oscillant
inventé en 1932 par Ernest Lawrence
OS, 11 avril 2006 244
Découverte de l’électron
et mesure de e/m
• Déflections d’un faisceau de tube cathodique:
– par un champ électrique uniforme
– par un champ magnétique uniforme
mr a = q
r
E  r a = q
m
r
E = cste
 trajectoire parabolique
d = 1
2at2=qE
2m
L2
v0
2
mr a = qr v 
r
B
 trajectoire circulaire
d = R (1cos)R2/2
R
2
L
R
()
2
=L2
2R =L2q B
2mv0
d
L
v0
E
d
L
v0
B
•
d
R
R
L
• Si on ajuste les champs E et B
pour avoir des déviations d égales:
 v
0
= E/B  q
m=2d
L
2
E
B
2
J. J. Thomson
1856–1940
e/m mesuré par Thomson en 1897
 découverte de l’électron

OS, 11 avril 2006 245
Expérience de Millikan
• Mesure de la vitesse limite de chute dans l’air
d’une gouttelette d’huile chargée (sans champ E):
Robert Millikan
1868–1953
gouttelettes
d’huile
gouttelettes
d’huile
chargées
radiation
ionisante
source lumière
atomiseur
lunette
microscope
plaque
métallique
chargée (+)
plaque
métallique
chargée (–)
vL=2
9gR2(huile 
air )/ (en utilisant la formule de Stokes)
 détermination du rayon R de la gouttelette
• On fait remonter la gouttelette
en appliquant un champ E
• On mesure à nouveau sa
vitesse limite de chute mais en
présence d’un petit champ E:
qE = 6Rv'
LvL
()
 connaissant E, v'L, vL (et donc R),
on peut mesurer q
• Millikan montre que la charge
est quantifiée et mesure la
charge élémentaire en 1909
(= charge de l’électron)
OS, 11 avril 2006 246
Quelques unités du système international (SI)
kg m2 moment d’inertie I = mr2
kg m2 s1
moment cinétique L = r  p
Nm = kg m2 s2
moment de force M = r  F
rad s2 = s 2
accélération angulaire d/dt
m s1
vitesse v = dx/dt
rad s1 = s1
vitesse angulaire  = d/dt
rad = 1radian
position angulaire 
W = J s1 = kg m2 s3
J = Nm = kg m2 s2
N = kg m s2
kg m s1
kg
Hz = s1 (= tour/s)
m s2
m
s
Abréviation
Watt
puissance W/dt, Fv
Joule
travail W = Fdx, énergie mv2/2, …
Newtonforce F=dp/dt
quantité de mouvement p = mv
kilogrammemasse m
Hertz
fréquence  = /(2)
accélération a = dv/dt
mètreposition x
secondetemps t
Nom de l’unité SIQuantité physique
a) Mécanique

OS, 11 avril 2006 247
Quelques unités du système international (SI)
1 eV = 1.602  1019 J
électron-Volténergie
1 e = 1.602  1019 C
Abréviation et valeur en unité SI
charge élémentairecharge électrique
Nom de l’unité (pas SI !)Quantité physique
b) Electricité et
magnétisme
N C1 = V m1 = kg m s2 C1 champ électrique E=F/q
V = J C1= kg m2 s2 C1
Voltpotentiel électrique U=V/q
T = kg s1 C1
Teslachamp magnétique B=F/(qv)=E/v
A = C s1
Ampèrecourant électrique i=dq/dt
C
Abréviation
Coulombcharge électrique q
Nom de
l’unité SI
Quantité physique
Potentiel électrique U = V/q:
Energie cinétique acquise par une
charge dans un champ électrique:
K
2
K
1
=
r
F
1
2
dr r = q
r
E
1
2
dr r = q(U
1
U
2
)
r
F = 
r
V  q
r
E = 
r
(qU) 
r
E = 
r
U
électron-Volt = énergie cinétique acquise par une charge élémentaire
dans une différence de potentiel électrique de un Volt
OS, 11 avril 2006 248
Vers la découverte du noyau des atomes
Historique du début du 20ème siècle:
1895: découverte des rayons X (Roentgen)
1896: découverte de la radioactivité (Becquerel)
1897: découverte de l’électron (Thomson)
1900: trois types différents de radioactivité connus: , , 
1902: radioactivité   émission d’électrons (Kaufman)
1903: premier modèle de l’atome (Thomson)
1908: radioactivité   émission d’hélium (Rutherford)
1909: expérience de diffusion de particules  sur des
feuilles d’or (Rutherford, Marsden, Geiger), menant à des
observations incompatibles avec le modèle de Thomson !
1911: vision révolutionnaire de l’atome (Rutherford)
L’atome imaginé par
Thomson: une sorte
de «plum pudding»
boule uniformément
chargée (+), ~1010 m
électrons (–)
noyau (+) très petit,
~1014 m au plus,
portant plus de 99.9%
de la masse de l’atome
nuage d’électrons (–),
~1010 m
L’atome contient donc
essentiellement du «
vide »

OS, 11 avril 2006 249
Ernest Rutherford
1871–1937
Rétrodiffusion
de Rutherford
It was quite the most incredible event that has ever happened
in my life. It was as incredible as if you fired a 15-inch shell
on a piece of tissue paper and it came back and hit you
• Résultats:
– La plupart du temps la particule  n’est
que très peu déviée en traversant la feuille
(voir pas du tout)
– Elle a pourtant une probabilité non nulle
qu’elle rebondisse vers l’arrière !!
• Conclusion:
– présence dans la matière de très petits objets chargés
plus massifs que les particules , donc autres que les
électrons (m ~ 8000 me): les noyaux atomiques !
feuille métallique mince
(Au, Ag, Cu, …), fixe
source 
(radium)
collimatée,
fixe
microscope
écran scintillant
(cristaux ZnS)
table rotative
entraînant
écran et
microscope
vers pompe
à vide
support fixe
Au
source 
K ~5 MeV
OS, 11 avril 2006 250
Limite sur la taille des noyaux
• Modèle:
– on peut ignorer la présence des électrons, car me << m et la particule 
n’est (presque) pas déviée lors des collisions sur les électrons
– la seule interaction est la force de Coulomb entre le noyau de charge
positive Ze et la particule  de charge positive ze (=2e)
– on suppose que le noyau est une boule de rayon R uniformément chargée
• Force et énergie potentielle en fonction de la distance r entre le
noyau et la particule :
F(r) = Cr/R3si r < R
C/r2si r > R
où C = Zze2
40
V(r) = F(r)dr
=Cr
2
/(2R
3
)+A si r<R
C/r + B si r > R
V() = 0  B = 0
V(R) = C/R = C/(2R) + A  A = 3C/(2R)
1/r2
r
r
F(r)
R
1/r
point de rebroussement
r
V(r)
R
E
• Comme il existe un point de rebroussement:
E 5 MeV  R < Z 0.86 10
15
m
()
E<Vmax = V(0) = A  R < 3
2
Zze2
40E
Au tableau

OS, 11 avril 2006 251
Diffusion coulombienne
– diffusion élastique d’une masse ponctuelle m de charge ze (particule )
sur une masse ponctuelle M de charge Ze (noyau), sous l’effet de la seule
force de Coulomb répulsive
– on travaille avec les coordonnées relatives; l’origine O est placée sur le
noyau et on considère la diffusion d’une particule relative de masse
réduite µ et d’énergie mécanique E > 0:
– la trajectoire est une hyperbole, avec un axe de symétrie u, et le moment
cinétique est conservé (car la force est centrale):
Au tableau
 = angle de diffusion
axe de symétrie
de la trajectoire
hyperbolique
b = paramètre d’impact
b
x
u
O
(t) v(t)
vitesse = v
à t = 
vitesse = v
à t = –
y
µ=mM
m+M, E =
1
2
µv
2
L=µr
2
˙
 =µv
b  d(t)
dt =v
b
r(t)
2
dt
r(t)
2
=d
v
b
2+=