(France). Comptes rendus de l`Académie des sciences. Série 1

t. 314,
C. R. Acad. Sci. Paris,
Topologie/
Série I, p. 847-850,
847
1992
Topology
Variétés
Jean-Paul
d'intersection
et homologie
homologiques
BRASSELET et Martin
SARALEGI
:
stratifiée A vérifiant
Résumé — Dans cette Note, nous montrons
que toute pseudo-variété
d'intersection
de la perversité ample p;
(a) les groupes d'homologie
IHJ (A) sont indépendants
est triviale,
homologique
Us dont la monodromie
(b) chaque strate S admet un voisinage tabulaire
la
Ceci généralise un résultat de King, où la condition
est une variété homologique.
(b) demandait
des voisinages
trivialité
Us.
Homology
manifolds
and
intersection
homology
— In this
A satisfying:
Abstract
Note, we prove that each stratifiedpseudomanifold
_
(a) the intersection
homology groups IHJ (A) are isomorphic for each loose perversity p;
is trivial,
monodromy
(b) each stratum S posseses a tubular neighborhood
Us, whose homological
is a homology manifold.
This generalizes a resuit of King, where the triviality
of the Us themselves
was required.
INTRODUCTION. — Les groupes
qui est une variété homologique
d'intersection
sant l'homologie
normale
d'intersection
d'une pseudo-variété
d'homologie
de la perversité choisie. En introduisont indépendants
le résultat suivant :
et
MacPherson
ont conjecturé
Goresky
normale
telle que, pour toutes
CONJECTURE. — -Si A est une pseudo-variété
stratifiée
les applications
naturelles
perversités
p^q,
IH£ (A) -> IH| (A) sont des isomorphismes,
alors A est une variété homologique.
naturellement
n'est pas vérifiée pour les perversités
King a montré que la conjecture
une famille plus
mais qu'elle l'est en considérant
introduites
par Goresky et MacPherson
et
en
se
à la
les perversités
restreignant
amples (loose perversities),
large de perversités,
dont les strates possèdent un voisinage tubulaire
des pseudo-variétés
est d'élargir
la catégorie
des pseudo-variétés
Le but de ce travail
pour
la
condition
de
trivialité
est
réalisée.
Nous
remplaçons
topologique
conjecture
famille
une condition
par
strates
n'ont
monodromie,
faible
plus
de trivialité
pas de monodromie
voir la définition
homologique
homologique
(on dira
précise
en
ci-dessous
trivial.
lesquelles
de King
la
[4]
: les voisinages
tubulaires
des
est sans
que la pseudo-variété
2.2).
Cette
condition
est plus
est satisfaite,
en
Elle
de la conjecture.
homologique
de [6],
normal
de
les
pseudomanifolds
[4],
espaces stratifiés
particulier
pour
d'un groupe de Lie compact,
de l'action
l'espace des feuilles d'un
l'espace d'orbites
de [5], les pseudo-variétés
stratifiées
normales
riemannien
compact
feuilletage
singulier
les
strates
sont
où
connexes,...
simplement
naturelle
étant
donné
le caractère
les untwisted
Le résultat
de cette Note
principal
s'énonce
ainsi
:
La pseudoTHÉORÈME. — Soit A une pseudo-variété
stratifiée normale sans monodromie.
variété A est une variété homologique
si et seulement si, pour tout couple de perversités
-* IH^ (A) sont des isomorphismes.
les
naturelles
applications
p^q,
IH£(A)
Toutes
les homologies
unitaire
R.
commutatif
Note
présentée
0764-4442/92/03140847
considérées
dans ce travail
par René THOM.
S 2.00
e
Académie
des Sciences
sont
à coefficients
dans un anneau
848
C. R. Acad.
Sci. Paris,
t. 314,
1. RAPPELS SUR L'HOMOLOGIE D'INTERSECTION. — Nous
fixons
Série I, p. 847-850,
les notations
1992
utilisées
par
filtration
en
la suite ([2], [3], [4]).
1.0. Une
stratifiée
pseudo-variété
sous-espaces fermés :
A est une pseudo-variété
munie
d'une
tels que A — A„_2 soit dense dans A, chaque A; — Ai_1 soit vide ou reunion
de variétés
lisses connexes de dimension
i (les strates), et tout point x de A; — Aj_x admette
un
à B'xcLx,
d'une boule B'cR'
voisinage distingué ilx<=A
homéomorphe
produit
par le
cône sur le « link » Lx. Le link est une pseudo-variété
de dimension
réelle
compacte
n — i—l indépendante
du point x de la strate SczAj —A;_x;
on le note Ls; il est filtré
en :
de
plus
l'homéomorphisme
précédent
préserve
ilx D Xj sur B'xcLj_i_l,
homéomorphiquement
1.1
les stratifications,
c'est-à-dire
pour tout entier j, i+1 è/^w.
Une
perversité
ample est une suite d'entiers
(p2, .. .,pn) vérifiant
on dit que deux perversités
pour tout k. Étant donné un entier m, O^m^n,
sont w-consécutives
si on a, pour tout entier i^m, Pi=qi et qm=pm+l1.2.
Soit
A une pseudo-variété
stratifiée
de dimension
soit la plus petite strate non vide de A.
que A„_m(A)
Pour chaque
n. On notera
envoie
0^pk^k—2
amplespf^q
m (A) l'entier
tel
des chaînes d'interample p on notera IC£ (A) le complexe
section (à supports compacts)
à coefficients
dans R et IH£ (A) l'homologie
d'intersection
de A. Si q est une perversité
telle que p^q,
on a une inclusion
naturelle
ample
=
Comme
dans
nous
et nous
[4],
ICj(A)c>IC«;(A).
poserons
lCfp (A)
IC% (A)/ICj(A)
noterons IH*7'(A)
associée. L'application
naturelle IH£ (A) -»• IH| (A) est un
l'homologie
=
si et seulement si IH«p(A)
0.
isomorphisme
=
est
nul
si
Remarquons
que IH^(A)
/>, #; pour tout entier i tel que An_i#A„_i_1;
=
d'autre part, si;? et q sont deux perversités
alors rH|p(A)
m(A)-consécutives,
IHf*(U)
pour tout ouvert U contenant
A„_m(A).
perversité
2. PSEUDO-VARIÉTÉS STRATIFIÉES SANS MONODROMIE.
considérées
paragraphe
monodromie
2.1.
— Les
stratifiées
pseudo-variétés
caractérisées
dans ce
par trois
propriétés
que l'on
développe
: elles sont normales,
strate
un
tubulaire
et la
chaque
possède
voisinage
de ce voisinage est triviale.
homologique
ici
sont
Soit S une strate
de A, —A^j).
Un voisinage US<=A
de S est un voisinage
existe une retraction
cps : Us -» S qui est une
fibration
localement
triviale
de fibre cLs, cône sur le link de S, et dont le groupe
structural
est le groupe Aut (Ls) des automorphismes
de Ls (homéomorphismes
préservant
la stratification
de Ls). Un ensemble stratifié
est la donnée d'une pseudo-variété
stratifiée
A et d'une
famille
de compatibilité
2.2.
fibration
de A (composante
tubulaire
de S s'il
de voisinages tubulaires
par Thom [7].
connexe
{ Us | S strate
Considérons
la
fibration
cps. Notons
localement
triviale
-> Aut
(IH£ (c Ls))
U|:JI1(S)
le
désigne
groupe d'automorphismes
correspondant).
tubulaire
est le produit
S x c Ls, alors la monodromie
tion
constante;
de A } vérifiant
les conditions
définies
la réciproque
est fausse.
de fibre
associée à la
IH£(cLs)
de ce fibre (ici Aut
Remarquons
que, si le voisinage
la monodromie
est triviale,
c'est-à-dire
est l'applica-
C. R. Acad. Sci. Paris,
DÉFINITION.
stratifiée
t. 314, Série I, p. 847-850,
849
1992
— Une
normale
stratifiée
sans monodromie
pseudo-variété
A munie d'une structure
d'ensemble
stratifié
est une pseudo-variété
et dont la monodromie
est triviale,
ceci pour toute strate S de A et pour toute
si
A
est
une pseudo-variété
stratifiée sans monodroperversité ample p. Remarquons
que
mie et si U est ouvert dans A, alors U est une pseudo-variété
sans monodromie.
De
uf des voisinages
tabulaires
stratifiée
sans monodromie.
Les exemples
même, chaque link Ls est une pseudo-variété
cités dans l'introduction
sont des exemples de variétés stratifiées
sans monodromie.
3. CALCUL DE IH^(A).
basée sur le calcul de IH*p(A)
La démonstration
pour
du résultat
deux perversités
principal
m (A)-consécutives
de cette
Note
est
p ;§ q.
3.1. Soit Of la famille
des composantes
connexes de A„_m(A); fixons pour chaque
=
=
strate S e £f un voisinage tubulaire
tel
0 si S ^ S'. Notons Vs
Us
que Us C\ Us.
{V„}
» de S (toute intersection
finie est contractible).
La réunion
des
un « bon recouvrement
est
un
bon
recouvrement
'f
de
Définissons
le
complexe C^, (i^s, ÏCfp) par
"Vs
A„_m(A).
Notons
8 la différentielle
de Gech habituelle,
S la différentielle
=
D
S + (— 1)'<5. En procédant
comme dans [1], p. 197, l'étude
bifiltré C# (T, IC«/#)=
:
© C+ (Vs, IC«/p~) permet de montrer
vers IHf*(
converge
longue
D'autre
du complexe
et posons
différentiel
PROPOSITION. — La
3.2.
3.3.
de IC|/P(A)
U
suite spectrale
associée au complexe
double C+ (Y,
et
son
second
terme
est
Us)
H1(S)(g)IH«>"(cLs).
Eftj=
0
Le calcul
de l'homologie
d'intersection
de [4], p. 231, montrent
que l'on a :
part,
on montre
d'un
cône
(voir
[3])
et la suite
IC|/P)
exacte
que
IH«/P"(A)
=
IH«/P(U)
en utilisant
la suite exacte longue associée au recouvrement
(U, A„_m(A)) de A et le fait
=
tout
stratifié
X
de
A
de
que, pour
sous-espace
disjoint
IH| (X),
A„_m(A), on a IHjj (X)
donc IHfp"(X) = 0. On obtient alors
On en déduit
m (A)-consécutives
que, pour deux perversités
p ^ q, la nullité de IH^
(A)
est équivalente
à celle de tous les groupes IH£(A)_2_
(Ls), pour SeSf.
4. DÉMONSTRATION DU THÉORÈME. — Si A est une variété homologique,
alors les groupes
sont
les
mêmes
toutes
les
comme
d'homologie
pour
perversités
(y compris
amples),
montré
dans [4]. Montrons
est vraie sous les hypothèses du théorème.
que la réciproque
On suppose donc que A est une pseudo-variété
stratifiée
dont les groupes d'homologie
d'intersection
sont indépendants
de la perversité
ample p et telle que chaque strate S
admet un voisinage
tubulaire
est triviale.
Nous
Us dont la monodromie
homologique
850
C. R. Acad.
Sci. Paris,
t. 314, Série I, p. 847-850,
1992
— 0, la
stratifiée A
par récurrence sur l'entier m (A). Si m (A)
pseudo-variété
une variété. Supposons
le résultat
vérifié pour toute pseudo-variété
sans
monodromie
B telle que m (B) < m (A). Pour prouver que A est une variété homologique
il suffit
de prouver
sont des variétés
U Us et A —A„_m (où m = m(A))
que U=
procéderons
est, en fait,
SeSf
homologiques.
• U
est
fixons
r = (r2, ...,rm_1)
une
homologique:
perversité
—
et
considérons
tout
e
.
.
m
3
les
w-consécutives
:
ample
.,
pour
|3 { 0,
perversités
}
=
=
-, 0)etq
0, . . ., 0). D'après 3.3, applip
(r2, . . ., rm_u p, (V
(r2, . . ., rm_1, B+l,
= 0
aux
et
nous
avons
tout
Se£f
et tout
qué
perversités
p
q,
pour
IHj(Ls)
—
=
= R.
.
La
normalité
des
..,/«
Ls implique
Puisque
IHo(Ls)
IH^,_1 (LS)
ye{l,
2}.
m (Ls) < m l'hypothèse
de récurrence permet d'affirmer
que chaque link Ls est une sphère
une
homologique.
deU.
variété
Par conséquent,
chaque
Us est une variété
il en est de même
homologique;
• A —A„_m est une variété homologique
: en effet, la suite exacte longue associée
=
à la paire (A, U) (cf. [4], p. 231) et la relation
montrent
IH*'(A)
IH«/p"(U)
que
= 0
tout
de
Par
excision, nous trouvons
U)
pour
couple p^q
perversités amples.
IH|/p(A,
—
—
= 0. D'autre
A„_m, U
part, la suite exacte longue associée à la paire
IH|/p(A
A„_m)
= 0
et la relation
est une variété
(A-A„_m,
(car U-A„_m
U-A„_m)
IH|/p"(U-A„_J
—
= 0. Finalement,
montrent
homologique)
A„_m)
puisque
m(A-A„_m)<w,
IHfp(A
de récurrence permet d'en conclure que A —A„_m est une variété homologil'hypothèse
que.
Le second auteur
remercie
son hospitalité
pendant
pour
M. S. : Allocation
Note
le Département
de Mathématiques
la réalisation
de ce travail.
de recherche
remise le 18 novembre
de l'Université
d'Illinois
à Urbana-Champaign
du D.G.l.C.Y.T.-Espagne.
1991, acceptée après révision
le 11 février
1992.
RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES
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1982.
Verlag, New York,
forms
in Algebraic
[2] J.-P. BRASSELET, Homologie
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Journées singulières,
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définitions
Graduate
singulière
Text
in Mathematics,
et simpliciale,
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Springer-
polytechnique,
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au C.N.R.S.
C.I.R.M.
en Géométrie et Topologie,
6361, Singularités
Case n" 916, 13288 Marseille
Cedex 9;
Luminy,
M.
University
of Illinois
S. : Department
at Urbana-Champaign,
Urbana,
of Matematics,
IL 61801, U.S.A.