Critère de divergence d`une suite Théorème 2 - MathArtaud

Terminales S
Liste « non exhaustive » des
Restitutions Organisées des Connaissances:
Théorème 1 : Critère de divergence d'une suite
Théorème 2 : Comparaison par rapport à une suite divergente
Théorème 3 : Théorème des gendarmes pour les suites
Théorème 4 : Convergence des suites adjacentes
Théorème 5 : Comparaison de deux fonctions lorsque la variable tend vers ∞
Théorème 6 : Théorème des gendarmes pour les fonctions lorsque la variable tend vers l'infini
Théorème 7 : Théorème des valeurs intermédiaires ( cité ici pour mémoire, mais ce n'est pas un Roc)
Théorème 8 : Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, dit aussi, théorème de la bijection
Théorème 9 : Dérivabilité et continuité
Théorème 10 : Dérivabilité et composition
Théorème 11 : Unicité de la solution de l'équation différentielle
y
{ yy0'==1
Théorème 12 : Propriétés de la fonction exponentielle
Théorème 13 : Limites de la fonction exponentielle
Théorème 14 : Croissances comparées pour la fonction exponentielle
Théorème 15 : L'équation différentielle y'=ay
Théorème 16 : L'équation différentielle y'=ay+b
Théorème 17 : Dérivabilité de la fonction logarithme néperien
Théorème 18 : Limites de la fonction logarithme néperien
Théorème 19 : Croissances comparées pour la fonction logarithme néperien
Théorème 20 : Intégrale et ordre
Théorème 21 : Théorème fondamental du calcul intégral
Théorème 22 : Formule de Newton-Leibniz
Théorème 23 : Intégration par parties
Théorème 24 : Formule des probabilités totales
Théorème 25 : Indépendance d'événements
Théorème 26 : Propriétés des combinaisons
Théorème 27 : Loi binomiale
Théorème 28 : Binôme de Newton
Théorème 29 : Une propriété importante d'une loi continue
Théorème 30 : Propriété de la loi uniforme continue
Théorème 31 : Propriété de la loi exponentielle
Théorème 32 : Propriété de la loi de durée de vie sans vieillissement
Théorème 33 : Propriétés du conjugué
Théorème 34 : Propriétés du module
Théorème 35 : Propriétés de l'argument
Théorème 36 : Argument et géométrie
Théorème 37 : Notation exponentielle d'un nombre complexe
Théorème 38 : Propriétés de la forme exponentielle d'un nombre complexe
Théorème 39 : Équation du second degré à coefficients réels
Théorème 40 : Écriture complexe d'une translation
Théorème 41 : Écriture complexe d'une homothétie
Théorème 42 : Écriture complexe d'une rotation
Théorème 43 : Équation de plan
Théorème 44 : Distance d'un point à une droite
Théorème 45 : Distance d'un point à un plan
Théorème 46 : Représentation paramétrique d'une droite
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Chapitre : Les suites
1: Critère de divergence d'une suite
Toute suite croissante et non majorée diverge vers ∞ .
Toute suite décroissante et non minorée diverge vers −∞ .
2: Comparaison par rapport à une suite divergente
Soient un  et v n deux suites telles que : à partir d'un certain rang
– Si un  diverge vers ∞ alors v n aussi.
– Si v n diverge vers −∞ alors un  aussi.
u n v n
; Alors
3: Théorème des gendarmes pour les suites
Soient un  , v n et w n trois suites telles que :
– A partir d'un certain rang : u n v nw n .
un  et v n convergent vers le même réel L .
–
Alors v n converge vers L .
4: Convergence des suites adjacentes
Soient un  et v n
limite L .
deux suites adjacentes alors
u n 
et v n
convergent vers la même
Chapitre : Limites de fonctions
5: Comparaison de deux fonctions lorsque la variable tend vers
∞
lim f  x=∞
–
Si pour
x
assez grand
f  x g  x
et si
x∞
–
Si pour
x
assez grand
f  x g  x
et si
x∞
lim g  x=−∞
lim g  x=∞
alors
x∞
alors
x∞
.
lim f  x=−∞
6: Théorème des gendarmes pour les fonctions lorsque la variable tend vers l'infini
Si pour
x
assez grand
u  x f  xv  x
et si
lim u x
x∞
lim v x = L alors
= x∞
lim f  x= L
x∞
.
Chapitre : Continuité. Théorème des valeurs intermédiaires
7: Théorème des valeurs intermédiaires: ( cité ici pour mémoire, mais ce n'est pas un Roc!!!)
Soient a et b deux réels avec a b . Soit f une fonction définie et continue sur [a ; b] .
Pour tout k compris entre f a  et f b , il existe au moins un réel  compris entre a et
b tel que f =k .
8: Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, dit aussi, théorème de la bijection ou de la solution
unique:
Soient a et b deux réels avec a b . Soit f une fonction définie, continue et strictement
monotone sur [a ; b] .
Pour tout k compris entre f a  et f b , il existe un unique réel  compris entre a et
b tel que f =k .
Chapitre : Dérivabilité. Étude de fonctions. Primitive d'une fonction
9: Dérivabilité et continuité
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I .
Si f est dérivable en a alors f est continue en a .
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10: Dérivabilité et composition
Soient u et v deux fonctions telle que la composée soit définie sur I
(c'est à dire, u est définie sur I , v est définie sur I , et pour tout x ∈ I , on
Si u est dérivable sur I et si v est dérivable sur J
alors vou est dérivable sur I et vou'  x=v ' u  x×u '  x .
u  x∈ J
).
Chapitre : Fonction exponentielle
11: Unicité de la solution de l'équation différentielle
Il existe une unique fonction
f
y
{ yy0'==1
définie et dérivable sur
ℝ
telle que
f '= f
et
f 0=1
.
12: Propriétés de la fonction exponentielle
Soit exp
–
la fonction exponentielle (c'est à dire dérivable sur
). Alors
L'exponentielle est strictement positive sur ℝ .
L'exponentielle est strictement croissante sur ℝ .
Pour tout x ∈ ℝ , exp x×exp −x =1 .
Pour tout x ∈ ℝ et y∈ ℝ , exp x y=exp x×exp  y .
–
Pour tout
x ∈ℝ
et
–
Pour tout
x ∈ℝ
et n ∈ ℕ , exp nx=exp  xn .
ℝ
telle que
exp '=exp
et
exp0 =1
–
–
–
y∈ ℝ
exp  x
, exp x− y= exp y .
13: Limites de la fonction exponentielle
lim ex =∞
x∞
et
lim ex =0
x−∞
14: Croissances comparées pour la fonction exponentielle
x
e
=∞
x∞ x
lim
et
lim xe x=0
x−∞
Chapitre : Équations différentielles
15: L'équation différentielle y'=ay
Soit a ≠0 . L'ensemble des solutions dans ℝ , de l'équation différentielle
l'ensemble des fonctions f  x=Ceax où C ∈ ℝ .
De plus il existe une unique fonction f solution de l'équation différentielle
y x 0= y0 .
16: L'équation différentielle y'=ay+b
Soit a ≠0 et b ≠0 . L'ensemble
des solutions dans
y' =ay
, est
y' =ay
, telle que
ℝ , de l'équation différentielle
b
ax
est l'ensemble des fonctions f  x=Ce − a où C ∈ ℝ .
De plus il existe une unique fonction f solution de l'équation différentielle y' =ayb
y x 0= y0 .
y' =ayb
,
, telle que
Chapitre : Fonction logarithme néperien
17: Dérivabilité de la fonction logarithme néperien
La fonction logarithme néperien est dérivable sur
et
1
ln  x' =
x
]0 ;∞[ (mis ici pour mémoire mais ce n'est pas un Roc)
.
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18 :Limites de la fonction logarithme néperien
et
lim ln x =∞
x∞
lim ln  x =−∞
x 0
x0
19: Croissances comparées pour la fonction logarithme néperien
et
ln  x
=0
x
x∞
lim
lim x ln  x =0
x 0
x0
Chapitre : Intégration
20: Intégrale et ordre
Soient
f
et
g
deux fonctions continues sur
b
f  x g  x
, telles que pour tout
[a ;b]
,
x ∈ [ a ;b ]
b
∫ f  x d x  ∫ g  x d x .
, alors :
a
a
21: Théorème fondamental du calcul intégral
Soit
une fonction continue sur un intervalle
f
et
I
x0∈ I
. Alors la fonction
F
, définie sur
x
I
, par
F  x
=
∫ f t d t est l'unique primitive de
x0
(Démonstration dans le cas où
f
sur
I
est continue et croissante sur
f
s'annulant en
I
.
x0
)
22: Formule de Newton-Leibniz
Soit f une fonction continue sur un intervalle
pour tout a et b dans I :
et
I
F
une primitive de
sur
f
I
. Alors
b
∫ f  x d x =
F b − F a 
.
a
23: Intégration par parties
Soient u et v deux fonctions dérivables sur
continues sur [a ; b] ,
b
alors :
[a ; b]
et telles que
u'
et
v'
soient
b
∫ ut  v' td t =
[u t v t]ba
a
-
∫ u' t v td t .
a
Chapitre : Probabilité. Conditionnement. Indépendance
24: Formule des probabilités totales
Soient A , B et C trois événements formant une partition de l'univers
événement quelconque, alors : P  D= P  A ∩ D P  B ∩ D P C ∩ D .

, et soit
D
un
25: Indépendance d'évènements
Soient
A
A
A
A
et
et
et
–
–
–
et
deux évènements.
B indépendants équivaut à
B indépendants équivaut à
B indépendants équivaut à
B
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A
A
A
et
et
et
B
B
B
indépendants
indépendants
indépendants
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Chapitre : Dénombrement. Lois de probabilités discrètes
26: Propriétés des combinaisons


n
p
n
p
–
–
=
=
 
 + 
n
n− p
n−1
p−1
n−1
p
(Formule du triangle de Pascal)
27: Loi binomiale
Soit
une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres
X
tout entier
k
tel que
, on a :
0k n
n
et
p
, alors pour

P  X =k = n p k 1− p n−k
k
28: Binôme de Newton
Pour tout complexe
a
et
b
k= n
, et pour tout entier naturel
n

, on a: abn= ∑ n ak b n− k .
k= 0
k
Chapitre : Lois de probabilités continues
29: Une propriété importante d'une loi continue
Soit
une variable aléatoire suivant une loi de probabilité de densité
[a ; b] , alors pour tout c ∈ [ a ; b ] , P  X =c=0 .
X
f
sur un intervalle
30: Propriété de la loi uniforme continue
Soit
une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue sur
X
alors pour tout
c ∈[ a;b ]
et d ∈ [ a ; b ] , tels que
cd
,
[a ; b]
d −c
P c X d =
.
b−a
,
31: Propriété de la loi exponentielle
Soit
une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre
X
fonction de densité est définie par:
{

, c'est à dire que sa
− t
f x =e ,si x ∈[ 0 ;∞ [
,
f x =0, si x∈]−∞ ; 0[
t
alors pour tout réel positif
t
,
P 0X t =∫ e − x dx=1−e − t
et
P  X t =1−P 0X t =e − t
.
0
32: Propriété de la loi de durée de vie sans vieillissement
–
–
Si X suit une loi exponentielle alors elle suit une loi de durée de vie sans vieillissement c'est
à dire que P X t  X t h =P  X h  .
Réciproquement, si X suit une loi de durée de vie sans vieillissement, alors X suit une loi
exponentielle.
Chapitre : Les nombres complexes
33: Propriétés du conjugué
Soient
–
–
z et z '
z z '= z z '
z× z '= z× z '
deux nombres complexes.
–
Si
z'
est non nul,
–
Si
z'
est non nul,
 
 
1
1
=
z'
z'
z
z
=
z'
z'
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34: Propriétés du module
Soient
–
z et z '
∣ z ×z '∣ =∣ z∣ ×∣ z '∣
deux nombres complexes.
∣ z1' ∣=∣ z1'∣
∣ zz' ∣=∣∣zz∣'∣
–
Si
z'
est non nul,
–
Si
z'
est non nul,
–
Pour tout entier naturel
n
, ∣z n∣=∣ z∣n
35: Propriétés de l'argument
Soient
–
–
–
–
z et z ' deux nombres complexes non nuls.
arg  z×z '= arg  zarg  z ' 2k  ( k ∈ ℤ )
1
arg  =−arg z ' 2 k  ( k ∈ ℤ )
z'
z
arg  ' =arg  z−arg  z ' 2k  ( k ∈ ℤ )
z
Pour tout entier naturel n , arg z n=n×arg z2 k  ( k ∈ ℤ
)
36: Argument et géométrie
–
–
Pour tout points
Pour tout points

z −z
on a : arg z B− z A
D
C
A
A

AB2 k 
et B distincts, on a : arg z B− z A =  u ;
, B , C et D tels que A≠ B et C≠ D ,
CD ,
AB + 2 k 
= 
( k∈ℤ )
( k ∈ℤ )
37: Notation exponentielle d'un nombre complexe
La fonction f définie sur ℝ par f =cosisin vérifie l'équation fonctionnelle
caractéristique de la fonction exponentielle, c'est à dire f ' = f × f  '  .
Ceci conduit à la notation suivante : ei =cosisin .
38: Propriétés de la forme exponentielle d'un nombre complexe
Soient
–
–
–
–
r et r ' deux réels positifs, 
r ei ×r ' e i ' =rr ' e i '
1
1 i
Si r ≠0 , alors
= re
i
re
i
re
r
ei −' 
Si r '≠ 0 , alors
= r'
i'
r' e
n in 
r ei n = r e
et
deux réels.
'
Chapitre : Applications des nombres complexes
39: Équation du second degré à coefficients réels
Soit l'équation az 2bz c=0 , d'inconnue z , où a , b et c
Le discriminant de cette équation est =b2 −4 ac . On a alors :
–
Si
0
, l'équation a deux solutions réelles distinctes :
–
Si
=0
, l'équation a une solution :
–
Si
0 , l'équation a deux solutions
−b−i  −
−bi  −
z 1=
et z 2=
2a
2a
z 0=
z 1=
sont des réels, et
−b−  
2a
et
z 2=
a ≠0
.
−b  
2a
−b
2a
non réelles, complexes conjuguées distinctes :
40: Écriture complexe d'une translation
Soit t la translation de vecteur u d'affixe
L'écriture complexe de t est z '= zb .
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b
qui transforme
M  z
en
M 'z'
.
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41: Écriture complexe d'une homothétie
Soit h l'homothétie de centre  et de rapport
L'écriture complexe de h est z ' =k  z−  .
k
qui transforme
M  z
en
M 'z'
.
42: Écriture complexe d'une rotation
Soit r la rotation de centre  et d'angle 
L'écriture complexe de r est z ' =e i   z−  .
qui transforme
en
M  z
.
M 'z'
Chapitre : Produit scalaire dans l'espace
43: Équation de plan
–
–
Soit  P le plan passant par A x A ; y A ; z A  et de vecteur normal n a ;b ; c , alors une
équation cartésienne de  P est de la forme ax by czd =0 où d est un réel.
Réciproquement, soit  P l'ensemble des points M  x ; y ; z  tel que ax by czd =0 (où
a , b et c sont non nuls simultanément), alors  P est un plan de vecteur normal
n a ;b ; c .
44: Distance d'un point à une droite
Soit O; i , j un repère orthonormal du plan.
Soit d une droite d'équation ax by c=0 et M 0  x 0 ; y0 
alors la distance du point
M0
à la droite
d
un point du plan,
∣ ax0by0 c∣
est égale à
.
2
2
 a b
45: Distance d'un point à un plan
Soit O; i , j , 
k  un repère orthonormal de l'espace.
Soit  P un plan d'équation ax by czd =0 et M 0  x 0 ; y0 ; z 0  un point de l'espace,
∣ax 0by 0 cz 0d∣
alors la distance du point M 0 au plan  P est égale à
.
2
2
2
 a b  c
Chapitre : Barycentre. Droites et plans de l'espace
46: Représentation paramétrique d'une droite
Soit  D
Un point
une droite passant par
M x; y;z
appartient à
A x A ; y A ; z A 
 D
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et de vecteur directeur
u a ;b ; c
si et seulement si il existe un réel
k
.
tel que
{
x= x Aka
y= y A kb
z= z Akc
.
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