Critère de divergence d`une suite Théorème 2 - MathArtaud

Terminales S
Liste « non exhaustive » des
Restitutions Organisées des Connaissances:
Théorème 1 : Critère de divergence d'une suite
Théorème 2 : Comparaison par rapport à une suite divergente
Théorème 3 : Théorème des gendarmes pour les suites
Théorème 4 : Convergence des suites adjacentes
Théorème 5 : Comparaison de deux fonctions lorsque la variable tend vers
Théorème 6 : Théorème des gendarmes pour les fonctions lorsque la variable tend vers l'infini
Théorème 7 : Théorème des valeurs intermédiaires ( cité ici pour mémoire, mais ce n'est pas un Roc)
Théorème 8 : Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, dit aussi, théorème de la bijection
Théorème 9 : Dérivabilité et continuité
Théorème 10 : Dérivabilité et composition
Théorème 11 : Unicité de la solution de l'équation différentielle
y 'y
y01
Théorème 12 : Propriétés de la fonction exponentielle
Théorème 13 : Limites de la fonction exponentielle
Théorème 14 : Croissances comparées pour la fonction exponentielle
Théorème 15 : L'équation différentielle y'=ay
Théorème 16 : L'équation différentielle y'=ay+b
Théorème 17 : Dérivabilité de la fonction logarithme néperien
Théorème 18 : Limites de la fonction logarithme néperien
Théorème 19 : Croissances comparées pour la fonction logarithme néperien
Théorème 20 : Intégrale et ordre
Théorème 21 : Théorème fondamental du calcul intégral
Théorème 22 : Formule de Newton-Leibniz
Théorème 23 : Intégration par parties
Théorème 24 : Formule des probabilités totales
Théorème 25 : Indépendance d'événements
Théorème 26 : Propriétés des combinaisons
Théorème 27 : Loi binomiale
Théorème 28 : Binôme de Newton
Théorème 29 : Une propriété importante d'une loi continue
Théorème 30 : Propriété de la loi uniforme continue
Théorème 31 : Propriété de la loi exponentielle
Théorème 32 : Propriété de la loi de durée de vie sans vieillissement
Théorème 33 : Propriétés du conjugué
Théorème 34 : Propriétés du module
Théorème 35 : Propriétés de l'argument
Théorème 36 : Argument et géométrie
Théorème 37 : Notation exponentielle d'un nombre complexe
Théorème 38 : Propriétés de la forme exponentielle d'un nombre complexe
Théorème 39 : Équation du second degré à coefficients réels
Théorème 40 : Écriture complexe d'une translation
Théorème 41 : Écriture complexe d'une homothétie
Théorème 42 : Écriture complexe d'une rotation
Théorème 43 : Équation de plan
Théorème 44 : Distance d'un point à une droite
Théorème 45 : Distance d'un point à un plan
Théorème 46 : Représentation paramétrique d'une droite
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Chapitre : Les suites
1: Critère de divergence d'une suite
Toute suite croissante et non majorée diverge vers .
Toute suite décroissante et non minorée diverge vers .
2: Comparaison par rapport à une suite divergente
Soient
un
et
vn
deux suites telles que : à partir d'un certain rang
unvn
; Alors
Si
un
diverge vers alors
vn
aussi.
Si
vn
diverge vers alors
un
aussi.
3: Théorème des gendarmes pour les suites
Soient
un
,
vn
et
wn
trois suites telles que :
A partir d'un certain rang :
unvnwn
.
un
et
vn
convergent vers le même réel
L
.
Alors
vn
converge vers
L
.
4: Convergence des suites adjacentes
Soient
un
et
vn
deux suites adjacentes alors
un
et
vn
convergent vers la même
limite
L
.
Chapitre : Limites de fonctions
5: Comparaison de deux fonctions lorsque la variable tend vers
Si pour
x
assez grand
fxgx
et si
lim
x
fx
alors
lim
x
gx
.
Si pour
x
assez grand
fxgx
et si
lim
x
gx
alors
lim
x 
fx
6: Théorème des gendarmes pour les fonctions lorsque la variable tend vers l'infini
Si pour
x
assez grand
ux fxvx
et si
lim
x
ux
=
lim
x 
vx
=
L
alors
lim
x
fxL
.
Chapitre : Continuité. Théorème des valeurs intermédiaires
7: Théorème des valeurs intermédiaires: ( cité ici pour mémoire, mais ce n'est pas un Roc!!!)
Soient
a
et
b
deux réels avec
ab
. Soit
f
une fonction définie et continue sur
a;b
.
Pour tout
k
compris entre
fa
et
fb
, il existe au moins un réel compris entre
a
et
b
tel que
fk
.
8: Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, dit aussi, théorème de la bijection ou de la solution
unique:
Soient
a
et
b
deux réels avec
ab
. Soit
f
une fonction définie, continue et strictement
monotone sur
a;b
.
Pour tout
k
compris entre
fa
et
fb
, il existe un unique réel compris entre
a
et
b
tel que
fk
.
Chapitre : Dérivabilité. Étude de fonctions. Primitive d'une fonction
9: Dérivabilité et continuité
Soit
f
une fonction définie sur un intervalle
I
et
a∈I
.
Si
f
est dérivable en
a
alors
f
est continue en
a
.
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10: Dérivabilité et composition
Soient
u
et
v
deux fonctions telle que la composée soit définie sur
I
(c'est à dire,
u
est définie sur
I
,
v
est définie sur
I
, et pour tout
x∈I
, on
ux∈J
).
Si
u
est dérivable sur
I
et si
v
est dérivable sur
J
alors
vou
est dérivable sur
I
et
vou'xv ' uxu ' x
.
Chapitre : Fonction exponentielle
11: Unicité de la solution de l'équation différentielle
y 'y
y01
Il existe une unique fonction
f
définie et dérivable sur telle que
f 'f
et
f01
.
12: Propriétés de la fonction exponentielle
Soit
exp
la fonction exponentielle (c'est à dire dérivable sur telle que
exp 'exp
et
exp01
). Alors
L'exponentielle est strictement positive sur .
L'exponentielle est strictement croissante sur .
Pour tout
x∈
,
expxexp x1
.
Pour tout
x∈
et
y∈
,
expxyexpxexp y
.
Pour tout
x∈
et
y∈
,
expxyexp x
expy
.
Pour tout
x∈
et
n∈
,
expnxexp xn
.
13: Limites de la fonction exponentielle
lim
x 
ex
et
lim
x
ex0
14: Croissances comparées pour la fonction exponentielle
lim
x 
ex
x
et
lim
x 
xex0
Chapitre : Équations différentielles
15: L'équation différentielle y'=ay
Soit
a0
. L'ensemble des solutions dans , de l'équation différentielle
y' ay
, est
l'ensemble des fonctions
fxCeax
où
C∈
.
De plus il existe une unique fonction
f
solution de l'équation différentielle
y' ay
, telle que
yx0 y0
.
16: L'équation différentielle y'=ay+b
Soit
a0
et
b 0
. L'ensemble des solutions dans , de l'équation différentielle
y' ayb
,
est l'ensemble des fonctions
fxCeaxb
a
où
C∈
.
De plus il existe une unique fonction
f
solution de l'équation différentielle
y' ayb
, telle que
yx0 y0
.
Chapitre : Fonction logarithme néperien
17: Dérivabilité de la fonction logarithme néperien
La fonction logarithme néperien est dérivable sur
0 ;
(mis ici pour mémoire mais ce n'est pas un Roc)
et
ln x'1
x
.
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18 :Limites de la fonction logarithme néperien
lim
x 
ln x
et
lim
x0
x0
ln x
19: Croissances comparées pour la fonction logarithme néperien
lim
x 
ln x
x0
et
lim
x0
x0
xln x0
Chapitre : Intégration
20: Intégrale et ordre
Soient
f
et
g
deux fonctions continues sur
a;b
, telles que pour tout
x∈a;b
,
fxgx
, alors :
a
b
fxdx
a
b
gxdx
.
21: Théorème fondamental du calcul intégral
Soit
f
une fonction continue sur un intervalle
I
et
x0∈I
. Alors la fonction
F
, définie sur
I
, par
Fx
=
x0
x
ftdt
est l'unique primitive de
f
sur
I
s'annulant en
x0
.
(Démonstration dans le cas où
f
est continue et croissante sur
I
)
22: Formule de Newton-Leibniz
Soit
f
une fonction continue sur un intervalle
I
et
F
une primitive de
f
sur
I
. Alors
pour tout
a
et
b
dans
I
:
a
b
fxdx
=
FbFa
.
23: Intégration par parties
Soient
u
et
v
deux fonctions dérivables sur
a;b
et telles que
u '
et
v '
soient
continues sur
a;b
,
alors :
a
b
utv' tdt
=
utvta
b
-
a
b
u' tvtdt
.
Chapitre : Probabilité. Conditionnement. Indépendance
24: Formule des probabilités totales
Soient
A
,
B
et
C
trois événements formant une partition de l'univers , et soit
D
un
événement quelconque, alors :
PDPADPBDPCD
.
25: Indépendance d'évènements
Soient
A
et
B
deux évènements.
A
et
B
indépendants équivaut à
A
et
B
indépendants
A
et
B
indépendants équivaut à
A
et
B
indépendants
A
et
B
indépendants équivaut à
A
et
B
indépendants
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Chapitre : Dénombrement. Lois de probabilités discrètes
26: Propriétés des combinaisons
n
p
=
n
np
n
p
=
n1
p1
+
n1
p
(Formule du triangle de Pascal)
27: Loi binomiale
Soit
X
une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres
n
et
p
, alors pour
tout entier
k
tel que
0kn
, on a :
PXk
n
k
pk1pnk
28: Binôme de Newton
Pour tout complexe
a
et
b
, et pour tout entier naturel
n
, on a:
abn
k0
kn
n
k
akbnk
.
Chapitre : Lois de probabilités continues
29: Une propriété importante d'une loi continue
Soit
X
une variable aléatoire suivant une loi de probabilité de densité
f
sur un intervalle
a;b
, alors pour tout
c∈a;b
,
PXc0
.
30: Propriété de la loi uniforme continue
Soit
X
une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue sur
a;b
,
alors pour tout
c∈a;b
et
d∈a;b
, tels que
cd
,
PcXddc
ba
.
31: Propriété de la loi exponentielle
Soit
X
une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre , c'est à dire que sa
fonction de densité est définie par:
fxe t,si x  0;
fx0,si x ;0
,
alors pour tout réel positif
t
,
P0Xt
0
t
e xdx 1et
et
PXt1P0Xtet
.
32: Propriété de la loi de durée de vie sans vieillissement
Si
X
suit une loi exponentielle alors elle suit une loi de durée de vie sans vieillissement c'est
à dire que
PXtXthPXh
.
Réciproquement, si
X
suit une loi de durée de vie sans vieillissement, alors
X
suit une loi
exponentielle.
Chapitre : Les nombres complexes
33: Propriétés du conjugué
Soient
z
et
z '
deux nombres complexes.
zz 'zz '
zz 'zz '
Si
z '
est non nul,
1
z '
1
z '
Si
z '
est non nul,
z
z '
z
z '
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