d ` homologie d ` intersection

SINGULARITIES AND DIFFERENTIAL EQUATIONS
BANACH CENTER PUBLICATIONS , VOLUME 3 3
INSTITUTE OF MATHEMATICS
POLISH ACADEMY OF SCIENCES
WARSZAWA 1 9 9 6
CARACT ´ ERISATIONDES
`
AL0AIDE
VARI
DES
´
ET´ ES
INVARIANTS
HOMOLOGIQUES
D ’ HOMOLOGIE D ’ INTERSECTION
J EAN - P AUL BRA S S E L ET
SiGmA , CIRM - Luminy
Case 91 6 , 1 3288 Marseille Cedex 9 , France
E - mail : jpb @cirm . univ - mrs . fr
KARL - HEIN Z F I E S ELER et LUDGER KAUP
Fakult ¨at f ¨ur Mathematik , Universit ¨at Konstanz
Postfach 5560 , 7750 Konstanz , Germany
E - mail : ba r−thel @cauchy . mathe . uni - konstanz . de
La conf ´erence de J . P . Brasselet au Symposium de Varsovie a eu pour th `eme les probl `e
mes
actuels de l ’ homologie d ’ intersection . Nous en pr´esentons ici l ’ un des aspects , r ´esultat
d ’ un travail commun r ´ealis ´edans le cadre du programme Procope et pendant lequel le second
auteur a ´et´echercheur associ ´eau CNRS .
1 . Le probl `eme . Dans toute la suite les homologies et cohomologies seront prises
`asupports lo calement ferm ´es et `acoefficients dans un anneau Rprincipal , sans diviseur
de zero . On renvoie `a[ GoMcP ] et [ KaFi ] pour les d ´efinitions et notations utilis ´ees .
Dans leur article sur l ’ homologie d ’ intersection , [ GoMcP , §6 . 4 ] , M . Goresky et R .
Mac - Pherson ont fait la conjecture suivante :
Conjecture . Soit Xune pseudovari ´et´enormale . Si IpH∗(X)→IqH∗(X)
est un
is omorphisme ,pour toutes perversit ´esp<q,alors Xest une vari ´et´ehomologique .
H . C . King [ Ki ] , a donn ´eun contre - exemple `acette conjecture et a montr ´equ ’ elle
devient vraie si l ’ on permet des perversit ´es plus g´en ´erales que celles de M . Goresky
et R . MacPherson , appel ´ees “ loose perversities
00
.
Une autre approche consiste `amontrer que la conjecture de M . Goresky et R . Mac -
Pherson est vraie pour les seules perversit ´es portant leur nom mais en aj outant une hypoth
`ese suppl ´ementaire . C ’ est par exemple le cas des pseudovari ´et ´es normales telles
1 9 9 1 Mathematics Subject Classification : Primary 55 N 33 ; Secondary 57 N 65 . The paper is in
final form and no version of it will be published elsewhere .
[19]

20 J . - P . BRASSELET ET AL .
que les voisinages tubulaires des strates n ’ ont pas de “ monodromie homologique ” ( voir
[ BraSa ] ) . Dans ce travail , nous utilisons les invariants de l ’ homologie d ’ intersection intro
-
duits dans [ KpFi ] et [ FiKp 1 ] pour donner un crit `ere lo cal pour lequel la conjecture est
vraie .
Soit Xune pseudovari ´et ´enormale de dimension r ´eelle n. Nous noterons P•
ple complexe
de Deligne ,`acoefficients dans Ret correspondant `ala perversit ´e( ou tol ´erance ) p.
De fa cedilla −c on `acomparer l ’ homologie d ’ intersection pour les perversit ´espet q
, on introduit le triangle distingu ´e:
P•
p→ P• q
- .
Q•
On en d ´eduit une suite exacte longue de faisceaux d ´eriv ´es
... → HjP•
p→ HjP• q→ HjQ•→ Hj+1P• p→...
et une suite exacte longue de modules d ’ hypercohomologie
... →Hj(X;P•
p)→Hj(X;P• q)→Hj(X;Q•)→Hj+1(X;P• p)→...
dans laquelle le module Hj(X;P•
p) s ’ identifie `aIpHn−j(X).
R e m a r q u e . Un isomorphisme IpHj(X)→IqHj(X),c ’ est `adire un isomorphisme
Hj(X;P•
p)→Hj(X;P• q) n ’ implique pas un isomorphisme de faisceaux HjP• p→ HjP• q.
Ainsi , si l ’ on cherche un crit `ere global de caract ´erisation des vari ´et ´es homologiques
, King montre que l ’ on doit utiliser les “ loose perversities ” . Dans ce qui suit , on donne un
crit `ere lo cal ,`al ’ aide des seules perversit ´es de Goresky et MacPherson .
2 . Rappels sur les invariants de l ’ homologie d ’ intersection . Etant donn
´ee une filtration de X:
X=Xn⊃Σ = Xn−2⊃ · · · ⊃ Xn−k⊃ · · · ⊃ X0⊃X−1=∅
on note Sn−k=Xn−k\Xn−k−1et Uk=X\Xn−k=Uk−1∪Sn−(k−1).
D´efinition [ KaFi , §3 . 1 ] . Soit pune perversit ´e,on pose pour chaque ouvert
U⊂X:
aU(p) := sup {i∈N∪{∞} :Hj(P•
p)|U= 0,1≤j≤i}
et a(p) := aX(p) .
R e m a r q u e . Si on a deux perversit ´espet qtelles que p≤q, alors a(p)≥a(q) .
Remarque. X est une vari ´et ´ehomologique si et seulement si on a a(p) = ∞
pour
toute perversit ´ep.
D´efinition [ KaFi , §3 . 3 ] . Soit pune perversit ´e,on pose :
k(p) := min {i∈N∪{∞} :e H•(P•
p)|Sn−i6= 0}
o`ue H•(P•
p) = H•(τ≥1P• p).
R e m a r q u e . Si on a deux perversit ´espet qtelles que p≤q, alors k(p)≥k(q) .
D´efinition [ KaFi , §6 ] . On dit que la pseudovari ´et ´eX est exceptionnelle ou de
type
E( exceptionnel par rapport `aR) si et seulement si :

HOMOLOGIE D ’ INTERSECTION 2 1
1)k=k(t) est pair ,
2)aUk+1 (t) = k
2−1.
Remarquons qu ’ une pseudovari ´et ´eexceptionnelle Xsatisfait :
Hj(P•
t)|Sn−k=(0 sij6=k/2,
estdetorsionetnonnul sij=k/2.
En effet , [ KaFi , §5 . 22 ] implique , pour k=k(t) ,
e
Hj
Pt
•
,X =∼Ext (Hk−jP• t,X ;R)⊕Hom (Hk−j−1P• t,X ;R)
pouraUk+1 x(∈
t)Sn
=k
2
−k
−
et
1.j≤k−2.Par cons ´equent ,Hk/2P•
t,x est de torsion et non nul , puisque
Remarque. Iln’existe´evidemment pas de pseudovari ´et ´eexceptionnelle par
rapport `aun corps K. Si l ’ anneau Rcontient un sous - corps K, en particulier si la caract
´eristique
de Rest non nulle , alors l ’ homologie d ’ intersection IpH•(X;R) , de m ˆeme que l ’
homologie
locale HR
•satisfont `ala formule covariante des coefficients universels , R´etant consid ´er ´e
comme espace vectoriel K. Dans ce cas , X est une vari ´et ´ehomologique par rapport `aR
si et seulement s ’ i l en est ainsi par rapport `aK. On pourrait alors , en cherchant les vari ´e
t ´es homologiques , ne pas consid ´erer les espaces de type E.
D ’ autre part , si Xest une vari ´et ´ehomologique par rapport `aZp,pour tout ppremier ,
alors Xest une vari ´et ´ehomologique par rapport `aZ,puisque l ’ homologie lo cale satisfait
la formule des coefficients universels , m ˆeme si Rn ’ est pas un corps .
Proposition [ KaFi , §6.2]. Si Xn ’ est pas de type E,e t s i pest une
perversit ´esatis -
faisant p(k(t)) ≥n(k(t) ) , o`unest la perversit ´emoiti ´esup´erieure ,alors on
aa(p) = a(t).
Corollaire . Si Xn ’ est pas de type E,e t s i la perversit ´ep
satisfait l ’ in ´egalit ´e
p(k(p)) ≥n(k(p) ) , alors on a :
2aUk+1 (p)+3≤k(p).
La d ´emonstration du corollaire utilise celle de la proposition ( cf . [ KaFi , §6 . 2 ] ) .
R e m a r q u e . Si on a une stratification d ’ une vari ´et ´ecomplexe ( en fait , si on a
une
stratification en strates de codimensions paires ) , on peut remplacer , dans la formule du
corollaire , “ +3 ” par “ +4
00
.
Proposition [ KaFi , §6.1]. Si Xn ’ est pas de type E,alors i l vient :k(t) =
min (k(p) ,
k(t−p)).
3 . R ´esultats et cons ´equences sur les vari ´et´es homologiques
R´esultat 1.X est une vari ´et´ehomologique s i e t seulement s i Xn ’ est pas
de type
Ee t i l existe une perversit ´ept e l le que ,en posant k:= k(p) , on a p
(k)≥[k−1
2]e t
+ 2 ≥k. 2aUk+1 (p)

R´esultat 2.X est une vari ´et´ehomologique s i e t s eulement s i i l existe une
perversit ´e
pt e l le que ,si k:= k(p) , alors p(k)≥[k
2]e t 2aUk+1 (p)+1≥k.
Comme on a toujours l ’ in ´egalit ´ea(p)≤aUk+1 (p) , les r ´esultats 1 et 2 entra ˆınent :

22 J . - P . BRASSELET ET AL .
R´esultat 3.X est une vari ´et´ehomologique s i e t s eulement s i Xn ’ est pas de
type Ee t s ’ i l existe une perversit ´ep≥nt e l le que 2a(p)+2≥n.
R´esultat 4.X est une vari ´et´ehomologique s i e t s eulement s ’ i l existe une
perversit ´ep≥m+1 t e l le que 2a(p)+1≥n.
R e m a r q u e . Si kest pair , on peut remplacer “ +2 ” par “ +3 ” dans le r ´e
sultat 1 .
De m ˆeme dans le r ´esultat 3 , si les strates de la stratification de Xsont de codimensions
paires . En effet , si kest pair , la remarque suivant le corollaire ci - dessus entra ˆıne que
2aUk+1 (p)+4≤k, donc 2aUk+1 (p)+3≤kimplique aUk+1 (p) = ∞.
R e m a r q u e . Si k0est la codimension maximale des strates , on peut remplacer n
par k0dans les ´enonc ´es 3 et 4 .
Exemple 1 ( Cas o `un = 3).Dans ce cas , la perversit ´en=test la seule perversit
´ediff ´erente de zero . Pour Xnormale , le lieu singulier Σ est de codimension k= 3 ou est
vide . Donc , X est une vari ´et ´ehomologique si et seulement si a(n)6= 0.Comme exemple
singulier , on peut prendre le c ˆone ouvert ˚c(L) sur une surface de Riemann compacte Lnon
rationnelle . Cette construction est `ala base du contre - exemple de King ( avec pour L, un
tore ) .
Exemple 2 ( Cas o `un = 4).Dans ce cas , nous obtenons les r ´esult ats suivants :
Si k= 3,et si p(3) ≥1,alors , si Xn ’ est pas une vari ´et ´ehomologique , a(p) doit ˆe
tre 0 . Si k= 4,et si Xn ’ est pas de type E, alors Xn ’ est pas une vari ´et ´ehomologique
si et seulement s ’ il existe une perversit ´eptelle que p(4) ≥1 et a(p)=0.
Si k= 4,et si Xest de type E, alors H1(P•
t)|S0= 0 et H2(P• t)|S06= 0, a(t)=1.
R e m a r q u e . Jusqu ’ `apr´esent , on a compar´eles perversit ´espet 0. Il
semble plus int ´eressant de comparer pavec des perversit ´es moins distantes : Pour un
espace complexe X, topologiquement lo calement intersection compl `ete , on peut remplacer
a(p) = a(0,p) par a(q,p) , quel que soit qtelle que q(k)≤m(k)−1 pour k≥2.
En utilisant [ FiKp 1 ] et [ FiKp 2 ] , on a un r ´esultat analogue dans le cas complexe g´en ´e
ral , moyennant l ’ invariant tab(X),qui mesure la “ distance ” `aune intersection compl `ete
lo cale .
R´ef´erences
[ BraSa ] J . - P . B r a s s e l e t et M . S a r a l e g i , Vari ´et´es homologiques et
homologie d ’ intersec -
tion , C . R . Acad . Sci . Paris S ´er . I 314 ( 1 9 92 ) , 847 – 850 .
[FiKp1] K.-H.FieselerandL.Kaup, The vanishing invariants in intersection
homology of complex spaces , dans : S ingularities , Banach Center Publ . 20 , 1 988 , 22 5 – 235 .
[ FiKp 2] − − − ,− − − ,Quasi - isomorphic perversities and obstruction theory for pseudo-
manifolds , ibid . , 1 99 – 223 .
[ GoMcP ] M . G o r e s ky and R . M a c P h e r s o n , Intersection homology theory ,
Topology 1 9 ( 1 9 80 ) , 1 35 – 1 62 .
[ KaFi ] L . K au p and K . - H . F i e s e l e r , Singular Poincar ´eduality and intersection
homology , in : Proc . 1 984 Vancouver Conf . in Algebraic Geometry , Amer . Math
. Soc . , Providence , 1 986 , 1 1 3 – 1 61 .
[ Ki ] H . K i n g , Intersection homology and homology manifolds , Topology 2 1 ( 1 982 ) , 22
9 – 234 .