SINGULARITIES AND DIFFERENTIAL EQUATIONS BANACH CENTER PUBLICATIONS , VOLUME 3 3 INSTITUTE OF MATHEMATICS POLISH ACADEMY OF SCIENCES WARSZAWA 1 9 9 6 VARI ÉTÉS HOMOLOGIQUES CARACTÉRISATIONDES ÀL0 AIDE DES INVARIANTS D ’ HOMOLOGIE D ’ INTERSECTION J EAN - P AUL BRA S S E L ET SiGmA , CIRM - Luminy Case 91 6 , 1 3288 Marseille Cedex 9 , France E - mail : jpb @ cirm . univ - mrs . fr KARL - HEIN Z F I E S ELER et LUDGER KAUP Fakult ä t f ü r Mathematik , Universit ä t Konstanz Postfach 5560 , 7750 Konstanz , Germany E - mail : ba r − t hel @ cauchy . mathe . uni - konstanz . de La conf é rence de J . P . Brasselet au Symposium de Varsovie a eu pour th è me les probl è mes actuels de l ’ homologie d ’ intersection . Nous en pr é sentons ici l ’ un des aspects , r é sultat d ’ un travail commun r é alis é dans le cadre du programme Procope et pendant lequel le second auteur a é t é chercheur associ é au CNRS . 1. Le probl è me . Dans toute la suite les homologies et cohomologies seront prises à supports lo calement ferm é s et à coefficients dans un anneau R principal , sans diviseur de zero . On renvoie à[ GoMcP ] et [ KaFi ] pour les d é finitions et notations utilis é es . Dans leur article sur l ’ homologie d ’ intersection , [ GoMcP , §6 . 4 ] , M . Goresky et R . Mac - Pherson ont fait la conjecture suivante : Conjecture . Soit X une pseudovari é t é normale . Si Ip H∗ (X) → Iq H∗ (X) est un is omorphisme , pour toutes perversit é s p < q , alors X est une vari é t é homologique . H . C . King [ Ki ] , a donn é un contre - exemple à cette conjecture et a montr é qu ’ elle devient vraie si l ’ on permet des perversit é s plus gé n é rales que celles de M . Goresky 00 et R . MacPherson , appel é es “ loose perversities . Une autre approche consiste à montrer que la conjecture de M . Goresky et R . Mac Pherson est vraie pour les seules perversit é s portant leur nom mais en aj outant une hypoth è se suppl é mentaire . C ’ est par exemple le cas des pseudovari é t é s normales telles 1 9 9 1 Mathematics Subject Classification : Primary 55 N 33 ; Secondary 57 N 65 . The paper is in final form and no version of it will be published elsewhere . [19] 20 J . - P . BRASSELET ET AL . que les voisinages tubulaires des strates n ’ ont pas de “ monodromie homologique ” ( voir [ BraSa ] ) . Dans ce travail , nous utilisons les invariants de l ’ homologie d ’ intersection intro duits dans [ KpFi ] et [ FiKp 1 ] pour donner un crit è re lo cal pour lequel la conjecture est vraie . Soit X une pseudovari é t é normale de dimension r é elle n. Nous noterons Pp• le complexe de Deligne , à coefficients dans R et correspondant à la perversit é( ou tol é rance ) p . De fa cedilla − c on à comparer l ’ homologie d ’ intersection pour les perversit é s p et q , on introduit le triangle distingu é : Pp• → - Pq• . Q• On en d é duit une suite exacte longue de faisceaux d é riv é s ... → Hj Pp• → Hj Pq• → Hj Q• → Hj+1 Pp• → ... et une suite exacte longue de modules d ’ hypercohomologie ... → Hj (X; Pp• ) → Hj (X; Pq• ) → Hj (X; Q• ) → Hj+1 (X; Pp• ) → ... dans laquelle le module Hj (X; Pp• ) s ’ identifie àIp Hn−j (X). R e m a r q u e . Un isomorphisme Ip Hj (X) → Iq Hj (X), c ’ est à dire un isomorphisme Hj (X; Pp• ) → Hj (X; Pq• ) n ’ implique pas un isomorphisme de faisceaux Hj Pp• → Hj Pq• . Ainsi , si l ’ on cherche un crit è re global de caract é risation des vari é t é s homologiques , King montre que l ’ on doit utiliser les “ loose perversities ” . Dans ce qui suit , on donne un crit è re lo cal , à l ’ aide des seules perversit é s de Goresky et MacPherson . 2. Rappels sur les invariants de l ’ homologie d ’ intersection . Etant donn é e une filtration de X : X = Xn ⊃ Σ = Xn−2 ⊃ · · · ⊃ Xn−k ⊃ · · · ⊃ X0 ⊃ X−1 = ∅ on note Sn−k = Xn−k \ Xn−k−1 et Uk = X \ Xn−k = Uk−1 ∪ Sn−(k−1) . D é finition [ KaFi , §3 . 1 ] . Soit p une perversit é, on pose pour chaque ouvert U ⊂X: aU ( p ) := sup {i ∈ N ∪{∞} : Hj (Pp• ) | U = 0, 1 ≤ j ≤ i} et a( p ) := aX ( p ) . R e m a r q u e . Si on a deux perversit é s p et q telles que p ≤ q , alors a( p ) ≥ a( q ) . R e m a r q u e . X est une vari é t é homologique si et seulement si on a a( p ) = ∞ pour toute perversit é p . D é finition [ KaFi , §3 . 3 ] . Soit p une perversit é, on pose : e • (Pp• ) | Sn−i 6= 0} k( p ) := min {i ∈ N ∪{∞} : H e • (Pp• ) = H• (τ ≥1 Pp• ). oùH R e m a r q u e . Si on a deux perversit é s p et q telles que p ≤ q , alors k( p ) ≥ k( q ) . D é finition [ KaFi , §6 ] . On dit que la pseudovari é t éX est exceptionnelle ou de type E ( exceptionnel par rapport à R ) si et seulement si : HOMOLOGIE D ’ INTERSECTION 21 1)k = k( t ) est pair , k − 1. 2 Remarquons qu ’ une pseudovari é t é exceptionnelle X satisfait : ( 0 sij 6= k/2, j • H (Pt ) | Sn−k = estdetorsionetnonnul sij = k/2. 2)aUk+1 (t) = En effet , [ KaFi , §5 . 22 ] implique , pour k = k( t ) , e j • =∼ Ext (Hk−j P • ; R )⊕ Hom (Hk−j−1 P • ; R ) H t,X t,X Pt ,X ∈ −k nk et j k/2 • pouraU x(t ) S= Pt,x est de torsion et non nul , puisque 2 − 1. ≤ k − 2. Par cons é quent , H k+1 Remarque. Il n ’ existe é videmment pas de pseudovari é t é exceptionnelle par rapport à un corps K . Si l ’ anneau R contient un sous - corps K , en particulier si la caract é ristique de R est non nulle , alors l ’ homologie d ’ intersection Ip H• (X; R ) , de m ê me que l ’ homologie locale H•R satisfont à la formule covariante des coefficients universels , R é tant consid é r é comme espace vectoriel K . Dans ce cas , X est une vari é t é homologique par rapport à R si et seulement s ’ i l en est ainsi par rapport à K . On pourrait alors , en cherchant les vari é t é s homologiques , ne pas consid é rer les espaces de type E . D ’ autre part , si X est une vari é t é homologique par rapport àZp , pour tout p premier , alors X est une vari é t é homologique par rapport àZ, puisque l ’ homologie lo cale satisfait la formule des coefficients universels , m ê me si R n ’ est pas un corps . Proposition [ KaFi , §6 . 2 ] . Si X n ’ est pas de type E , e t s i p est une perversit é satis faisant p (k( t )) ≥ n (k( t ) ) , o ù n est la perversit é moiti é supé rieure , alors on a a( p ) = a( t ) . Corollaire . Si X n ’ est pas de type E , e t s i la perversit é p satisfait l ’ in é galit é p (k( p )) ≥ n (k( p ) ) , alors on a : 2aUk+1 (p) + 3 ≤ k(p). La d é monstration du corollaire utilise celle de la proposition ( cf . [ KaFi , §6 . 2 ] ) . R e m a r q u e . Si on a une stratification d ’ une vari é t é complexe ( en fait , si on a une stratification en strates de codimensions paires ) , on peut remplacer , dans la formule du 00 corollaire , “ +3 ” par “ +4 . Proposition [ KaFi , §6 . 1 ] . Si X n ’ est pas de type E , alors i l vient : k( t ) = min (k( p ) , k(t − p)). 3. R é sultats et cons é quences sur les vari é t é s homologiques R é sultat 1.X est une vari é t é homologique s i e t seulement s i X n ’ est pas de type E e t i l existe une perversit é p t e l le que , en posant k := k( p ) , on a p ] et (k) ≥ [ k−1 2 + 2 ≥ k. 2aUk+1 (p) R é sultat 2.X est une vari é t é homologique s i e t s eulement s i i l existe une perversit é p t e l le que , si k := k( p ) , alors p (k) ≥ [ k2 ] e t 2aUk+1 ( p ) + 1 ≥ k. Comme on a toujours l ’ in é galit éa( p ) ≤ aUk+1 ( p ) , les r é sultats 1 et 2 entra ı̂ nent : 22 J . - P . BRASSELET ET AL . R é sultat 3.X est une vari é t é homologique s i e t s eulement s i X n ’ est pas de type E e t s ’ i l existe une perversit é p ≥ n t e l le que 2a( p ) + 2 ≥ n. R é sultat 4.X est une vari é t é homologique s i e t s eulement s ’ i l existe une perversit é p ≥ m +1 t e l le que 2a( p ) + 1 ≥ n. R e m a r q u e . Si k est pair , on peut remplacer “ +2 ” par “ +3 ” dans le r é sultat 1 . De m ê me dans le r é sultat 3 , si les strates de la stratification de X sont de codimensions paires . En effet , si k est pair , la remarque suivant le corollaire ci - dessus entra ı̂ ne que 2aUk+1 ( p ) + 4 ≤ k, donc 2aUk+1 ( p ) + 3 ≤ k implique aUk+1 ( p ) = ∞. R e m a r q u e . Si k0 est la codimension maximale des strates , on peut remplacer n par k0 dans les é nonc é s 3 et 4 . Exemple 1 ( Cas o ùn = 3). Dans ce cas , la perversit é n = t est la seule perversit é diff é rente de zero . Pour X normale , le lieu singulier Σ est de codimension k = 3 ou est vide . Donc , X est une vari é t é homologique si et seulement si a( n ) 6= 0. Comme exemple singulier , on peut prendre le c ô ne ouvert c̊(L) sur une surface de Riemann compacte L non rationnelle . Cette construction est à la base du contre - exemple de King ( avec pour L, un tore ) . Exemple 2 ( Cas o ùn = 4). Dans ce cas , nous obtenons les r é sult ats suivants : Si k = 3, et si p (3) ≥ 1, alors , si X n ’ est pas une vari é t é homologique , a( p ) doit ê tre 0 . Si k = 4, et si X n ’ est pas de type E , alors X n ’ est pas une vari é t é homologique si et seulement s ’ il existe une perversit é p telle que p (4) ≥ 1 et a( p ) = 0. Si k = 4, et si X est de type E , alors H1 (Pt• ) | S0 = 0 et H2 (Pt• ) | S0 6= 0, a( t ) = 1. R e m a r q u e . Jusqu ’ àpré sent , on a comparé les perversit é s p et 0 . Il semble plus int é ressant de comparer p avec des perversit é s moins distantes : Pour un espace complexe X, topologiquement lo calement intersection compl è te , on peut remplacer a( p ) = a(0, p ) par a( q , p ) , quel que soit q telle que q (k) ≤ m (k) − 1 pour k ≥ 2. En utilisant [ FiKp 1 ] et [ FiKp 2 ] , on a un r é sultat analogue dans le cas complexe gé n é ral , moyennant l ’ invariant tab(X), qui mesure la “ distance ” à une intersection compl è te lo cale . R é f é rences [ BraSa ] J . - P . B r a s s e l e t et M . S a r a l e g i , Vari é t é s homologiques et homologie d ’ intersec tion , C . R . Acad . Sci . Paris S é r . I 314 ( 1 9 92 ) , 847 – 850 . [ FiKp 1 ] K . - H . F i e s e l e r and L . K a u p , The vanishing invariants in intersection homology of complex spaces , dans : S ingularities , Banach Center Publ . 20 , 1 988 , 22 5 – 235 . [ FiKp 2] − − − , − − − , Quasi - isomorphic perversities and obstruction theory for pseudomanifolds , ibid . , 1 99 – 223 . [ GoMcP ] M . G o r e s ky and R . M a c P h e r s o n , Intersection homology theory , Topology 1 9 ( 1 9 80 ) , 1 35 – 1 62 . [ KaFi ] L . K au p and K . - H . F i e s e l e r , Singular Poincar é duality and intersection homology , in : Proc . 1 984 Vancouver Conf . in Algebraic Geometry , Amer . Math . Soc . , Providence , 1 986 , 1 1 3 – 1 61 . [ Ki ] H . K i n g , Intersection homology and homology manifolds , Topology 2 1 ( 1 982 ) , 22 9 – 234 .