Complexité des opérations et nombres premiers

Math´ ematiques Discr` etes (2)
Complexit´ e des op´ erations et nombres premiers
Michel Rigo
en co-titulariat avec Emilie Charlier
http://www.discmath.ulg.ac.be/
Ann´ee 2016–2017

Repr´ esentation en base enti` ere
base enti`ere b≥2
n=
ℓ−1
X
i=0
cibi,avec ci∈ {0,...,b−1}et cℓ−16= 0.
ρb(n):= cℓ−1···c0: repr´esentation en base bde n.
cℓ−1: chiffre de poids fort ou chiffre le plus significatif
c0: chiffre de poids faible ou chiffre le moins significatif.
∀n≥0,∃ℓ≥0:bℓ−1≤n<bℓ,ρb(n)est un mot de longueur ℓ.
longueur de la repr´esentation en base bde n
Lb(n):= ⌊logb(n)⌋+ 1 = ln n
ln b+ 1.

La multiplication ´egyptienne Images : Wikipedia
(Papyrus de Rhind, antiquaire et arch´eologue ´ecossais 1858)

La multiplication ´egyptienne 67 ×89
uniquement des additions, soutractions et multiplications par 2
1189
12178
0 4 356
08 712
016 1424
032 2848
164 5696
67 5963
on doit retrouver la d´ecomposition de 67 en base 2
67 ×89 = (64 + 2 + 1) ×89

La multiplication du paysan russe 67 ×89
`a chaque ´etape, n7→ ⌊n/2⌋, ceci permet de retrouver la
d´ecomposition en base 2
167 89
1 33 178
0 16 356
08 712
04 1424
02 2848
115696
5963
068 89
034 178
117 356
0 8 712
04 1424
02 2848
115696
6052
67 = 2.(2.(2.(2.(2.(2.1 + 0) + 0) + 0) + 0) + 1) + 1
68 = 2.(2.(2.(2.(2.(2.1 + 0) + 0) + 0) + 1) + 0) + 0