Actions de contact entre solides Liaisons

CHAPITRE 13
Actions de contact entre solides
Liaisons
13.1 LOIS DU CONTACT ENTRE SOLIDES
13.1.1 Introduction
Pour déplacer sur le sol un solide (armoire, caisse (figure 13.1), etc.) il est
nécessaire d'exercer une action mécanique suffisante pour vaincre l'action exercée
par le sol sur le solide, action qui s'oppose à tout mouvement du solide sur le sol.
Les actions de contact entre solides sont de caractère inter-moléculaire et ne se
manifestent qu'à cette échelle. Elles ne s'exercent donc qu'à des distances
extrêmement faibles, d'où leur nom d'actions de contact. De ce fait, les actions de
contact sont très sensibles à l'état des surfaces en contact. Par ailleurs, les actions
de contact dépendent des autres actions mécaniques exercées. Par exemple, il est
plus difficile de tirer la caisse remplie que la caisse vide. Les phénomènes de
contact sont complexes, et les lois du contact que nous énoncerons ne sont
qu'approchées. Elles constituent toutefois une approche satisfaisante dans de
nombreux problèmes mettant en jeu des actions de contact entre solides.
FIGURE 13.1. Déplacement d'une caisse.
13.1 Lois de contact entre solides
187
13.1.2 Contact ponctuel
13.1.2.1 Lois du contact ponctuel
Soit deux solides (S) et (T), en contact au point P à un instant donné (figure
13.2). En fait le contact se fait suivant des surfaces de dimensions très faibles et
peut être assimilé à un contact ponctuel. Les deux solides étant supposés
indéformables et impénétrables, ils sont tangents en P. Nous sommes dans le
schéma cinématique étudié au chapitre 10 (paragraphe 10.1.1).
Du fait du contact des deux solides en P, le solide (T) exerce sur le solide (S)
C
une action de contact représentée par le torseur {T → S } . Les lois du contact
ponctuel sont les suivantes :
1ère loi
L'action de contact exercée par le solide (T) sur le solide (S) est une force dont
la ligne d'action passe par le point de contact P.
C S } est donc un glisseur d'axe passant par le point de contact
Le torseur {T →
P. En particulier :
JJG
C S } = 0G .
MP {T →
(13.1)
L'étude expérimentale des phénomènes de contact montre que la résultante de
l'action de contact exercée par le solide (T) , n'est pas, comme les actions à
distance, connue ou calculable à priori, mais dépend des autres actions
mécaniques exercées sur (S). L'action de contact doit toutefois vérifier certaines
conditions exprimées dans des lois que nous énonçons ci-après.
(S)
P
(T)
FIGURE 13.2. Solides en contact ponctuel.
188
Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons
La force de contact exercée par le solide (T) sur le solide (S) est décomposée
en deux forces :
JG
— une force de résultante Rt , appelée force de résistance au glissement ou
force de frottement, dont la ligne d'action est contenue dans le plan tangent en P
aux deux solides ;
JG
— une force de résultante R n appelée force de contact normale, dont la ligne
d'action est la droite normale en P au plan tangent.
La résultante de l'action de contact s'écrit ainsi :
JG C
JG JG
R {T → S } = Rt + R n .
(13.2)
2ème loi
G
Si le vecteur n est le vecteur directeur unitaire de la normale en P orientée du
solide (T) vers le solide (S), dans tous les cas où (S) et (T) ne sont pas collés au
point P, on a :
JG
G
R n = Rn n , avec Rn ≥ 0,
(13.3)
où Rn est la composante de la force de contact normale. Cette loi exprime le fait
que la force de contact normale s'oppose à la pénétration du solide (S) dans le
solide (T). La représentation symbolique de la force de contact est reportée sur la
figure 13.3.
3ème loi ou loi de Coulomb
Il existe un coefficient f positif appelé coefficient de frottement réciproque de
(S) sur (T), dépendant des matériaux dont sont constitués (S) et (T), dépendant de
l'état des surfaces en contact, mais indépendant des mouvements ou de l'équilibre
de (S) et de (T), tel que soit vérifiée à chaque instant la condition :
JG
Rt ≤ f Rn .
(13.4)
JG
R
JG
Rn
(S)
G
n
JG
Rt
P
plan tangent
(T)
FIGURE 13.3. Composantes normale et tangentielle de la force de contact.
13.1 Lois de contact entre solides
189
Cette loi doit être précisée de la manière qui suit :
— Si le solide (S) glisse sur (T), donc si sa vitesse de glissement n'est pas nulle
JJG
G
G( )
( )
(13.5)
v gTS ( P, t ) = MP{V ST } ≠ 0 ,
• d'une part, c'est l'égalité qui est vérifiée :
JG
Rt = f Rn ,
• d'autre part,
JG
G( )
Rt et v gTS ( P, t ) sont colinéaires et de signes opposés :
JG G (T )
JG G ( )
G
Rt ∧ v g S ( P, t ) = 0, Rt ⋅ v gTS ( P, t ) < 0.
(13.6)
(13.7)
— Si le solide (S) ne glisse pas sur (T), donc si sa vitesse de glissement est
nulle :
JJG
G
G( )
( )
v gTS ( P, t ) = MP{V ST } = 0 ,
(13.8)
c'est l'inégalité qui est vérifiée :
JG
R t < f Rn .
(13.9)
Ce qui précède peut également se traduire en disant que, tant que l'inégalité
(13.9) est vérifiée, le solide (S) ne peut pas glisser sur le solide (T). Le glissement
ne se produit que lorsque les autres actions exercées sur le solide (S) sont assez
grandes pour que soit vérifiée la relation (13.6). Le solide (S) glisse alors sur (T),
la force de frottement étant opposée au vecteur vitesse de glissement au point P.
En outre, pour une valeur donnée de Rn, l'égalité (13.6) est d'autant plus
facilement réalisée que f sera petit. Ce résultat s'exprime en disant que "plus le
coefficient de frottement est faible, plus le glissement est aisé". Des ordres de
grandeurs peuvent être données pour le coefficient de frottement suivant la nature
des solides en contact :
bois sur bois : 0,3 à 0,5 ;
acier sur bois : 0,25 ;
bronze sur bronze : 0,2 ;
acier sur acier : 0,15 ;
garniture de frein sur tambour d'acier : 0,4 ;
pneu sur chaussée : 0,2 à 0,6.
13.1.2.2 Corrections à la loi de Coulomb
Les lois de frottement solide ne sont applicables qu'au cas du frottement sec
(non lubrifié) entre deux solides. La loi de Coulomb fournit généralement une
approche qualitative satisfaisant aux phénomènes de frottement sec. Si les
résultats quantitatifs qu'on en tire ne sont pas toujours en accord avec les valeurs
mesurées, cela résulte du fait que le coefficient de frottement est très sensible à
l'état de surface des matériaux en contact, à des traces d'humidité ou de
lubrifiants, etc., et cela variant d'une région à l'autre des solides en contact. En
190
Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons
outre le coefficient de frottement dépend de la température des parties en contact,
or le frottement les échauffe, d'où une diminution du coefficient de frottement.
L'importance de cet effet est mis en évidence dans le comportement du freinage
d'une automobile. Le coefficient f dépend également dans une certaine mesure de
la composante normale Rn. Enfin, le coefficient de frottement dépend de la vitesse
de glissement.
Une manière assez simple de tenir compte de la dépendance du coefficient de
frottement vis à vis de la vitesse consiste à prendre deux valeurs différentes pour
les deux éventualités de la loi de Coulomb : un coefficient de frottement au repos
fr et un coefficient de frottement de glissement fg, de valeur inférieure à celle du
coefficient au repos. Cette distinction entre les deux conditions de frottement
permet alors de rendre compte d'effets usuels. Par exemple, un solide se trouve en
équilibre sur un plan incliné. Dans le cas d'un équilibre précaire, une très faible
impulsion suffit pour rompre l'équilibre, le corps ayant ensuite un mouvement de
glissement accéléré. Si le plan est horizontal, un effort plus élevé est nécessaire
pour faire bouger le solide que celui nécessaire pour le déplacer ensuite.
13.1.2.3 Puissance développée
La puissance développée dans le repère (T) par l'action exercée sur le solide
(S), en contact ponctuel en P avec (T) est, d'après (11.13) :
P
C S } = {T →
C S } ⋅{V ( T )} .
{T →
S
(T )
(13.10)
Soit, exprimée au point de contact P :
P
C S } = JRG{T →
C S } ⋅ vG ( T )( P, t ) ,
{T →
gS
(T )
JG
G( )
ou encore puisque v gTS ( P, t ) est orthogonal à R n :
( )
C S } = JRG t ⋅ vG ( T )( P, t ) .
P T {T →
gS
(13.11)
(13.12)
La puissance développée par la force de contact normale est nulle. La puissance
se réduit à celle développée par la force de frottement. D'après la loi de Coulomb
cette puissance est négative ou nulle.
13.1.2.4 Contact sans frottement
Si le frottement est nécessaire dans certains cas (marche sur le sol,
entraînement d'une automobile, etc.), dans d'autres cas il est nécessaire de le
diminuer le plus possible afin de diminuer l'énergie dissipée par frottement et
d'éviter une usure prématurée des pièces en contact.
Dans le cas extrême où le coefficient de frottement est nul, on dit que le contact
a lieu sans frottement ou que le contact est parfait au point de contact considéré.
13.1 Lois de contact entre solides
Dans un tel schéma, nous avons :
JG G
Rt = 0 et
191
JG C
JG
R{T → S } = R n .
(13.13)
Le solide (T) n'exerce sur (S) qu'une action de contact normale. La moindre
action exercée sur le solide (S) produira un glissement du solide (S). D'autre part,
l'expression (13.12) montre que la puissance développée est nulle.
En conclusion, nous dirons que le contact entre deux solides est parfait ou sans
frottement au point P, si et seulement si l'une des conditions équivalentes
suivantes est vérifiée :
— le coefficient de frottement est nul,
— l'action de contact est normale en P aux deux solides,
— la puissance développée par l'action de contact est nulle.
Ce schéma de contact parfait reste toutefois un schéma idéal, vers lequel on tend à
se rapprocher en polissant les surfaces en contact et en les lubrifiant.
13.1.3 Couples de roulement et pivotement
13.1.3.1 Introduction
Dans le paragraphe précédent, nous avons étudié le cas d'un contact ponctuel
pour lequel l'action de contact peut être réduite à une force de contact. Dans la
pratique, le contact entre les deux solides se fait suivant une surface localisée de
centre P. L'action de contact exercée doit alors être décomposée au point P, en
une force de contact, dont les propriétés ont été étudiées dans le paragraphe 13.1.2
JJG
précédent, et un couple de contact de vecteur-moment M égal au moment en P
de l'action de contact :
JJG JJG
C S} .
(13.14)
M = MP {T →
Comme la force de contact (relation (13.2)), le couple est décomposé en deux
couples :
JJG
— un couple de résistance au roulement de vecteur-moment Mt , dont la
direction est contenue dans le plan tangent en P aux deux solides ;
JJG
— un couple de résistance au pivotement de vecteur-moment Mn de direction
orthogonale au plan tangent.
Le vecteur-moment s'écrit ainsi :
JJG JJG JJG
M = Mt + Mn .
(13.15)
Les propriétés des couples de contact sont complexes. Des lois semblables à la
loi de Coulomb sont cependant formulées pour une analyse qualitative des phénomènes de roulement et de pivotement.
192
Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons
13.1.3.2 Lois du roulement
Le schéma généralement retenu est le suivant.
— Si le solide (S) ne roule pas sur (T), donc si le vecteur rotation de roulement
(paragraphe 10.1.2) est nul :
G( ) G
ωSTt = 0 ,
(13.16)
le moment du couple de résistance au roulement vérifie l'inégalité :
JJG
Mt < hR n .
(13.17)
— Si le solide (S) roule sur (T), soit si :
G( ) G
ωSTt ≠ 0 ,
(13.18)
• d'une part :
JJG
Mt = hR n ,
(13.19)
JJG
G (T )
• d'autre part Mt et ωS t sont colinéaires et de signes opposés.
Le paramètre h est appelé coefficient de résistance au roulement. Il a la dimension d'une longueur.
13.1.3.3 Lois du pivotement
Les lois du pivotement peuvent être énoncées de la même manière en remJJG
G( )
plaçant dans les lois du roulement ωSTt et Mt , respectivement par le vecteur
JJG
G( )
rotation de pivotement ωSTn et par le moment Mn du couple de résistance au
pivotement, et en introduisant un coefficient de résistance au pivotement. Notons
que la résistance au pivotement résulte de la résistance au glissement des surfaces
en contact. Elle est donc une fonction du coefficient de frottement et des dimensions des éléments en contact. Cette fonction est toutefois difficile à expliciter.
13.2 LIAISONS
13.2.1 Introduction
Les mouvements d'un solide (S) par rapport à un repère (T), dont nous avons
étudié la cinématique au chapitre 9, sont obtenus en réalisant une liaison entre les
solides (S) et (T). Cette liaison est réalisée en mettant en contact des surfaces des
solides (S) et (T), le contact ayant lieu suivant un arc de courbe ou une surface.
L'action de contact exercée par le solide (T) sur le solide (S) résulte des actions de
contact exercées en chaque point de l'arc de courbe ou de la surface de contact.
Cette action de contact est généralement appelée action de liaison. Elle est
représentée par un torseur que nous noterons {L T ( S )} .
13.2 Liaisons
193
13.2.2 Classification des liaisons
13.2.2.1 Liaisons simples
Deux solides (S) et (T) sont liés par une liaison simple, s'ils sont en contact
suivant deux surfaces géométriques élémentaires, l'une appartenant à (S), l'autre
à (T).
Nous nous limiterons dans ce chapitre aux surfaces élémentaires : plan,
cylindre de révolution et sphère. Ces surfaces sont simples à réaliser, ce ne sont
toutefois pas les seules surfaces élémentaires utilisées. Par mise en contact de ces
surfaces, nous obtenons six liaisons simples :
plan
plan
cylindre
sphère
appui plan
appui linéique
appui simple
liaison verrou
(ou pivot glissant)
liaison gouttière
cylindre
liaison rotule
(ou liaison sphérique)
sphère
Les schémas des ces liaisons, avec leurs symboles, sont représentés sur les
figures 13.4 à 13.9.
Appui plan (figure 13.4)
Les surfaces en contact sont planes. Le solide (S) a, par rapport au solide (T), 3
degrés de liberté : 2 degrés en translation et 1 en rotation.
Appui linéique (figure 13.5)
Les solides sont en contact suivant un segment de droite. Le solide (S) a, par
rapport au repère (T), 4 degrés de liberté : 2 en translation et 2 en rotation.
(S)
(S)
(T)
(T)
FIGURE 13.4. Appui plan.
194
Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons
(S)
(S)
(T)
(T)
FIGURE 13.5. Appui linéique.
(S)
(S)
(T)
(T)
FIGURE 13.6. Appui simple.
Appui simple (figure 13.6)
Les solides sont en contact en un point. Le solide (S) a 5 degrés de liberté : 2 en
translation et 3 en rotation.
Liaison verrou (ou pivot glissant) (figure 13.7)
Les solides sont en contact suivant un cylindre. Le solide (S) a, par rapport à
(T), 2 degrés de liberté : 1 en translation et 1 en rotation.
Liaison gouttière (figure 13.8)
Les solides sont en contact suivant un cercle. Le solide (S) a 4 degrés de liberté :
1 en translation et 3 en rotation.
Liaison rotule (ou liaison sphérique) (figure 13.9)
Les solides sont en contact suivant une sphère. Le solide (S) possède 3 degrés
de liberté en rotation.
13.2 Liaisons
195
(S)
(S)
(T)
(T)
FIGURE 13.7. Liaison verrou.
(S)
(S)
(T)
(T)
FIGURE 13.8. Liaison gouttière.
(S)
(S)
(T)
FIGURE 13.9. Liaison rotule.
(T)
196
Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons
(S)
l1
l3
l2
(T)
FIGURE 13.10. Représentation symbolique d'une liaison composée.
13.2.2.2 Liaisons composées
Deux solides (S) et (T) sont liés par une liaison composée, si la liaison est
réalisée à l'aide de plusieurs liaisons simples.
Une liaison composée peut être représentée symboliquement par le schéma de
la figure 13.10, où l1, l2, l3, ..., sont des liaisons simples.
Exemples de liaisons composées
— Une liaison rotoïde (ou liaison pivot) peut être réalisée par exemple à l'aide
d'une liaison verrou et d'une rotule (figure 13.11a), ou à l'aide de deux rotules
(figure 13.11b). Le solide (S) possède, par rapport au solide (T), 1 degré de liberté
en rotation.
— Une liaison prismatique (ou glissière) peut être réalisée (figure 13.12) à
l'aide de deux appuis plans. Le solide (S) possède 1 degré de liberté en
translation.
13.2.2.3 Liaisons complexes
Deux solides (S) et (T) sont liés par une liaison complexe, si la liaison est
réalisée par l'intermédiaire d'un ou plusieurs solides.
Une liaison complexe est symbolisée sur le schéma de la figure 13.13a. Les
solides (S) et (T) sont liés par l'intermédiaire des solides (S1) et (S2), liés les uns
(S)
(S)
(T)
(T)
(a)
(b)
(S)
(c)
(T)
FIGURE 13.11. Liaison rotoïde.
13.2 Liaisons
197
(T)
(S)
(T)
(S)
FIGURE 13.12. Liaison prismatique.
aux autres par des liaisons l1, l2, l3. La figure 13.13b donne un exemple de liaison
complexe : les solides (S) et (T) sont liés par l'intermédiaire d'une liaison verrou,
d'une rotule et d'une liaison rotoïde, les axes des liaisons verrou et rotoïde étant
concourants au centre de la rotule.
13.2.3 Actions de liaison
13.2.3.1 Généralités
Les éléments de réduction en un point P de l'action de liaison exercée par le
G G G
solide (T) sur le solide (S) peuvent être exprimés dans une base (i , j , k ) suivant :
G
JG
G
G
⎧⎪ R {L T ( S )} = X l i + Yl j + Zl k ,
(13.20)
G
G
G
⎨ JJG
⎪⎩ MP {L T ( S )} = Ll i + M l j + Nl k .
L'action de liaison, et par conséquent les composantes Xl, Yl, Zl, Ll, Ml et Nl
l3
l2
(S2)
(S)
(S1)
l1
(S)
(T)
(T)
(a)
FIGURE 13.13. Liaison complexe.
(b)
198
Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons
dépendent des autres actions mécaniques exercées sur le solide (S). Toutefois
pour résoudre les problèmes de mécanique des solides, il est nécessaire
d'introduire des hypothèses sur certaines composantes suivant la nature physique
des liaisons : liaison sans frottement, liaison avec frottement sec ou liaison avec
frottement visqueux.
13.2.3.2 Puissance développée par les actions de liaison
La puissance développée dans le repère (T) par l'action de liaison exercée par
le solide (T) sur le solide (S) est d'après (11.13) :
P
où
{V S( T )}
{ L T ( S ) } = { L T ( S ) } ⋅ {V S( T )} ,
(T )
(13.21)
est le torseur cinématique relatif au mouvement du solide (S) par
rapport au solide (T).
En introduisant les éléments de réduction en P de l'action de liaison (13.20), la
relation précédente s'écrit :
JG
JJG
JJG
JG
( )
P T { L T ( S ) } = R { L T ( S ) } ⋅ MP {V S( T ) } + MP { L T ( S ) } ⋅ R {V S( T ) } , (13.22)
ou
P
(T )
JG
G
JJG
G
{ L T ( S ) } = R { L T ( S ) } ⋅ v ( P, t ) + MP { L T ( S ) } ⋅ ωS( T ) ,
(13.23)
en introduisant le vecteur vitesse du point P et le vecteur rotation instantané.
13.2.4 Liaison sans frottement
13.2.4.1 Schéma de liaison parfaite
De manière à réduire l'énergie dissipée et à diminuer l'usure des surfaces en
contact, il est nécessaire de réaliser des surfaces telles que le contact en chaque
point se rapproche le plus possible d'un contact parfait. Nous dirons qu'une liaison
entre deux solides est parfaite, si le contact entre deux solides est parfait en tout
point. Par extension des résultats établis au paragraphe 13.1.2.4, nous déduisons
alors :
Une liaison est parfaite, si et seulement si la puissance développée par l'action
de liaison est nulle.
Nous prendrons cette propriété comme définition d'une liaison parfaite. Le
modèle de liaison parfaite n'est toutefois qu'un modèle idéalisé, vers lequel on
tend généralement à s'approcher dans les réalisations technologiques.
13.2.4.2 Liaison rotoïde
Dans le cas d'une liaison rotoïde, le solide (S) est animé, par rapport au repère
(T), d'un mouvement de rotation autour de l'axe de liaison rotoïde. Ce mouvement
a été étudié au paragraphe 9.4.1. Le solide (S) possède un degré de liberté en
13.2 Liaisons
199
rotation ψ et le torseur cinématique est défini (paragraphe 9.4.1.2) par ses
éléments de réduction en un point OS quelconque de l'axe de rotation :
G
JG
G
⎧⎪ R {V S(T )} = ωS(T ) = ψ k ,
(13.24)
G
⎨ JJG
G (T )
(T )
{
}
⎪⎩ MOS V S = v (OS , t ) = 0.
La puissance développée, dans le repère (T), par l'action de liaison est d'après
(13.23) :
JJG
G( )
( )
P T { L T ( S ) } = MOS { L T ( S ) } ⋅ ωST = Nl ψ .
(13.25)
La condition de liaison parfaite s'écrit donc :
P
(T )
{ L T ( S ) } = Nl ψ = 0,
∀ψ .
(13.26)
Soit :
Nl = 0 .
(13.27)
D'où le résultat :
Si le solide (S) est
G lié au solide (T) par une liaison rotoïde parfaite, d'axe de
vecteur directeur k , l'action exercée par (T) sur (S) est représentée par un
G G G
torseur ayant dans une base (i , j , k ) :
— une résultante quelconque de composantes Xl, Yl, Zl ;
— un moment en un point quelconque de l'axe de la liaison rotoïde orthogonal
à la direction de cet axe, donc de composantes Ll , Ml, 0.
Nous écrivons ce résultat sous la forme :
{ L T ( S ) }OS = { X l , Yl , Zl , Ll , M l , 0}OS ,
(13.28)
où OS est un point quelconque de l'axe de la liaison rotoïde. Les composantes Xl,
..., Ml, dépendent des autres actions mécaniques exercées sur le solide (S).
13.2.4.3 Liaison prismatique
Dans le cas d'une liaison Gprismatique, le solide (S) est animé d'un mouvement
de translation rectiligne. Si i est la direction de la liaison prismatique, le solide
(S) possède un degré de liberté en translation x (abscisse d'un point P quelconque
du solide (S)). Les éléments de réduction au point P du torseur cinématique sont :
JG (T )
G (T ) G
⎪⎧ R {V S } = ωS = 0,
(13.29)
⎨ JJG
G
G (T )
(T )
⎪⎩ MP{V S } = v ( P, t ) = x i , ∀P ∈ ( S ) .
La puissance développée, dans le repère (T), par l'action de liaison est :
JG
G( )
( )
P T { L T ( S ) } = R { L T ( S ) } ⋅ v T ( P, t ) = Xl x .
(13.30)
La condition de liaison parfaite s'écrit donc :
Xl = 0 .
(13.31)
200
Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons
D'où le résultat :
Si le solide (S) est lié au solide (T) par une liaison prismatique parfaite de
G
par (T) sur (S) est représentée par un torseur ayant
direction i , l'action exercée
G G G
dans une base (i , j , k ) :
G
— une résultante orthogonale à i , donc de composantes 0, Yl, Zl,;
— un moment quelconque de composantes Ll, Ml, Nl quel que soit le point du
solide (S).
Soit donc :
(13.32)
{ L T ( S ) } P = {0, Yl , Zl , Ll , M l , Nl }P ,
où P est un point quelconque du solide (S).
13.2.4.4 Liaison verrou
Dans leG cas où le solide (S) est lié au solide (T) par une liaison verrou de
direction k , le solide (S) possède (paragraphe 9.4.3) un degré de liberté en
translation z (abscisse d'un point OS quelconque de l'axe du verrou) et un degré
de liberté en rotation ψ. Les éléments de réduction au point OS du torseur
cinématique (relations (9.66) et (9.67)) sont :
G
JG
G
⎧⎪ R {V S(T )} = ωS(T ) = ψ k ,
(13.33)
G
⎨ JJG
G (T )
(T )
{
}
⎪⎩ MOS V S = v (OS , t ) = z k .
La puissance développée, dans le repère (T), par l'action de liaison est d'après
(13.23) :
( )
P T { L T ( S ) } = Zl z + Nl ψ
(13.34)
La condition de liaison parfaite s'écrit donc :
Zl z + Nlψ = 0, ∀ z, ψ .
(13.35)
Soit :
Zl = 0, Nl = 0.
(13.36)
D'où le résultat :
Si le solide
(S) est lié au solide (T) par une liaison verrou parfaite d'axe de
G
direction k , l'action Gexercée par (T) sur (S) est représentée par un torseur ayant
G G
dans une base (i , j , k ) :
— une résultante de composantes Xl, Yl, 0 ;
— un moment de composantes Ll, Ml, 0, en un point quelconque de l'axe de la
liaison verrou.
Ce résultat peut être écrit sous la forme :
{ L T ( S ) }OS = { X l , Yl ,
0, Ll , M l , 0}O ,
S
(13.37)
où OS est un point quelconque de l'axe de la liaison verrou. Les composantes Xl,
Yl, Ll, et Ml dépendent des autres actions mécaniques exercées sur le solide (S).
13.2 Liaisons
201
13.2.4.5 Liaison rotule
Dans le cas où le solide (S) est lié au solide (T) par une liaison rotule de centre
A, le solide (S) possède trois degrés de liberté en rotation. Le mouvement de (S)
est un mouvement de rotation autour d'un point (paragraphe 9.4.4) et le torseur
cinématique s'exprime en A suivant :
G
G
JG
G
G
⎧⎪ R {V S(T )} = ωS(T ) = ψ k + θ i3 + ϕ k S ,
(13.38)
G
⎨ JJG
G (T )
(T )
⎪⎩ M A {V S } = v ( A, t ) = 0.
La condition de liaison parfaite s'écrit :
JJG
G( )
( )
P T { L T ( S ) } = M A{ L T ( S ) } ⋅ ωST = 0 .
(13.39)
Cette condition doit être vérifiée quel que soit le mouvement de rotation du solide
G( )
(S), donc quel que soit le vecteur rotation ωST . La condition de liaison parfaite
s'écrit donc ici :
JJG
G
M A{ L T ( S ) } = 0 .
(13.40)
D'où le résultat :
Si le solide (S) est lié au solide (T) par une liaison rotule parfaite de centre A,
l'action de liaison exercée par (T) sur (S) est une force dont la ligne d'action
passe par le centre A de la rotule.
Les composantes de la résultante de la force dépendent des autres actions
mécaniques exercées sur le solide (S).
13.2.4.6 Appui plan
Dans le cas d'un appui plan, le solide (S) est animé d'un mouvement plan sur
plan (paragraphe 9.4.5), par rapport au solide (T). Le solide (S) possède deux
degrés de liberté en translation x et y (coordonnées d'un point P quelconque du
plan de contact) et un degré de liberté en rotation ψ autour de la direction
orthogonale au plan de contact (figure 13.14).
Les éléments de réduction, au point P du plan de contact, du torseur
cinématique s'écrivent :
G
JG
G
⎧⎪ R {V S(T )} = ωS(T ) = ψ k ,
(13.41)
⎨ JJG
G
G
G( )
( )
⎪⎩ MP {V ST } = v T ( P, t ) = x i + y j .
La puissance développée est :
P
(T )
{ L T ( S ) } = Xl x + Yl y + Nlψ ,
(13.42)
et la condition de liaison parfaite s'écrit :
X l = 0,
Yl = 0,
Nl = 0.
(13.43)
202
Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons
z
z
(T )
(S )
y
O
yS
P
x
x
ψ
y
xS
FIGURE 13.14 Solide en appui plan.
Nous écrivons ce résultat sous la forme :
{ L T ( S ) } P = {0,
0, Zl , Ll , M l , 0}P
(13.44)
où P est un point quelconque du plan de contact.
13.2.4.7 Conclusions
Les exemples étudiés dans les paragraphes précédents montrent que, dans le
cas d'une liaison sans frottement, les composantes de l'action de liaison, qui
correspondent aux degrés de liberté du solide (S), s'annulent : composantes de la
résultante pour les degrés de liberté en translation et composantes du moment
pour les degrés de liberté en rotation. Cette propriété résulte de l'expression
(13.23) de la puissance et de la condition de liaison sans frottement qui explicite
que cette puissance est nulle.
13.2.5 Liaison avec frottement
Dans la pratique, il est nécessaire de tenir compte des frottements entre les
surfaces de contact des solides en liaison. Dans le cas d'un frottement solide, il
sera possible de transposer les lois énoncées au paragraphe 13.1 et de les
appliquer à l'action de liaison exercée par le solide (T) sur le solide (S). Dans le
cas d'un frottement visqueux, il est possible de rendre compte du frottement en
prenant des composantes de l'action de liaison proportionnelles aux composantes
des vitesses et de signes opposés. Par exemple :
(13.45)
Xl = − fx x , Yl = − fy y , Zl = − fz z, Nl = − fψ ψ ,
où les coefficients fi (i = x, y, z, ψ) sont des coefficients de frottement visqueux.
Commentaires
203
COMMENTAIRES
Les liaisons ont une importance particulière dans le cadre de la conception des systèmes mécaniques. Le lecteur devra donc apporter une
attention toute particulière aux notions développées dans le présent chapitre. En application des concepts généraux, ce chapitre s'est intéressé aux
liaisons entre solides par l'intermédiaire des liaisons élémentaires. Le
lecteur devra avoir bien assimilé les éléments développés dans ce cadre.
Contrairement aux actions à distance, les actions de contact dépendent
des autres actions exercées sur le solide ou l'ensemble de solides considéré.
Certaines conditions sur les actions de liaison sont toutefois apportées
suivant que les liaisons se font avec frottement ou sans frottement. Ces
conditions sont aisément obtenues dans le cas où il n'y a pas de frottement,
en écrivant la nullité de la puissance développée dans le mouvement des
solides en liaison. Pour tenir compte des conditions de frottement le
schéma le plus simple à traiter est celui du frottement visqueux où les
composantes des actions de liaison sont proportionnelles aux composantes
des vitesses et de signes opposés. Le frottement de type solide est
généralement assez difficile à analyser. Le comportement est transposé de
la loi de frottement de Coulomb énoncée dans le cas de deux solides en
contact ponctuel et des lois de roulement et de pivotement.