BTS ELECTROTECHNIQUE Session 1997 PHYSIQUE

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BTS ELECTROTECHNIQUE Session 1997
PHYSIQUE APPLIQUEE
Durée : 4 heures Coefficient 3
CHAUFFAGE PAR INDUCTION
ETUDE DE QUELQUES ELEMENTS D’UN SYSTEME
On se propose d’étudier différents éléments constitutifs d’un four à induction
fonctionnant à la résonance et alimenté par un onduleur à Modulation de Largeur
d’impulsions ( MLI ) ( fig.1 ).
Les trois parties de l’étude peuvent être abordées indépendamment. Il est cependant
conseillé de les traiter dans l’ordre. Les notations du texte devront être respectées ; on
donnera toujours un résultat littéral avant de passer le cas échéant à l’application numérique.
I-ETUDE DU FONCTIONNEMENT ELECTRIQUE DU FOUR
Le four est assimilable à un circuit R,L série avec R = 2,8 Ω et L = 300 mH.
Il est alimenté par une tension alternative u(t) obtenue par MLI. La fréquence du fondamental
de u(t) est f0 = 200Hz ; le fondamental a pour valeur efficace V1 = 141 V ; l’harmonique 2
n’est pas présent et l’harmonique 3 a pour valeur efficace V3 = 5,4 V.
1-Synthèse d’un signal MLI
On considère les signaux u1 , u2 et u3 représentés à la figure 5, pour lesquels on a E = 200 V
(feuille n° 1 à remettre avec la copie). Ces signaux peuvent tous être assimilés au signal de la
figure 2, x prenant les valeurs 1, 3
4 , et 1 2 .
On admettra que chacun de ces signaux peut se décomposer en un signal
sinusoïdal de fréquence f0 et d’amplitude b1 = 4 E
π sin(x π
2 ) (fondamental ) et un signal
sinusoïdal de fréquence 3f0 et d’amplitude b3 = 4 E
3π sin(x3π
2 ) (harmonique
3).L’harmonique 2 a dans chaque cas une amplitude b2 nulle.
a- Déterminer pour chacun des signaux les valeurs numériques de b1, b2 et b3 et
remplir le tableau de la figure 6 ( document réponse n°1 à remettre avec la
copie).
b- La synthèse
du signal MLI est réalisée en utilisant la relation u = u1 - u2 + u3
.Construire la forme de u sur le document réponse n°1 à remettre avec la copie.

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c- En utilisant les résultats précédents, compléter le tableau du document réponse
n°1 à remettre avec la copie avec les amplitudes des harmoniques 1, 2 et 3 du
signal MLI. En déduire les valeurs efficaces correspondantes. Comparer les
résultats obtenus avec les valeurs proposées dans le texte.
2- fonctionnement à la résonance.
a- Calculer la capacité du condensateur à mettre en série avec le four de façon à
ce que le circuit RLC ainsi constitué soit à la résonance pour le fondamental de
la tension d’alimentation.
b- Calculer alors l’intensité I1 du fondamental du courant.
c- Calculer la puissance dissipée par effet Joule dans le four par le fondamental
du courant.
3- Etude de l’harmonique 3 du courant
a- Calculer l’impédance de l’ensemble four-condensateur à la fréquence de
l’harmonique 3 de la tension d’alimentation.
b- Calculer alors l’intensité I3 de l’harmonique 3 du courant
c- Peut-on négliger la puissance dissipée par ce courant dans le four ?
II- ETUDE DE L’ONDULEUR
A- Fonctionnement à la résonance
Dans cette partie de l’étude, on s’intéresse à la moitié de l’onduleur qui
fonctionne pendant la demi-période où le courant dans la charge est positif. Un dispositif
électronique, dont un sous-ensemble sera étudié dans la partie III du problème, maintient le
courant dans la charge en phase avec le fondamental de la tension de façon à assurer le
fonctionnement à la résonance.
Tous les semi-conducteurs utilisés seront considérés comme parfaits ( chute de
tension nulle à l’état passant et courant nul à l’état bloqué).
Le courant i dans la charge est sinusoïdal, de fréquence f0 = 200Hz et de valeur
efficace I = 50 A.
Sur la figure n°8 sont représentés les intervalles de conduction de K1 et K3, ainsi
que le courant i sur un intervalle de temps égal à une demi-période.
K1 est fermé pendant toute la durée de la demi- période , tandis que K3 est fermé de 0 à T
16 ,
de T
8 à 3T 8 et de 7T 16 à T 2 .
1- représenter sur la figure n°8 (document réponse n°2 à remettre avec la copie )
les intervalles de conduction de la diode D1, la tension u, le courant is.
2- donner l’équation horaire i = f(t) de i
3- En admettant, ce qui est vérifié, que la forme du courant is pendant la deuxième
demi-période est identique à celle de la demi-période, mettre en place le calcul
de la valeur moyenne du courant fourni par la source E. Pour cela, sans

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effectuer aucun calcul de primitive, ni aucun calcul trigonométrique, on
indiquera clairement les opérations mathématiques à effectuer pour calculer
ismoy . La variable d’intégration sera θ = ωt. On prendra par la suite ismoy =
35,2A.
4- Calculer la puissance fournie par la source. Conclusion.
5- Compléter le schéma de la figure n° 7 par les composants K2, K4 et D2 qui
assurent le fonctionnement du dispositif pendant la demi-période où le courant
dans la charge est négatif. Préciser celui des interrupteurs qui reste fermé de T
2
à T.
B- Fonctionnement sur charge capacitive
En réalité, pour permettre une commutation sans problème, on est amené à choisir
le condensateur C de façon à ce que le circuit ait un fonctionnement légèrement capacitif
(courant en avance par rapport à la tension).
1- Calculer la nouvelle valeur de la capacité qui permet d’obtenir un fondamental du courant
en avance de T
20 par rapport au fondamental de la tension u ( ϕ = -18° ).Calculer la
nouvelle valeur de l’impédance du four pour le fondamental de la tension ; en déduire la
valeur efficace du fondamental du courant et la puissance dissipée dans le four.
2- On s’intéresse de nouveau à la moitié de l’onduleur qui fonctionne pendant la première
demi-période. La commande des interrupteurs est identique à la précédente ( fig. 9 sur le
document réponse n°3 à remettre avec la copie).
a- représenter les courants iK1 , iK3 et iD1 sur les graphes de la figure 9 ( document
réponse n° 3 à remettre avec la copie).
b- l’examen de ces courants exige la modification de la structure des interrupteurs
K1 et K3. Quelles sont les modifications à apporter et pourquoi ?
III - ETUDE DU CAPTEUR DE COURANT
Pour assurer le fonctionnement de l’ensemble à la résonance, le module de
commande compare une image du courant dans le four à une image de la tension appliquée de
façon à détecter d’éventuels déphasages et à ajuster la fréquence de la tension en fonction de
ceux-ci.
L’image du courant est obtenue à l’aide d’un capteur ‘ à compensation de
courant’, représenté schématiquement à la figure 3 ; une étude sommaire de ce capteur est
proposée.
Sur un circuit magnétique en forme de tore sont bobinés n0 tours de fil, parcourus
par un courant d’intensité i0 . Le fil parcouru par le courant à mesurer traverse la partie évidée
du tore, constituant ainsi une unique spire. Les courants i et i0 , lorsqu’ils sont de même signe,
créent des flux qui s’opposent.

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L’ensemble obéit au Théorème d’Ampère que l’on utilisera sous la forme
Σ
ΣΣ
Σ hl = Σ
ΣΣ
Σ ni
Le circuit magnétique comporte un entrefer dans lequel est placé un capteur à
effet Hall délivrant une tension v1 proportionnelle à la valeur b de l’intensité du champ
magnétique dans lequel est plongé le capteur : v1 = kb. Cette tension est transformée en un
courant i0 par un amplificateur de transconductance A, supposé parfait, et obéissant à la loi i0
= Gv1.
1- Compte tenu de ce qui a été décrit précédemment, calculer la somme ε des ampères-tours (
on comptera positivement les ampères-tours créés par i, et négativement ceux créés par i0).
2- Dans le cas où le fonctionnement est idéal, h est nul dans tout le circuit magnétique.
Exprimer alors i0 en fonction de i et de n0.
3- La perméabilité relative du matériau constituant le tore étant très élevée, on admettra que
seul le terme ( hl ) correspondant à l’entrefer est à prendre en considération. Etablir la
relation entre h, la longueur e de l’entrefer, n0 et les intensités i et i0. En déduire la relation
entre b, e, n0i, i0 et µ0 ( perméabilité magnétique du vide, de l’air, et de la sonde à effet
Hall).
4- Exprimer v1 en fonction des grandeurs précédentes et de k. A partir de cette relation et de
la caractéristique de l’amplificateur de transconductance, déterminer l’expression de i0 en
fonction de i et des caractéristiques du montage.
5- On désire modéliser le capteur sous la forme classique représentée à la figure. 4.
a- Que vaut la variable r de l’extrémité de la chaîne de retour ? En déduire la
valeur de la transmittance K1.
b- Déterminer H1
c- Déterminer la fonction de transfert T = i0
i de l’ensemble. Retrouver pour cette
méthode l’expression de i0 en fonction de i.
d- A quelle condition cette fonction de transfert est-elle voisine de celle obtenue à
la question 2 ci-dessus ?

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-E
Fig 4
H1
K1
+
-
i0
r
i
Sonde à effet Hall
Placée dans l’entrefer
A
v1
i
0
i
0
i
Fig 3
t
T
xT/2
t
1
t
2
t
4
t
3
0
+E
Fig 2
T/2