BTS ELECTROTECHNIQUE Session 1997 PHYSIQUE APPLIQUEE Durée : 4 heures Coefficient 3 CHAUFFAGE PAR INDUCTION ETUDE DE QUELQUES ELEMENTS D’UN SYSTEME On se propose d’étudier différents éléments constitutifs d’un four à induction fonctionnant à la résonance et alimenté par un onduleur à Modulation de Largeur d’impulsions ( MLI ) ( fig.1 ). Les trois parties de l’étude peuvent être abordées indépendamment. Il est cependant conseillé de les traiter dans l’ordre. Les notations du texte devront être respectées ; on donnera toujours un résultat littéral avant de passer le cas échéant à l’application numérique. I-ETUDE DU FONCTIONNEMENT ELECTRIQUE DU FOUR Le four est assimilable à un circuit R,L série avec R = 2,8 Ω et L = 300 mH. Il est alimenté par une tension alternative u(t) obtenue par MLI. La fréquence du fondamental de u(t) est f0 = 200Hz ; le fondamental a pour valeur efficace V1 = 141 V ; l’harmonique 2 n’est pas présent et l’harmonique 3 a pour valeur efficace V3 = 5,4 V. 1-Synthèse d’un signal MLI On considère les signaux u1 , u2 et u3 représentés à la figure 5, pour lesquels on a E = 200 V (feuille n° 1 à remettre avec la copie). Ces signaux peuvent tous être assimilés au signal de la 3 1 figure 2, x prenant les valeurs 1, 4 , et 2 . On admettra que chacun de ces signaux peut se décomposer en un signal E π sin(x 2 ) (fondamental ) et un signal sinusoïdal de fréquence f0 et d’amplitude b1 = 4 π E 3π sinusoïdal de fréquence 3f0 et d’amplitude b3 = 4 sin(x 2 ) (harmonique 3π 3).L’harmonique 2 a dans chaque cas une amplitude b2 nulle. a- Déterminer pour chacun des signaux les valeurs numériques de b1, b2 et b3 et remplir le tableau de la figure 6 ( document réponse n°1 à remettre avec la copie). b- La synthèse du signal MLI est réalisée en utilisant la relation u = u1 - u2 + u3 .Construire la forme de u sur le document réponse n°1 à remettre avec la copie. 1/8 c- En utilisant les résultats précédents, compléter le tableau du document réponse n°1 à remettre avec la copie avec les amplitudes des harmoniques 1, 2 et 3 du signal MLI. En déduire les valeurs efficaces correspondantes. Comparer les résultats obtenus avec les valeurs proposées dans le texte. 2- fonctionnement à la résonance. a- Calculer la capacité du condensateur à mettre en série avec le four de façon à ce que le circuit RLC ainsi constitué soit à la résonance pour le fondamental de la tension d’alimentation. b- Calculer alors l’intensité I1 du fondamental du courant. c- Calculer la puissance dissipée par effet Joule dans le four par le fondamental du courant. 3- Etude de l’harmonique 3 du courant a- Calculer l’impédance de l’ensemble four-condensateur à la fréquence de l’harmonique 3 de la tension d’alimentation. b- Calculer alors l’intensité I3 de l’harmonique 3 du courant c- Peut-on négliger la puissance dissipée par ce courant dans le four ? II- ETUDE DE L’ONDULEUR A- Fonctionnement à la résonance Dans cette partie de l’étude, on s’intéresse à la moitié de l’onduleur qui fonctionne pendant la demi-période où le courant dans la charge est positif. Un dispositif électronique, dont un sous-ensemble sera étudié dans la partie III du problème, maintient le courant dans la charge en phase avec le fondamental de la tension de façon à assurer le fonctionnement à la résonance. Tous les semi-conducteurs utilisés seront considérés comme parfaits ( chute de tension nulle à l’état passant et courant nul à l’état bloqué). Le courant i dans la charge est sinusoïdal, de fréquence f0 = 200Hz et de valeur efficace I = 50 A. Sur la figure n°8 sont représentés les intervalles de conduction de K1 et K3, ainsi que le courant i sur un intervalle de temps égal à une demi-période. T K1 est fermé pendant toute la durée de la demi- période , tandis que K3 est fermé de 0 à 16 , T 3T 7T T de 8 à 8 et de 16 à 2 . 1- représenter sur la figure n°8 (document réponse n°2 à remettre avec la copie ) les intervalles de conduction de la diode D1, la tension u, le courant is. 2- donner l’équation horaire i = f(t) de i 3- En admettant, ce qui est vérifié, que la forme du courant is pendant la deuxième demi-période est identique à celle de la demi-période, mettre en place le calcul de la valeur moyenne du courant fourni par la source E. Pour cela, sans 2/8 effectuer aucun calcul de primitive, ni aucun calcul trigonométrique, on indiquera clairement les opérations mathématiques à effectuer pour calculer ismoy . La variable d’intégration sera θ = ωt. On prendra par la suite ismoy = 35,2A. 4- Calculer la puissance fournie par la source. Conclusion. 5- Compléter le schéma de la figure n° 7 par les composants K2, K4 et D2 qui assurent le fonctionnement du dispositif pendant la demi-période où le courant T dans la charge est négatif. Préciser celui des interrupteurs qui reste fermé de 2 à T. B- Fonctionnement sur charge capacitive En réalité, pour permettre une commutation sans problème, on est amené à choisir le condensateur C de façon à ce que le circuit ait un fonctionnement légèrement capacitif (courant en avance par rapport à la tension). 1- Calculer la nouvelle valeur de la capacité qui permet d’obtenir un fondamental du courant T en avance de 20 par rapport au fondamental de la tension u ( ϕ = -18° ).Calculer la nouvelle valeur de l’impédance du four pour le fondamental de la tension ; en déduire la valeur efficace du fondamental du courant et la puissance dissipée dans le four. 2- On s’intéresse de nouveau à la moitié de l’onduleur qui fonctionne pendant la première demi-période. La commande des interrupteurs est identique à la précédente ( fig. 9 sur le document réponse n°3 à remettre avec la copie). a- représenter les courants iK1 , iK3 et iD1 sur les graphes de la figure 9 ( document réponse n° 3 à remettre avec la copie). b- l’examen de ces courants exige la modification de la structure des interrupteurs K1 et K3. Quelles sont les modifications à apporter et pourquoi ? III - ETUDE DU CAPTEUR DE COURANT Pour assurer le fonctionnement de l’ensemble à la résonance, le module de commande compare une image du courant dans le four à une image de la tension appliquée de façon à détecter d’éventuels déphasages et à ajuster la fréquence de la tension en fonction de ceux-ci. L’image du courant est obtenue à l’aide d’un capteur ‘ à compensation de courant’, représenté schématiquement à la figure 3 ; une étude sommaire de ce capteur est proposée. Sur un circuit magnétique en forme de tore sont bobinés n0 tours de fil, parcourus par un courant d’intensité i0 . Le fil parcouru par le courant à mesurer traverse la partie évidée du tore, constituant ainsi une unique spire. Les courants i et i0 , lorsqu’ils sont de même signe, créent des flux qui s’opposent. 3/8 L’ensemble obéit au Théorème d’Ampère que l’on utilisera sous la forme Σ hl = Σ ni Le circuit magnétique comporte un entrefer dans lequel est placé un capteur à effet Hall délivrant une tension v1 proportionnelle à la valeur b de l’intensité du champ magnétique dans lequel est plongé le capteur : v1 = kb. Cette tension est transformée en un courant i0 par un amplificateur de transconductance A, supposé parfait, et obéissant à la loi i0 = Gv1. 1- Compte tenu de ce qui a été décrit précédemment, calculer la somme ε des ampères-tours ( on comptera positivement les ampères-tours créés par i, et négativement ceux créés par i0). 2- Dans le cas où le fonctionnement est idéal, h est nul dans tout le circuit magnétique. Exprimer alors i0 en fonction de i et de n0. 3- La perméabilité relative du matériau constituant le tore étant très élevée, on admettra que seul le terme ( hl ) correspondant à l’entrefer est à prendre en considération. Etablir la relation entre h, la longueur e de l’entrefer, n0 et les intensités i et i0. En déduire la relation entre b, e, n0i, i0 et µ0 ( perméabilité magnétique du vide, de l’air, et de la sonde à effet Hall). 4- Exprimer v1 en fonction des grandeurs précédentes et de k. A partir de cette relation et de la caractéristique de l’amplificateur de transconductance, déterminer l’expression de i0 en fonction de i et des caractéristiques du montage. 5- On désire modéliser le capteur sous la forme classique représentée à la figure. 4. a- Que vaut la variable r de l’extrémité de la chaîne de retour ? En déduire la valeur de la transmittance K1. b- Déterminer H1 i0 c- Déterminer la fonction de transfert T = i de l’ensemble. Retrouver pour cette méthode l’expression de i0 en fonction de i. d- A quelle condition cette fonction de transfert est-elle voisine de celle obtenue à la question 2 ci-dessus ? 4/8 +E 0 T/2 xT/2 t1 t4 t3 t2 t T Fig 2 -E Sonde à effet Hall Placée dans l’entrefer i i0 A v1 Fig 3 i0 i0 + i - H1 Fig 4 r K1 5/8 DOCUMENT REPONSE N° 1 u1 E O T/2 T t x=1 -E u2 O t x = 3/4 u3 t O x = 1/2 u t O Figure 5 u1 u2 u3 u x 1 0,75 0,5 b1 b2 b3 fig 6 6/8 DOCUMENT REPONSE N° 2 is D1 u K1 E Figure n° 7 is i K3 0 t ( K1) 0 t ( K3) 0 t ( D1) u T/16 T/8 T/4 3T/8 7T/16 T/2 200 0 t i 50 2 t 0 is Figure 8 0 t 7/8 DOCUMENT REPONSE N° 3 0 t ( K1) 0 t ( K3) 0 t ( D1) u T/16 T/8 T/4 3T/8 7T/16 T/2 200 t 0 i t 0 ik1 t 0 i k3 t 0 i D1 Figure n° 9 t 0 8/8