Morphismes et ensembles constructibles (suite)

Séminaire Henri Cartan
H. C ARTAN
Morphismes et ensembles constructibles (suite)
Séminaire Henri Cartan, tome 8 (1955-1956), exp. no 8, p. 1-7.
<http://www.numdam.org/item?id=SHC_1955-1956__8__A8_1>
© Séminaire Henri Cartan
(Secrétariat mathématique, Paris), 1955-1956, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la collection « Séminaire Henri Cartan » implique l’accord avec
les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation
commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute
copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
8-01
Séminaire E.N.S,, 1955/56
(H. CARTAN et C. CHEVALLEY)
MORPHISMES ET ENSEMBLES CONSTRUCTIBLES (Suite)
(Exposé de Ho CARTAN, le 16.1.1956)
1#- Morphismes dfun schéma complet.
Théorème le- Soit un morphisme
§!
s
est complet^ l1image, par
(f , <f)
dfun schéma
f , de tout fermé de
S
S
dans un schéma
est un fermé.de
Sf .
S1 .
Démonstration t compte tenu des propositions 1 et 5 de lfExposé 6 9 tout
revient à montrer que l'ensemble
image un fermé de
S1 . Soit
T
/"(P)
des spécialisations d'un
le schéma induit par
S
paragraphe 6) ; on cherche l'image du morphisme composé
est complet (Exposé 6, Théorème 3) > écrivant de nouveau
est ramené à prouver ceci s si
S
est complet, l'image
sur
T
P £ S
$ (P)
a pour
(Exposé 6,
^ S «JL^ Sf . Or
S
au lieu de
f(S)
T
T 9 on
est un fermé de
S1 • Eu égard à la décomposition canonique d'un morphisme (Exposé 7 ) * il suffit
de faire la démonstration quand
(S
F
et
de
domine
M s S
f(M)
S1
f t S ~~-> S'
est une application de domination
étant des schémas d'un même corps, par exemple le corps des fractions
S )o Soit
M1
M' s S' ; il existe un anneau de valuation
(Exposé 19 paragraphe 4) j puisque
(Exposé 5* proposition 6 ) , donc domine
du schéma
montre que tout
S1
S
est complet>
est dans l'image de
de
V
f(M) . Les localités
sont donc apparentées> et par suite
M' 6 S1
V
F
qui
domine un
M1
et
Mf = f(M) , ce qui
f .
Remarque : dans la fin de cette démonstration9 on a seulement utilisé le
fait que
S
est complet au-dessus de
Mf
(Exposé 6 , paragraphe 7 ) . Ceci va
permettre une extension du théorème 1, à condition d'avoir prouvé un lemme
8-02
(qui aurait pu trouver place dans l'Exposé 6, assertion 4) du théorème 3) t
Lemme 1.- Soient
P' = f(P) , T
^(P)
gar
de
et
f s S
T1
» S1
les schémas induits respectivement par
et ^^'(P1) , et soit
f . Si
S
g s T — •> Tf
est coniglet au-degsus de
S
et
S1
sur
le morphisme de domination induit
S1 , alors
E
l'ensemble
T
^ ( P ) , E!
un anneau de valuation (du corps des fractions
soit
6 s W «^
P'/rfP1)
G
et
W/r(W)
est complet au-dessus
P/r(P)
des schémas
applique biunivoquement
lité
F
T
et
T'
V
pour l'application
telle que
0 t W ~_>
V
S'
domine une localité
M p r(W)
qui est donc apparentée à
P , autrement dit
T • Soit
P , d'où
V
W = W/r(W) ; de plus,
domine une locaV
l1image récipro-
Ô " 1 ^ ) = V s et
S
p
est complet au-dessus de
de
P = M. # Ainsi
M =
W
T1 , resp, T •
domine la localité
M ç S j et on a
est un idéal premier
M f E ; soit
corps
M1 C O ^ ^ M 1 ) C
ÉT^rfV)) = r(V) • Puisque
r(W) C V , donc
P , et
W . On sait (Exposé 6, lemme 6) que
r(M') C ^ ^ ( r C M 1 ) ) C
V
S ) qui domine
0 plonge les corps
du
F „ D'autre part,
0(Mf ) = M1 , car
par hypothèse j
<^(Pf) . Soit
Ef , resp. E , sur les schémas induits
est un anneau de valuation de
Mf € S'
de
dans le corps
M' € T' , il domine au moins une localité de
que de
l'ensemble
1 ' homomorphisina canonique ;
On veut montrer que si un anneau de valuation
V
P £ S ,
Tf .
Démonstration i notons
W
un morphisme de domination,
f (M) = M' • On a
M , et
M
W
domine
M
,
est une spécialisation de
6(M)""e T ; il est immédiat que
V
domine
M , ce qui achève la démonstration.
Le théorème 1 peut maintenant être précisé §
Théorème 1 bis.- Soit
schéma
S
f ; S
est complet au-dessus de
est un fermé de
>
Sf
un morphisme de domination. Si 1q
S' , l'image par
f
S
S1 a
En effet, il suffit de le montrer pour un fermé de
soit
de tout fermé de
P' - f(p) , En passant aux schémas induits
montrer que l'image de
T
est un fermé de
T
et
S
de la forme
T! , on est ramené à
T' j il suffit de refaire la démons-
tration du théorème 1 , compte tenu du fait que
T
est complet au-dessus de
T'
(lemme 1 ci-dessus).
2,- Inégalités relatives aux dimensions des localités»
Si
M
est un anneau locale on notera
dim
M
la dimension de
dire le degré de transcendance (sur le corps de base
M , c'est-à-
K ) du corps des restes
M/r(M) , Cette notation s'applique aussi dans le cas où
M
est un surcorps de
K
8-03
Si
F
et
Ff
sont deux surcorps de
le degré de transcendance de
Théorème 2,- Soit
et
Ff
sur
f % S — >
M € S
P € S
S
et.de
S
tels que
F1 c F , on notera
Ff ; c'est égal à
S!
les corps de fractions. _dg
des dimensions de
des
F
K
dimptF
dim F - dim F1 •
un morphisme de domination % soient
et
S1 , et soit
S1 . Pour tout entier
e = dimF,F
la différence
, soit
lfensemble
h^O
jouissant de la propriété suivante : M
F
Eh
est spécialisation d'un
tel que
(1)
f(P) = f(M) ,
Alors l'ensemble
Efa
pyest pas dense dans
dim P ^ dim f(M) + h .
est fermé ; si
h < e , on__a
h> e ,
S ,
Démonstration s montrons d'abord que
est spécialisation d'un
En effet : soit
Eh = S j si
P 6 S
tel que
M' = f(M) , et soit
Ep = S ; autrement dit, tout
f(P) = f(M) , dim
hf
la hauteur de
M € S
P £ dim f(M) + e .
M'
(Exposé 5, paragra-
phe l) ; d'après la proposition 3 de l'Exposé 5, il existe
h1
éléments
de
r(Mf)
M1
contenant les
u.
(un tel système d'éléments
tels que
r(Mf )
soit l'unique idéal premier de
u. , en nombre égal à la hauteur de
s'appelle un "système de paramètres" de
sont dans
r(M) j soit
p
H' )« Puisque
un idéal premier de
idéaux premiers contenant les
u. ; M
premier de
u^ , donc c'est
M1
contenant les
drent un idéal primaire de
M
est au plus égale à
dim F - dim M
dim M
Ainsi
P = M
M
domine
M
domine
M' f
M' , les
M , minimal dans l'ensemble des
M' , car
pM r> M'
est un idéal
r(M') a De plus les
u^
engen-
, donc (Exposé 5 > proposition 3) la hauteur de
<~ dim F' - dim M' , ou encore
> dim f (M) + e .
répond à la question.
h > e , l'ensemble
E.
n'est pas dense dans
autrement dit, on va prouver l'existence d'un ouvert non vide
U C S
rencontre pas
K
E, „ Or pour qu'un ouvert
U
ne rencontre pas
, il suffit et
M e U , on a
dim M <£ dim f(M) + e . En effet, s'il en est ainsi, et si
M
S , alors
P e U , puisque
U
est ouvert, donc si
dim P é dim f(M) + e 5 et ceci montre que
U
ne rencontre pas
est spécialisation
f(P) = f(M) , on a
E,
pour
h> e .
Nous sommes donc amenés a prouver le t
Lemme 2a- II existe un ouvert non vide
on ait
dim M ^ dim f(M) + e .
U C S
S5
qui ne
il faut qu'il jouisse de la propriété suivante s pour tout
Pc
u^
h1 ,~c'est-à-dire
Montrons maintenant que si
d'un
u^
toi que, pour tout
M e U ,
8-04
II suffit évidemment de faire la démonstration quand
schémas affines, d'algèbres
bre de
A
et
A . Rappelons que l'application
loi qui, à chaque idéal premier
est le corps des fractions de
Puisque
inclusions
fx z S _ >
>
(2)
et
des
e
sont des
S!
A , associe
est alors définie par la
pf = A1 ^ p . De plus,
le corps des fractions de
éléments
F
soit algébrique sur le corps des fractions
Xj , ... , xQ € A , algébriquement
81
le schéma de
Aj, ; les
définissent des applications de domination
S1
9
f
j Sj _ ^
S1
est composée» Pour tout
Mj <: S^ , on a
,
celui du corps des fractions de
p! = A1 a p- 5 comme
éléments
A-/p-
Af/p! 9 en notant
est engendré par
Af/pf
^
A^/p^
e*
un idéal de
©t par les images
x# 9 ceci établit (2).
Quant à lfalgèbre
algébriques sur
entiers sur
F
A1 .
est le degré de transcendance du corps des fractions de
dim f ^ M j )
A-
S1
Sf
s'identifie à une sous-algè-
f s S —*
F1
et
e
dim Mx £ dim f ^ M j ) + e
dim M-
Af
Ax = A ' O j , ... , x Q ] . Soit
A1 C A- C A
f s S
de
A , et
Ar 9 tels que
de l'algèbre affine
car
p
dimp,F = e , il existe
indépendants sur
dont
A1 3 alors
S
A , elle est engendrée sur
A- ; il existe
y^ € A- (y- ^ 0)
A- , Si un idéal premier
p-
de
A^
par des éléments
tel que les
A^
7^a
ne contient pas
z^
soient
y* , la loca-
lité
(A1)
= M- est telle que les éléments de A sont entiers sur M1 . Soit
El
,
Uj l'ouvert non vide de S- formé des M^ = (A-)
tels que y- ^ p- P et soit
1
U=r(f1)^1(U1). Si M c U , et f1(M) = M1 , on a dim M - d i m M1 , car si M = A , on a
p^ = A- ^ p , et le corps des fractions de
A/p
est algébrique sur le corps
Mj/£(M;[) • Cs résultat^ joint à (2) , établit le lemme*
Achevons maintenant la démonstration du théorème 20 II reste à montrer que
l'ensemble
n
E,
du schéma
ost fermé dans
S • On procède par récurrence sur la dimension
S , l'assertion étant triviale pour
ferméP puisque
E^ = S ? si
schéma induit par
S
h > e , l'adhérence
Théorème 3.- Soit
(3)
f s S — >
S*
e = dinLp.F . Pour tout entier
tels qu'il existe un
Efa
est
M £ s
h-£e,E.
est
^ S ; en passant au
sur chaque composante irréductible de
l'hypothèse de récurrence, on trouve
jours
n = 0.Si
E. , et en utilisant
Eh = Efa \ ceci achève la démonstration.
un morphisme de domination9 et soit touh >• 0 , soit
satisfaisant à
f (M) = M1 , dim M :> dim lî! + h 0
C'
l'ensemble des
M1 e Sf
8-05
Alors l'ensemble
C'
est constructible l si
est donc dense dans
S j si
h > e , C^
Démonstration % il est clair que
image
C£
est constructible. Si
h £ e , onja
n'est pas dense dans
C^ = f(1^) . Puisque
h é e , ona
F1 , puisque
S
)t Si
Eh
est fermé, son
C£ = f(S)
h > e , C^
ne possède pas de localité de
> dim F1 + e = dim F . Alors l'adhérence de
C^
C£
S1 .
Efa = S , donc
tient un ouvert non vide (Exposé 7P théorème 3
pas la localité
C£ = f(S') , et
con-
ne contient
dimension >
ne contient pas non plus
F1 ,
puisque l'adhérence d'un ensemble constructible se compose de spécialisations de
localités de cot ensemble (Expose 7, paragraphe4).Ceci achève la démonstration.
Corollaire s soit
f s S —~*
Sf
un morphisme de domination» et soit
e = dim?fF , II existe un ouvert non vide
suivante s pour tout
M € S
tel que
U1 C S'
jouissant de la propriété
f(M) c U' 9 on a
dim M <: dim f (M) + e
.
Définition s dans la situation précédente, on dit qu'une localité
est fondamentale (pour l'application de domination
aucune localité de
à
S , ou s'il existe une
M€
S
f ) si
M'
qui domine
M' 6 S1
n'est dominé par
M1
et satisfait
dim M > dim M' + e .
L'ensemble des localités fondamentales est donc la réunion de deux ensembles,
dont chacun est constructible et n'est pas dense dans
S1 . Ainsi l'ensemble des
localités fondamentales est un ensemble constructible de
dense dans
S1 , qui n'est pas
Sf .
3.- Domination et spécialisation.
Soit
soient
M
admettant
S
f
un morphisme de domination d'un schéma
une localité de
M'
admettant
S
et
M' = f(M) . S i
S
N1
dans un schéma
S' j
est une localité de
comme spécialisation, il nfy a en général pas de localité
M
comme spécialisation et telle que
Sf
N
de
f(N) = Nf , On a cependant
le résultat suivant t
Théorème 4.- Soit
schéma
f
un morphisme de domination d'un schéma
S1 . Il y a une partie ouverte non vide
té. J ^ Z ^ t ^ - A . -rs?-, M 6 U
et_ si
Nf
spécialisations il y a une localité
spécialisation de
Remplaçant
U
de
S
est une localité de
N C U
telle que
S
dans un
qui possède la propriéS1
dont
f(N) = N'
f(M)
est une
et gue
M
soit
N .
S' par un schéma affine
S£
f ( S p , on se ramène immédiatement au cas où
qui y est contenu et
S
par
S1 est affine ; remplaçant alors
£-06
S
par un schéma affine qui y est contenu, on se ramène au cas où
sont tous deux affines s soient
F
et
corps des fractions. Soient
Xj , ... , xe
des éléments de
A
qui forment une
base de transcendance de
par rapport à
F1 , et soit
A![x- , . 0. , x ] . Si
corps des fractions de
m1
S1
9 de
est un idéal premier de
Af[xj$ ... , x ]
leurs
le schéma affine
A'/mf , 1*homomorphisme canonique de
prolonge en un homomorphisme
F1
S1
leurs algèbres,
dfalgèbre
et
et
Ar
F
A
S
A1 , et
Ar
dans
Rf
Rf
le
se
dans un sur-corps de
Rf
tel que
0(x1) , ... , 0(x ) soient algébriquement indépendants sur Rf . Le
x
e
noyau m1 de cet homomorphisme se compose de tous les éléments qui peuvent
s'écrire comme polynômes en x- , ... , x
à coefficients dans mf ; il est
x
e
—*
contenu dans tout idéal m^ de kf[x^ , ... , x ] tel que n^ n A = mf . Si nf
est un idéal premier de À1 contenu dans mf , l'idéal nf est contenu dans m1 .
Il en résulte que, si
lité de
M-
S1
de
S-
M-
admettant
est une localité quelconque de
f(M-) = M1
telle que
f(N-) = N1
S-
et
Nf
une loca-
comme spécialisation, il y a une localité
qui admet
ML
comme spécialisation. Ceci
montre qu'on peut se ramener, pour démontrer le théorème 4, au cas où le corps
des fractions de
Af
est algébrique sur celui de
A , Supposons qu'il en soit
ainsi ; soient
z- , ... , z
des éléments de A tels que Al=A[z1 , . ,# , z ] ,
X
S
X
S
et soit y un élément ^ 0 de A1 tel que les y z. soient entiers sur A1 .
Soit par ailleurs S1
le schéma dérivé de S' dans son corps des fractions
F1 ; l'ensemble
S1 ^ S1*
une partie ouverte de
Sf
locaux des idéaux premiers
n'est pas vide> puisqu'il contient
F1 j c'est de plus
(exposé 6, théorème l ) . Lfensemble
U1
pf
de
A1
tels que
mal est donc une partie ouverte non vide de
une localité appartenant à
A ; si
Soit
Nf
Nf = M^f , où
M'[a]
r , N
nf
entier sur
et tel que
est
est entier sur
une localité de
Sf ; soit
S1
admettant
Mf
M
m
de
Mf . Puisque
r
de
(exposé 1, théorème 4) 5 si
N ; de plus,
M = (M'[A])
comme spécialisation 5 on a
est 1'anneau local de l'idéal engendré par
dfoù il résulte que
soit nor-
U = f (Uf) 7 Soit
M1 . Si"" q = r(M') r\ M'[A] , on a
M1 , il y a un idéal premier
est une spécialisation de
A1,
A', ; c'est un anneau normal, et, puisque
est un idéal premier de
r r\ M1 = nf
et que
U ; c'est l'anneau local d'un idéal premier
mf = A1 r\ m , f(M) = M1
y é m1 , M'[A]
y 4 p1
des anneaux
r
M1
~
est normal et
M1 [ A ]
N
.
contenu dans
q
est l'anneau local de
dans
M , de sorte que
M
r(N) n M1 = r(N) r\ M'[A] n M ! = r n M r = n f
f(N) = N1 .
Remarque î La démonstration montre que, si le corps des fractions de
est algébrique sur celui de
S , on peut prendre pour
U
S1
un ensemble de la forme
8-07
f (U1) , où
Uf
est uno partie ouverte de
S1 . Il en est encore ainsi dans le
cas général, comme on le voit par récurrence sur la dimension de
S
de la
manière suivante. Supposons l'assertion établie pour les schémas de dimensions
^ dim S . L'ensemble
U
ayant les propriétés énoncées dans le théorème, son
complémentaire est la réunion d'un nombre fini d'ensembles fermés irréductibles
E.
qui sont porteurs de structures de schémas induits de dimensions
Si
f(E.)
S'
ne le rencontrant pas« Dans le cas contraire> il existe en vertu de l'hypo-
n'est pas dense dans
S1 ? soit
U!
thèse de récurrence une partie ouverte non vide
priété suivante t si
M é E. , f(M) € U! , et si
localité
(donc de
f(N) = Nf
Nf
de
S'
et que
U | , l'ensemble
M
f (Uf)
une partie ouverte non vide de
U!
de
f(M)
S'
N . Si
qui possède la pro-
est spécialisation d'une
Ul) , il y a une localité
soit spécialisation de
< dim S •
U1
possède les propriétés requises.
N € E.^ telle que
est l'intersection des