Chapitre 8 - Collège Montmorency

Exercices
Algèbre linéaire
Collège Montmorency
Jean-Claude Cayer
Chapitre 8
Exercice 8.1 (page 303)
Soit le parallélépipède de l’exemple précédent.
a) Trouvez un vecteur égal à chacune des sommes suivantes :
uuuv uuuv uuuv
uuuv uuuuv
AB + DH et AD + HG + CB
uuuv uuuv
uuuv
b) Que valent AD + HG et EC ?
Exercice 8.2 (page 304)
Identifiez correctement la direction positive des axes de manière à obtenir un système
direct.
Exercice 8.3 (page 305)
1. Soit les points A(2, 4, 3) , B (3, 0, 4) et C (−2,1, 2) . Lequel de ces points est le plus près
du plan xy ? du plan yz ? du plan xz ?
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2. Quelles sont les coordonnées d’un point dans le plan xz situé à trois unités du plan
xy ?
uuuv
3. Placez les points P (2, 2, 2) et Q (−2, −4,1) et tracez le vecteur PQ dans un système de
coordonnées cartésiennes.
Exercice 8.4 (page 308)
v
1. En employant les valeurs des cosinus directeurs de u déterminées dans l’exemple
précédent, calculez cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ .
v
2. Soit α , β et γ , les angles directeurs d’un vecteur non nul v = [ a b c ] . Exprimez le
v
v
v
vecteur w = [ cos α cos β cos γ ] en fonction de v . Quel est le module du vecteur w ?
3. Soit α , β et γ , les angles directeurs d’un vecteur non nul de l’espace. Montrez que
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 .
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Exercice 8.5 (page 308)
Quels sont les composantes, le module, les cosinus directeurs et les angles directeurs du
vecteur qui a pour origine A(1, 4, −6) et pour extrémité B (−1, 3, 2) .
Exercice 8.6 (page 311)
v
v
v
Soit les vecteurs u = [1 2 3] , v = [ −1 −1 1] et w = [ 2 1 −2] .
v
v
v
a) Que vaut u − 2v + 3w ?
v
v v
b) Exprimez le vecteur s = [ 4 1 2] comme un combinaison linéaire des vecteurs u , v
v
et w .
v
v
c) Quel est l’angle entre les vecteurs u et w ?
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v v
v
d) Les vecteurs u , v et w sont-ils linéairement indépendants ? Justifiez votre réponse.
v v
v
e) Les vecteurs u , v et w forment-ils un système générateur de R3 ?
v v
v
f) Que peut-on dire des vecteurs u , v et w ?
Exercice 8.7 (page 313)
v
v
Soit les vecteurs u = [1 2 3] et w = [ −2 −4 −6] .
v
v
a) Vérifiez que les vecteurs u et w sont parallèles.
v v
b) Que vaut u × v ?
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c) Le résultat obtenu en b) est-il fortuit ou est-ce une caractéristique des vecteurs
parallèles ? Justifiez votre réponse.
Exercice 8.8 (page 314)
v
Quels sont les deux vecteurs unitaires perpendiculaires aux vecteurs u = [3 2 3] et
v
v = [ −2 −4 1] ?
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Exercice 8.9 (page 318)
Faites appel au théorème 8.3 pour montrer que deux vecteurs non nuls sont parallèles si et
seulement si leur produit vectoriel est le vecteur nul.
Exercice 8.10 (page 319)
v
Trouvez l’aire du triangle dont deux côtés sont déterminés par u = [1 2 3] et
v
v = [ 2 −1 2] . (Indice : Quel est le lien entre l’aire d’un triangle et l’aire du
parallélogramme qui a deux côtés en commun avec le triangle ?)
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Exercice 8.11 (page 320)
1. Montrez que si on double la longueur d’une clé, on double l’intensité du moment de
force associé à une force appliquée à l’extrémité de la clé.
2. Quel angle une force agissant à l’extrémité d’une clé doit-elle déterminer avec le
manche de la clé pour que le moment de force soit maximal ?
Exercice 8.12 (page 322)
v
v
v
v v v
Soit u = [ 2 −2 3] , v = [1 −1 2] et w = [1 3 −2] . Évaluez u ⋅ (v × w) .
Exercice 8.13 (page 324)
v
v
Vérifiez, à l’aide du produit mixte, que les vecteurs u = [ 2 −2 3] , v = [1 −1 2] et
v
w = [1 −1 0] sont coplanaires.
Exercice 8.14 (page 325)
Le volume d’un tétraèdre (un polyèdre formé de quatre faces triangulaires) vaut 1/6 du
volume du parallélépipède avec lequel il partage trois arêtes. Quel est le volume du
tétraèdre qui a pour sommets les points A(1,1,1) , B (2, 2, 3) et C (3, −1,1) et D (4,3, 2) ?
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Chapitre 9
Exercice 9.1 (page 339)
Soit les points A(1, −1,1) et B (−2, −3, −4) .
a) Quelle est l’équation vectorielle de la droite ∆ qui passe par les points A et B .
b) Trouvez un point de la droite ∆ , distinct de A et de B .
c) Vérifiez que le point C (−5, −5, −9) appartient à la droite ∆ .
d) Vérifiez que le point D (1, 2,3) n’appartient pas à la droite ∆ .
e) Montrez que [ x
droite ∆ .
y
z ] = [ 4 1 6] + t [3 2 5] où t ∈ R représente également la
Exercice 9.2 (page 340)
Quelles sont les équations paramétriques de la droite ∆ qui passe par les points A(0,1, 2)
et B (5,3, 2) ?
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Exercice 9.3 (page 341)
1. Quelles sont les équations symétriques de la droite ∆1 qui passe par le point (4, 2, 0) et
v
dont d1 = [1 3 5] est un vecteur directeur ?
2. Quelles sont les équations symétriques de la droite ∆ 2 qui passe par les points
A(3, 2,1) et B (2,5,3) ?
3. Quelles sont les équations symétriques de la droite ∆ 3 qui passe par le point (4,9, −14)
v
et dont d3 = [ 0 −2 4] est un vecteur directeur ?
4. Quelles sont les équations symétriques de la droite ∆ 4 qui passe par le point (2,1, 3) et
v
dont d 4 = [ 0 0 −4] est un vecteur directeur ?
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Exercice 9.4 (page 345)
Soit les droites définies dans l’exercice 9.3.
a) Que peut-on dire de la position relative des droites ∆1 et ∆ 2 ? Si ces droites sont
concourantes, trouvez l’angle qu’elle déterminent.
b) Que peut-on dire de la position relative des droites ∆1 et ∆ 3 ? Si ces droites sont
concourantes, trouvez l’angle qu’elle déterminent.
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Exercice 9.5 (page 348)
Soit la droite ∆ dont les équations symétriques sont
x − 3 y +1
=
=z.
2
3
a) Trouvez un vecteur directeur et un point de la droite ∆ .
b) Quelle est la distance du point Q1 (−1, 2, −3) à la droite ∆ ?
c) Quel est le point de ∆ le plus proche du point Q1 ?
d) Quelle est la distance du point Q2 (5, 2,1) à la droite ∆ ? Que peut-on dire du point
Q2 ?
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Exercice 9.6 (page 349)
Soit les droites ∆1 et ∆ 2 dont les équations sont respectivement
∆1 : x − 8 = y + 2 = z − 1
x + 2 y −1 z
∆2 :
=
=
3
3
3
a) Vérifiez que les deux droites sont parallèles.
b) Quelle est la distance entre les deux droites ?
Exercice 9.7 (page 352)
Soit le plan π 1 dont l’équation cartésienne est donnée par π 1 : 2 x + 3 y + z = 6 .
a) Lesquels des points suivants appartiennent au plan π 1 : A(1,1,1) , B(2,1, −2) ,
C (3, −2, 6) ou D(2, −1,5) ?
b) Quel point d’abscisse 3 et de cote 9 appartient au plan π 1 ?
c) Donnez un vecteur normal au plan π 1 .
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d) Trouvez un vecteur unitaire normal au plan π 1 .
e) Déterminez l’équation cartésienne du plan π 2 qui passe par le point E (1, 2, −4) et qui
est parallèle au plan π 1 .
Exercice 9.8 (page 353)
Trouvez l’équation normale du plan π qui passe par les points A(2,1,1) , B(0,1, −2) et
C (1, −1,1) .
Exercice 9.9 (page 355)
Quelle est la distance à l’origine du plan π qui passe par les points A(3,1, 2) , B(0,1, −2)
et C (1, −1,1) ?
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Exercice 9.10 (page 356)
1. Quelle est la distance entre le point D(2,1,1) et le plan π qui passe par les points
A(3,1, 2) , B(0,1, −2) et C (1, −1,1) ?
2. Montrez que la distance entre les plans parallèles π 1 : ax + by + cz = d1 et
π 2 : ax + by + cz = d 2 est égale à
d1 − d 2
2
a + b2 + c2
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Exercice 9.11 (page 359)
Soit les droites ∆1 et ∆ 2 et le plan π définis par
x −2 y −3 z +5
=
=
4
6
−1
∆ 2 : [ x y z ] = [ 2 −3 1] + k [ 3 4 −3] où k ∈ R
π : 2x − y + z = 4
∆1 :
Pour chacune des deux droites, trouvez, selon le cas, le point d’intersection de la droite
avec le plan ou la distance entre la droite et le plan.
Exercice 9.12 (page 360)
Quel est l’angle entre la droite ∆ :
x − 2 y −3 z +5
=
=
et le plan π : 2 x − y + z = 4 ?
−1
4
6
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Exercice 9.13 (page 362)
Soit les droites
x −1 y − 2 z − 3
∆1 :
=
=
5
−6
−4
∆2 : x − 8 = y + 2 = z −1
∆3 : [ x
y
z ] = [3 0 7 ] + k [ 2 2 2] où k ∈ R
a) Que peut-on dire des droites ∆1 et ∆ 2 ? Si ces droites sont parallèles distinctes ou
gauches, calculez la distance qui les sépare; si elle sont concourantes, déterminez leur
point d’intersection.
b) Que peut-on dire des droites ∆1 et ∆ 3 ? Si ces droites sont parallèles distinctes ou
gauches, calculez la distance qui les sépare; si elle sont concourantes, déterminez leur
point d’intersection.
c) Que peut-on dire des droites ∆ 2 et ∆ 3 ? Si ces droites sont parallèles distinctes ou
gauches, calculez la distance qui les sépare; si elle sont concourantes, déterminez leur
point d’intersection.
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Exercice 9.14 (page 364)
Soit les plans
π1 : x − y + z = 3
π 2 : 2x − 2 y + 2z = 7
π3 : 2x + y + z = 2
π 4 : −4 x + 4 y − 4 z = −12
Répondez aux questions suivantes pour les plans :
a) π 1 et π 2
b) π 1 et π 3
c) π 1 et π 4
Les deux plans sont-ils parallèles ou sécants ? S’ils sont parallèles calculez la distance qui
les sépare et dites s’ils sont distincts ou confondus ; si les deux plans sont sécants,
déterminez l’équation vectorielle de la droite suivant laquelle ils se coupent.
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Exercice 9.15 (page 366)
Répondre à la question page 366.
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Exercice 9.16 (page 368)
1. Soit les plans π 1 : x − y + z = 3 et π 2 : 2 x − y − 3z = 7 . Quels est l’angle dièdre ? Que
peut-on dire des deux plans ?
2. Soit les plans π 1 : x − y + z = 3 et π 3 : −2 x + 2 y − 2 z = 5 . Quels est l’angle dièdre ? Que
peut-on dire des deux plans ?
3. Soit les plans π 1 : x − y + z = 3 et π 4 : x + y + z = 8 . Quels est l’angle dièdre ?
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Exercice 9.17 (page 370)
Quelle est l’équation vectorielle du plan qui passe par les points A(2,1, 6) , B(3, −2,1) et
C (1, 2, 4) ?
Exercice 9.18 (page 370)
Soit le plan π dont les équations paramétriques sont x = 3r , y = 2 s et z = 6 − 6r − 6 s où
r et s ∈ R .
a) Trouvez un point du plan π .
b) Quel point du plan π obtient-on en posant r = 2 et s = −1 ?
c) Le point A(1, 2, 3) appartient-il au plan π ?
v
v
d) Trouvez deux vecteurs u et v linéairement indépendants et parallèles au plan π ?
v v
e) Que peut-on dire du vecteur u × v par rapport au plan π ?
f) Quelle est l’équation cartésienne du plan π ?