Chapitre 8 - Collège Montmorency

Exercices Collège Montmorency
Algèbre linéaire Jean-Claude Cayer
Chapitre 8
Exercice 8.1 (page 303)
Soit le parallélépipède de l’exemple précédent.
a) Trouvez un vecteur égal à chacune des sommes suivantes :
AB DH
+
uuuv uuuuv
et
AD HG CB
+ +
uuuv uuuv uuuv
b) Que valent
AD HG
+
uuuv uuuv
et
EC
uuuv
?
Exercice 8.2 (page 304)
Identifiez correctement la direction positive des axes de manière à obtenir un système
direct.
Exercice 8.3 (page 305)
1. Soit les points
(2,4,3)
A,
(3,0,4)
B et
( 2,1,2)
C
−
. Lequel de ces points est le plus près
du plan
xy
? du plan
yz
? du plan
xz
?

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Algèbre linéaire Jean-Claude Cayer
2. Quelles sont les coordonnées d’un point dans le plan
xz
situé à trois unités du plan
xy
?
3. Placez les points
(2,2,2)
P et
( 2, 4,1)
Q
− −
et tracez le vecteur
PQ
uuuv
dans un système de
coordonnées cartésiennes.
Exercice 8.4 (page 308)
1. En employant les valeurs des cosinus directeurs de
u
v
déterminées dans l’exemple
précédent, calculez 2 2 2
cos cos cos
α β γ
+ + .
2. Soit
α
,
β
et
γ
, les angles directeurs d’un vecteur non nul
[
]
v a b c
=
v
. Exprimez le
vecteur
[
]
cos cos cos
w
α β γ
=
v
en fonction de
v
v
. Quel est le module du vecteur
w
v
?
3. Soit
α
,
β
et
γ
, les angles directeurs d’un vecteur non nul de l’espace. Montrez que
2 2 2
cos cos cos 1
α β γ
+ + =
.

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Algèbre linéaire Jean-Claude Cayer
Exercice 8.5 (page 308)
Quels sont les composantes, le module, les cosinus directeurs et les angles directeurs du
vecteur qui a pour origine
(1,4, 6)
A
−
et pour extrémité
( 1,3, 2)
B
−
.
Exercice 8.6 (page 311)
Soit les vecteurs
[
]
1 2 3
u=
v
,
[
]
1 1 1
v= − −
v
et
[
]
2 1 2
w
= −
v
.
a) Que vaut
2 3
u v w
− +
v v v
?
b) Exprimez le vecteur
[
]
4 1 2
s=
v
comme un combinaison linéaire des vecteurs
u
v
,
v
v
et
w
v
.
c) Quel est l’angle entre les vecteurs
u
v
et
w
v
?

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Algèbre linéaire Jean-Claude Cayer
d) Les vecteurs
u
v
,
v
v
et
w
v
sont-ils linéairement indépendants ? Justifiez votre réponse.
e) Les vecteurs
u
v
,
v
v
et
w
v
forment-ils un système générateur de
3
R
?
f) Que peut-on dire des vecteurs
u
v
,
v
v
et
w
v
?
Exercice 8.7 (page 313)
Soit les vecteurs
[
]
1 2 3
u=
v
et
[
]
2 4 6
w
= − − −
v
.
a) Vérifiez que les vecteurs
u
v
et
w
v
sont parallèles.
b) Que vaut
u v
×
v v
?

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c) Le résultat obtenu en b) est-il fortuit ou est-ce une caractéristique des vecteurs
parallèles ? Justifiez votre réponse.
Exercice 8.8 (page 314)
Quels sont les deux vecteurs unitaires perpendiculaires aux vecteurs
[
]
3 2 3
u=
v
et
[
]
2 4 1
v= − −
v
?