Exercice N°1 : Laser à 4 niveaux

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Institut d'Optique, 1° année
François BALEMBOIS
Examen de Lasers 3/4/2014
Examen de Lasers
3 heures
Tous documents autorisés
Calculatrice autorisée
Questions de base
1) Un milieu amplificateur a un gain d'une largeur spectrale de 50 MHz. La forme spectrale du gain
est supposée rectangulaire, pour simplifier. Le milieu est placé dans une cavité linéaire. Donner la
longueur maximale de la cavité pour que le laser soit monomode longitudinal.
2) On considère une cavité linéaire stable composée de deux miroirs concaves.
2.1) Le plan du waist se trouve-t-il dans la cavité ou à l'extérieur de la cavité?
2.2) Justifier par un schéma.
2.3) Mêmes questions pour une cavité linéaire stable composée d'un miroir concave et d'un miroir
convexe.
Exercice 1 : Pompage par LED d'un cristal de Nd:YVO4
On considère un cristal de Nd:YVO4 pompé par LEDs (diodes électroluminescentes) de façon
transverse. La géométrie du pompage est donnée sur la figure 1. Le cristal est pompé par 40
LEDs, sur deux faces transverses à l'axe de la cavité. Le but de l'exercice est d'estimer le seuil
d'oscillation du laser. On suppose que le pompage est suffisamment uniforme pour que la densité
de population dans le niveau du haut (n2) soit constante dans le cristal.
Avec un pompage à 800 nm et une émission laser à 1064 nm, le Nd se comporte comme un laser
à 4 niveaux. On suppose qu'il n'y a pas d'autres transitions dans le milieu.
On suppose que le milieu est parfait, sans pertes réparties.
On utilise les grandeurs et les valeurs suivantes :
d : longueur du cristal de Nd:YVO4, d=20 mm,
e : le cristal de Nd:YVO4 a une section carrée de côté e : e=1 mm,
e : taille de la surface émettrice de la LED (carré de e par e) : e=1mm,
p : longueur d’onde de pompe, p=800 nm,
 : longueur d’onde laser, =1064 nm,
n2 : densité de population dans le niveau du haut,
P : puissance optique émise par une LED,
h : constant de Planck (h=6,62 10-34 Js),
c : vitesse de la lumière dans le vide,
A : coefficient d’Einstein pour l’émission spontanée, 1/A=100 µs,
R1, réflectivité du premier miroir de la cavité, R1= 100%,
R2, réflectivité du miroir de sortie de la cavité, R2= 99%,
 : section efficace à 1064 nm, =7,6.10-19 cm2.
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T
Vue de côté
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au plan des LEDs
e
Miroir
R1=100%
Milieu à gain : Nd:YVO4
20 LED
Miroir de sortie
R2=99 %
e
N°1 2 3
20 LED
20
Vue de dessus // au plan des LEDs
N°1 2 3
20
q
Détecteur
Fig.1 : Schéma du laser Nd:YVO4 pompé par LEDs
1) Le premier objectif est de trouver la relation entre la densité de population n2 et la puissance
optique P émise par les LEDs. Pour cela, on fait l'imagerie d'une partie du cristal sur un détecteur.
On allume uniquement les LEDs N°1 et on mesure la puissance d'émission spontanée collectée
par le détecteur. Les LEDs étant collées au cristal, on suppose que seule la partie du cristal face
aux LEDs absorbe la lumière. Ainsi, lorsque les LEDs N°1 sont allumées : le volume excité est
V=e*e*e. L'optique de collection fait une conjugaison du cristal sur le détecteur. La distance entre
l'optique et le cristal vaut 100 mm. Le diamètre de l'optique est de 30 mm.  est l'angle d'ouverture
maximum du système optique (1/2 angle, voir fig.1).
1.1) Donner l'expression de la puissance totale d'émission spontanée (en W), Pspont, en fonction de
n2.
1.2) Donner l'expression de la puissance d'émission spontanée mesurée par le détecteur (en W),
Pmes, en fonction de n2.
1.3) Pour une puissance de pompe maximale sur les LEDs N°1 de Pmax=1W, on mesure une
puissance d'émission spontanée de 100 µW sur le détecteur. Donner la valeur numérique de la
densité de population n2.
2) On allume toutes les LEDs. Chaque LED émet la puissance optique maximale Pmax.
2.1) Donner l'expression du gain "petit signal" G0 sur un seul passage dans la totalité du milieu
amplificateur.
2.2) Donner la valeur numérique de G0.
2.3) Le seuil est-il atteint?
3) On suppose que n2 est proportionnel à la puissance optique P émise par les LEDs.
3.1) On appelle Pseuil la puissance optique émise par chaque LED pour atteindre le seuil. Donner
l'expression de Pseuil.
3.2) Calculer la valeur numérique de Pseuil.
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Exercice 2 : Réponse d'un absorbant saturable à une impulsion
lumineuse
On considère un absorbant saturable : il s'agit d'un système à 2 niveaux comme décrit sur la figure
2. Le milieu est éclairé par un faisceau laser impulsionnel d'intensité Iin(t) de forme temporelle
rectangulaire, entre le temps t=0 et le temps t=t1. La longueur d'onde du faisceau (1617 nm) est
parfaitement accordée sur la transition de l'absorbant saturable.
Le but de l'exercice est de trouver comment l'impulsion est déformée au passage de l'absorbant
saturable. : on cherche la forme temporelle de l'intensité en sortie : Iout(t). On s'intéresse donc à
l'évolution de la transmission de l'absorbant saturable, notée T(t)=Iout(t)/Iin(t), en fonction du temps.
n2
A
n1
d
2
Iin(t)
sI
0
t1
1
Iout(t)
t
z
Absorbant
saturable
Direction de
propagation
Fig.2 : niveaux d'énergie de l'absorbant saturable (à gauche)
Montage expérimental de test de l'absorbant saturable (à droite).
On utilise les grandeurs et les valeurs suivantes :
Iin : intensité incidente sur l'absorbant saturable (en nb de photons/s/m2),
Iout : intensité en sortie de l'absorbant saturable (en nb de photons/s/m2),
t1 : durée de l'impulsion lumineuse, t1=100 ns.
n1 : densité de population dans le niveau du bas (niveau fondamental),
n2 : densité de population dans le niveau du haut,
nt : densité de population totale, nt=1024 m-3
A : coefficient d’Einstein pour l’émission spontanée, 1/A=100 ns,
 : section efficace à 1617 nm, =10-18 cm2,
d: épaisseur du milieu traversée par l'impulsion lumineuse : d=1mm
On suppose que Iin>>A.
Le milieu est supposé suffisamment mince pour qu'on considère que les densités de populations
sont les mêmes en tout point du milieu.
1) Avant le passage de l'impulsion
On suppose que le système à 2 niveaux est dans son état stationnaire.
1.1) Donner la densité de population des niveaux 1 et 2 en fonction de nt.
1.2) Donner l'expression de la transmission de l'absorbant saturable T(t<0) (en supposant qu'on
l'éclaire par un signal de très faible intensité).
1.3) Donner la valeur numérique de T(t<0).
2) Pendant le passage de l'impulsion
2.1) Donner l'équation d'évolution de la densité de population du niveau du haut, dn2/dt.
2.2) En utilisant le fait que nt=n1+n2, donner l'expression de n2(t) pendant l'impulsion lumineuse.
2.3) Donner un temps caractéristique pour que n(t) = n2(t)-n1(t) atteigne son maximum.
3) Après le passage de l'impulsion
3.1) Donner l'expression de la densité de population dans le niveau du haut juste à la fin de
l'impulsion : n2(t1).
3.2) Donner l'équation d'évolution de la densité de population du niveau du haut, dn2/dt.
3.3) Donner l'expression de n(t) pour t> t1.
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4) Allure de l'impulsion en sortie
On suppose que la durée de l'impulsion lumineuse t1 est suffisante pour atteindre l'état stationnaire
sur les densités de population avant la fin de l'impulsion.
4.1) Donner l'allure de n(t) pour des temps compris entre 0 et 3 t1.
4.2) Donner l'expression de la transmission de l'absorbant saturable T(t) en fonction de n(t).
4.3) Donner l'allure de T(t) pour des temps compris entre 0 et 3T (sans calcul).
4.4) En déduire l'allure de Iout(t) (sans calcul).
5) Utilisation de l'absorbant saturable dans un laser déclenché passivement
On place cet absorbant saturable dans une cavité laser pour réaliser un régime déclenché.
L'objectif est de savoir si le système a été bien dimensionné.
Le laser doit émettre une énergie de E = 1 mJ sur une durée de T = 100 ns (supposée de forme
temporelle rectangulaire pour simplifier). Son miroir de sortie a un coefficient de réflexion de
R = 90 %. Le rayon du faisceau sur l'absorbant saturable est de w = 200 µm. Sa longueur d'onde
vaut  = 1617 nm. La cavité du laser est linéaire. On suppose qu'il n'y a pas d'autres pertes que
celles provoquées par le miroir de sortie et par l'absorbant saturable.
5.1) Le gain maximum G0 en simple passage vaut 1,2. Le laser peut-il atteindre son seuil
d'oscillation?
5.2) Donner l'expression de l'intensité dans la cavité (Iintra, en nombre de photons/s/m2) lorsque le
laser émet son impulsion de régime déclenché.
5.3) Donner la valeur du temps 1/(2Iintra).
5.4) La taille du faisceau sur l'absorbant saturable est-elle bien adaptée?
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