Projet tutoré Introduction 1 Exercice de programmation C 2

Université de Rennes 1
M1 Mathématiques
Projet tutoré
Mise en œuvre de la méthode d’éléments finis de Lagrange P1 et P2
Sujet proposé par Éric Darrigrand
Introduction
Nous avons à notre disposition un outil très élémentaire de réalisation de maillages pour des
domaines bornés 2D polygonaux convexes, écrit en Matlab. Cet outil construit des maillages P1 . Nous
proposons dans un premier temps de réaliser un petit code de mise en œuvre des éléments finis de
Lagrange P1 en dimension 2 pour tester les maillages. Dans un deuxième temps, nous proposons
d’évoluer l’ensemble de la programmation de façon à pouvoir également utiliser des éléments finis de
Lagrange P2 . Les détails d’évolution du maillage, ainsi que les détails de mise en œuvre des éléments
finis P1 et P2 seront fournis par l’enseignant encadrant.
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Exercice de programmation C
La mise en œuvre des éléments finis implique la réalisation d’un maillage. Dans ce projet, vous
seront fournis des outils simples pour créer vos propres maillages 2D Lagrange-P1 . Dans le cadre
d’un exercice de programmation C, il vous sera demandé d’écrire une fonction de réalisation d’un
maillage P2 à partir du maillage correspondant P1 déjà construit. Pour cela, il est d’abord demandé
de déterminer les connectivités entre les arêtes du maillage et ses éléments.
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Construction de maillages
En vue de la mise en œuvre des éléments finis, il est demandé de reprendre le travail précédent
sous matlab et de le mettre en application dans le cas de maillages construits à l’aide de la fonction
matlab delaunay.
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Programmation des éléments finis P1 en dimension 2
La mise en œuvre des éléments finis s’effectue au travers des étapes suivantes :
Choix de formules de quadrature sur l’élément de référence.
Définition des fonctions de base sur l’élément de référence.
Calculs géométriques sur les éléments du maillage.
Assemblage de la matrice et du second membre du système à résoudre.
Résolution.
La validation de votre programme s’effectuera par la considération du problème suivant :

 −4u + u = f sur Ω
 ∂u = 0
sur ∂Ω
∂n
où Ω est le carré [0, 1] × [0, 1], et la fonction f est choisie de sorte que la solution exacte soit
u(x) = cos(πx1 ) cos(πx2 ).
Vous réaliserez les étapes suivantes avec soin :
Formulation variationnelle du problème.
Justification du fait que le problème est bien posé (Lax-Milgram).
Résolution du problème discret par la méthode des éléments finis pour différents pas de maillage.
Analyse de l’erreur en fonction du pas de maillage.
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Éléments finis P2 en dimension 2
Ce dernier travail consistera à adapter le travail précédent aux éléments finis P2 .
Références
[1] H. Brezis. Analyse fonctionnelle. Collection Mathématiques Appliquées pour la Maîtrise. Masson,
Paris, 1983. Théorie et applications.
[2] B. Lucquin and O. Pironneau. Introduction to scientific computing. John Wiley & Sons Ltd.,
Chichester, 1998.
[3] P.-A. Raviart and J.-M. Thomas. Introduction à l’analyse numérique des équations aux dérivées
partielles. Collection Mathématiques Appliquées pour la Maîtrise. Masson, Paris, 1983.
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