Chapitre 1 à 4

- 2 -
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS DEFORMABLES
Première Partie : Généralités sur les milieux continus défor niables.
TABLE DES MATIERES
ChapitreI
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
Chapitre II
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
RAPPELS-NOTION DE TENSEUR
Scalaires - vecteurs - tenseurs de rang 2
Transformations
Définition d'un tenseur
Quadrique représentative
Grandeur en valeur absolue d!une propriété physique
dans une direction donnée
Propriétés géométriques de la quadrique représentative
Diagonalisation d'un tenseur. Détermination analytique
des axes principaux du tenseur. Invariants d'un tenseur
Construction du cercle de Mohr
Ellipsoïde de la propriété
CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX - ESSAIS FONDAMENTAUX
Essai de traction
Essai de compression
Essai de torsion
Notion de contrainte
Notion de déformation
Diagrammes fondamentaux
Chapitre III TENSEUR DES CONTRAINTES
111.1 Définition-Notations. Contrainte sur une facette
quelconque
111.2 Répartition des contraintes autour d'un point
III.2.1. Quadrique de Cauchy. Eléments principaux en P
111.2.2 Invariants de «TÎJ
111.2.3 Ellipsoïde de Lamé
111.2.4 Recherche des éléments principaux quand on connait
à priori une direction principale 0*5.
111.2.5 Tricercle de Mohr
111.2.6 Tenseur déviateur
111.2.7 Contraintes octaédriques
111.3 Equations d'équilibre
111.4 Formes particulières prises par le tenseur des contraintes
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- 3 -
Chapitre IV
TENSEUR DES DEFORMATIONS
IV.1 Déplacements et déformations
IV.2 Déformations infinitésimales
IV.2.1 Signification géométrique des e-y
IV.2.2 Décomposition de la déformation : rotation et
déformatiob pure
IV.2.3 Déformations pures
IV.2,3.1. Dilatation linéaire dans une direction quelconque
IV.2.3«2. Distorsion d f un angle quelconque
IV.2.3.3
Déformation d'un cube unitaire
IV.2.3.4
Déformation autour d'un point. Eléments principaux
IV.3 Formes particulières du tenseur des déformations
IV.4 Dilatation thermique
Chapitre V
RELATIONS_CONTRAINTES - DEFORMATIONS - TENSEUR_g L A S T T c Î T E "
V.l Loi de Hooke
V.2 Signification géométrique
V.3 Les élasticités forment un tenseur de rang 4
V.4 Notation matricielle
V.5 Thermodynamique de la déformation
V.6 Effet de la symétrie du cristal
V.7 Cas des solides isotropes
Exercice.
Chapitre VI
ENERGIE DE DEFORMATIONJET CRITERES DE RESISTANCE
VI.1 Energie de déformation
VI.1.1 Forme différentielle
VI.1.2 Forme intégrée
VI.1.3 Energie de changement de volume et de changement
de forme
VI.2 Critères de résistance ou de plasticité
VI.2.1 Position du problème
VI.2.2 Matériaux ductiles - Matériaux fragiles
VI.2.3 Critère de Rankine
VI.2.4 Critère de Trèsca~Coulomb
VI.2.5 Critère de Von Misés
VI.2.6 Critère de Stassi
VI.2.7 Courbes et surfaces intrinsèques
VI.2.8 Détermination expérimentale d f un critère
VI.3 Calcul du coefficient de sécurité par le critère de
Stassi
VI.3.1 Coefficient de sécurité et contrainte équivalente
statiques
VI.3.2 Coefficient de sécurité dynamique
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- 4-
Chapitre VII
LES EQUATIONS QENERALES DE LA THEORIE DE L'ELASTICITE
VII.1 Rappels d'analyse vectorielle
VII.2 Equations d'équilibre (méthode de Lamé et Clapeyron)
Calcul des déplacements
VII.3 Méthode des conditions de compatibilité
calcul direct des contraintes. Equations de Beltrami
Exercice.
Chapitre VIII METHODES EXPERIMENTALES D'ANALYSE DES CONTRAINTES
VIII.1 Extensométrie
VIII.1.1 Principes généraux
VIII.1.2 Divers types dfextensomètres
VIII.1.3 Jauges de contraintes
VIII.2 Photoélasticité
VIII.2.1 Rappels biréfringence - Milieux optiquement
anisotropes
VIII.2.2 Principe de l'analyse des contsaintes par photoélasticité : isochromes, isoclines, isostatiques
VIII. 3 Méthodes analogique : analogie électrique
VIII.3.1 Principe de la méthode
VIII.3.2 Signe des contraintes
Annexe I TENSEUR DEFORMATION EN COORDONNEES CYLINDRIQUES ET
SPHERIQTJES
Annexe II MATRICES (s..)
-——•—«—————.
j_ j et_(Ç..)
j_ j POUR LES 7 SYSTEMES CRISTALLINS
Annexe III TRACE DU RESEAU DfISOSTATIQUES ET DETERMINATION DES
CONTRAINTES PRINCIPALES SEPAREES.
++++++++
+
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- 5 ~
MECANIQUE
DES
MILIEUX
CONTINUS
DEpORMABLES
StsaSSSaSSSSSSSSSSSSSSa&SSSSSSSSSSSSS&SsaSSSSSSSSSSXSSSSSSSSSSS:
Première partie : GENERALITES SUR LES MILIEUX CONTINUS DEFORMABLES
INTRODUCTION
= == = = = = =:= = = =
Tous les matériaux soumis à des forces extérieures se déforment. Alors que la mécanique rationnelle n'étudie que le mouvement d'ensemble
des corps considérés comme indéformables ["solide parfait"), la mécanique des
milieux continus déformables a pour but de calculer les déformations dues aux
forces extérieures. Ce calcul ne peut être réalisé qu'à partir de l'observation
expérimentale et, en ce sens, on peut dire que la mécanique des milieux déformables est une branche de la physique, par opposition à la mécanique rationnelle.
Toutefois, cette classification ne doit ias être considérée dans l'absolu et
nous dirons simplement que nous sommes à la frontière de la mécanique et de la
physique. D'ailleurs, ceci est bien illustré par le fait que, dans le cas des
solides réels, on peut considérer que les deux phénomènes mouvement et déformation sont simplement superposés alors que pour les corps liquides ou gazeux
déplacement et déformation ne peuvent plus être séparés distinctement.
Ainsi la mécanique des milieux continus déformables comprend deux branches distinctes : - la mécanique des solides déformables - la mécanique des fluides.
L'observation et l'expérience jouent un rôle primordial en
mécanique des milieux continus. Le fondement physique des calculs théoriques
doit être clairement établi et si la théorie est nécessaire pour coordonner l'ensemble des faits expérimentaux, il est indispensable de vérifier les calculs par
l'expérience. "L'expérience suggère et contrôle" (J. flandel).
Dans ce cours, nous désirons présenter aux élèves-ingénieurs
les théories générales de la mécanique des milieux continus (première partie) et
les appliquer à la résistance des matériaux (deuxième partie).
Nous admettrons par la suite que l'étudiant est familiarisé
avec le calcul tensoriel. Dans le cas contraire, l'étudiant se reportera au
premier chapitre du cours consacré à la notion de tenseur.
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f-1ELASTICITE - MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
— a—as —s—a—=—=-=2-ss —=: —a—a — ss —=:•-=! —a — s—s — =s— ss — = — = —
CHAPITRE I - Rappels - NOTION DE TENSEUR
>
ïo5r2^yp5ï°G :
II est parfaitement possible mais peu commode de présenter la tftéorie
de l'élasticité
sans faire appel aux tenseurs.
Dans le cadre de ce cours, nous ne donnerons pas (essentiellement pour des raisons
de temps) de définition rigoureuse et générale de l'être mathématique appelé
tenseur.
Nous nous contenterons de donner le sens physique des tenseurs dans le cas particulier de l'espace eyclidien à trois 'imensions en axes cartésiens.
Dans le cas de la Physique, la notion de tenseur est intimement liée à la définition de la grandeur représentée et à la façon dont cette grandeur se transforme
dans un changement de coordonnées.
I.1.- Scalaires^ vecteurs, tenseurs de_rang 2
1°) Scalaires : ou tenseur d'ordre 0
Un scalaire est défini par un seul nombre et indépendant des axes de référence
[donc indépendant de toute notion d'orientation). Citons parmi les grandeurs
scalaires : masse, densité, température, volume.
2°) V^Çteurs : ^ar opposition aux scalaires, il existe des grandeurs physiques
très différentes, les vecteurs, qui sont inséparables de la notion de direction :
c'est le cas par exemple d'une force ou de l'intensité du champ électrique, le
grandient de température en un point.
— ->
E, E, E
t
E représentant l'intensité du vecteur. Nous choisirons cette convention.
Nous pouvons désigner un wecteur par
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1-2-
B§orÉ˧Q5?£i9oJdLyQ_vË9ti?yE :
Choisissons un trièdre trirectangle Ox , Ox , Ox . Les composantes du
I
&-
O
vecteur sur les axes [ c'est-à-dire les projections du vecteur sur les axes)
représentent le vecteur en intensité et directions.
E
i
Ë
E2
ou
Ë - [ E I . E2. Ej
E
3
Un vecteur est un tenseur de rang 1 [cf. suite)
Nous supposerons que le lecteur est familiarisé avec fb'analyse vectorieMje.
3
°^ I§o§§yr^d? Eaos_?™!2y_dlordE!L2!
Nous pouvons généraliser la notion de vecteur. Appliquons un champ
électrique Représenté par le vecteur E, sur un conducteur. Il se produit un
courant électrique.
La densité de courant [intensité par unité de surface perpendiculaire au courant]
->•
est représentée par le vecteur j . Si le conducteur est isotrope et si la loi
d'Ohm s'applique, on a
J-tf^F
(13
a « conductivité.
Si dans le système d'axes
j -
On a
[jr J2. J3]
1
2
3
Ox , Ox , Ox
et F - [E.,. E2. Ej
J1 - a ^
J2 - ^
chaque composante de
J 3 = a E3
(2)
j est proportionnelle à la composante correspondante de
E.
Par contre, si le conducteur est anisotrope [cas d'un cristal) la relation entre
les composantes de
j" et de
¥ n'a plus la forme simple de l'équation (2).
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1-3Remargue^: Les cristaux du système cubique forment un groupe particulier dont la
conductivité est isotrope.
L'équation (2) est remplacée, pour les cristaux, par les relations [3_)
J
a
j,
1 ' °11 E1
2 = °21 E1
J
3 = °31 E1 + "32 E2 + "33^3 ,
"Ê
°23 E2 + °23 E3
l [3)
^étabt des constantes.
Chaque composante de
de
°12 E2 * C13 E3 '
J
a
+
+
et J
j
est liée par une relation linéaire aux trois composantes
n'a pâius la même direction que
E . On peut donner aux coefficients
0.. de [3] une signification physique.
Si le champ est appliqué parallèlement à l'axe 1.
ÏÏ «
[E1 , 0 , 0 ] et les équations (3) deviennent (4) :
j
! ' "11 E1 |
J
2 = °21 E1
J 3 = °31 E!
ï
W
J
II y a. donc des composantes de j non
seulement sur l'axe 1 mais aussi sur les
autres axes : la composante dans la direction du
champ est donnée par
transversales par
a
o
f. l
et
et les deux composantes
a .« De façon semblaôl
blé , a2«3 mesure la composante de j parallèle
à x
quand le champ est parallèle à x .
Ainsi la~conductivité d'un cristal est une propriété qui est décrite par neuf
coefficients, que l'on peut écrire sous la forme d'un tableau carré, entre deux
crochets, qui symbolise un tenseur de rang 2*
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A-*
"°11
S2 "13
°21
°22 °23
°31
°32 °33
a.„ sont les composantes du tenseur.
Ainsi, nous avons introduit trois sortes de quantités ;
- tenseur de rang zéro (scalaire) représenté par un seul nombre et indépendant de
tout système de référence.
- tenseur de rang 1 (vecteur) caractérisé par trois nombres ou composantes qui sont
associés à un système d'axes de référence.
- tenseur de rang 2 caractérisé par 9 nombres ou composantes dont chacun est associé
à deux axes (pris dans un ordre déterminé).
La notation introduite traduit bien ces distinctions : scalaire s'écrit sens indice,
les composantes d'un vecteur avec 1 indice, celles d'un tenseur de rang 2 avec deux
indices. Lenombre des indices donne le rang du tenseur
D'une façon générale, si une propriété
T
lie deux vecteurs
ip
s
(p., p0, p.J
I
3
£•
et q - (q , q , q ) de telle sorte que :
P
1 " T11 q l
2 = T21 q i
P
+ T
12 q2 + T13 q 3
+ T
22 q2 + T23 q3
3 ' T31 q1
P
''
C6)
+ T
32 q2 * T33 q3
T^.» étant des constantes, on dit que ï.. représente un tenseur de rang deux.
Un grand nombre de propriétés, en physique, font appel à des tenseurs de rang deux ï
exemple ï conductivité électrique, thermique, perméabilité etc...
4°) Notation des indices muets
II faut simplifier les notations. Les équations (6) peuvent s'écrire :
p =
C7)
i ,*. Tu qj
J
Ci - 1.2,3)
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1-5-
On supprime le signe Z
i "Tij qj U'j *1' 2' 3)
C8)
p
en adoptant la convention d'Einstein ; quand un indice intervient 2 fois dans un
terme monôme, la sommation par rapport à cet indice est sous-entendue.
Ainsi (6),
et i
(7) et C8) sont équivalentes. Dans l'équation Cô), j est dit indice muet
indice libre.
p±
: désigne vecteur
p
^Tp^ P2« P3~]
q.
: désigne vecteur q
Ti.
: désigne tenseur JJ^V]
I.2.- Transformations
Dans ï'équation C6), les valeurs des coefficients T.. dépendent des axes
de références choisis. Cependant, ces coefficients représentent toujours la même
quantité physique : il doit donc exister une certaine relation entre les coefficients correspondant à des systèmes d'axes différents.
Lorsqu'on change le système de référence, seule change la méthode de représentation
de la propriété physique mais la propriété elle-même reste inchangée.
Nous allons déterminer la loi de variation des neuf composantes T.. d'un tenseur
lors d'un changement d'axes,
I.2.1.- Transformation des axes
Considérons un changement d'axes c'est-à-dire le passage d'un système
d'axes trirectangles à un autre trirectanglesayant la même origine. Sur chaque
axe, l'unité de (longueur reste la même. Le premier système est x., x2, x , le
second
x' , x* , x'o"
l
Z.
3
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Les relations angulaires liant les axes sont données par le tableau suivant (tableau
des cos. directeurs).
Anciens axes
X>
Nouveaux
1
X
1
X
2
X
a
l1
a
l2
a
x'2
a^
X<
6
3
31
a22
9
32
Par exemple ; les cos directeurs de x'
a
3
i3
a^
a
33
par rapport à x , x^» xg sont
et les cos directeurs de x^/ x 1 , x 1 » et x'
a±J
s
C9)
sont
a
,a
a
,a
et
et a33- Ainsi s
cos angle ^x^, xj
/%
anciens
nouveaux
axes
Le tableau des a . . est une matrice : désigné symboliquement par fa..J. Les 9
composantes ne sont pas
indépendantes les unes des autres. Vous pourrez d'ailleurs
en exercice établir les relations qui existent entre les cos. directeurs a . . .
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1-7Exercice n° 1 : Relations entre les cos. directeurs de la matrice ( a . . ) .
Montrer que trois quantités indépendantes suffisent pour définir la
transformation d'axes ; cela revient à trouver 6 relations indépendantes entre
fces 9 coefficients a . . . On considérera ; qu'une longueur unité reste égale à 1 et
que 2 axes rectangulaires ont des cos. directeurs nuls."
de KRONECKER
<S. .*
13
Les 9 coefficients
a..
ne sont pas indépendants. Considérons le nombre de degrés
de liberté de la transformation : si les axes
2 angles pour préciser la direction de Ox
1
Ox , Ox_ et Ox
sont donnés, il
faut
[latitude et longitude). Les nouveaux
axes peuvent encore tourner autour de O x '
autour de Ox'
On utilisera le symbole
/I!S:LÏSJ
Lo ii»J
et un autre angie, l'angle de rotation
est nécessaire pour les fixer complètement.Ainsi trois quantités
indépendantes suffisent pour définir la transformation : nous devons donc trouver
6 relations indépendantes entre les 9 coefficientsa...
Chaque ligne du tableau [1] représente les 3 cos. directeurs d'une droite par
rapport à 3 axes orthogonaux Ox., Ox 2 , Ox . On a donc :
a
112
+
9
+ 3
212
3
31
B
iK
+ 9
a
a
V *
222
322
jk
l32
+ 3
233
+ 3
=<
= 1
332
Sl
S
1K
= 1
6
1
a
=
1
- 3
2K
3k
9
1K
9
= 1
2k
= 1
3k
= 1
a
(?)
De plus, 2 lignes successives du tableau CD représentent les cos. directeurs de
2 axes rectangulaires.
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1-8-
Gka a i
a
l1 S21
+ a
i2
3
3
21 331
+ 9
22
3
3
31
a
i1
3
13
3
23
=
°
3
32
+ 3
23
3
33
=
°
=
9
a
2k
3K
°
32 312
+ 9
33
a
i3
=
°
a
3
1k =
3K
°
22 *
+ 3
ou
a
1K
a
JK
1k
»• 0
si
3
2k " °
"
,
i ï j
(3)
Les équations C2) et [3) sont appelées relations d'orthogonalité [ * 6)
On peut les exprimer en une seule équation :
a77~a.. - 6. . |
ik jk
ij I
(4)
fti-j
= «f
^Q
i/j
6 . . * symbole de KRONECKER
_il_
___
»
_
« matrice unité ( ô . J
^
Le même raisonnement peut être fait pour les colonnes mais les relations n'apportent
pas de renseignements nouveaux
Remarque ; propriété de substitution des
Considérons la composante
calculons ô . . p .
De même
(<$. J
p. d'un vecteur
: on a 6 . . p . » p.
p
^ on substitue
j à i
S j j P . * P±
Pour une composante tensorielle T...
:
6..T
6
~ J
ii T ji = T ji
( 6 . J est, pour cette raison, souvent appelée matrice de substitution.
§X§E5Î9§ 0°»? ~ Démontrer, par la notation des indices muets, que le carré de la
iongueur d'un vecteur Fp.l
défini par p.p. est conservé dans un changement d'axes
[une telle grandeur est un invariant)
P P
i i •
a
ji
P
'j
a
Ki P 'k
-
W'k
=
P<
KP'k
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1-91.2.2.- Transformations des composantes d'un^vecteur
-
Considérons un vecteur p
PI^
x
p
i
P
X
3
3
x
ip.
^^
ix.
/^
X>
P
3
p' est obtenu en projetant p., p~
(considérés,
3
et
PS
comme des vecteurs] sur la
' direction x ' ^ .
pj| * pn cos Cx^ x ' n ) + p2 cos Cx 2 , x^) * P3 cos Cx37 x 1 ^
Soit d'après (9)
De nême
P<
1 = ai1 P1 + ai2 P2 + 813 P3
p'2 = a^ p^ - ^ ^ * ^
P>
3
= 3
P
31 1
+ B
P
32 2
+ a
(1D
-1)
C10.2)
Pg
P
t1
33 3
3)
°'
que l'on peut écrire selon la notation des indices muets :
P'± = a
expression des nouveaux
p
p
"
C11)
en fonction des anciens.
On peut faire le même raisonnement pour la transformation inverse : on a alors
P
1
PI
= a
11
P>
1
+ 9
21 P> 2 + 331 P'3
« aj^P-j
expression des"anciens" p
HZ)
en fonction des "nouveaux".
Remarque Transformations des coordonnées d'un point
Les coordonnées d'un r
point
p
X
2
. n
,
.
.
7^7
sont les
composantes du vecteur GP.
X
3
On a donc :
x'
« a.. x.
x
X
i
- 9a X x'
ji J
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C12 bis)
£-10-
!
I«2.4.™ Transformation des composantes d'un tenseur de rang deux
Les vecteurs p et q sont reliés entre eux par les 3 équations (6).
Les valeurs particulières des coefficients T. : dépendent du système d'axes
choisi. Considérons un nouveau système d'axes x' » x' , x' . Les vecteurs p
et q ont pour composantes p'. et q'.. Pour trouver les relations qui existent
entre les nouvelles composantes, nous utiliserons la série d'équations suivantes s
(11)
(8)
(12)
en fonction de
'i = aik "K
P
P
K
= T
kl ql
q
l " ajl q'j
En combinant ces équations i
P'i = aik TK1 9jl q'j = °r P'i=T'ij q'j
| V . . - a.k ajl^T|
soit
k et 1 sont des indices muets* alors que
C13)
i et j
sont des indices libres
[représentés deux fois).
sont
Les 9 composantes définies par la loi de transformation i 'un tenseur de rang 2 ï
équations(13) permettent d'écrire dans les nouveaux axes les relations entre
P'i et q'..
-
Remargue_ï développement de__l^équation (13)
Le développement se fait en deux étapes ï d'abord / indice puis / l'autre
l'ordre étant indifférent.
Développons /l :
T
'ij
= a
ikaj1 Tk1 * 3ik 3J2 Tk2 + 3ik aj3 Tk3
k est un indice muet dans chaque terme.
T
'ij = ai1aja T11
+ a
i2aj1T21 + ai3 aj1 T31
+ a
iïaj2T12 + 3i2 aj2 T22+ 3i3 9J2 T32
* aiiaj3T13 + 3i2 3J3 T23 + ai3aj3 T33
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r-nOn comprend ainsi toute l'économie que représente la notation |des
indices muets . ^3) représente un système de neuf équations, chacun ayan£
9 termes dans son second membre.
Remargue_2 : transformation inverse
On considérera la série p -> p'-> q' •»• q
qui permet d'obtenir les anciennes composantes en fonction des nouvelles
PI = \i pl k
'k " T'ki q'i
| T13 = \i
d'où
q
p
a
lj
T
'i = ai,j qj
C14)
[
'kl
B§mËr9y§_?_i.m9^§0_mQÉm2ϧ9bQi9y§
Dans la transformation (13), où les nouvelles composantes sont exprimées
en fonction des anciennes, les indices muets sont aussi voisins que possible, alors
que dans la transformation inverse (14) c'est le contraire. Il en est de même
pour les lois de transformation vectorielle.
Remargue 4 : le tableau ci-dessous rassemble les lois de transformation d'un
scalaire, vecteur, tenseurs de rang deux et plus ( nous utiliserons le tenseur
élasticité qui est de rang 4). Ces lois de transformation sont d'une importance
fondamentale, car elles forment la base de la définition d'un tenseur.
Nom
Rang
Scalaire
0
vecteur
1
Tenseur
2
Nouveaux en fonction
des anciens
Anciens en fonction
nouveaux
^' « Vf
Y »t'
p± « a j ± P'j
p' ± « a^p^
T
3
T
4
T
V
a
ikajlTkl
a
a
T
V\i
il jm kn lmn
T
'ijkl=aimajnakoalpTmnop
T
'ijk
=a
des
ijk "
a
lj
a
T
'kl
a
li mjankT' Imn
iJKl"amianJaokaplTlmnop
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1-12I.3.- Définition_d^un_tenseur
Les lois de transformation des tenseurs sont d ' u n e importance telle
que nous pouvons les
utiliser comme définition d ' u n tenseur. Déterminons leur
signification profonde,,
Prenons l'exemple du vecteur : on peut dire q u ' u n vecteur est une quantité qui se
transforme dans un changement d'axes selon leë équations ( 1 1 ) «
Cette règle de transformation nous a été imposée par le fait que les 3 nombres Pi
associés aux axes Ox., Ox
I
£.
et Ox
3
sont les composantes d ' u n e grandeur- physique qui
se conserve dans le changement d'axes.
Ainsi dire que les 3 nombres
p. suivent la règle [11) revient à dire qu'ils sont
les coordonnées sur Ox. d ' u n e grandeur physique invariante.
De même un tenseur de rang 2 représente une propriété physique à laquelle on attribue
une existence propre
en dehors des systèmes ci'axes particuliers choisis. C'est la
reconnaissance de cette existence (relation eihtre 2 grandeurs vectorielles) qui nous
a conduit "aux règles (13) et ( 1 4 ) « Inversement on peut dire que quand ces règles
sont respectées, cela signifie que l ' o n manipule "l'être" qui représente une propriété physique indépendante du système d'axes.
Remargue 1 ; différence entre la matrice de transformation (a.1J.) et le tenseur (T. .1
~
~~~~r
-«
L ^J
(a* J et
T. . | sont tous deux des tableaux ^Je 9 nombres mais leur ressemblance se
limite là.'-
^
(a. J est un tableau de coefficients exprimant les relations entre dieux systèmes
1J
F I
T..
est une grandeur physique qui, pour un système d'axes
d s a x e s » Par contre
donné, est représentée par 9 nombres.
Remargue 2 i Tenseurs symétriques et antisyméjtriques
Un tenseur
T. .
"
"
est symétrique si
T. . " T . L
est antisymétrique si
T. . * - T.. =^>ce qui implique que T . . = 0.
La propriété de symétrie et d ? antisymétrie d'Jjn tenseur est indépendante des axes
de référence.
On démontrera facilement que si on a
T
' i j ' aiK a jl \1
T. .
T
a
T..
'ji " b jl
*âs* T 1 . . - T' ..
9
iK T1K "
II
T
T
"KI
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'ij
1-13-
I.4.-
Quadriqueireg résent atiye
Nous donnerons dans ce paragraphe la représentation géométrique °"un
tenseur de rang 2.
Considérons l'équation
S±j x.
Xj
- 1
(15)
où les S.. sont des coefficients
Effectuons les sommations par rapport à i et j dans (15) et posons
S^* S
.
On obtient i
S
11 V
+ S
22 X22 * S33 "s" * 2 S23 X2 X3 + 2 S31 X3X1 *2 S12 X1 X2 = 1
c'est l'équation générale d'une surface du second degré ou quadrique rapportée
à un système d'axes dont l'origine est en son centre. Cette quadrique est en
général une ellipsoïde ou une hyperboloïde.
On peut transformer l'équation C15) dans un nouveau système d'axes en utilisant
les équations (12 bis) donnant la transformation des coordonnées d'un point :
x = a
i
kix'k
x =a
j
aj x 'i
s
ijAi X V \j x 'i = 1
d'où
S'kl x^x', = 1
avec
j S'^ » a^ a^ S^ |
On s'aperçoit que cette loi de transformation est identique à celle d'un tenseur
de rang 2.
Nous avions posé S.. = S... Donc les coefficients S
se
de la quadratique (15)
transforment comme les coefficients d'un tenseur symétrique de rang 2.
Pour savoir comment se transforment les composantes d'un tel tenseur, on examinera
la transformation de la quadrique correspondante (15) qu'on appelle quadrique
représentative du tenseur S^..
Tous les tenseurs de rang 2 (sauf un, le tenseur thermoélectrique) représentant
les propriétés cristallines sont symétriques.
Ainsi la quadrique représentative peut être utilisée pour décrire n'importe
quel tenseur symétrique de rang 2 s en .particulier on peut l'utiliser pour
décrire n'importe quelle propriété cristalline représentéer^par un tel tenseur.
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1-14-
I.4.1.- QΧg9Q§îiËËÏï2Q«^lyQ-!˧O˧yEi~ô^§Ë_GriOEï6Êy^
Sans revenir en détail sur les propriétés des quadriques, on sait qu'elles
possèdent des axes principaux : c'est-à-dire qu'il existe trois directions orthogonales telles que l'équation de la quadrique générale, rapportée à ces axes, s'écri
Vl2
+ S
2 *22 * S3 X32
= 1
C16)
Un tenseur symétrique de rang 2 rapporté à ses axes principaux s'écrira de même :
5 ,S , S
sont les composantes principales du tenseur
6 composantes indépendantes
S.. j
3 mais le nombre de "degrés de liberté" reste
égal à 6 car 3 quantités indépendantes sont nécessaires pour préciser les directions des axes et 3 autres pour déterminer les valeurs des composantes principales.
La comparaison de (16) à l'équation classique
' "T
* b
^2 * c% = 1
a
montre que les longueurs des demi axes de la quadrique
(16 bis
*
sont
1
-——,
1
1
——- j •— —
V£T ^2
VS3
Si S , S , S sont > §, la surface est un ellipsoïde.
Si deux coefficients sont > 6 et le troisième négatif, on a un hyperboloïde à une
nappe C2 sections principales, JLaux axes sont hyperboliques, l'autre étant elliptique).
Si un coefficient est
> o et les deux autres < o, on a un hyperboloïde à 2 nappes :
2 sections principales sont des hyperboles et la troisième est une ellipse imaginaire «
Enfin si 3
< o «^ ellipsoïde imaginaire.
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r-is1.4.2.- Sir^lificatign_dQS_éguations^guand_allas^3gnt-ram8nées-aux
Reprenons l'équation liant le vecteujrp au vecteur p
p
i ' Tu qj
C17)
Si
Mi*!
est
symétrique, on a p.^ » Sjnqi
Si
[S-H 1
est
rapporté à ses axes principaux, (17) s'écrit alors ï
P1 - S1 QI
p2 - S2 q2
p3 * S3 q3
(17 bis)
Si q est dirigé selon l'un quelconque des 3 axes principaux* p est alors
parallèle à q.
I.5.- Grandeurjan^yaleur^absglu^^
Défirtitign ;
0
Si on a une propriété tensorielle du type p.
,*» l'intensitéW S
x * S-M
1
r -ï
J J
—
de la propriété S.. dans une certaine direction s'obtient en appliquant q
dans cette direction et en mesurant P///q , P// étant la composante de p
parallèle à q.
§ÏBrËË5î°Q§_ËGËî^5i9y§l
Considérons l'exemple de la conductivité.
1°) 9§E-£§GB9rt-§y^.§25®?.6EiQ9iS§yï •
de conductivité.
Considérons unedirection
axes
d^ référence sont les axes principaux
&
1. » cos 'directeur
^
>^
>*\
\
<*£?''*
7
c«s directeur » composantes du vecteur unitaire // direction. On applique E
dans cette direction ¥ * C^E, 12E, 13E). Soit d'après (l7 bis^
I s fc^ 1-4 E' a 2 1 2 E '°3 1 3 E - )
La composahte de J., à "Ê est la somme des projectioBS des composantes de J
sur ¥ soit s
L'intensité a
b/ " 112"1E* 12 af + 1 3 <J 3 E
de la conductivité dans la direction 1. est donc î
° - \2 °1 * 122j2 * 13*°3
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(1fl)
1-162) Par_rapgortmà des_axes_guel®gngues
Soient
1^
les cos directeurs de
E. - EI.
J
//
jL-f-J:
E
JAJIJL
E
"
E par rapport aux axes
j. = «r,. Er
"*"
Produit scalaire en notation tensorielle
Dans la direction 1., la conductivité est donc s
• - ^ - y 1 - ^ - -«v,
a « a ± . 1± 1.
05^
MMmTOm r
" ""—i——-»-4
[19) est l 8 expression
générale
^ g j étant 1 cas particulier
L'équation [193 est valable si le tenseur n'est pas symétrique-
1.6.™ Proprietés^géométriques de_la quadrigue représentative
I.6.1.- Longueur du__rayon vecteur
Soit P un point quelconque de l'ellipsoïde a . . x. x.
°P~
'1
2
1
m
1
P
x± - rl±
cas dirj 3
si OP « r
Soit a . . x. x. » 1 » r
D'après
[19) a * -y-
a. .1.1. = 1
r * yW
r
C20)
\/a
Ce raisonnement s'applique à toutes les
propriétés représentées par un tenseur
symétrique de rang 2 l S^. I
1
S «
* _^
r
r
r
«
« -J—
YS
S » intensité de la propriété dans la
direction
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I-"-
Bemarque : si la quadrique Si x^ x. m 1 est un hyperboloïde ou un ellipsoïde
imaginaire, quand les longueurs des rayons vecteurs sont imaginaires, on considérera
alors la quadrique i
U Vj " -1
S
que le rayon vecteur coupe en un point réel et _on aura î
S--4r2
a: I
r--L
Y^T
•* cas de 1'hyperboloïde à 2 nappes : - 1 : est transformé en hyperboloïde à 1 nappe
- cas de l'hyperboloïde à 1 nappe : - 1=^2 nappes
" ou ellipsoïde imaginaire : •» 1 s=à réel
1.6.2.- Progriété_de^la_normale_au_rayon_yecteur
Prenons pour Ox. les axes principaux de
Ë » C^E, 12 E, 13E3
Si P
a...
J - C^^E, a2!2E, a^E)
est un point de la surface représentative du tenseur.
Vl2 + °2X22 + C3X32 = 1
rl
tel que DP soit parallèle à E
:P
1
ri
DP = r
rl
3
L'équation du plan tengent en P.-est :
r I101x1 * tfl2 O2x2 * él3 03x3 - 1
(généralisation de l'équation de la tangente
à 1 ellipse). Les EQS: directeurs de la
normale en P sont proportionnels'1 à :
11V 12 «2. I3o3.
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1-18En effet considérons un point
™°~"5t
x1
X
il
2 du plan tangent * le produit
-»_»»_
?*& • 11
PU . normale doit être nul»
'
soit :
r l a tx^ - rl^J + r!2 ^Cx^ - rl2) + rl3C(x3 - ri ) * 0
Le point
SI
vérifiant l'équation du plan tangent en P, cette égalité est satis-
faite s les cas directeurs de la normale
en P sont donc bien prop
| à l*o*>
l^a
, !„<?„»
La normale en P est par conséquent parallèle à j.
&. j£
d> o
Ge résultat est général ï si p. « S. .q., on peut déterminer la direction de
lorsque
q
est donné en menant d'abord parallèlement à q
p
un rayon vecteur
de la quadrique représentative et en menant ensuite la normale en P
OP
à la qua-
drique.
Remarque ; si on a un point imaginaire, on considérera alors la quadriqdfi S.,
x.x. * - 1
pfînt réel : [normale vers l'intérieur),
I.7.- Diagonalisation d'un_tenseur^ Détermination analytique des axes principaux
dy.ÎËQ?!?yï> lDYËrÎËD£§_dlyn_tenseur.
Nous avons dit au paragraphe 1.4. que l'équation de la quadrique re2
2
présentative
S.,
x.x.
» 1 (S,.
= J1
S..) pouvait 'se simplifier en IS Ix
+ £S £.x
+
,_
JLj
1 J
XJ
Sx
« 1 par un changement d'axes. Aux points d'intersection de la quadrique
avec ses axes principaux, la normale à la quadrique est parallèle au rayon vecteur.
Considérons un point P quelconque de la quadrique : OP I x.. Nous avons vu (propriété du rayon-normele) que le vecteur S..x. est parallèle à la normale en P. Pour
les axes principaux le vecteur S..x. est // à x. : ceci s'écrit :
«J J
J
S
i1 X4 *^xi
(21 )
-
ts
A « C » [21) est un ensemble de 3 équations linéaires et homogènes des variables
x.» Pour que la solution soit différente de x. = Q* le déterminant des coefficients
F ÇA) doit être nul )
PCX] =
S
11-X
S12
S
S
S
S
S
12
S22-X
31
ou
F U) fr I S
- xC,
23
31
S23..
33~
- 0
« 0
Cette équation du Sème degré en X
(22)
X
(23)
est appelée équation séculaire . Les 3 racines
X ! , X", X1^ sont les 3 valeurs possibles de X qui permettent à l'équation (21)
de posséder unz solution ffc de 0. Chaque racine définit une direction pour
laquelle le rayon vecteur de laquadrique est // à la normale! Cette direction e^t
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,
1-19-
UM- <x*«t- ^princw^cu -
Ces trois directions sont perpendiculaires 2 à 2 : considérons 2 d'entrés elles
définies par
X 1 et X". Soient x*• e^ x" „ les 2 rayons vecteurs correspondant?
s
ij *'j • x > *'i ] * *"i
C
«v»l
ij
Multiplions la 1ère par
On a
gg
j
W
x
Vl
*i
x ' J « ( X f - X") x^x^
S j L . C x . x"± - x"
« S
«W»»
*iJ
x". et la 2ème par x ' . et soustrayons
>
Puisque S^
T,»»
A
, le 1er membre est nul donc
x'.x"..^ * °
Le produit scalaire de x ' . et x". est nul : les 2 vecteurs sont perpendiculaires.
QiF§9£î9Q_des_axes jDrincigaux
On résout l'équation (22) par rapport à X „ Avec une des valeurs de
X
les 3 équations
1
(21); S.£. x ' . « X ' x ^ et on détermine les V/^VeurS
On recommence pour
X" : x " ^ , x" 2 * x".
on forme
X ,,* x ' , x'
La 3ème direction est perpendiculaire aux
2 autres.
t-9QSy§yr_^§:!_ axes grincigaux
S^. x ' . » X ' x 1 .
S
î1
x
'*
x
i *
*'
multiplions les 2 membres par x 1 .
x
'ix'i "
1
x
'i
étant yn ra
La longueur du rayon vecteur correspondant à
y°n vecteur.
X'
est donc :
\/rr~TT\ » 1
W * x *) ' yjr
Les axes principaux ont pour longueur
donc
s
- X1
1
——
1
—
1
-r--^—
K \FT V^I
S2 - X M
S3 -
X'"
(24)
Les 3 racines de (22) sont égales aux 3 coefficients principaux S , S , S,..
•
£. «3
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I-Ao-
Semargue ; moyen mnémotechnique : si la quadrique est déjà rapportée à ses axes
principaux, l'équation séculaire est alors :
s1 - x
0
0
(S^ X)
CS2~ X)
o
o
S2~ X
0
0
« 0
S ™ X
«3 •
(S3- X) * 0 dont les racines sont évidemment S , S , S .
'Invariants d ' un tenseur
L'équation séculaire (22} permettant de diagonaliser le tenseur s'écrit
si on la développe
-fc 3 + I1 X2 - I2X
* I3 = 0
avec ^ - S.. - S^ * S22 + S33
X
2 ' ^
= S
[S
iiSJ3 -SiJ2)
11S22^ S22S33* S33S11 - S^ S^2- S^2
I- = I S. .
o
j ij
=
déterminant de la matrice des S. ..'
ij
Cette équation doit conserver les mêmes racines si on change d'axes puisque
les valeurs propres sont constantes (axes principaux du tenseur ^ leur longueur étant égale aux racines]. Par conséquent I.. 1 et !„ sont les trois
invariants d'un tenseur.
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u-"i -
CHAPITRE
II
CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX
ESSAIS FONDAMENTAUX
II-1. -
Essai de traction
L'essai de traction consiste à soumettre un échantillon à
des contraintes longitudinales qui tendent à l'allonger ou même à le casser.
On trace ainsi un diagramme effort-déformation.
Dans une machine de traction, les extrémités de l'éprouvette
sont solidaires de deux traverses rigides : l'une est fixe, l'autre est rendue
mobile par un dispositif à vis ou hydraulique. Une vitesse de déplacement constante est imposée à la traverse mobile et on mesure la charge à chaque instant
grâce à des capteurs électriques ou à des dispositifs mécaniquesou hydrauliques.
Les variations de la charge F en fonction de l'élongation AL = L - L
sont me-
surées : on obtient ainsi une courbe de traction.
L'essai de traction doit être réalisé dans des conditions précises, sur des éprouvettes normalisées. On utilise très souvent des éprouvettes cylindriques dont les
extrémités (têtes) de diamètre supérieur sont raccordées à la partie utile (corps)
par des congés de grand rayon (fig. 1).
La forme générale d'une courbe de traction est indiquée par la figure 2.
Elle se compose de deux parties s
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- zone^l^ : zone élastique (zone OAB)
le solide reprend son
état initial dès que la charge est supprimée. Dans ce cas la transformation est
parfaitement réversible : la relation effort-déformation est univoque.
La courbe OB est constituée de deux parties :
- une partie rectiligne OA (pour une charge <^ F.)
- une partie légèrement courbée AB (pour une charge F-^F^F ]. La partie OA est
A
B
dite zone d'élasticité linéaire et F. est la limite d'élasticité proportionnelle.
A
La partie AB est dite zone d'élasticité non linéaire et F0 est la limite d'élasD
ticité.
RejïTarqu£ : la signification de ces limites est toute relative car elle dépend de
la précision des mesures.
- zor\è_2_ " (zone B0E) zone plastique s lorsqu'on supprime
l'effort9 l'éprouvette ne revient pas à son état initial mais garde une déformation permanente ou plastique.
Si on fait croître la charge jusqu'en C puis si on fait décroître, on décrit la
courbe CD', 00' représentant l'allongement permanent. La courbe CO' est pratiquement parallèle à la courbe OA. Si après cette expérience, on procède à une nouvelle charge on constate que la limite élastique du matériau F_ est plus grande
que précédemment ^^r)* C'est le phénomène d'écrouissage ï la limite élastique
a été augmentée mais le matériau est plus fragile.
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It- 3 -
Dans la zone BD, les allongements sont répartis uniformément dans l'éprouvette
(plasticité répartie) alors que dans la zone DE, les allongements deviennent localisés ï la déformation a lieu dans une région très limitée de l'éprouvette dont
la section diminue rapidement ; c'est le phénomène de striction ou plasticité
localisée (fig. 3).
La striction précède de peu la rupture qui
a lieu dans la section la plus réduite en S
pour une charge ultime F F «
En fait la rupture commence en D et la charge
Fn est appelée charge de rupture ou charge
maximum.
Figure 3
II.2 ~ Essai de compression
Dans l'essai de compression peut apparaitre le phénomène de
flambage pour les éprouvettes longues Cfig. 4). On dit qu'il y a flambage quand
sous l'action d'un effort axial une
éprouvette fléchit. Pour éviter le
phénomène de flambage, il faut que
le rapport longueur sur diamètre
soit petit. En général, la longueur
ne doit pas excéder 3 fois le diamètre .
Mais dans ce cas le rôle des faces- d'appui devient important : la dilatation
des extrémités de l'éprouvette est gênée par le frottement entre les extrémités
et les plateaux de compression (problème de la liaison d'extrémité). Ainsi les
extrémités de l'éprouvette de compression ont tendance à garder leur diamètre
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Jt-4 initial alors que la section centrale se dilate donnant à l'éprouvette une forme
de tonneau (fig« 5).
II.3 - Essai de torsion
Ce type d'essai permet essentiellement de déterminer les
caractéristiques des matériaux aux grandes déformations. En effet, dans le cas de
la torsion, il n'y a pas de modification de la forme de l'éprouvette et par conséquent la striction n'existe pas*
L'essai de torsion consiste en la mesure de la déformation angulaire a
tion du couple C appliqué aux extrémités du cylindre C.fig.6).
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en fonc-
JE- 5 -
Le diagramme de torsion a l'allure indiquée par la figure 6. On remarque les
mêmes domaines qu'en traction :
- les déformations sont d'abord proportionnelles au couple i c'est le domaine
élastique. La longueur du cylindre L est constante.
- les déformations deviennent ensuite permanentes ; c'est la zone plastique.
La longueur augmente très légèrement alors que le diamètre de l'éprouvette subit
une légère diminution.
Il faut remarquer que tous les points décrivent des arcs de cercle même dans le
domaine plastique. Dans l'essai de torsion, la déformation n'est pas homogène :
elle est nulle sur l'axe et maximale sur la surface. Pour avoir une déformation
homogène, on utilise parfois un tube à paroi très mince. Mais les difficultés
pratiques d'usinage et les phénomènes de flambage rendent difficile ce genre
d'essais.
II.4 - Notion de contrainte
II.4.1. - Définition
Un solide est en état de contrainte quand il est soumis à
l'action des forces extérieures.
Un élément de volume à l'intérieur d'un corps en état de contrainte est soumis
à deux catégories de forces :
1 - les forces de volume i dues à des champs de force (comme, par exemple, la
pesanteur) qui s'exerce sur tous les éléments de volume. Les forces de volume
sont proportionnelles au volume de l'élément.
2 - les forces de surface : exercées sur la surface de l'élément par le milieu
qui l'entoure. Elles sont proportionnelles à la surface externe de l'élément.
La force par unité de surface est appelée "contrainte".
Considérons un corps en équilibre soumis à l'action de forces
extérieures F., F« ... F.
Sous l'action de ces forces extérieures, des
forces intérieures vont prendre naissance. Pour étudier la grandeur de ces forces
en un point quelconque P, séparons le corps en deux parties I et II par un plan
quelconque ir passant par le point P. Considérons l'une des parties I.Cfig 7).
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Figure 7
Elle est en équilibre sous l'action des forces extérieures qui lui sont appliquées
et des forces intérieures réparties sur la section transversale (S) du corps par
le plan ir qui représentent l'action de la partie II sur la partie "T. On admet
que ces forces intérieures sont réparties d'une manière continue sur la surface CS).
Si on considère un élément de surface dS appartenant à la section (S) et passant
par le point P, les actions exercées par la partie II sur la partie I à travers
dS ont pour résultante dF«
La limite de (—1 quand dS tend vers 0 donne la contrainte agissant sur la section
(S) au point P.
contrainte au point P sur la facette dS
dont l'orientation est définie parla normâle -^
n à la facette (la normale est
orientée vers l'extérieur de la partie
isolée I),
Une contrainte est une grandeur vectorielle. On a l'habitude de décomposer la
contrainte en deux composantes [fig. 8) s
composante normale de la contrainte ou
co n t r ai n t éj^hormàj^ (tr/>0 correspond à
une tension, CT<0 à une compression),
composante tangentielle de la contrainte
ou contrainte tàngéhtielle (ou de cisaillement) ou cij3sic3n.
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ff- 7 -
L'équation aux dimensions d'une contrainte est
^
- n L~V2
Z
L
L'unité de contrainte du système international est le Pascal (symbole Pa) :
^77^7
1m
On utilise couramment comme unités ï bar et hectobar :
bar
. da| . 1(J5
pg
cm
1hbar
, daN
mm
m 1Q7 pa
On exprime encore les contraintes en Kgf/mm
g = 9,81 m/s2
soit sensiblement
1 Kgf/mm
:
1 Kgf/mm2 = 9,81
106 Pa
^ 1 hbar
II.4.2. - Equilibre - Réduction des forces extérieures
Quand on réalise une coupure dans un solide comme précédemment,
la partie isolée reste en équilibre sous l'action d'une part des forces extérieures
qui lui sont appliquées et d'autre part des actions de contact identiques aux actions
de la partie enlevée. Le corps étant en équilibre, le système des forces appliquées
à la partie isolée est donc équivalent à zéro. Ce système comprend :
- d'une part le système des forces extérieures appliquées à la partie isolée
- d'autre part le système des forces appliquées dans la surface de la coupure (soit
le système des contraintes dans cette surface).
Ces deux systèmes de forces sont donc opposées. Si on réalise leur réduction en un
point, leurs résultantes sont opposées et leurs momente résultants par rapport à ce
point sont opposés.
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jr-lAinsi pour étudier lea contraintes dans une section d'un corps, on effectue la
réduction du système des forces extérieures appliquées à l'une des parties isolées
par la section, cette réduction étant généralement effectuée au centre de gravité G
de la section Cfig. 9).
Figuré 9
Si R est la résultante en G des forces extérieures appliquées à la partie
(I),
on appelle s
- la composante normale à S : N i résultante normale ou de traction ou effort
longitudinal
- la composante tangentielle T ; résultante tangentielle ou de cisaillement
ou jgffort tranchant
Si M est le moment résultant en G des forces extérieures appliquées à la partie CI),
on appelle :
- la composante normale : M. : moment de torsign_
- la composante tangentielle i M
2 moment de flexion
II«4.3. - Quelques exemples
1
^'Traction î Soit une pièce travaillant en traction simple
c'est-à-dire soumise à ses extrémités A et B à deux forces opposées F et -F
Cfig 10).
Considérons une facette S perpendiculaire à l'axe de traction z séparant l'éprouvette en deux parties CI) et
(II).
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•Or 9 •
Effectuons la réduction en G centre de gravité S des forces extérieures appliquées
à la partie I.
Ces forces se réduisent à -F •
On aura N = -F s valeur algébrique sur l'axe z de l'effort appliqué sur la partie
isolée I.
T =0
Mt = 0
Mf - 0
L'équilibre de la partie I soumise à la force F et aux contraintes dans la section
S implique que la résultante des contraintes soit égale à -N et que le moment
résultant par rapport à G soit nul.
Ces conditions sont vérifiées par un système de contraintes normales (T = 0) et
uniformes.
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H- "ib "-
")
2/ Torgj.£n^j^nj&ube^
On dit qu'il y a torsion pure si la réduction des forces
extérieures est telle que seul le moment de torsion n'est pas nul. C'est le cas
des sections droites d'une pièce cylindrique soumise aux extrémités à deux couples
opposés. On procède de la même manière que pour la traction tfig. 11).
Les forces extérieures appliquées à la partie I se réduisent à un couple -C :
N = 0, T = 0, M = -Cs M = 0.
L'équilibre de la partie I implique que le système des contraintes ait une résultante nulle et un moment résultant par rapport à G égal à -M , On fait les hypothèses suivantes i
1 -Dans la section S, les contraintes normale a sont nulles (il n'y a pas de déplacement axial de la section) et les contraintes radiales sont nulles aussi car
la section reste de grandeur constante (ceci découle de l'observation expérimentale). Seules existent les contraintes T normales au rayon vecteur.
2 - On peut admettre'dans le cas d'un tube mince que T = cte.
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ff- 11 3 - Torsion d'une barre p3.ej.ne
La contrainte n'est pas homogène : elle est
nulle sur l'axe z et maximale pour r = R
On peut admettre que :
T s Kr
L'équation d'équilibre est donc :
Jr rdS + M = 0
S
K Jr2 dS * Mt « 0
S
dS = I
/
= moment d'inertie de la section par rapport à son axe au moment
G
d'inertie polaire de la section
k
= -V<L
X
G
. 1
soit
T=
*G
c r
r =—
IPG
IpG
"Ç
-—
1
II.5. - Notion de déformation
II.5.1. - Dilatation linéaire unitaire
Considérons un essai de traction. Au cours
de l'essai, la longueur entre deux sections
augmente s on définit la dilatation linéaire unitaire dans la direction longitudinale par le rapport (sans dimension) :
L^L. L"U'°-....ct..,.^
L
L
o
L
L'
o
Dans la direction transversale :
•rrD- irD^
D - BA
û
û = AjD__
=
~~W
D
D
&
C
T
O
0
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0
o
H - 12 -
Si on conaidère un carré de câté unité dont le plan confient l'axe de traction,
il se déforme de la manière indiquée par la figure 14 ;
~2277™7~\
T çL -> ,->
//// / n
///f/
Figure 14
4 ^J< £T<o
On a e, = —
L 1
e
= AL
= AD
Remarques :
1 - Quelle que soit F, dans le domaine élastique, on remarque que
D-D
o
e
D
_ = ™-™__™____-_~___. _ Qte = - v
£
,
L~L
L
o
____
o
soit
v - - —
E
L
»_____
v est le coefficient de Poisson
(v 2> 0,3 pour l'acier)
2 - Le volume de l'échantillon est V * —4
x L
La variation relative de volume est égale à —
V
8olt
soit
^
*-V
.- 2AD
V
D
o
—
V
o_
+
= -^ + —
D
L
AL . . ^
L
o
L
L
= (1 - 2v) e.
L
q
^
si v = 0,5 : le corps est incompressible.
Donc le volume d'un acier en traction augmente dans le domaine élastique Cfig 15).
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Figure 15
II.5.2. - Glissement
Considérons le cas de la torsion d'un tube
Cfig 16). Sous l'action du couple de torsion,
le déplacement d'une section droite est uniquement une rotation cX, autour de son axe et
proportionnelle à £a distance à la section
d'encastrement [section de référence).
On appelle déformation relative en torsion 9
la rotation par unité de longueur :
e . Jï. . _£' . cte
L
o L'o
Si on considère un parallélogramme unité, le
glissement relatif ou glissement par unité de
longueur du cylindre est l'angle de l'hélice
formée par les points d'une génératrice initiale du cylindre.
(glissement ou distorsion)
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II.6 -
Diagrammes fondamentaux
^ ~ Traction^ ; A partir de la courôe conventionnelle [F, AL)
obtenue comme indiqué au 5 II.1, on peut
tracer la courbe donnant la contrainte
vraie en fonction de e .
a
= contrainte conventionnelle = —
s
F
°
a = contrainte vraie = —
S
Le domaine élastique linéaire est caractérisé par la pente de la droite E module
d'élasticité longitudinale ou de Young.
o = eE
loi de Hooke pour une contrainte uniaxiale.
Acier E ±? 21.000 hbar.
Remarque
si ae ££21 hbar, l'allongement unitaire ee correspondant est égal à :
—
.— — i
e
6
= 2£ * 10~3 = 0,1%
E
On définit
a la limite de proportionnalité
a1
la limite d'élasticité
Pour les métaux usuels, a e Ci a 1 e
Souvent, il est difficile de définir la limite élastique car elle n'apparait pas
toujours comme un point particulier sur la courbe de traction (cf. physique des
matériaux). On définit alors une limite élastique conventionnelle à 0,2 % qui
est la contrainte provoquant un allongement permanent de 0,2%.
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On trace le diagramme contrainte-glissement à partir de la courbe de torsion
(pour un tube par exemple).
T
T'
est la limite de proportionnalité au cisaillement
e
est la limite d'élasticité au cisaillement
En général pour les métaux T £^T'
e
e
Le domaine élastique est caractérisé par la pente de la droite qui est le module
d'élasticité transversale ou de Coulomb G
T = Gy
loi de Hooke pour une contrainte tangentielle
Acier : G £? 8000 hbar
Remarques :
V Nous verrons par la suite que les 3 constantes élastiques E, G, v ne sont pas
indépendantes. Il existe en effet entre ces 3 constantes la relation
G-
—^~
2(1+v)
2/ Te et ae sent aussi liées par l'intermédiaire des critères de résistance,
3/ Dans le domaine plastique, il existe une liaison entre les courbes fondamentales
de traction et de torsion. En effet, on peut établir une courbe générale d'écrouissage. De plus, la loi de Hooke n'est plus valable dans le domaine plastique. Elle
doit être remplacée par une loi plus générale (loi de comportement).
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a*- aCHAPITRE
TENSEUR
DE
III
CONTRAINTES
III.1. Définition - Notations - Contrainte sur une facette quelconque
Considérons à l'intérieur d'un corps un parallélépipède infiniment
petit autour d'un point P et d'arêtes parallèles aux axes de coordonnées rectangulaires Qxj. Ox^, Ox0lfig.1).
Sur chaque face du parallélépipède, la matière exerce une force qui peut être décomposée en 3 composantes. Si on considère une
face perpendiculaire à l'axe Ox., on a les
composantes de contrainte ï
-a., parallèle à l'axe Ox : contrainte
1
ï
normale
-021 parallèle à l'axe Ox2 )contralnte de
-a
parallèle à l'axe Ox« ) cisaillement
^1
^ .
On peut adopter la même définition pour les faces perpendiculaires à l'axe OxL
et à l'axe Ox'w. On définit ainsi 9 composantes de la contrainte autour du point P
que l'on peut désigner d'une façon générale par a
. a étant la composante
selon l'axe Ox*. de la contrainte qui s'exerce sur une face du parallélépipède
perpendiculaire à l'axe Ox .
a représente la contrainte exercée dans la direction +0x. par la matière qui
se trouve du côté sfeOx sur la matière «ui se trouve du côté -Ox..
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m- 2 On adopte la convention de signe.suivante :
a ..^ 0 correspond à une tension
a .. ^ 0
. •
compression
a .. représente les composantes normales de la contrainte
o . (± £ j) représente les composantes de cisaillement (ou tangentielles)
Remarque i sur la face perpendiculaire à Ox. mais orientée par l'opposée de 1,
on a - cr.,., - cr * - a^. [action et réaction)
III.1.1. Caractère tensoriel des a..
Nous allons maintenant montrer que les composantes des contraintes
a., forment un tenseur de rang 2. On a.-vu qu'un ensemble de grandeurs T.. liant
deux vecteurs p. et q. par une équation de la forme :
P^èl^q. -T l j q j
CD
j
obéissent à une loi de transformation tensorielle et forment donc un tenseur de
rang deux.
Il faut donc montrer que a.. lient bien 2 vecteurs par une équation de ce type.
Considérons un solide en équilibre soumis à des contraintes.
Soit à l'intérieur d'un tel solide un tétraèdre élémentaire RABC (infiniment
petit) et étudions son équilibre (fig. 2).
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3H - 3 -
L'orientation de la face ABC du tétraèdre est définie par sa normale n (vecteur
unitaire dirigé de l'intérieur vers l'extérieur) dont les cosinus directeurs sont :
-*n "n1
2
"3
Sur la facette ABC s'exerce une force égale à J x S [ABC) (force exercée par la
matière située du côté ^0 sur la matière située du côté '^0).Les forces qui
s'exercent sur les 3 autres faces sont représentées par les composantes des contraintes «•. . : les forces de volume (poids, inertie) du Sème ordre peuvent"être
négligées par rapport aux forces de surface précédentes qui sont du 2ème ordre.
Le tétraèdre étant en équilibre, il doit être soumis à un ensemble de forces équi.,-*•
valent à zéro : la résultante p> F et le moment résultant doivent être nuls.
£T-^
& £F - o
*-
Suivant l'axepx,., cette équation s'écrit :
X^ = 0^ BPC + 012 APC + 013 APB
Aire (BPC) = Aire (ABC) x n
Aire (APC) = Aire (ABC) x r\2
Aire (APB) - Aire (ABC) x n.
o
Soit Xl - o1ini • O12n2 * a13n3
de même pour les axes Ox et Ox3 i soit
X
2lnl
+C
3 = C31n1
+ a
2
X
= C
22n2 + °23n3
32P2 + °33n3
soit en notation indicielle
3
X
i *
2 aijnj ^ Qijnj
J-1
(2)
i - 1à3
Les 0 lient donc les vecteurs X. et n. selon une relation
linéaire identique à l'équation (1). Ils forment donc un tenseur du second ordre.
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m - 4La relation (2) pentiet donc de calculer les, contraintes pour une facette d'orientation quelconque à partir des composantes <f ., La connaissance du tenseur des
contraintes or. . suffit donc pour déterminer complètement l'état de contrainte
autour du point P.
Remarque i
Présentation matricielle de l'équation C2) i
f=U
X
°12
°13
°ij^ a 21
°22
"23
CT
°33
4- JlJgjggDJ résultant - 0
n
-
n2
[n]
|n3j
°11
f^J12 f a l
^=
3j
°31
On a donc
-0]
32
=
f°]
I
(fig. 3).
PA2 - 12
Gg2 - !2/3
PA3 , 13
Gg3 - !3/3
El
a
11
a
°21
G
I2 22
a
Q
31
Soit G le centre de gravité de ABC et g
a
g » g
l2
32
a
13
f- a 23
a
33
ses projections sur les faces
PBC, PAC et PAB respectivement. L'équation du moment par rapport à G s'écrit
[dans le cas où il
n'existe pas de champ de moments ) :
_*.
—^
—*> -ï
—$> —^
" Gg1 A f f a i r e PBC) - Gg 2 Aj 2 Caire PAC) - Gg3 A^ Caire PAB) « 0
—> -^
—-> -5>
-î> -^
soit S n d ( G g l A J^ * Sn2 CGg 2 AÏ 2 ) * Sn3 (Gg 3 AÎ 3 )
«0
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1H.-S-
Swivant l'axe PoC^Wla :
—*
G
T*
SiA*i*°
12
/
-^
Gg
•?
1
-=» T5
2
1
3
l
cr
G
= >
a
2 A! 2*7 32 / S3A/3 5 - 3 - 23
13
soit Sn2 —,-c32 - Sn3 — ^ = 0
J2
or Sn —
2
3
13
!
• Sn_ —
3
3
= V = volume du tétraèdre [•=• base x hauteur)
3
d OÙ g
' | 23 = q32
De même suivant les 2 autres axes
C
31
=
°13
°12 " °21
°1J * gjl|
C3)
II y a réciprocité des contraintes tangentielles. Les o*^ * forment donc un
tenseur symétrique.
Remarques; 1/ Cette propriété découle du fait qu'on suppose qu'il n'existe pas
de champ de moment (par exemple une action magnétique). Dans le cas contraire,
le tenseur des contraintes n'est plus symétrique.
2/ Interprétation physique (fig, 4)
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Df -6 -
Exgrclce^ • Relation de Cunchy
Montrer que si l'on considère deux facettes passant par le
—=> —> -p> —^
même point de vecteurs contraintes et de normales respectives ® tra et » ,, n',
-*
"
on a T*-f
è e n' « «3>
é .
«n
In
'n1
III.1«2. Calcul des contraintes normales et tangentielles
Contrainte normale (F*nn
a
nn
C
nn
=
fn'n
=
CT
°nn
=
°1lnl2
+ a
22 n 2 2
+ a
33n33
l"l
+ X n
22
+ X n
33
= X n
i i
n n
iJ(
=
= X
ij
°11 n ^°12 n 2 n l " q l 3 n l n 3 * "•
+ 2
°12n1n2
+ 2a
23n2n3
+ 2
°13nin3
C4)
Présentation matricielle
\^\ fn) -ftW
(4-J
ann .
(
^ fa] [n]
C'est la forme quadratique associée à la matrice symétrique faj et développée par
rapport au vecteur n.
Ccmtr'ain11e
taing;eintie
11 e i T T\\. contrainte tangentielle quelconque
obtenue par
—_„,..,.,,. ..„.,,. ., .,„„.,„
__, „,..„.„„ .,„. „
—^
jrojection sur une direction t du plan dS.
«$ —£ ««^
\, t, t', forment un trièdre trirectangle.
j^
-,
; t
t et t'
:
sont perpendiculaires à n
nt =T'rC Vl * X2*2 + V3 ' Xiti - "ij-j*!
^
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-ffn - 7 -
T
T
nt
=
Ca
11P1 * °12n2
nt
=
"nVl
+
+
+
°13n33 *1
+
"22n2t2 * "saVs
"•
+ a
12ln2*1
+
"1*2'
+
•°23Cn3V Vs'
"nln<h + "3*1'
Présentation matricielle
v-WW-WWfnJ
C'est la forme polaire associée à la matrice symétrique fal
—* ^>
*- J
rapport aux vecteurs n et t.
Remarque : la contrainte de cisaillement totale est T
et développée par
2
2
T2 = I
* -a
•*n
nn
III.2. - Répartition des contraintes autour d'un point
III.2.1. - Quadrique de Cauchy. Eléments principaux en P
En un point P et pour un élément de surface dS de normale n, on
peut représenter la valeur de-la, contrainte normale cr en portant sur la normale
nn
positive un vecteur Cfig.6) PQ de longueur :
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3fl- & -
I
Le lieu géométrique de l'extrémité du vecteur PQ est donné par :
r
S
V~
1
°"CT11X12+ff22X22+a33X32+ 2ai2X1X2 * 2<T23*2*3 *2ai3X1X3
=
-1
Le signe + correspondant au cas où cr est positif
M
Le signe
"
négatif.
C'est l'équation générale d'une quadrique rapportée à un système d'axes dont
l'origine est en son centre. Cette quadrique est soit un ellipsoïde soit un hyperboloïde (se rep3rter au f 1.4). La quadrique de C^fêfehy n'est autre que la quadriqu
représentative du tenseur des contraintes ou quadrique des contraintes, dont l'équation en notation indicielle est ï
"uVj = :1
(7)
Rapportée à leurs axes principaux (cf. § 1.4.1) j l'équation de la quadrique
s'écrit :
Vl2 * V22 * a3X32 = i 1
Les demi-axes ont pour longueur •
1
1 1
, ——, ™z^>
K V^ V^
<o.
cr s a_ et a
1 2
3
pouvant être ^ 0 ou
cr , a et a sont les contraintes
jjrincipales et les axes principaux sont les
•
*3
~""'"~-~"ji •
""""
j^rggtj^rg_prj.ncipale^ des contraintes.
Les axes principaux de la quadrique sont des directions privilégiées : ce sont
les normales à des éléments qui sont soumis uniquement à une contrainte normale.
La recherche des directions et de£ contraintes principales revient à trouver les
directions telles que (cf. 5 1.7).
-r>
"
k*^3
.^^
^
Aff
11'
soit en écriture tensorielle :
a..n. = Xn. (8) ou (a.. -X è.J n = 0
lj J
1
Stv Ai = n.
0 -Q
!
3.J
XJ
J
è. . = symbole de KrCtnecker (cf. § 1.2.1)
1J
a^ =|1 si i = j
(0 si i ^ J
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itc- 9 ~
En écriture matricielle :
(JVJ - X[l])
ri
[n]
* 0
(8)
f 1 0 0'
[11 = matrice unité =
010
001
•
On reconnaît la recherche des vecteurs et valeurs propres d'un tenseur
wn hrivuT*
Pour qufil y ait une solutioriVil faut que le déterminant de
([aj - X fil ) soit nul (ou le déterminant de ( a.. -X6^.). En
développant, on obtient une équation du 3ème degré en k (équation séculaire) dont les 3 racines X.,X
sont toujours réelles car a..
0,X,
1
c.
3
1J
est symétrique : on a cr = X , a^ = X , a, = X,.
Les trois directions propres correspondantes forment un trièdre
trirectangle qui sont les directions principales des contraintes.
Leur détermination se fait en résolvant le système (8) pour chaque
racine de X :
(a11 -X) n1 + ai2n2''''+ 013n3 = °
a
!2nl +
^
(a
22 -X)n2 + a!3n3 = °
a
!3nl * °23n2 + (a33 ~X)n3= °
2
2
2
avec n. + n p + n"5 = ^
Le tenseur des contraintes ramené à ses axes principaux s f é c r i t :
1
r i l'^" ° °1
K.U 0^2 o
l
1J
J
L 0
0 «3 J
Remarques : l/ La propriété du rayon normal de la quadrique (§ 1.6.2
et fig.6) permet de déterminer la direction de la force résultante
^ndS appliquée à l'aire dS.
a
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5£r w~
-à*
On mène parallèlement à ri^ le rayon vecteur de la quadrique de
longueur r5 il coupe en Q la surface de la quadrique. La direction
de «pfn est donnée par la normale en Q à la quadrique. Evidemment,
\
-»*»
-2»
si Q est sur l'un des 3 axes principauxs é est parallèle à n : il
n'y a pas de composante de cisaillement.
2/ Si le tenseur des contraintes es$ ramené à
ses axes principaux, les contraintes normales et tangentielles deviennent :
f°nn
= c n 2
l l * °2n22
+
W
)
T
(9)
=
+
n t
+
n t
1 nt "iVl °2 2 2 °3 3 3
n , n^, n^ étant les cosinus directeurs de la normale par rapport
aux axes principaux et t.5 t^s t, celles de la tangente t.
3/ Casparticuliers
" °1 = °2 * a"5 :la <lua(ir:i-clue des contraintes est de révolution autour
de l?axe <T^» Dans le plan ®« G2 * ^a sect±on de la quadrique est un
cercle : toutes les directions de ce plan sont principales.
" al = 02 =a^ la (îuadr^(îue est une sphère. Toutes les directions
sont principales. Un tel point est dit point singulier.
III.2.2. - Les invariants de a., (cf. § 1.7)
On a vu que la recherche des directions principales conduit à la solution de (a..
- Xô..)x.
= 0
ij
ij j
II n'y a des solutions que si •la..
ij - X6..
ij I
i = 0
11 "X
_
a
!2
C
a
°23
0
soitià =
!3
12
°13
,
_
C
X a
23
2 2~
a
=0
33"X
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HT -11 -
où -X 3 + I a X 2 » I 2 X + I 3 = 0
Développons A :
A
= (a1± -X)
/rr
\A
r (:» ' 2 i - * K
f
|^(a -X)Y~a
22
* a!3 [a12 a23
23
- a!3
I
= aii = a al + a22 + a
I
est invariant linéaire
X
2
a
=
\
(
a
22 Q33 " a23
33 all " a!3
("33 "*> - "13 a23
1
22 "X >1
= trace du tenseur a^.
=
°11 "22
+<I
22 °33 * a33?ir(<I122+C132+a232)
= m
^neur ^elatîf à a
=
a
"
2
a
2
(<T
°ii °JO ' °iJ2)
ll a22 " Q12
12
..
=
ll V I
a0/.
= é. mineurs relatifs
aux termes diagonaux
22
I2 est 1*invariant quadratique
I
a
j
=
a
n • I = déterminant de la matrice des a..
| ij J
J-J
= a
I
ll a22 a33+2Î2 a!3 a23 "all a232 " 022 a!3
"°33a12
est l1invariant cubique
Nous rappelons (cf; § 1.7) que I , I et I sont des invariants car
si on part d T un autre système d'axes, le tenseur des contraintes est
a'., et l'équation séculaire s'écrira :
ij
- X 3 +If!x2 ' II2X + I!3 = °
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-jpC
- 12 -
Mais on doit retrouver les mêmes contraintes principales tf-jjcrpjtf*
donc les mêmes racines de lféquation séculaire (seuls les cosinus
directeurs des directions principales sont différents ) ; ceci implique donc que 1^ = I 1 ^, 1^ ™ I f 2 et I_ =
Par rapport aux axes principaux
*1 = °1 * °2
+
I*.
°3
\ ^2 = Œ1CT2 + a2a3 + °r3al
I3 = a1 a2 a3
III.2.3» ~ Ellipsoïde de Lamé (fig. 7)
Considérons lfextrémité F du vecteur contrainte sur un élément ds
~>>
défini par sa normale positive n. Prenons pour axes de coordonnées
les axes principaux a-t^c^scr-z'
Le point F a pour coordonnées :
j xi = *ini
j X2 = o2n2
I X3 = a3n3
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-ICC - 13 Le lieu géométrique de F lorsque ds décrit tout l'espace autour du
point P est :
?
n.
1
?
2
Y*"
A
?
+ n0 + n, = 1
soit
3
.Y
.Ap
Y
^
.A_.
-±- + -^ + ~2~ = 1
-l2
^22
°32
C'est un ellipsoïde rapporté à ses axes principaux, dont les demiaxes sont jaJ3 \°2\ e^ 1 ^l *
C'est l'ellipsoïde de la propriété définie au § 1.9.
III.2.4. - Recherche des éléments principaux quand
on connait a priori une direction principale a^
- 1 - Formules de bases (fig. 8)
Figure 8
Par rapport aux axes x^ x29 <j- 3 le tenseur a. . a la forme :
""il
fij]^"
o
C
12
°
^ a°
o.
3
«I
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IEC - ^ -
-
aœJJ
Calculons
^
pour une facette parallèle à l*axe a, et dont la nor-
male n a pour coordonnées
cos 0
sin 6
0
[XJ = [o] fn]
X
a
l
X
2
X
=
Xi = c . . n.
ll a!2
COS 6
°
a
!2 a 22 °
0
0
0
Sin 8
0
a11 cose +a12 sin©
a
!2
C0s8+ Q
22 s^-ne
0
Ça contrainte normale a
°nn
=
°llnl2
= a
tj^n
=
+ a
22n22
2
cos 0 -i- a
est égale à (relation III.4)
+ 2a
12nln2
2
sin 0 + 2 a.2cos0 sin0
a
aia +a2
n" a oo
-£- + _H_2i
2
2
cos 20 * a , 9 sin 20
li£
cos 2 = l+cos20
—
2
2
o-î
sin
— Izcos20
"~
" ""
«™^
La contrainte tangentielle suivant t
- sin 0
cos 0
0
«B»»ÏJ
t
étant dans le plan x^9 x^s est égale à (relation III.5)
Tnt = - a^sin0 cos© + appSin© cos0 + a.p (-sin 0 + cos 0)
Tnt
a
a
= . 22_ill
i sin 2e
+ 012 cos 20
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T0> *5 -
- 2 - Méthode algébrique
"n^est direction principale si
soit
tg 2f
=
-.-llg—
a
I—
Tnt = 0 c'est-à-dire pour 6 = \^
—
(10)
2]p à * près
ir°22
—
y à 1 près
'
2
¥• = Y + 21
q
'
I
r
s
H + °2 2
g
+
2
ll' l ' q 2g
ll-°22
cos2.
2
oyi =
q
a
a12 =
l^
^ ( °ll- g 22 2 )
+
/^
11—22.. cos2|5
2
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+
a
id
s.n
^
/
- 012 sin 2y>
3EE 16 On adopte la convention
:
ap ^ vyi algébriquement
a
n ~CTPP
— >0
cosi^ ^
<*f> - crp'j^O
T
^
cos2^
c'est-à-dire que
doit être du signe de a^ - a^
Eliminons
^ entre tg2^
et ap (ou a^') :
1
2
—±j—
= 1 + tg^2^
cos 2j?
(or
2
ll"a22)2+4a12
= —ii_££
lé
(a±1 "cr22)2
_î_ = î^iZS^Z
a ±1 . a22
cos 2jp
on prend le signe -s- pour avoir
d,où
g
0?<
s
il^22
±
o^ y> ap/
(cos2^ est alors du signe
de o±1- a22)
__L y((Jii-a22)2+ „ ^^
(12)
D'où le tenseur ramené à ses axes principaux ^af7 * (T-z
i~"
~x
(hJ 0
0
0 0^/
0
0
0^
Exercice : Retrouver les valeurs de (J"^ et^Tu?* a partir de la recherche
des valeurs propres de la matrice \<J"1.
- 3 " Méthode graphique. Construction du cercle de Mohr
(cf. § 1.8)
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HT" 17 Problême 1 : On suppose connus les axes ^3 ^ f et ovp5çry>'
Trouver a
et T , pour une facette quelconque n.
nn
nu
f
1
a
a
a +a
ii"a22
= -11—22 + _H_22_ ces 26
nn
p
2
a
II T . =
v nu
c
(
Ojm s
T
a
ll"
22 sin
±i_££p
26
+ a^sin20
12
+ a 1^
. n c o s 20
J6±a'+ £^i cos ^
nt = - - 5 f a/ -in2l'
C'est l f é q u a t i o n paramétrique d ' u n cercle^ lieu de l'extrémité m
-f>
-^
«^
de é dans les axes mobiles n et t.
(a
nn "
a
2
) + T
nt
=
(<?
i^
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}
-HP-- 18 -
(
Le centre I du cercle est sur Pn au point '•TTcry
et
1
son rayon est
égal à • "p-qy . (fi g . 11 )
5 = **
Py = oy/
PI
= gy*gp?
2
crnn ± PI + R cos2i|>
i nt = - R sin 2*
Figure 11
Remarque 1 : L'axe
de Mohr (fig. 12)
^ est parallèle à A^/r/'m d'où la construction
!!/ 0nn
PT =
\t
PΣure_J.£
Remarque 2 : Quand n tourne d!un angle $ par rapport à l^axe ¥)9
on tourne d'un angle 2^ en sens inverse.
- Les contraintes normales a
sont comprises entre
«f'^nn^f
- Cissions particulières : cission maximale pour
*
T
= -^-^£l
v = + 45°
max
2
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•ffC- 19 cission pure seulement si oy» et crpf sont de signe
contraire.
- points particuliers :
m' représente une facette
symétrique par rapport à
l f axe y
m" une facette perpendiculaire à celle représentée
par m.
Remarque 3 : lieu de m dans les axes y et y* 1
'Xll
X_ =
" cllcosM12Sine ~l
d19cos ô +o00sih« I ^
xj L
o
J
(
\*V~]
fC>P C°3'1'
I
=
sint
IvJ h' _
X = csp COST|/
Y = cftp' sinif;
est l'équation paramétrique d*une
ellipse (fig. 13) qui est l'ellipse
de Lame (cf. § III.2.3)
X2 * Y2 = ,
!
a>p
a^
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HT- 20 -
]
Si cr^ = <TCP*, l f ellipse devient un cercle et en chaque point —*>
6^
est parallèle à n e t Q r n = a r i P
Problème 2 :
On connait o^-pO^ et °~12* Déterminer les éléments principaux
(figure 14).
PH± = <r±1
PH2 = o-22
^=^12
H2m2 = - ^12
(cf § III.2.4.1)
Figure 14
- On prend t à +^/2 de n (sens ^>0 étant donné par 1, 2)
- On place m. puis nu(ou I) d f où le cercle de Mohr
- On relève PAf =
et PA^' = ^rf»
- L'angle *K est lfangle entre l'axe ^f et 1. Si la construction
est faite sur n// à l'axe 1 5 Ay m. est parallèle à l'axe *P .
Remarque : La méthode algébrique donne c^ alors que la méthode
graphique donne U^ avec *f = - ^.
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-S&- 21 —
III.2.5. - Tricercle
de Mohr
- 1 - Position du problème : c'est une représentation plane du faisceau des contraintes fondamentales. On cherche à représenter l'état
de contrainte sur un élément de surface ds entourant le point P :•
cherchons le lieu de m dans les axes mobiles "n^ t, t étant dans le plan
contenant à la fois n et p . Soient X., X2, X, les axes principaux
et a^, a 2 5 o-z les contraintes principales avec la convention d'écriture : 0^2^°^
(fig
' 15)
Figure 15
Lorsque la facette // à lraxe X, tourne autour de X^, le point m
se trouve sur le cercle de centre !.. et de diamètre A,^. Il en est
de même pour les axes X1 et Xp.
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-m.- 22 Pour une facette quelconque (non parallèle à l'un des axes principaux)3
on va montrer que le point m représentatif se situe obligatoirement
dans la zone hachurée du diagramme (Cfnn . ~C
) Fig. 16
n T>
Figure 16
- 2 - Mise en équation (fig 17)
*î
n
\-
«
[•„]•
° -,
L °
X^
s^ ^7 ^
^^^^'^
^^~—~~——^
/
r ai ° ° "
o
a
°
3
Appliquons la relation III. 9
On a a m = a^ 2 + a^n^+a^ 2
XX
/
T^ 2
^n
/
2
= ^nn
+ T
2
2
= X
nt
l
+ X
2
2
2
+ X
3
^/\
d!après la relation III.2 = a
4.
Figure_17
f
T
nn
j ann
(
+Qp 2 n
n
2
2
3 n3
2 ^ 2
2 2
2 2
2 2
+T
nt = al nl +a2 n2 +a3 *3
= a
lnl2 * a2n22 + a3n32
1 = na
2
+
n22
+
n32
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(13)
HT- 23 -
1
II est possible dfattacher à toute facette de normale n un point m
(a ,T ,) dans le plan (a ,T ,), Inversement recherchons à quelle
nn nu
nn nt
condition^ un point m (ann 3 T n,\>) du plan correspond à une facette de
normale "r? (n. 3 n 2 > n _ . ) . Cette condition se ramène simplement à rédoudre le système d'équations (13).
2
2
3
Résolvons le système par rapport à n. , n« , n, .
A^:
•a2 °2~2
-32
0x
<^-z
Op
1
1
'a2' "32
I "a^ '/
r
^^
a
~ CTp
p
0
1
-j2
a ;
""
^
"S
0
1
2
a
A
2
= (a a - a 2 ) (a 2 ~ cr )
l ~a2)
=
^ a l "" a 2^ ^°2 ~ a 3^ ^ a l " a 3^
+T
nt2
a 2
2
a
1
=
(a
2
1
l
+
a
+a
?
a
3
'
"^
1
1
a^
0
0
1
°2 " a 2 " a 3 )
(a
nl2=: ann2
(a
2 -a3)
=
A
soit
+cr
l
a
nn^Tnt2 °2+ff3 °32
V
a
3
=(0
2 -a3}
1
a
nn
1
(a
a
3
1
0
2 -a3) (ann2+ Tnt2 +(Va3)<73 -ann(a2+03) ' ^l
na2 =
An 2
l /nn 2+ T nt 2 - g nn ( q 3 + V*_ q 2 a 3 ._
A
(a^ ~cr 2 ) (a^ "^3)
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1
TU- 2H -
]
et par permutation circulaire
2 . *nn2 +^nt2 -*nn(*3 * gl^3 gl
n
2
n
(
Ml, )
(
^2 -'3> *2 -'!>
2 _ %/ +Tnt2 -gnn(ffl +CT2} *al q2
"
(a3 -a±) (c3 -a2)
3
- 3 ~ Discussion
Ces trois valeurs représentent les cosinus directeurs
(par rapport aux axes principaux) de la normale aux facettes pour
lesquelles a
et T . ont les valeurs choisies. Mais ces deux valeurs
nn
nt
2
2
2
ne sont pas quelconques car n. , n2 et n^ sont positifs.
Il faut donc que
' °nn2
<
+ T
nt2 ~ crnn(<J2+03) +C2a3^ °
0
nn2 + Tnt2 ~ °nn(aS°2>
°nn2
+ T
nt2 ~ "nn^l^a5
+a
la2'£0
+tr
l°2 ^ °
Ces conditions signifient que le point représentatif
doit se trouver dans la partie hachurée du diagramme de la fig. 18 .
En effet :
- la 1ère condition exprime que m est à l'extérieur du cercle centré
en I. et de rayon ^JL^l'
- la 2ème condition est vérifiée à 1!intérieur du cercle centré en
Id0 et de rayon a__
l""a3
- la 3ème condition est vérifiée à 1Textérieur du cercle centré en
g
I,
l a2
^ et de rayon __
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Remarques
On voit sur la figure 18 que :
- les contraintes normales sont comprises entre a., et a.
- 1!addition d'un état de contrainte sphérique ( a O O , O a O , O O a )
se traduit simplement par une translation d'ensemble du diagramme
de Mohr de a suivant l'axe des ann
- lorsque deux contraintes principales sont égales, un des cercles
se réduit à un point et les autres cercles sont confondus, le point
m se trouvant nécessairement dessus.
- lorsque les trois contraintes principales sont égales, les 3 cercles se réduisent à un point et le point m est confondu avec ce
point
- lorsque le point m est situé sur un des cercles n^np ou n^ est
égal à 0 et la facette correspondante contient une direction principale. Dans ce cas, on peut utiliser les résultats obtenus au
§ III.2.4.
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-JEC- 26 -
1
- 4 - Cisaillements principaux (fig. 18)
Pour des facettes passant par l f axe x^a la cission
maximale est égale à (point m*) :
/
TI =
°2~G~*)
~r
Pour l*axe x?, point nu
)
<1
a
=
T
^
i~cN
r?
2
:
contrainte tangentielle maximale
(15)
Pour l f axe x.,, point m.,
\
T
- gl"°2
3 '2
Les cosinus directeurs correspondant à chacune de ces cissions maximales peuvent être calculés à partir des relations (III.14).
.-.
Pour T ± : n1 = 0
Pour i^ : n^ = j; i/i
Pour T : n ± = + l/|2
:n
2 = î|/f
3 : n3 = i|il
n
2
=
°
3 = i /f
n
n
2= ±y|
n
3=
°
Ce sont des facettes passant respectivement par les axes x., Xp, x,
et bissectrices de 1*angle que font les deux autres axes principaux.
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3TE 27 III.2.6
)
Tenseur déviateur
Le tenseur des contraintes définit entièrement l'état
des contraintes autour d f un point
a±. =
a
ll
a
!2
a
G
12
a
22
a
a
!2
!3
23
a
Q
23
33
Le tenseur a., peut être décomposé, d'après les proij
^
priétés générales des tenseurs, en la somme de deux tenseursa^.
et a"-. . avec
S = / 0
'»
° 0°\a
0^
m
%
(16)
. !il^22^3J_
- traçeW.
V
—
^ (*)
\ ° °
m]
qui représente un état de contrainte très particulier : état de
contrainte sphérique (ellipsoïde de Lamé est une sphère) ou hydrostatique correspondant uniquement à un changement de volume.
/ 2girq22"cr23
(16) 6t
4
'ij
3
"12
=
\
'V
a
12
2a
0
?2~ ll~ 3-5
3
°2Ï
"13
\
a
^3
Z
°M-'^K
I
qui correspond au contraire à un état de contrainte sans dilatation
volumique mais avec distorsion (ou cisaillement) : a<K . est appelé
tenseur déviajbeur. Sa trace est nulle
Xa est souvent appelé "contrainte moyenne": c'est en fait la moyenne
des contraintes principales.
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•an.- 28 Les invariants
)
du déviateur sont les suivants
:
II '= - ^T^-^j^-sK^^)1
*-
+ 6 (<sx}+fcrç+^0l
1
= -1 [ (5-^ * Çt-^) *f4-<*)*]
T^ <X*[<r^
Si on choisit comme axes de coordonnées les axes principaux, les
tenseurs a.., a., et a., prennent la forme
!J
/
a
1
0
0
a2
!J
\
/
0 \
a
J
m
0
= 0
5
- .
!J
0
a
\ /20^0,,-a
0
0 \ —i—^ i
3
o
0
+
0
_2^V^3_
s
0
\
\
0
1° ° " / r y i • • ^y
III.2.7. - Contraintes octaédriques
Les ruptures ont tendance à se produire suivant des plans également
inclinés sur les 3 aces principaux (la normale est la trissectrice
du triëdre) (fis. 19)
^-isCTp^cr
n
l = n2
sont donnés
= n
j, = -fc
Ainsi, on a (relations III.13)
a
nn
= a n 2+a
l!
2n22 +a^
a 2 +T2
2 2^ 2 2
2 2
nn
nt=a^ n^ +a2 n2 +a, n^
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JEU - 29 -
[
S0lt g
T
nn
VVff3
* 1= g
=
~
oct
3
g
i2îq22+g52
2
nt
=
-
T
%
9
+ 2a22 + 2a
oct2=Tnt2 = |[^rtf2)2
=
(<W°5)2
-
3
= ~(2a12
<">
I
2
+ (
VCT3)2+
- 2a1a2-2a2cr5-2a5a1)
(a
3 -l^J
= f T(aram)2 + (*2 ^m)2+ (^3-%)2J
T
oct2 = i (21 2 - 6I0)
9
1
^
On remarque que aQ ^ et T
t
s*expriment uniquement
en fonction des invariants du tenseur des contraintes. Ces valeurs
sont les mêmes pour les huit plans identiques à ABC entourant le
point P et formant un octaèdre. C f est pour cette raison qu f on les
appelle contraintes octaédriques.
On peut exprimer T
^ en fonction des a., rapportés à des
axes quelconques (cf. § III.2.2).
T
oct = i |^2a112+ 2a222+ 2a332^a11022^a22a33^a33a11
-
=
6a
lla22~6a22CT33"6a33all+6a132+6a322+6a122 1
\ [(airCT22)2+(a22^33)2+(a33^Qll)2+6(a122+a232+a132)]
On peut remarquer aussi que : T
2
=
_ 2_
3
2
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m- 30 -
i
III.3 - Equations dféquilibre
Les composantes du tenseur des contraintes dans un
corps en équilibre sous l'action de forces de surface et de forces
de volume doivent vérifier les équations d'équilibre indéfini et
les équations d'équilibre à la surface.
Considérons un parallélépipède élémentaire situé à l'intérieur
d'un corps soumis à des contraintes (fig. 20).
Ecrivons que le parallélépipède est en équilibre : on écrit d!abord
que la somme des moments des forces par rapport à chacun des axes
est nulle (mouvement de rotation) et on retrouve le fait qu'en
l'absence de champ de moments a., est un tenseur symétrique.
"^ des forces appliquées au pdtrai>€pit t'
On écrit ensuite que la résultante
feâvê est nulle. Considérons la projection de cette résultante sur
1'axe Ox..
Les forces suivant Ox. qui s'exercent sur les 2 faces perpendiculaires à Ox. sont :
a
a
ll dx^x^x^
-aaidx2dx5 + (a11 + ^
— ll dx 1 ) dx^x^ =^
——
1
1
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Sur les deux faces perpendiculaires à Ox^ :
1212. dx dx
±
2
3x2
dx
*
Sur les deux faces perpendiculaires à Ox
i2H
dx, dx. dx_
av
3X
3
2
•"•
S'il existe un champ de force F , l'équation du mouvement s'écrit :
3all..+ 3al2 .+ 3al3
—— .+ «h
ax1
p
3x2
2
xl
= pd—_
ax
dt
= masse volumique
Suivant les deux autres axes, on obtient des équations identiques.
Ainsi, l'équation du mouvement de translation prend la forme :
^ii + P . =Pd-\
V1
3X.
"
(18)
dt
J
si —*
FV est la pesanteur : F . = pg.
2
îïîî
3xj
+
Pg, =P ^
•"
dt
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(19)
Ht- 32 «
C'est 1f'équation 'fondamentale qui relie les variations spatiales
des contraintes dans un corps aux accélérations des éléments de
volume. Elle constitue comme nous le verrons ultérieurement3 le
point de départ de l'étude des oscillations élastiques dans les
solides.
Dans le cas où le corps est en équi1ib re statique3 les équations
(19) prennent la forme :
-5£M + p
_0_xj
=
o
(18»)
[
|2ii + pg. = 0
[ Jxj
(19')
-
Ce sont les équations d'équilibre, très utilisées dans la "théorie
de l'élasticité.
Ces équations peuvent aussi s'écrire :
diva
ij * Fvi
=
°
(18IÎ)
Conditions a.ux_li mi t e s :
Considérons un point P situé sur la surface du corps (fig. 21)-«,f*
^3 /h /r 5 -^! A ^
._^—~-4~y^ * \ ^i
\.
]a~~-~j——?<x^
itf^V ?iv ^o^v^-^&i à IL'KuLGLU/n"
o
Figure 21
Supposons qu'au point P soit appliquée une force de contact d>s
I
dont les composantes par unité de surface sont égalès""à :
^
^
X
r
sl* Xs25 Xs3
Les contraintes internes doivent en ce point équilibrer les efforts
extérieurs soit en appliquant la relation (III.2) :
X
l = allnl + 012n2 + Cl3n3 = Xsl
ou plus généralement :
(20)
S X si. = cr..n.
ij j j
La condition (20) doit être vérifiée sur toute la surface. Si au
point considéré ne sfapplique aucune force (la surface est dite
libre)s on aura alors : a..n. = 0,
-*-J J
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-HC- 33 -
III,4 - Formes particulières prises par le tenseur des contraintes
(rapporté à ses axes principaux)
1°/ Contrainte uniaxiale
"a
0
0
0
0
0
0
0
0
C f e s t le cas d'une tige verticale infiniment longue portant un
poids à son extrémité.
2°/ Contrainte "biaxiale
~a1
0
0
0
cr 2
0
0
0
0
Nous retrouverons un tel tenseur dans le cas d'une plaque mince.
3°/ Contrainte triaxiale
C f est l'état de contrainte le plus général, présentant trois contraintes principales i 0.
a1
0
0
0
a
0
2 °
0 a
M 0 / Pression hydrostatique
-p
0
0
0 (T|
-p 0
0 -p
ou |-P«ij 1
L
J
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3Π- ,4 .
5°/ Contrainte de cisaillement pur
G*est un cas particulier de contrainte biaxiale.
Dans une tige longue soumise à une torsion pure se produit une
distribution non uniforme de contraintes de cisaillement pur.
La construction du cercle de Mohr
montre que, si l f on fait tourner les
axes de 45° autour de Ox^a la contrainte
normale disparaît et le tenseur prend
la forme :
Ox-z est l*axe de cisaillement. I^es forces qui agissent sur les
faces d!éléments orientés différemment sont les suivantes :
Reniarc£U£ : Différence entre le penseur des contraintes et le
tenseur représentant des propriétés cristallines
Les tenseurs représentant les propriétés cristallines ont des orientations bien définies dans le cristal et suivent la symétrie cristalline. Ce sont des tenseurs_matériels. Par
contre le tenseur des contraintes (comme celui de déformation que
nous allons voir)^peut avoir n'emporte quelle orientation à l'intérieur du cristal» *I1 peut exister aussi bien dans les corps isotropes que dans les cristaux anisotropes. Il ne traduit pas les
propriétés d'un cristal mais dépend d f un champ de forces appliquée
au solide : de tels tenseurs sont des tenseurs de champ.
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-$L 1 CHAPITRE
TENSEUR
IV
DES DEFORMATIONS
IV.1. - Déplacements et déformations
Soient dans un solide continu non déformé deux
points P et Q voisins de coordonnées respectives x^ et x^+dx^.
Le carré de leur distance est :
de2 = *è~ dx.2
Supposons que chaque point du solide subisse un
déplacement —^
u(x.) défini de façon unique et dépendent des coordonnées du point donné :
P vient en P! de coordonnées X. = x. + u.
Q vient en Q' de coordonnées X'^= x. + u. + dx^ + du^
X.
+
"~^~~"
Le carré de la distance des deux points déplacés P'Q' est :
dS2 = ^ dXi2
2
Nous disons qu'il y a déformation locale si dS est différent
2
2
2
de ds (si dS = ds il y a déplacement rigide de l'ensemble).
Nous n'avons pas fait d'hypothèses sur le déplacement u(x.) sinon
qu'il soit défini et unique en tout point du solide.
Faisons maintenant l'hypothèse que le champ de vecteurs u(x.) est
continu et dérivable.
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-UÉ 2 -I
Considérons un point P de coordonnées x.^au repos. Après déformation P vient en P. de coordonnées x, + u., le vecteur PP^ étant le
vecteur déplacement u (fig. 1).
Considérons un point Q voisin de P : PQ = jdx. |
Après déformation5 Q vient en Q^ :
Vi = Kl + M
= dx
L i1
FΣure___l_
[du£1 est la variation de la distance des deux points P et Q initialement séparés de (dx.! . Comme |UAest fonction de x^, on
peut écrire , les déplacements étant supposés petits :
3u
3u
8u.
dUl = —•- dx1 + —- dx2 + —- dx^
—£
du
3X,»
3 Xp
8 X_.
3U?
8U?
3Up
dup = —~ dx + —
dx + —- dx
3X
8X
8X
1
2
3
8U^
8u^
3u^
du = —— dx1 + —- dx2 -f -~-2 dx
3X^1
O XQ
O X^.
3U.
ou
du. = —^ dx. =
i
J
3x<
!__^^
avec
e.. dx.
ij
J
"^^^^^^J^~~™™™n
e- • = ~—
J
3x
i
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(1)
(2)
TS-3_rl.
La quantité e* .. , qui représente le gradient du déplacement est
un tenseur du second ordre Ce;:; '. relie entre eux les deux vecteurs
A^ la valeur doit être calculée en P.
du et dx, cf. chapitre I), dont
Ainsi le déplacement des points voisins Q et Q' s'écrivent :
Ui(Q)
= u.(P) * e.. dx.
J
u.(Q') = u. (P) + e.. dx'.
-L
-L
J-J
'
J
On peut donc écrire :
dXi = dx± + du i = dx i + u i (Q) - u i ( P )
f . dX. = dx.
}
i
i
+ e..dx. = ( 6 . . + e..)
j
ij
ij
dx.
J
ij
] dX'. = dx». + e.. dx'. = ( ô . . + e.,) dx'.
l
i
i
ij
J
ij
ij
j
6 ^ . = tenseur unité ou symbole de Kronecker
6. . ( = 1 si i t j
-*-j /
\- 0 si i i j
On peut vérifier que 61J
. . ôJ. ,K = 61K
.,
,
ij T jk
6
kk
,
= T
ik
,-* 2
ijVj = V k = l v
= 3
—5»
—S»
—:>
—^
Comparons les produits scalaires dx« dx' et dX. dX'
«.«' = dX.dX'. = ( 6ik+e.k) («y+ey) dx^x'.
= (6
=
P
jk + e ok + e kj + e ik e ij )
kj
dx
dx dx
k 'o
k d x 'd
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^^
&* -'
avec
P.. = 5.. + 2 A . .
1J
1J
. j1'
n
A
e
+e
ij = ^ L iJ JÎ + e ki e kjJ
A-
0
B
. . • (".au.
3.Ù.
3u.
2 l ax.
ax.
3x^ a x .
I
(1)
.a.u, ~1
^
_i+ _1 + _* -JE
^
On a ainsi :
dîf.dX' = ( 6 . . + 2 A . . ) d x . d x ' .
ij
ij
i
J
= d Xj d x ' .
--»>
+
2 Ay d x . d x ' .
—">
= dx.dx 1 + 2 A . . dx. d x T .
10
i
J
d ^ o ù d X ^ d X » - d x . d x t = 2 A . , dx. d x ' .
ij
-*-
J
.
(5)
P . . et A . , sont des tenseurs symétriques de rang deux,
j-j
ij
Dans le cas où les produits scalaires sont conservés, A . , est nul
-LJ
et P.. est alors égal à 6.. : c f est le cas d f un déplacement rigide
ij
ij
de lfensemble du solide. Ainsi P.. et A., donnent une mesure de la
déformation du milieu et peuvent donc être utilisés comme tenseurs
de déformation : ce sont respectivement les tenseurs de Cauchy et 3e
Green.
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tf 5 - )
IV.2. - Déformations infinitésimales
IV.2.1. - Signification
géométrique
des e..
Les expressions précédentes se simplifient si les
déplacements et les composantes du gradient du déplacement sont
petits : c'est-à-dire si
du.«dx
i
i
et si
e..«l
ij
Dans ces conditions, on peut donner une signification géométrique
simple aux e^. .
Considérons~~deux positions particulières du vecteur PQ : l'une
parallèle à l'axe Ox , l'autre parallèle à l'axe Ox2 (fig. 2).
Examinons la déformation de l'élément rectangulaire en P.
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î*6 -|
Pour le vecteur PQ, on a : dx
S0it
=
- 0
*>! ' -Êf ^ " elltol
au
dU
2
=
l
= 6
dx
17
3x1 l
= 6
—3X
dx
21dXl
1
3u
dU
3
=
31dXl
Donc e.. mesure l'allongement par unité de longueur de PQ dans la
direction Ox^.
e^^ mesure la rotation de PQ (le sens positif étant le sens inverse
des aiguilles d'une montre) vers l f axe Ox^, cette rotation étant
effectuée autour de l'axe Ox «
On a en effet :
e
= _™^__
^
dxt+dUl
|r
-SgQ
«A _£
dx^j^
D f une manière générale :
- e.. représente lfallongement par unité de longueur parallèlement
à l'axe Ox. d ? un segment initialement parallèle à cet axe Ox.
f
- e..
i j teprésente la rotation vers Ox.i d un élément linéaire parallèle à Ox.3 cette rotation étant effectuée autour de l'axe Ox, .
J
*£
IV.2.2. - Décomposition de la déformation.
Rotation et déformation pure
Le tenseur Qe••1 représente-t-il bien la déformation
au point P ? Si oui, les composantes du tenseur doivent s'annuler
quand il n'y a pas de déformation. Or ceci n'est pas vrai.
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•fif 7 -
i
Imposons en effet au corps une rotation infiniment petite de
vecteur 75*: le déplacement du point P est égal à (fig. 3)X
—*-*—>
^P
l
PP^ = * AOP
5F*
^?
x
q
x3
qx3-Fx2
**l= rxrpx3
px2-qx±
De même,
QQ^ rûfAÔQ^
x.+dx.
«^
OQ x2+dx2
x-,+dx_.
soit PIQI"= p^F+ PQ"+ QQ±
dX = dx + du
—
—_~_
_
—M»
^
.
r -9>
^
«^
du = PaP 4- QQ1 = a; A(OQ - OP) = CUA(PQ)
—S>
du =
y
a> Adx
du
= q dx
- r dx2
du2 = r dx. - p dx.,
du3 = p dx2 » q dx±
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dx
~—^
dx2
PQ
dx,
i
r
ou ru±i r°-»"
-S38 -!
,- -,
q,
i r ~q °^
M
P Q
soit en notation matricielle
ou tensorielle
{^J^ L^J [^ 1
du. = w., dx.
v /
a). . étant un tenseur antisymétrique.
"^-J"
'**ï
-o "<z0 uW)
uU
w
H- _u^
"H*~-f
t5
_-*>*!, -VA)I!) O J
\
Inversement, chaque fois qu'un déplacement infiniment petit se
mettra sous cette forme5 ce sera une rotation —^
<*> (p3q3r).
On voit donc que dans le cas d'une rotation, le tenseur e.. n'est
-*-J
pas nul mais est antisymétrique.
D'après la définition de e..s le déplacement du point Q voisin de P,
^
peut s'écrire :
ù±(Q) = ui(P) + e±. dx. = Ui(P) + dUi
= u
i(P)
= U (P)
i
en posant
+
I
+ e
(e
ij
e.. =
/»
W
+ e
ij
dx
1
?
j
+ w
(e..
t
'.- _ (&
n î ~
ij
2
ji>
^ T1 T
J
ij
+
dx
j
dx
j
+
e..) =
- eo
^ -
(e
I
?
i j " e ij }
j
9u
1 8U1
i
(_ * ^1)
11
-
(
au.1
î -1î ' ~ " ~ ^ a v
J
dx
2
au.
- ~ _jJL^
j
S v ' '
i
e . . ~ e '• '• + w . .
ij
13
ij
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(7)
&9 - j
ej.
est un tenseur symétrique car £,.
- e..
*J
^j
g j.
w.. est un tenseur antisymétrique car w.. = ""îi
On distingue ici la contribution de 3 termes pour le déplacement
du point Q :
- u.(P) représente une simple translation de vecteur u = PP^
- u>., dx. représente une rotation de vecteur <? (relation 6)
«.>
o) =
» 32 = - "23
= - m
w
w
ou encore
—>
1 —-» —>
w = -^ rot u
21 = " W12
- e.. dx. représente la déformatioip proprement dite ou déformation
pure.
La partie symétrique e.. du tenseur gradient de déplacement exprime
la déformation pure alors que sa partie antisymétrique o>.. repréij
sente la rotation (tout tenseur peut être décomposé en deux parties :
une partie symétrique et une partie antisymétrique).
IV.2.3- ~ Déformations pures
Dans le cas de déformations infinitésimales,
lfexpression (IV.4) se simplifie : on peut en effet négliger les
doubles produits e,
. e,
. devant e..
et e...
Kl
KJ
Ij
J1
On a ainsi
A..
=
1(^^s _
(8)
La signification des composantes du tenseur e.. apparait simplement si on considère la relation (5) ; en effet, on a :
dX.d? - dxîdx^ = 2 e..
i j dx.dx».
i j
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(9)
t£ 10 -1
iy,2,3«l« Dilatation linéaire unitaire dans une
direction quelconque
Appliquons la relation (9) dans le cas où dx = dx 1
dX = dX« (fig. 5)
On a donc dS2 - ds2 = 2e.. dx^x.
(10)
dS2 = dX.2
ds2 . dx2
~*/Ltâ
Considérons le vecteur unitaire n
porté par "dx : on a donc
——£
—J>
dx = ds n soit dx. = ds n.
et posons dS = U+enn) ds enn = ^S^ds^
€
-l*\//^
*-~ / .Xfuvl
*
n //
\A "
•*"
(11)
étant la dilatation linéaire danl la direction n
La relation (10) s'écrit donc :
ds2
" f2 =
ds2
2
... n.n.
1J
X J
soit 1 +enn = |/1 + Se^.n.^. £. 1 + e^-n-n..
E
nn
= E
ijninj]
(12)
Soit en développant :
e
nn
= e
llni2+e22n22+e33n32+2E12n1n2+2eA3n2n3+2e13nln3
Cette relation est analogue à la relation( III.4) établie pour
la contrainte normale a
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1*11 -
)
Notation matricielle : par analogie avec cr^C 111,1»')
«» = ["] H [•]
Remarque : si ~^
n est parallèle à l'axe Ox., n^ = $^ et on a
e
nn * ell
De même pour les axes Qx2 et Ox».
Les composantes diagonales de e.. représentent donc la dilatation
linéaire unitaire selon les axes de coordonnées,
~5>_
-5>
_ d'un
_angle.
_
IV.2.3«2. _
Distorsion
quelconque
(n,t)
Figure 5
«_jjj>
——5?
Appliquons la relation (9) aux deux vecteurs dx et dxf et respectivement parallèles aux directions ~~>
n et ""^
t faisant entre elles un
angle e (fig. 5).
^
On a d? = ds r?
dx*» = ds1 't
et n". t = cos e
Soit y = e - iSe^ lfangle (d?, d?1), 60 étant la di^tgrsiojn de (rf,?)
Il vient : dlf.dX1 = cR^.d?1 + 2 e.. d x - d x 1 .
ij
-*• j
soit en tenant compte de la relation (11) :
jdXJ= dS = (1 +enn) ds
)<5'|= dS» =(1 +entn,)ds'
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10-12 -
}
(1 +e nn ) (1+e n ,n ,) ds as' cos f
i = (cos9 '•• +^ 2e..n.t.)
4,j «L, ^ ds ds'
cos (8- $8) = cos6 cos$6
+ sln© sin§8
^ cose + sine x &e
>L '^9 ^V i*eVtV
soit en négligeant les termes du second ordre
cos e(enn+£.,)
tt + 66 sin 0 = 2
e-.ij.n.t.
ij
•-e>
—>
(13)
ir
Cas _particulier s Si n est perpendiculaire a t, 6 = ^
(
g
|
* 2 eijn.t. = 2 ,nt
Soit en développant :
2e
iini^j
=
(14)
^ril n l t l" h £ 22 n 2 t 2+e33n3t3
" f e 12^ n l t 2 + n 2 t l^ e 23^ n 2 t 3 + n 3 t 2^
+ e ^^iS'VlO
^>
->
Dans le cas où n est parallèle à l f axe Ox. et t parallèle à l'axe
Ox2
?
1 1
0
0
j0
? 1
0
^ijVj- =2e12 =66(1)2)
1_____«^^
(15)
II en est de même pour é et ^v Àins^ les composantes non diagonales de £. . représentent les demi-variations d'angles initiaij
lement droits, de côtés parallèles aux axes de coordonnées soit
.par définition |les demi-di^toj^io^is. On les appelle déformations
transversales ou de cls_ajj.lejnent.
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1^13 -
IV. 2.3.3, ~ Dé format i on d f un cub e unit aire
Considérons un cube dfarête unité dont les
arêtes sont parallèles aux trois axes Ox^ Ox2 et Ox^ et son
transformé (fig. 6)
Figure 6
On a
[du]
=
[e"J
jdx]
dui =e ±. dx.
[dul étant le déplacement dû à la déformation uniquement.
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un* -
i
Ainsi pour le point A. ;
fi 1 r^ "
M- M ° - «12
loJ |.13^
point A2
~ £ 21
0
=
[>] = M *
^
'22
e
[ 23
1
OJ
r°i p
point A3
|^A3J= £e] 0
=
^
e
jlj
L
33
point de coordonnées (1,1,0) subit un déplacement :
£
11
W=
6
12
E
13
S
12
6
22
£
23
e
!3l
6
23
E
33
6
11 +612
^
1
-=
°
6
12 +E22
e
i3
+E
23
Rejiar£ue_l : 2§£2™§^î2ILJi2!BPjSêB£
Une déformation est dite homogène quand les e.•
ij (donc e..)
ij sont des
constantes.
Dans ces conditions9 on peut intégrer les relations (1) ; il vient :
u =
i <Vi *eijxj
(u ). étant le déplacement du point situé à l'origine.
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•0É-15-
)
Si on ne considère que la déformation pure :
U
i " eijXj
Une courbe f(x.) = 0 devient après déformation fCx'^) = 0 avec
x
'i = xi + ui = xi +e ij x j
= (s
±j + e ij )x j
G 1 est une transformation linéaire. Par conséquent, durant la transformation, une droite reste une droite, un plan reste un plan,
des droites ou plans parallèles restent parallèles, toutes les
droites ayant la même direction sont dilatées ou contractées dans
le même rapport. Les courbes ne changent pas de degré.
Remarque 2 :
Sur la figure 6, seuls sont représentés les déplacements u. dus
à la déformation pure. Les déplacements dfensemble (translation et
rotation) ne sont pas représentés.
a - Dilatation linéaire unitaire :
/
—"^
ô
2
PA
Elle est égale à (fig. 6) :
' TPA1 J^ 1 + e ll> +E12 *£13 -d
PA1
-
1+2 e
1
, -ell
a/2
^ < ___JL£__
ll>
A/
1
"^
<XX r
e
ll est ~La dilatatî°n linéaire unitaire dans la direction 1
c-£
n
it
2p
22
p
e
îî
fî
33
On retrouve évidemment les résultats du § IV.2.3.1.
b » Dij^tpi^^
PAf , PA!2 =£A^ 5 PA2 - distorsion
Pa^r^aJ = PA1, PA2 - (a+e)
^ Pal5 Pa2
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T
3
^ 16 - ' )
tgo £ a jb/"' —-^^^e12(1-eii>^^i2
lt£
ll ;
or
B o^ tg?^e12
Pa
is
Pa
2 -=
PA
1S
PA
2 ^ 2e12
Distorsion de lfangle droit ('1,2) = 2e12
î!
De même
(2,3) = 2e2-,
(1,3) = 2e13
En résumé (fig. 7) :
Flgure__7
c - Dilatation cubique (ouvolumique) unitaire
9
V-V
_^£^
=
VQ = 1
—>
—^
—»
V = (PA<13 PA'2, PA'3)
—>
—>
~>
V = produit mixte = PA 1 ^ (PA<2 ^PA f )
1+e
ll
£
V « 12
£
13
£
12
I*e22
£
23
e
!3
c23
^I.eii+e22^33 = 1 +t±±
l+e33
si on se limite aux termes du premier ordre en e^..
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-tîf- 17 soit
e n e1:L *e22 te
__
!
=; e^ - trace e - , s ^
--___
(16)
I. étant lfinvariant linéaire = div u = -—1
3^
La dilatation cubique étant égale à la trace du tenseur des déformations (ou de celle du gradient du déplacement e.•), il est évident que ce résultat est indépendant de la forme de L'élément de
volume considéré et du système d'axes choisis.
Remar^ue^ : si on ne néglige pas les termes du second et troisième
ordre en e. ., on a :
e = I, + I2 + i,
I., Ip et I, étant respectivement les invariants linéaire, quadratique et cubique du tenseur£...
ij
Ces invariants sont naturellement analogues à ceux définis pour le
tenseur cri. (cf. § III. 2.2. et § 1.7).
IV.2.3.4. - Etat de déformation autour d f un point. Eléments
prin£i£au2£
II y a analogie avec les contraintes (cf. § III.2). En un point P
et dans la direction "n*, on porte un vecteur PQ de longueur r (fig. 8).
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'fit - 18 -
}
Le lieu géométrique de 1* extrémité du vecteur PQ est donné par :
r enn = + 1
soit dfaprès la relation (IV.12)
£
llXl2^22x22+e33X32+2e12XlX2+2e23X2V2e13XlX3= -1
U7)
Le lieu géométrique de Q est la quadrique représentative du tenseur
des déformations : c f est la £u§<i£J^^
dont l'équation en
notation indicielle est
B..X.X. =
,
1
(17)
Rapportée à ses axes principaux, l'équation de la quadrique prend
la forme :
2
2
2
Vl + 2X2 + 3X3 = î 1
Les
les
des
Par
1
1
1
demi-axes ont pour longueur —s —9 -—r ; els£2'e"3
dé format ions pr in c ip ale s
Kel r 2 V e 2
déformations mutuellement orthogonales.
rapport aux axes principaux, le tenseur s'écrit :
' e± 0 0 -\
e
=
l ij]
o ^2 o 1
_ 0
0
son fc
'
s3 J
Dans ce système d f axes, les directions principales ne subissent pas
d^_Jd^torsj.on (fig. 5^ *
La signification des déformations
principales est claire si on étudie un cube d'arête unité et dont
les arêtes sont parallèles aux
axes principaux.
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-<£- 19 Pendant la déformation, les arêtes restent perpendiculaires
(e.. s 0 i ^ j) et leurs longueurs deviennent l+ei>M+e2, 1+e-*
e
l* e2* e^ ^ant -!Les dilatations linéaires dans les directions
principales.
Rejnaj^ue^ : si on tient compte des déplacements d*ensemble (rotation et translation) , les axes principaux de la déformation ne gardent pas leurs directions initiales pendant le déplacement (sauf
siMJ-. = 0) mais ils restent perpendiculaires durant la déformation.
•3-J
Remarque 2 : la direction du vecteur déplacement "3 (dû à la déformation pure) est donnée par la construction du rayon normal à la
quadrique de Cauchy (fig. 8).
u =e
i ij nj
Ainsi une sphère unité se transforme en ellipsoïde par application
de e
f i j j d e demi-axes 1+e., l + e-, 1 + e, (fig. 10).
En e f f e t , l f équation de la sphère
est
xa
p
+ x2
o
+ x
p
= 1
Après déformation, on a :
xf
l
= x
l(1 °fel)
XÎ
2
= X
xf
2(1 +£2}
= x (1 +e )
Soit
x' 2
x^ 2
x^ 2
!^L_» + _Li_ +
3
(l+e1)2
(l+£2)2
Figure__10
^g^g^j-gg_dgA!_^jjj^££Jj^^
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= a
(I^e3)2
i
«$,- 20 -
)
Remarque 3 : par rapport aux axes principaux, les équations (IV.12)
et (IV.14) se simplifient :
E
nn = elnl2 + E2n22 * ^
e
nt
= e n fc
l l l
+e
2n2*2
+e
3n3*3
(18)
(19)
Remarque 4 : si l'on connaît une direction principale X^, la recherche des éléments principaux du plan X.X2 se fait comme pour les
contraintes (§ III.2.4.) soit :
- par la méthode algébrique
- par la méthode graphique : cercles de Mohr
enn est équivalent à ann _^
^ ^
Tni/, est équivalent à TTLLi, (n _L à t)
Dans le plan (%<\.3^), X-, étant direction principale3 on a :
e
nn ~ ellcos
=
e
nt
=
2
6 + e
22sin
ÎH!!22_
2
""^nsin0
+
2
e + 2 e
i2COS
fll^22 CQS26
2
cose
6 Sln 6
+
in 2 e
^
^e22sinec°se
+ £
12^COS e " sin e ^
11 " £1? i 2e + e. cos 20
- _iL™±^_
s n
9
-^
2
£
=
Les directions principales sont données par :
2e
l?
tg 2$r = —~~i£-—»
e
ll"" £ 22
e >, e ,
f X sp'
signe de
(voir § I I I . 2 , 4 )
€ll
-e 2 2
VS>
T
est
tel
que cos 2V5
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est
du
&- 21 £
ll H ' e 22
^
e
e
ll" £ 22
2
=
2
e
llH"e22
_1
cos2^
e
ll~e22
f/ —
]
1
(20)
7~~ ~^~
^ • ^p- i J 1/^^T7^?
Remar^ue 3 : ^H^ËHL^JJ?^^^De manière analogue au tenseur des contraintes
(§ III,296)3 on peut décomposer le tenseur de formation e.. en la
somme de deux tenseurs
/ em
S
e
ij =
/ .
°
\°
0
e
m
°
c..
ij
0
,->
°
e
m
et
e..
ij
&v*-C
\
e..
e „ =
m
= déformation moyenne
3
I
qui représente un état de déformation sphérique
correspondant uni-
quement à un changement de volume sans distorsions et conservant
l'isotropie du milieu.
/ f!lîl!222f33
e12
e13
\
3
et
a
e*.
ij
£
=
12
2e
e
22"eia
ll"?2
?2 —
——
(21)
23e
£
3
\
£
13
e
23
2£
33~gH~£22
' /
qui correspond au contraire à une déformation sans dilatation volumique mais avec distorsion ou cisaillement : e.. est appelé tenseur
déviâteur : (sa trace est nulle).
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<&- 22 -
}
Par rapport aux axes principaux, on a :
,
0
o
M
E2
0
=
, o
,\
0
0
%
/î*p
+
o
o
'W^
0
\
o
3
00
\
E3
|
°
°
^
\
\
/
°
°
2
V
E
\
l" *2
3
Une déformation quelconque peut être considérée comme la somme d f un
état de déformation sphérique et d f un état de déformation sans changement de volume.
IV«3 » Formes particulières prises par le tenseur des déformations
a
) Ë£££™§J^^
Le solide est dit en état de déformation plane si l f une
des dilatations principales est nulj_e. Un cas particulier important
est le cisaillement pur.
Dans le cas d'un cisaillement pur autour de Ox,, e.. prend la forme
j
0
e
I i11
e
0
-e
e
0
^
0
^
0
0
0
0
F
0
0
0
0
ij
^u^" ra PP° r t^ ^ ses axes principaux
p a r u n e rotation d e 45° dov\v\e ;
La déformation de cisaillement pur correspond à la contrainte de
cisaillement pur vue au chapitre précédent.
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/
'$•- 23 1
La construction du cercle de Mohr est
identique. Dans ce type de déformâtion,
la dilatation est nulle.
b) C i s ai 1lement_ simple
On appelle cisaillement simple la
somme d'un cisaillement pur et d f une
rotation.
Simple
=
Déformation de cisaillement pur d f une sphère
rayon unité.
pur + rotation
Remarque 1 : Déformation non homogène
Les résultats précédents peuvent être généralisés aux
déformations non homogènes. On considérera alors une petite région
où la contrainte est sensiblement homogène. On définit ainsi en chaque
point les trois directions de déformations principales, variant en
général d'un point à un autre. De même pour le quadrique de déformation dont la grandeur, la forme et l'orientation varient d'un point
à un autre.
Remar£ue__2 :
La déformation d'un cristal ne forme pas l'une de ses
propriétés physiques uniquement liée au cristal lui-même et en particulier à sa symétrie : elle constitue la réponse du cristal à une
sollicitation mécanique (élasticité) ou électrique (piézoélectricité) .
La déformation produite par une contrainte mécanique ou un champ
électrique n'a pas nécessairement la symétrie du cristal, à moins que
la contrainte mécanique ou le champ ne possèdent eux-mêmes cette sy- métrie. La déformation résultant d'une variation de température (dilatation thermique) doit par contre être conforme à la symétrie cristalline.
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/$£— 24 -
]
IV.4 - Dilatation thermique
La déformation associée à une variation de température
peut être représentée par le tenseur des déformationsJe.71 . Pour une
petite variation uniforme AT de la température, la déformation est
homogène et les composantes de Je..[sont :
i3 = "y
e
(11)
ÛT
a - . = constantes = coefficients de dilatation thermique
S- -1 est un tenseur symétrique doncf^.riest aussi un tenseur symétrique9
Si ce tenseur est rapporté à ses axes principaux3 les équations (11)
r
se simplifient :
e± = a ± AT
e2 = a2 AT
e^ =a ^A T
a
«sa0»% étant les coefficients principaux de dilatation.
La dilatation thermique d f un cristal doit présenter la symétrie du
cristal (principe de Neumann : les éléments de symétrie des propriétés physiques contiennent au moins ceux du groupe à centre du cristal).
La dilatation thermique ne peut donc détruire aucun de ses éléments
de symétrie (sauf dans le cas d'un changement de phase) : aussi la
classe d f un cristal ne dépend pas de la température. Le coefficient
volumique de dilatation thermique est a.. ; c'est un invariant :
A=
^o = e ii = a ii AT
(12)
Remarque : Au cours de ce chapitre, nous avons donné les composantes
du tenseur déformations dans le système d f axes de coordonnées rectangulaires (système cartésien).
Dans lfannexe I, on trouvera la démonstration des expressions des
composantes du tenseur déformation en coordonnées sphériques et cylindriques (ces deux systèmes étant très souvent utilisés pour résoudre les problèmes pratiques).
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