Exercices relatifs aux schémas fonctionnels

Exercices relatifs aux schémas fonctionnels.
Exercice 1 :
Réduction de schéma fonctionnel
On considère le schéma fonctionnel d’un système donné par la figure 2.57 avec :
1
1
1
k
H =
1+ T p
2
2
2
k
H =
1+ T p
3
3
k
H =
p
4 4
H = k
1. Calculer la fonction de transfert en boucle ouverte y(p)/e(p)
2. Calculer la fonction de transfert en boucle fermée y(p)/c(p)
3. Calculer la fonction de transfert e(p)/c(p)
4. Quelle remarque peut-on faire sur ces différentes fonctions de transfert ?
Exercice 2 :
Régulation de niveau
La figure suivante représente une installation dont l’objectif est le maintien du niveau h constant et égal à une
consigne Wc malgré les perturbations.
Le module LC permet de comparer la mesure X à la consigne Wc (interne) et d’envoyer un signal de réglage
selon une loi de commande non précisée ici, vers le convertisseur I/P afin d’ajuster le débit Qe. Qs et Qa
représentent respectivement le débit d’utilisation et le débit d’un produit additif.
1. Quelle est la grandeur régulée et par quelle grandeur elle est représentée ?
2. Quelle est la grandeur de réglage ?
3. Quelles sont les grandeurs de perturbation ?
4. Proposer un schéma fonctionnel de cette installation en faisant figurer les différents constituants et en
précisant l’entrée et la sortie de chacun d’eux.
y
+
+
c + e
-
H2 H1
H4
H3
Qs
LV
P
X
Y
Qe
Qa
HV
h
I /P
LT
LC LY Légende
- LT : Transmetteur de niveau
- LC : Régulateur de niveau
- LY : Convertisseur
courant/pression
- LV : Vanne de contrôle de niveau
- HV : Vanne manuelle
- Trait avec 2 barres : Signal
pneumatique
- Trait en pointillé : Signal
électrique
- Trait en gras : conduite

Exercice 3 :
Etude d’un servomécanisme
On considère le système asservi suivant :
Il est constitué des éléments suivants :
- Un système de deux potentiomètres identiques P
1
et P
2
donnant une rotation totale de 6 radians et alimentés par
une tension commune de 6 v. On obtient ainsi entre les deux curseurs des potentiomètres et la masse générale du
système, deux tensions V
1
et V
2
proportionnelles aux angles de rotation des potentiomètres, soit : V
1
= k θ e et
V
2
= k θ s.
- Un moteur à courant continu M, à flux constant produit par un aimant permanent, délivrant un couple moteur
proportionnel au courant dans l’induit, soit C
m
= kc i. L’enroulement induit admet une résistance R
m
et une
inductance supposée négligeable. Par ailleurs sa force électromotrice (f.c.e.m) E, est proportionnelle à la vitesse
angulaire de rotation, soit E = ke Ω .
- Une chaîne d’amplification composée:
d’un amplificateur opérationnel A
1
, de gain infini, de résistance d’entrée infinie et de résistance de sortie
négligeable devant sa charge.
d’un amplificateur de puissance A
2
, dont l’amplification en tension à vide est égale à 1, et dont la résistance de
sortie est R
s
.
On suppose que toutes les causes de frottements mécaniques sont négligeables de sorte que le moteur C
m
d’identifie au couple dû à l’inertie :
dt
dΩ
JCm=
On traitera le problème avec les valeurs numériques suivantes :
kc ke R
1
R
2
R
m
R
s
J
0.2
mN/A
0.2
v.s/rd 1 k
Ω 100 k Ω 25 Ω 5 Ω 1.06 10
-4
kg.m
2
1. Préciser les rôles des potentiomètres P
1
et P
2
.
2. Calculer la valeur du gain k et préciser sa dimension.
3. Le moteur est débranché. Calculer la fonction de transfert du montage monté autour de l’amplificateur
opérationnel A
1
:
U(p)
Ve(p)
où U= V
1
– V
2
. Quel est son rôle ?
θ
s
Ve
Vs
M
i
6 v
θ
e
V
2
V
1
R
2
R
2
R
1
R
1
A
1
-
+
A
2
Ps
P
e

4. Préciser le rôle de l’amplificateur opérationnel A
2
.
5. Calculer la fonction de transfert du moteur
(p)
M(p) =
Vs(p)
s
θ
6. Donner le schéma fonctionnel de cet asservissement
7. Calculer la fonction de transfert en boucle fermée.
Exercice 4 :
Régulation de température
On s'intéresse dans ce problème à la régulation de température d'un flux liquide par convection. La
régulation est réalisée par mélange du liquide avec un flux de vapeur dans un réservoir de retenue.
Le liquide à réchauffer entre dans le réservoir avec le débit Q et à la température θ
e
. La vapeur entre dans le
réservoir avec le débit Qv. Le liquide sort du réservoir pratiquement avec le débit Q (on néglige Qv
devant Q) et à la température θ
S
. Le mélange étant supposé parfait et instantané, la température du liquide à
l'intérieur du réservoir est θ
S
.
Le rôle du régulateur consiste à maintenir constante la température de sortie θ
S
du liquide par l'intermédiaire de
Qv, malgré les variations de la température d'entrée θ
e
.
La température de sortie est mesurée par un capteur thermoélectrique qui donne une image de θ
S
sous
forme de tension électrique: u
s
= Ks θ
S
.
Le débit de vapeur est ajusté par la position angulaire α d'une vanne de réglage: Qv = K
1
α , elle-même
pilotée par un ensemble amplificateur-moteur-réducteur, fonction de l'écart entre une tension de consigne u
ref
et u
s
.
Les caractéristiques du système sont :
- Débit de passage du liquide: Q = 10 kg/s.
- Chaleur spécifique du liquide: C = 2.10
3
Joules/kg.deg.
- Masse de retenue liquide: M = 40 kg.
- Vanne d'admission: Qv = K
1
α ; avec K
1
= 10 m
3
/s/rad et α
max
= 1 rad.
- Flux énergétique dû à la vapeur: q
v
= K
2
.Q
v
, avec K
2
= 10
5
Joules/m
3
.
- Moteur à commande par l'induit :
Constante de couple k = 0,4 N.m/A
Induit : inductance négligeable, résistance r = 160 Ω
e
Moteur
uref
u
Réducteur
mécanique
α
αα
α
Q
θ
θθ
θe
Q
v
Q
θ
θθ
θs
A
+
-
θ
Vapeur
Ω
ΩΩ
Ω

Inertie totale ramenée sur l'arbre moteur J = 10
-3
kg.m
2
Les frottements mécaniques sont négligeables.
- Coefficient de réduction: n=250.
- Coefficient thermoélectrique de mesure: Ks = 0,01 v/deg.
1. Quelle est la principale grandeur de perturbation?
2. Quelle est la grandeur de réglage ?
3. Pour la mise en équation, on rappelle les lois suivantes relatives à la conservation d’énergie :
La variation instantanée d'énergie d'une masse M à la température d θ pendant une variation du temps dt, dont
la chaleur spécifique est C est égale à:
d
M C
dt
θ
Le flux énergétique dû à un débit Q de liquide, dont la chaleur spécifique est C et dont la température θ
est :
Q C
θ
a- Conservation de l'énergie
Ecrire l'équation de bilan énergétique du réservoir (la variation d'énergie instantanée du réservoir est égale à la
somme des flux d'énergie qui entrent moins la somme de ceux qui sortent).
b- Butée de la vanne
En écrivant l'équation précédente en régime permanent, montrer que le dispositif permet le maintien de θ
s
à 60°
avec α = 1 radian (limite mécanique de la vanne), tant que θ
e
> 10°.
c- Équations de la commande de vanne
Ecrire les équations mécanique et électrique de la commande de vanne. Pour cette question, on considère le
sous-système dont l'entrée est e et la sortie est α . Donner la fonction de transfert du bloc α (p)/e(p).
d- Équations complètes
Résumer l'ensemble des équations de Laplace du système. Distinguer celles du régime statique et celles du
régime dynamique.
e- Schéma fonctionnel
Compléter le schéma fonctionnel du système
Exercice 5 :
Comparaison entre commande en
boucle ouverte et commande en boucle fermée
On considère un moteur à courant continu dont on cherche à réguler sa vitesse de rotation Ω (t) et de réduire
l’effet d’un couple perturbateur C
r
(t).
Le moteur a les caractéristiques suivantes:
- Le champ magnétique est crée par un aimant permanent (Pas de circuit inducteur)
- Moment d’inertie de la partie tournante est J =10
-3
Kgm
2
.
- Enroulement induit est équivalent à la mise en série de la f.c.e.m e(t) et d’une résistance R= 4.5 ohms; soit:
u
s
e
α
Qv
u
ref
θ
s
θ
e
A
K
1
b

( ) ( ) ( )
( ) ( ).
m
v t e t RI t
e t k t
= +
= Ω
La constante caractéristique du moteur k
m
= 0.095 vs/rd
On note C
r
l’ensemble des composantes constituant le couple résistant et C
m
le couple moteur supposé
proportionnel au courant induit. On a alors:
( )
( ) ( )
( ) ( ).
m r
m m
d t
C t C t J
dt
C t k I t
Ω
− =
=
1. Montrer que l’ensemble des équations conduit au schéma fonctionnel suivant :
Préciser la signification et la dimension des différents coefficients apparaissant dans les fonctions de transfert H
1
et H
2
.
Ecrire Ω (p) en fonction des fonctions de transfert H
1
(p), H
2
(p) et des entrées C
r
(p) et v(p).
2. Le système fonctionne en boucle ouverte selon la figure 2.60, c'est-à-dire, le système n’est pas régulé
(commande en boucle ouverte).
Le couple résistant C
r
est supposé nul (charge mécanique débrayée). On applique un échelon de tension v =10v.
a- Déterminer l’expression de la réponse Ω (t), et préciser la valeur de la vitesse Ω
f
en régime permanent et le
temps de réponse T
r
à 5%. Tracer cette réponse.
b- Le couple résistant est à présent constant et d’amplitude C
ro
=0.042 Nm. Calculer la nouvelle vitesse en régime
permanent Ω
fp
. En déduire la variation de la vitesse ∆Ω due à C
ro
.
3. Le système fonctionne en boucle fermée comme il est montré sur la figure 2.64 où :
k représente le gain d’un amplificateur.
K
p
est la sensibilité du capteur de vitesse égale à k
m
.
V
r
est la tension de consigne.
R
e(t)
Charge
mécanique
v(t)
Ω
ΩΩ
Ω
(t)
I(t)
-
+
C
r
v
H2(p)
Ω
H1(p)