Exercices relatifs aux schémas fonctionnels

Exercices relatifs aux schémas fonctionnels.
Exercice 1 :
Réduction de schéma fonctionnel
On considère le schéma fonctionnel d’un système donné par la figure 2.57 avec :
k
k1
k2
H3 = 3 H 4 = k 4
H1 =
H2 =
1+ T1p
1+ T2 p
p
c +
e
H1
H2
+
H3
y
+
H4
1. Calculer la fonction de transfert en boucle ouverte y(p)/e(p)
2. Calculer la fonction de transfert en boucle fermée y(p)/c(p)
3. Calculer la fonction de transfert e(p)/c(p)
4. Quelle remarque peut-on faire sur ces différentes fonctions de transfert ?
Exercice 2 :
Régulation de niveau
La figure suivante représente une installation dont l’objectif est le maintien du niveau h constant et égal à une
consigne Wc malgré les perturbations.
LC
Y
I /P
Légende
- LT : Transmetteur de niveau
- LC : Régulateur de niveau
- LY : Convertisseur
courant/pression
- LV : Vanne de contrôle de niveau
- HV : Vanne manuelle
- Trait avec 2 barres : Signal
pneumatique
- Trait en pointillé : Signal
électrique
- Trait en gras : conduite
LY
P
Qa
X
Qe
LV
h
LT
Qs
HV
Le module LC permet de comparer la mesure X à la consigne Wc (interne) et d’envoyer un signal de réglage
selon une loi de commande non précisée ici, vers le convertisseur I/P afin d’ajuster le débit Qe. Qs et Qa
représentent respectivement le débit d’utilisation et le débit d’un produit additif.
1. Quelle est la grandeur régulée et par quelle grandeur elle est représentée ?
2. Quelle est la grandeur de réglage ?
3. Quelles sont les grandeurs de perturbation ?
4. Proposer un schéma fonctionnel de cette installation en faisant figurer les différents constituants et en
précisant l’entrée et la sortie de chacun d’eux.
Exercice 3 :
Etude d’un servomécanisme
On considère le système asservi suivant :
θs
R2
Ps
R1
Pe
-
+
θe
i
A1
A2
R1
V2
V1
R2
Ve
Vs
M
6v
Il est constitué des éléments suivants :
- Un système de deux potentiomètres identiques P1 et P2 donnant une rotation totale de 6 radians et alimentés par
une tension commune de 6 v. On obtient ainsi entre les deux curseurs des potentiomètres et la masse générale du
système, deux tensions V1 et V2 proportionnelles aux angles de rotation des potentiomètres, soit : V1 = k θe et
V2 = k θs.
- Un moteur à courant continu M, à flux constant produit par un aimant permanent, délivrant un couple moteur
proportionnel au courant dans l’induit, soit Cm = kc i. L’enroulement induit admet une résistance Rm et une
inductance supposée négligeable. Par ailleurs sa force électromotrice (f.c.e.m) E, est proportionnelle à la vitesse
angulaire de rotation, soit E = ke Ω.
- Une chaîne d’amplification composée:
d’un amplificateur opérationnel A1, de gain infini, de résistance d’entrée infinie et de résistance de sortie
négligeable devant sa charge.
d’un amplificateur de puissance A2, dont l’amplification en tension à vide est égale à 1, et dont la résistance de
sortie est Rs.
On suppose que toutes les causes de frottements mécaniques sont négligeables de sorte que le moteur Cm
d’identifie au couple dû à l’inertie : C m = J
dΩ
dt
On traitera le problème avec les valeurs numériques suivantes :
kc
ke
R1
R2
Rm
Rs
J
0.2
mN/A
0.2
v.s/rd
1 kΩ
100 kΩ
25 Ω
5Ω
1.06 10-4
kg.m2
1. Préciser les rôles des potentiomètres P1 et P2.
2. Calculer la valeur du gain k et préciser sa dimension.
3. Le moteur est débranché. Calculer la fonction de transfert du montage monté autour de l’amplificateur
opérationnel A1 :
Ve(p)
où U= V1 – V2. Quel est son rôle ?
U(p)
4. Préciser le rôle de l’amplificateur opérationnel A2 .
5. Calculer la fonction de transfert du moteur M(p) =
θ s (p)
Vs(p)
6. Donner le schéma fonctionnel de cet asservissement
7. Calculer la fonction de transfert en boucle fermée.
Exercice 4 :
Régulation de température
On s'intéresse dans ce problème à la régulation de température d'un flux liquide par convection. La
régulation est réalisée par mélange du liquide avec un flux de vapeur dans un réservoir de retenue.
Vapeur
α
uref
Réducteur
mécanique
+
e
Q
θe
Q
v
A
u
Moteur
Ω
θ
Q
θs
Le liquide à réchauffer entre dans le réservoir avec le débit Q et à la température θe . La vapeur entre dans le
réservoir avec le débit Qv. Le liquide sort du réservoir pratiquement avec le débit Q (on néglige Qv
devant Q) et à la température θS. Le mélange étant supposé parfait et instantané, la température du liquide à
l'intérieur du réservoir est θS.
Le rôle du régulateur consiste à maintenir constante la température de sortie θS du liquide par l'intermédiaire de
Qv, malgré les variations de la température d'entrée θe.
La température de sortie est mesurée par un capteur thermoélectrique qui donne une image de θS sous
forme de tension électrique: us = Ks θS.
Le débit de vapeur est ajusté par la position angulaire α d'une vanne de réglage: Qv = K1 α, elle-même
pilotée par un ensemble amplificateur-moteur-réducteur, fonction de l'écart entre une tension de consigne uref
et us.
Les caractéristiques du système sont :
- Débit de passage du liquide: Q = 10 kg/s.
- Chaleur spécifique du liquide: C = 2.103 Joules/kg.deg.
- Masse de retenue liquide: M = 40 kg.
- Vanne d'admission: Qv = K1α ; avec K 1 = 10 m3 /s/rad et α max = 1 rad.
- Flux énergétique dû à la vapeur: qv = K2.Qv , avec K2 = 105 Joules/m3.
- Moteur à commande par l'induit :
Constante de couple k = 0,4 N.m/A
Induit : inductance négligeable, résistance r = 160Ω
Inertie totale ramenée sur l'arbre moteur J = 10 -3 kg.m2
Les frottements mécaniques sont négligeables.
- Coefficient de réduction: n=250.
- Coefficient thermoélectrique de mesure: Ks = 0,01 v/deg.
1. Quelle est la principale grandeur de perturbation?
2. Quelle est la grandeur de réglage ?
3. Pour la mise en équation, on rappelle les lois suivantes relatives à la conservation d’énergie :
La variation instantanée d'énergie d'une masse M à la température dθ pendant une variation du temps dt, dont
dθ
la chaleur spécifique est C est égale à: M C
dt
Le flux énergétique dû à un débit Q de liquide, dont la chaleur spécifique est C et dont la température θ
est : Q C θ
a- Conservation de l'énergie
Ecrire l'équation de bilan énergétique du réservoir (la variation d'énergie instantanée du réservoir est égale à la
somme des flux d'énergie qui entrent moins la somme de ceux qui sortent).
b- Butée de la vanne
En écrivant l'équation précédente en régime permanent, montrer que le dispositif permet le maintien de θs à 60°
avec α = 1 radian (limite mécanique de la vanne), tant que θe > 10°.
c- Équations de la commande de vanne
Ecrire les équations mécanique et électrique de la commande de vanne. Pour cette question, on considère le
sous-système dont l'entrée est e et la sortie est α. Donner la fonction de transfert du bloc α(p)/e(p).
d- Équations complètes
Résumer l'ensemble des équations de Laplace du système. Distinguer celles du régime statique et celles du
régime dynamique.
e- Schéma fonctionnel
Compléter le schéma fonctionnel du système
θe
e
uref
α
Qv
A
θs
K1
us
b
Exercice 5 :
Comparaison entre commande en
boucle ouverte et commande en boucle fermée
On considère un moteur à courant continu dont on cherche à réguler sa vitesse de rotation Ω(t) et de réduire
l’effet d’un couple perturbateur Cr(t).
Le moteur a les caractéristiques suivantes:
- Le champ magnétique est crée par un aimant permanent (Pas de circuit inducteur)
- Moment d’inertie de la partie tournante est J =10 -3 Kgm2.
- Enroulement induit est équivalent à la mise en série de la f.c.e.m e(t) et d’une résistance R= 4.5 ohms; soit:
v(t ) = e(t ) + RI (t )
e(t ) = km Ω(t ).
La constante caractéristique du moteur km= 0.095 vs/rd
On note Cr l’ensemble des composantes constituant le couple résistant et Cm le couple moteur supposé
proportionnel au courant induit. On a alors:
d Ω (t )
Cm (t ) − Cr (t ) = J
dt
Cm (t ) = km I (t ).
I(t)
Charge
mécanique
R
v(t)
Ω(t)
e(t)
1. Montrer que l’ensemble des équations conduit au schéma fonctionnel suivant :
Cr
H2(p)
-
v
H1(p)
+
Ω
Préciser la signification et la dimension des différents coefficients apparaissant dans les fonctions de transfert H1
et H2.
Ecrire Ω(p) en fonction des fonctions de transfert H1(p), H2(p) et des entrées Cr(p) et v(p).
2. Le système fonctionne en boucle ouverte selon la figure 2.60, c'est-à-dire, le système n’est pas régulé
(commande en boucle ouverte).
Le couple résistant Cr est supposé nul (charge mécanique débrayée). On applique un échelon de tension v =10v.
a- Déterminer l’expression de la réponse Ω(t), et préciser la valeur de la vitesse Ωf en régime permanent et le
temps de réponse Tr à 5%. Tracer cette réponse.
b- Le couple résistant est à présent constant et d’amplitude Cro=0.042 Nm. Calculer la nouvelle vitesse en régime
permanent Ωfp. En déduire la variation de la vitesse ∆Ω due à Cro.
3. Le système fonctionne en boucle fermée comme il est montré sur la figure 2.64 où :
k représente le gain d’un amplificateur.
Kp est la sensibilité du capteur de vitesse égale à km.
Vr est la tension de consigne.
Cr
Vr
H2(p)
-
+
k
v
H1(p)
+
Ω
Vp
Kp
a- Montrer que Vp(p) peut s’écrire sous la forme:
Vp (p) = H1' (p) Vr (p) - H'2 (p) Cr (p)
b- On suppose que le système n’est pas perturbé (Cr = 0).
On demande de calculer :
- La fonction de transfert en boucle fermée et de la mettre sous la forme H1' ( p ) =
K0
1 + T0 p
- La valeur de k qui permet de réduire le temps de réponse de moitié (Tr’=Tr/2).
- La tension de consigne qu’il faut appliquer de manière à avoir la même vitesse Ωf.
c- On suppose que la charge est montée (Cr≠0) suite à l’application du couple perturbateur Cro. En déduire la
variation de la vitesse ∆Ω.
4. Conclure sur l’intérêt du fonctionnement en boucle fermée par rapport au fonctionnement en boucle ouverte.