Cours de Calcul Formel : Résumé

Cours de Calcul Formel : R´esum´e
Eric Sanlaville
17 juin 2009

Table des mati`eres
1 Introduction 1
1.1 Pr´esentation.............................. 1
1.2 Liensetpr´erequis........................... 1
1.3 Historique............................... 2
1.4 Bibliographie ............................. 2
2 Bases du calcul formel 3
2.1 Questions de repr´esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 Repr´esentation des grands nombres entiers . . . . . . . . 3
2.1.2 Repr´esentation d’autres nombres . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.3 Repr´esentation des polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Rappels d’alg`ebre : anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.1 Divisibilit´e et Anneaux Factoriels . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2 Anneaux Euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.3 Exemples ........................... 6
3 arithm´etique 7
3.1 Op´erations arithm´etiques de base, algorithmes na¨ıfs . . . . . . . 7
3.1.1 Evaluation de polynˆomes monovalu´es . . . . . . . . . . . . 7
3.1.2 Addition............................ 8
3.1.3 Multiplication......................... 8
3.1.4 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Algorithmes plus performants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2.1 Horner pour l’´evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2.2 Karatsuba pour la multiplication . . . . . . . . . . . . . . 9
4 module 11
4.1 Algorithme d’Euclide et Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1.1 PGCD............................. 11
4.1.2 Relation de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1.3 Complexit´e Dans IZ ..................... 12
4.1.4 recherche du pgcd dans un anneau de polynˆomes A[X] . 12
4.2 calculmodulaire ........................... 13
4.2.1 Syst`emes d’´equations modulaires . . . . . . . . . . . . . . 14
iii

iv TABLE DES MATI ` ERES
4.2.2 m´ethode g´en´erale de calcul modulaire . . . . . . . . . . . 15
5 polynˆomes 17
5.1 Algorithme d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2 Algorithme de factorisation par interpolation . . . . . . . . . . . 18
5.3 Algorithme de factorisation dans IZp[X] .............. 18
5.3.1 Etape 1 : ´elimination des facteurs multiples . . . . . . . . 19
5.3.2 Etape 2 : factorisation partielle avec degr´es distincts . . . 19
5.3.3 Etape 3 : factorisation avec degr´es ´egaux des facteurs . . 20
5.3.4 Principe de l’algorithme d’´el´evation de Hensel . . . . . . . 21
5.3.5 Utilisation pour la factorisation dans IZ[X] ........ 22
5.4 algorithmeLLL............................ 22
5.4.1 Principe de l’algorithme de factorisation . . . . . . . . . 22
5.4.2 AlgorithmeLLL....................... 23

Chapitre 1
Introduction
1.1 Pr´esentation
On voit souvent un ordinateur comme un calculateur, c’est `a dire une ma-
chine calculant les r´esultats d’op´erations sur des nombres. Mais un ordinateur
peut ´egalement manipuler des symboles. Il peut mˆeme manipuler des formules,
des ´equations,... sur ces symboles. Ces manipulations sont importantes pour des
applications tr`es vari´ees. Le premier int´erˆet est de pouvoir obtenir des r´esultats
exacts (c’est `a dire sans approximation). Le second est d’obtenir des r´esultats
impossibles par un calcul num´erique (par exemple la simplification d’une ex-
pression ou d’une fraction, l’expression d’une primitive) mais tr`es utiles pour
des applications en physique, m´ecanique,...
D´efinition 1 (Essai de premi`ere d´efinition) Le calcul formel est la disci-
pline de la manipulation des symboles math´ematiques, en vue d’obtenir les r´esul-
tats exacts de calculs complexes, essentiellement sur des nombres ou des
polynˆomes.
Terminologies employ´ees : calcul formel, calcul symbolique, alg`ebre computa-
tionnelle. Le troisi`eme terme (computer alg´ebra) met bien l’accent sur le do-
maine math´ematique le plus concern´e par le calcul formel, l’alg`ebre.
1.2 Liens et pr´erequis
Fondements math´ematiques utilis´es :
– Arithm´etique (th´eorie des nombres, op´erations ´el´ementaires) ;
– Alg`ebre (structures : anneau et corps, ´equations, polynˆomes) ;
– Alg`ebre Lin´eaire (syst`emes d’´equations, matrices et d´eterminants)
Algorithmique :
– correction des algorithmes ;
– complexit´e algorithmique en temps et espace ;
– algorithmique exacte : structure de donn´ees, calculs exacts.
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