Correction ThèseOD_ED - Université Francois Rabelais

izbicki
UNIVERSITÉ FRANÇOIS – RABELAIS DE TOURS
ÉCOLE DOCTORALE EMSTU
GREMAN
THÈSE
présentée par :
Oumar DIALLO
soutenue le : 28 juin 2013
pour obtenir le grade de : Docteur de l’université François – Rabelais de TOURS
Discipline/ Spécialité : Sciences Pour l’Ingénieur / Génie Electrique
Modélisation de l’admittance électrique de
cubes piézoélectriques :
application à la caractérisation fonctionnelle
de céramiques
THÈSE dirigée par :
M. FEUILLARD Guy
M. LE CLEZIO Emmanuel
Professeur, ENI Val de Loire
Professeur, IES Université Montpellier 2
RAPPORTEURS :
M. DELEBARRE Christophe
M. LASAYGUES Philippe
Professeur, Université de Valenciennes
Ingénieur de Recherche (HDR), CNRS-LMA Marseille
JURY :
M. DELEBARRE Christophe
M. FEUILLARD Guy
M. IZBICKI Jean Louis
M. LASAYGUES Philippe
M. LE CLEZIO Emmanuel
Professeur, Université de Valenciennes
Professeur, ENI Val de Loire
Professeur, Université du Havre
Ingénieur de Recherche (HDR), CNRS-LMA Marseille
Professeur, IES Université Montpellier 2
MEMBRE INVITE :
M. ADJ Mamadou
Professeur, ESP Université C.A.D de Dakar
A mon frère, SOULEYMANE (29/09/1975-15/12/2012),
Je sais que de la haut tu continues
à me guider vers le droit chemin.
Tu seras à jamais dans mon cœur.
Repose en Paix mon frère.
A ma femme, Raby, pour son soutien, sa patience
et l’aide précieuse qu’elle m’a apporté.
A ma fille, princesse Aissata Oumar, pour
avoir illuminé ma vie.
A mes parents, à ma famille, une profonde marque de reconnaissance,
votre appui, vos conseils ont contribué à l’aboutissement
de ce travail.
Sois le meilleur, quoi que tu sois.
El Hadji Oumar TALL (1797-1864)
Remerciements
Ce travail de thèse s’est déroulé au sein du pôle Acoustique et Piézoélectricité
du Groupe de Recherche en Matériaux, Microélectronique, Acoustique et Nanotechnologies
(GREMAN) dans les locaux de l’École Nationale d’Ingénieurs du Val de Loire (ENIVL). Je
remercie monsieur Marc Lethiecq pour m’avoir accueilli au sein de ce laboratoire, ainsi que
monsieur Romuald Boné pour m’avoir permis d’effectuer mes travaux au sein de son école.
Je tiens à exprimer mes sincères remerciements à messieurs Guy Feuillard et
Emmanuel Le Clezio pour avoir dirigé conjointement ce travail.
Je remercie vivement monsieur Jean-Louis Izbicki pour m’avoir fait l’honneur
de présider mon jury ainsi que monsieur Christophe Delebarre et monsieur Philippe
Lasaygues de l’attention qu’ils auront porté à mes travaux et leurs remarques pertinentes.
Je remercie monsieur Mamadou Adj pour avoir accepté mon invitation de
participer au jury dans une pérode très chargée pour un directeur d’école d’ingénieur.
Je remercie chaleureusement l’ensemble des collègues du laboratoire, et plus
particulièrement monsieur Pascal Tran, pour leur soutien quotidien.
Je remercie monsieur Dimitri E. Manga pour sa disponibilité, sa sollicitude et
ses conseils. Je remercie tous les doctorants et post-doctorants que j’ai eu à croiser pendant
mes années de thèse.
Je finirai en remerciant le Président de la République du sénégal et tous les
membres de l’APR/France pour leur soutien moral et affectif.
Table des matières
Table des matières ........................................................................................................... i
Liste des tableaux ........................................................................................................... v
Liste des figures ............................................................................................................ vii
Liste des annexes ........................................................................................................... ix
Introduction .................................................................................................................... 1
Chapitre I : Généralités sur les matériaux piézoélectriques et les systèmes
ultrasonores
5
I.1 La piézoélectricité et les matériaux piézoélectriques ......................................... 5
I.1.1
Définition ................................................................................................... 5
I.1.2
Principe de la piézoélectricité .................................................................... 5
I.1.3
Différents matériaux piézoélectriques ........................................................ 7
I.2 Equations de base de la piézoélectricité ........................................................... 11
I.2.1
Introduction .............................................................................................. 11
I.2.2
Formalisme général des coefficients piézoélectriques ............................. 11
I.2.3
Rappel des équations de la piézoélectricité linéaire ................................. 12
I.3 Intérêt de la caractérisation des matériaux ....................................................... 15
I.4 Conclusion ........................................................................................................ 16
Première partie Théorie sur la Spectroscopie de Résonance Ultrasonore .................... 17
Chapitre II : Mode de vibration d’un cube piézoélectrique : approche variationnelle
19
II.1
Introduction .................................................................................................. 19
II.2
Mise en équation .......................................................................................... 19
II.3
Vibrations libres : parallélépipède sans électrode ........................................ 21
II.3.1 La Méthode de Rayleigh-Ritz .................................................................. 21
II.3.2 Choix des fonctions de base ..................................................................... 23
II.3.3 Résultats des simulations ......................................................................... 25
II.4
Vibrations semi-libres : cube avec une électrode sur la surface x3=-L3 ....... 30
II.4.1 Calcul de l’équation aux valeurs propres ................................................. 30
II.4.2 Choix des fonctions de bases ................................................................... 31
II.4.3 Résultats de la simulation......................................................................... 33
II.5
Conclusion .................................................................................................... 36
i
Chapitre III :
Modélisation de l’admittance électrique, extension de la méthode
variationnelle
37
III.1
Introduction .................................................................................................. 37
III.2
Vibrations forcées : cube avec deux électrodes sur la surface x3=-L3 et sur
x3=L3
38
III.2.1 Calcul de la nouvelle équation aux valeurs propres ............................... 38
III.2.2 Résultats de la simulation ....................................................................... 40
III.3
L3
Calcul de la matrice d’admittance : cube avec électrodes sur les faces –L3 et
42
III.3.1 Résultats de simulation : Validation du modèle d’admittance ............... 43
III.3.2 Résultats de simulation : Modélisation du spectre d’admittance d’un cube
48
III.4
Conclusion .................................................................................................... 50
Deuxième partie
Etude Expérimentale ................................................................... 51
Chapitre IV : Spectre de vibration d’un cube piézoélectrique ................................... 53
IV.1
Introduction .................................................................................................. 53
IV.2
Dispositifs expérimentaux ............................................................................ 53
IV.2.1 Excitation électrique et détection optique du spectre de vibration d’un
cube piézoélectrique ......................................................................................................... 53
IV.2.2 Dispositif de mesure d’admittance électrique ........................................ 55
IV.3
Mesures des vibrations sur un cube de propriétés connues .......................... 55
IV.3.1 Mise en place de l’excitation .................................................................. 55
IV.3.2 Résultats expérimentaux ......................................................................... 56
IV.3.3 Comparaison théorie-expérience : .......................................................... 60
IV.4
Mesures électriques sur un cube de propriétés connues ............................... 65
IV.4.1 Comparaison entre mesure électrique et mesure de vibration : .............. 66
IV.4.2 Comparaison théorie expérience : .......................................................... 67
IV.4.3 Discussion............................................................................................... 68
IV.5
Conclusion .................................................................................................... 69
Chapitre V : Evaluation des pertes globales ramenées d’un cube piézoélectrique .... 71
V.1
Introduction des pertes dans les modèles de vibration d’un cube ................ 71
V.1.1 Prise en compte des pertes mécaniques et diélectriques .......................... 71
V.1.2 Impact sur le déplacement mécanique ..................................................... 72
ii
V.1.3 Impact sur l’admittance électrique ........................................................... 72
V.2
Evaluation des pertes sur un cube de propriétés connues ............................ 72
V.2.1 Mesure des pertes mécaniques ................................................................. 72
V.2.2 Mesure des pertes électriques .................................................................. 74
V.3
Conclusion .................................................................................................... 76
Troisième partie Caractérisations tensorielles des céramiques .................................... 77
Chapitre VI : Stratégie d’inversion et caractérisations tensorielles de céramiques ... 79
VI.1
Méthodes de traitement inverses : stratégie d’inversion .............................. 79
VI.1.1 Introduction ............................................................................................ 79
VI.1.2 Sensibilité des fréquences de résonance aux paramètres d’entrée ......... 79
VI.1.3 Sensibilité des amplitudes des résonances aux paramètres d’entrée ...... 80
VI.1.4 Ajustement global du spectre d’admittance............................................ 81
VI.2
Caractérisations tensorielles à partir des mesures électriques ...................... 82
VI.2.1 Introduction ............................................................................................ 82
VI.2.2 Résultats pour la céramique PMN-34,5PT ............................................. 83
VI.2.3 Optimisation des pertes électriques et mécaniques ................................ 84
VI.2.4 Fiabilité des résultats obtenus ................................................................. 84
VI.2.5 Résultats pour la céramique PZ-21:........................................................ 92
VI.2.6 Détermination des propriétés d’autres matériaux ................................... 95
VI.3
Conclusion .................................................................................................... 96
Chapitre VII : Effet de la taille de l’électrode sur le spectre d’admittance électrique
99
VII.1
Introduction .............................................................................................. 99
VII.2
Calcul de l’admittance électrique d’un cube avec une électrode partielle 99
VII.2.1 Choix des fonctions de base .................................................................. 99
VII.2.2 Calcul des nouvelles
diélectriques
matrices d’interaction piézoélectrique et
100
VII.3
Validation sur un cube de PMN 34,5PT ................................................ 104
VII.4
Application à des cubes de Pz27 ............................................................ 105
VII.4.1 Présentation des échantillons .............................................................. 105
VII.4.2 Comparaison des différents spectres d’admittance ............................. 105
VII.5
Conclusion .............................................................................................. 107
Conclusion et Perspectives ......................................................................................... 109
iii
Annexes ......................................................................................................................... A
Bibliographie ............................................................................................................... CC
Résumé .......................................................................................................................... C
Abstract.......................................................................................................................... D
iv
Liste des tableaux
Tableau I-1 : Les 14 Réseaux de Bravais ................................................................................... 9
Tableau I-2 : Glossaire des abréviations de la piézoélectricité (M Brissaud, 1991) ................ 12
Tableau I-3 : Constante physique des matériaux piézoélectriques .......................................... 16
Tableau II-1 : Définition de la matrice d’interaction élastique ................................................ 23
Tableau II-2 : Définition de la matrice d’interaction piézoélectrique ...................................... 23
Tableau II-3 : Définition de la matrice d’interaction diélectrique ........................................... 23
Tableau II-4 : Propriétés d’une céramique de PMN-34,5PT (Delaunay et al., 2008). ............. 26
Tableau II-5 : Fréquences propres (en Hz) d’un cube de PMN-34,5PT .................................. 28
Tableau II-6 : Calcul de l’écart fréquentiel d’un cube de PMN-34,5PT de dimension
10x10x10 dû à la métallisation sur la face x3=-L3 ........................................................... 33
Tableau II-7 : Comparaison des déformées modales sur la face L3 dans les cas cube sans
électrode et cube avec une électrode ................................................................................ 34
Tableau II-8 : Comparaison des fréquences des modes retrouvés ........................................... 35
Tableau III-1 : Déformation de la face L3 dans le cas d’un cube avec deux électrodes........... 40
Tableau III-2 : Comparaison des fréquences de même mode. ................................................. 41
Tableau III-3 : Fréquences de résonance et d’antirésonance (modèle de Mason) ................... 44
Tableau III-4 : Fréquences de résonance et d’antirésonance (modèle variationnelle) ............. 45
Tableau III-5 : Comparaison des fréquences obtenues des deux modèles ............................... 46
Tableau III-6 : Fréquences piézoélectriquement couplées et numéros associés. ..................... 49
Tableau IV-1 : Fréquence des résonances sensibles au centre de la face ................................ 58
Tableau IV-2 : Fréquence des résonances sensibles au centre de la face ................................ 59
Tableau IV-3 : Fréquence des résonances sensibles au centre de la face ................................ 60
Tableau IV-4 : Comparaison entre modes et fréquences théoriques et expérimentaux ........... 61
Tableau IV-5 : Comparaison entre modes et fréquences théoriques et expérimentaux ........... 62
Tableau IV-6 : Comparaison entre modes et fréquences théoriques et expérimentaux ........... 64
Tableau IV-7 : Fréquences couplées piézoélectriquement ....................................................... 66
Tableau IV-8 : Comparaison entre modes théoriques et expérimentales. ................................ 68
Tableau V-1 : Facteur de qualité et pertes mécaniques sur les différentes résonances. ........... 73
Tableau VI-1 : Sensibilité des fréquences de résonance aux propriétés du matériau .............. 80
Tableau VI-2 : Sensibilité de l’amplitude des résonances aux propriétés du matériau............ 81
Tableau VI-3 : Propriétés d’une céramique PMN-34,5PT extraites grâce au modèle au modèle
d’admittance. .................................................................................................................... 83
v
Tableau VI-4 : Comparaison entre modes et fréquences théoriques et expérimentaux ........... 86
Tableau VI-5 : Comparaison des fréquences expérimentales et théoriques ............................. 87
Tableau VI-6 : Comparaison entre modes et fréquences théoriques et expérimentaux ........... 87
Tableau VI-7 : Comparaison des fréquences expérimentales et théoriques ............................. 89
Tableau VI-8 : Comparaison entre modes et fréquences théoriques et expérimentaux ........... 90
Tableau VI-9 : Comparaison des fréquences expérimentales et théoriques ............................. 91
Tableau VI-10 : Propriétés d’une céramique de PZ-21PT ....................................................... 93
Tableau VI-11 : Comparaison des fréquences théoriques et expérimentales des groupes
identifiés ........................................................................................................................... 95
Tableau VI-12 : Tableau récapitulatif des propriétés de matériaux caractérisés avec
l’admittance électrique ..................................................................................................... 96
Tableau VII-1 : Nouvelles définitions des Gk de la matrice interaction piézoélectrique ....... 102
Tableau VII-2 : Nouvelles définitions des Gk de la matrice interaction diélectrique............. 103
vi
Liste des figures
Figure I-1 : Illustration des effets piézoélectriques .................................................................... 6
Figure I-2 : Orientation idéale des dipôles (Le Dren, 2000) ..................................................... 6
Figure I-3 : Classification des différents matériaux ................................................................... 7
Figure I-4 : Composantes des tenseurs élastiques, piézoélectriques et diélectriques suivant les
classes de symétrie ........................................................................................................... 14
Figure II-1 : Parallélépipède rectangle de dimensions 2L1,2L2,2L3: utilisé pour la
spectroscopie. ................................................................................................................... 20
Figure II-2 : Evolution des fréquences normalisées en fonction du degré ............................... 27
Figure II-3 : Déformée modale d’un cube de PMN-34,5PT ..................................................... 28
Figure II-4 : Potentiel électrique d’un cube de PMN-34,5PT .................................................. 29
Figure II-5 : Parallélépipède Rectangle avec électrode sur la face x3=-L3. ............................ 30
Figure III-1 : Parallélépipède Rectangle de dimensions 2L1, 2L2, 2L3 avec deux électrodes. . 38
Figure III-2 : Représentation graphique du polynôme de Legendre fn(x) pour les six premiers
ordres. .............................................................................................................................. 39
Figure III-3 : Plaque de matériau piézoélectrique avec deux faces métallisées. ..................... 43
Figure III-4 : Impédance et admittance d’une plaque PMN-34,5PT(modèle de Mason) ........ 44
Figure III-5 : Module de l’impédance et de l’admittance d’une plaque PMN-34,5PT. ........... 45
Figure III-6 : Champs de déplacement obtenu à la fréquence de résonance et ses
harmoniques. .................................................................................................................... 46
Figure III-7 : Déplacement particulaire selon x3 (x1=x2=0) pour les quatre fréquences de
résonances. ....................................................................................................................... 47
Figure III-8 : Impédance et admittance d’une plaque PMN-34,5PT calculée avec N=14. ..... 47
Figure III-9 : Module de l’admittance d’un Cube piézoélectrique PMN-34,5PT de dimension
10X10X10 mm 3. ............................................................................................................... 48
Figure IV-1 : Schéma de principe d’une mesure de vibration surfacique. .............................. 53
Figure IV-2 : Dispositif expérimental : Banc de mesure optique. ........................................... 54
Figure IV-3 : Schéma de principe d’une mesure d’admittance électrique. ............................. 55
Figure IV-4 : Schéma d’excitation électrique pour un cube sans électrode (métal en gris).... 56
Figure IV-5 : Schéma d’excitation électrique pour un cube avec une électrode (métal en gris).
.......................................................................................................................................... 56
Figure IV-6 : Réponse temporelle du cube dépourvu d’électrode (mesure de vitesse au centre
de la face). ........................................................................................................................ 57
vii
Figure IV-7 : Vitesse de vibration en fonction de la fréquence (milieu et coin de la face) ..... 57
Figure IV-8 : Vitesse de vibration en fonction de la fréquence. .............................................. 58
Figure IV-9 : Vitesse de vibration surfacique en fonction de la fréquence. ............................. 59
Figure IV-10 : Comparaison des trois spectres expérimentaux (bleu : sans électrode ; noir :
avec une électrode et rouge : avec deux électrodes). ....................................................... 65
Figure IV-11 : Mesures électriques : partie réelle et imaginaire de l’impédance et
l’admittance électrique d’un cube de PMN-34,5PT......................................................... 66
Figure IV-12 : Comparaison des fréquences de résonnances électriques et mécaniques
expérimentales .................................................................................................................. 67
Figure IV-13 : Comparaison des spectres d’admittance théorique (noir) et expérimental
(rouge). ............................................................................................................................. 67
Figure V-1 : Admittance électrique après l’introduction des pertes mécanique. .................... 74
Figure V-2 : Tangente des admittances électriques expérimentale (noir) et théorique (bleu). 75
Figure V-3 :
Admittances électriques (en bleu pertes mécaniques seules et en noir après
introduction des pertes électriques). ................................................................................ 75
Figure VI-1 : Schéma du principe de minimisation ................................................................. 79
Figure VI-2 : Schéma du principe de l’algorithme du simplexe .............................................. 82
Figure VI-3 : Partie réelle de l’admittance électrique : théorie (rouge) et expérience (noir) 85
Figure VI-4 : Partie imaginaire de l’admittance électrique : théorie (rouge) et expérience
(noir)................................................................................................................................. 85
Figure VI-5 : Admittance électrique du cube de PZ-21PT : expérimentale (noir) et théorie
(bleu) après ajustement .................................................................................................... 94
Figure VII-1 : Cube piézoélectrique avec une électrode entière et une électrode partielle .... 99
Figure VII-2 : Schéma de principe du calcul des matrices d’interactions............................. 101
Figure VII-3 : Module de l’admittance électrique d’un cube de PMN34,5PT avec une
électrode partielle .......................................................................................................... 104
Figure VII-4 : Configuration de l’électrode supérieure des échantillons .............................. 105
Figure VII-5 : Comparaison des cinq spectres théoriques de l’admittance électrique ......... 106
Figure VII-6 : Evolution de la résonance principale en fonction de la surface de l’électrode
(rouge : théorie et bleu : expérience) ............................................................................. 107
viii
Liste des annexes
Annexe 1 : Description des Dij, Eij et Fij dans le cas du cube sans électrode .......................... B
Annexe 2 : Description des coefficients des matrices d’interaction piézoélectrique et
diélectrique dans le cas du cube avec une électrode .......................................................... E
Annexe 3 : Calcul d’intégral ..................................................................................................... H
Annexe 4 : Calculs des coefficients des matrices d’interaction piézoélectrique et diélectriques I
Annexe 5 : Comparaison des champs de déplacement dans les trois cas (sans électrode, avec
une électrode et avec deux électrodes) ............................................................................... P
Annexe 6 : Le simplexe ............................................................................................................. U
Annexe 7 : Comparaison des champs vitesse théoriques et expérimentaux .............................. Z
ix
x
Introduction
1
Elément fondamental du système ultrasonore, le transducteur (élément émetteurrécepteur d’ultrasons) assure la conversion de l’énergie électrique en énergie mécanique, et
vice et versa.
Les progrès techniques réalisés dans le domaine des transducteurs et dans celui du
traitement des données ont permis d’étendre l’utilisation des ultrasons à de nouveaux champs
d’applications en thérapie. Citons notamment : l’ablation de tissus, la cautérisation, le
traitement des varices, la lipoplastie (en chirurgie esthétique), la lithotritie (destruction de
calculs rénaux) ou encore la régénération de tissus (principalement utilisée en kinésithérapie)
(Chapelon et al., 2000; Souchon et al., 2003).
L’optimisation des transducteurs ultrasonores s’est essentiellement portée sur deux
points. Premièrement, l’élément actif piézoélectrique, qui constitue le cœur du transducteur, a
vu ses performances s’améliorer constamment et se diversifier pour répondre aux besoins
spécifiques de chaque application. Deuxièmement, le développement de modèles équivalents
pour le résonateur piézoélectrique a permis de mettre au point des méthodes d’optimisation de
transducteurs. Ces méthodes visent essentiellement à caractériser les matériaux afin d’obtenir
un compromis sensibilité/bande passante adapté à l’application souhaitée. Les méthodes de
caractérisation les plus utilisées sont :
•
la méthode IRE : elle est la méthode de base de la caractérisation des céramiques. Elle
est décrite dans le standard IEEE (IEEE, 2002). Elle consiste à mesurer l'impédance
électrique (partie réelle et partie imaginaire) de plusieurs échantillons de formes et de
dimensions différentes en fonction de la fréquence. Les propriétés du matériau
(propriétés électromécaniques, coefficients de couplage, facteurs de qualités
mécanique) sont extraites à partir de ces mesures.
•
la méthode de Berlincourt : elle permet de mesurer le coefficient piézoélectrique d33
(Barzegar, Damjanovic, & Setter, 2004; Berlincourt, Curran, & Jaffe, 1964).
L'échantillon est placé entre deux pièces métalliques et soumis à une contrainte
d’amplitude connue. Les deux pièces métalliques sont connectées à un condensateur.
Ce dernier est chargé par le courant produit par l'effet piézoélectrique. Le coefficient
piézoélectrique d33 est déterminé grâce à la mesure de la charge totale du
condensateur.
•
les méthodes électriques basées sur l’ajustement d’un modèle unidimensionnel qui
permet non seulement la modélisation de transducteur mais aussi la caractérisation
2
fonctionnelle d’hétéro-structures à partir de mesures électriques (Maréchal, Levassort,
Tran-Huu-Hue, & Lethiecq, 2007).
•
la spectroscopie de résonance acoustique : elle permet de déduire les propriétés
électromécaniques des céramiques à partir des mesures de fréquences propres d’un
échantillon (Delaunay et al., 2008; Demarest, 1971; Ohno, 1976)
Les trois premières sont les plus utilisées mais aussi les plus anciennes. Elles
nécessitent le plus souvent l’utilisation de plusieurs échantillons. Au contraire la
spectroscopie acoustique, plus récente, utilise un seul échantillon (Delaunay et al., 2008).
Cependant, le dispositif expérimental n’est pas facile à réaliser et le matériel nécessaire est
très souvent coûteux. C’est dans ce contexte que Delaunay et al. ont intégré une excitation
électrique au dispositif expérimental à la place des transducteurs. D’autre part, les mesures
des vibrations surfaciques sont parfois très difficiles à faire (problème de focalisation du
laser….) et très longues (plusieurs heures pour cartographier une surface). Les modèles
théoriques associés donnent plusieurs fréquences propres en fonction du degré choisi
(Delaunay et al., 2008; Brian Zadler, Scales, Le Rousseau, & Smith, 2002). Il faudra donc
mettre en place un processus d’identification des modes propres excités (et des fréquences
associées) en comparant les champs de déplacement théoriques et expérimentaux.
Ce travail a pour objectif de mettre en place des outils théoriques et expérimentaux
permettant de caractériser les matériaux à partir d’un seul échantillon et dans des délais
raisonnables (un jour au maximum). La méthode doit être accessible, le banc d’essai se doit
donc d’être simple et moins onéreux que celui des mesures Laser. Dans ce travail, les
méthodes expérimentales IRE et théoriques de spectroscopie de résonance sont utilisées pour
calculer l’admittance électrique de matériaux parallélépipédiques par une méthode
variationnelle. Ce modèle a été comparé à des mesures d’admittance obtenues via un
analyseur d’impédance.
Le manuscrit est composé d’un chapitre introductif et de trois parties. Le premier
chapitre, essentiellement basé sur la littérature (Auld, 1990; Berlincourt et al., 1964; Michel
Brissaud, 2007; Royer & Dieulesaint, 1996, 1999), présente les matériaux piézoélectriques et
les équations classiques de la piézoélectricité.
La première partie est composée de deux chapitres. Le premier chapitre repose sur les
travaux d’Ohno (Ohno, 1976) et de Delaunay (Delaunay et al., 2008) sur la modélisation des
modes propres de vibration d’un cube piézoélectrique. Ces modes propres sont calculés par
une méthode variationnelle qui consiste à minimiser l’énergie du système. Les fréquences
3
propres et les modes prédits seront comparés pour quantifier l’influence de l’électrode. Le
second chapitre étend cette approche à un cube métallisé sur deux faces. Les fréquences
propres du nouveau système sont comparées à celles obtenues précédemment. Ceci permet
d’exprimer l’admittance électrique de matériaux de géométries parallélépipédiques. Ce
modèle d’admittance est d’abord appliqué à une plaque piézoélectrique. Les résultats obtenus
sont comparés aux résultats de modèles unidimensionnels. Ce modèle est ensuite appliqué à
des matériaux de forme cubique.
La seconde partie, également composée de deux chapitres, présente d’abord les
dispositifs expérimentaux, puis les résultats expérimentaux et finalement l’impact des pertes
électriques et mécaniques sur le modèle d’admittance. Le dispositif autour du Laser permet de
mesurer les fréquences de vibration du matériau et les modes correspondants. Ces fréquences
sont comparées aux fréquences propres de vibration du cube. L’admittance électrique,
mesurée par un dispositif d’impédancemetrie, est comparée à celle théorique.
La troisième et dernière partie de ce travail présente les stratégies d’inversion
permettant de résoudre le problème inverse et les résultats de la caractérisation de cubes de
PMN-34,5PT et de PZ-21, PZ-27, PZ52 et PZ54 mais aussi l’influence de la métallisation sur
le spectre d’admittance électrique.
4
Généralités sur les matériaux piézoélectriques et les systèmes ultrasonores
Chapitre I : Généralités sur les matériaux
piézoélectriques et les systèmes ultrasonores
I.1 La piézoélectricité et les matériaux piézoélectriques
I.1.1
Définition
Jacques et Pierre Curie ont découvert en 1880 l'effet piézoélectrique. Cet effet est
présent dans des matériaux cristallins ne possédant pas de centre de symétrie. Il se traduit par
la capacité de certains matériaux à produire une charge électrique proportionnelle à la
contrainte mécanique qui les déforme (effet direct). La déformation résultante de l'application
d'un potentiel électrique est appelée l'effet inverse.
Ces deux effets permettent donc l'utilisation d'un cristal piézoélectrique à la fois
comme capteur et actionneur. L’effet piézoélectrique inverse permet de contrôler le
déplacement d'une structure en contrôlant la tension aux bornes de l'élément piézoélectrique.
De la même façon, l'effet piézoélectrique direct produira un potentiel électrique si le matériau
est déformé.
I.1.2
Principe de la piézoélectricité
Piézoélectricité naturelle
Certains cristaux, tel que le quartz, sont naturellement piézoélectriques. Une maille de
cristal de quartz est composée d’ions de silicium portant une charge électrique positive et
d’ions d’oxygène portant une charge électrique négative. En absence de déformation, le
barycentre des charges positives est confondu avec celui des charges négatives (Figure I-1) le
champ électrique résultant est donc nul. Si maintenant, une force de compression est
appliquée, la maille cristalline va se déformer, de sorte que le barycentre des charges positives
et celui des charges négatives s’écartent. Un dipôle électrique qui, par réaction, va faire
apparaître des charges de signes opposés sur les deux électrodes est ainsi créé : c’est l’effet
direct. Si au contraire un champ électrique est appliqué, sous l’effet de forces électrostatiques,
la maille va se déformer : c’est l’effet inverse. La Figure I-1 illustre ces deux effets.
5
Généralités sur les matériaux piézoélectriques et les systèmes ultrasonores
Electrodes
pression
Si
Si
O
+
O
Electrodes
Figure I-1 : Illustration des effets piézoélectriques
Dans l’hypothèse de petites sollicitations, l’effet piézoélectrique est linéaire : champ
électrique et déformation sont proportionnels.
Piézoélectricité artificielle
Les céramiques ferroélectriques sont des matériaux polycristallins organisés en
domaines. Chaque domaine possède un axe privilégié qui caractérise un moment dipolaire
permanent en son sein (Figure I-2), mais ces axes sont orientés de façon aléatoire, de sorte
que le champ électrique résultant est nul.
Cependant il est possible de réorienter dans le même sens ces moments dipolaires en
polarisant le matériau par l’application d’un champ électrique externe (Figure I-2). Le
matériau ferroélectrique polarisé devient piézoélectrique. Il garde en quelque sorte la mémoire
du champ électrique qui lui a été appliqué sous forme d’un moment dipolaire rémanent et
permanent (Lynch, 1994; Million, 2003).
Figure I-2 : Orientation idéale des dipôles (Le Dren, 2000)
Si le matériau est chauffé au-delà d’une valeur appelée température de Curie Tc, il perd
sa piézoélectricité. Tc est typiquement comprise entre 80 °C et 400 °C. Ce phénomène est très
6
Généralités sur les matériaux piézoélectriques et les systèmes ultrasonores
rare car l’échauffement des céramiques en utilisation normale ne permet pas d’atteindre cette
température.
I.1.3
Différents matériaux piézoélectriques
Figure I-3 : Classification des différents matériaux
Les matériaux piézoélectriques sont répartis dans deux grandes classes : les matériaux
pyroélectriques et ferroélectriques. La pyroélectricité, du grec pyro qui signifie feu, est le
phénomène de polarisation dû à l'absorption de l'énergie thermique dans certains cristaux. La
polarisation est proportionnelle à la variation de température et son signe dépend du sens de
cet échange (échauffement ou refroidissement). Ainsi, les matériaux pour lesquels la
polarisation est spontanée sont appelés pyroélectriques (voir paragraphe I.1.2). La direction de
polarisation privilégiée est celle de l'axe polaire du cristal. La ferroélectricité s’observe dans
le cas de certains diélectriques (isolants électriques) non centrosymétriques qui ont la
propriété de se polariser sous l'influence d'un champ électrique. Dans ces diélectriques, il
existe un fort champ électrique local. Lorsque l'axe polaire (support d'un moment permanent)
7
Généralités sur les matériaux piézoélectriques et les systèmes ultrasonores
est mobile dans le réseau cristallin sous l'influence d'agents extérieurs (autres que la
température), comme un champ électrique ou l'application d'une contrainte mécanique, les
matériaux sont appelés ferroélectriques (voir paragraphe I.1.2). La Figure I-3 présente la
classification de ces différents matériaux.
Cristaux
La structure cristalline présente l'arrangement des atomes dans un cristal. Ces atomes,
qui se répètent périodiquement dans l'espace grâce aux opérations de symétrie, forment la
structure cristalline. Un solide cristallin est constitué par la répétition périodique dans les trois
dimensions de l'espace d'un motif atomique. La périodicité de la structure d'un cristal est
représentée par un ensemble de points régulièrement disposés. Cet ensemble est appelé réseau
cristallin et les points le constituant sont appelés nœuds du réseau.
En cristallographie, un réseau de Bravais est une distribution régulière de points dans
l’espace qui représente la périodicité de la distribution atomique d’un cristal. La structure est
alors reconstruite par simple translation de la maille. Le Tableau I-1 représente les sept
réseaux primitifs ayant pour maille l’un des sept parallélépipèdes (Royer & Dieulesaint,
1996).
Dans chacun de ces systèmes, la possibilité d’ajouter des nœuds dans la maille permet
de générer des réseaux différents. L’environnement de chaque nœud devant être le même, les
seuls emplacements possibles sont le centre de la maille (réseau centré) ou des faces (réseaux
avec un nœud sur deux faces opposées ou réseau avec un nœud sur chaque face). Un réseau
de Bravais est un réseau de nœuds obtenu à partir d’un nœud unique translaté suivant des
vecteurs de base en imposant certaines symétries. Il existe 14 réseaux de Bravais différents en
trois dimensions (Tableau I-1), possédant des groupes d’espaces et des groupes ponctuels de
symétrie différents (Royer & Dieulesaint, 1996). Tous les matériaux de type monocristaux ont
une symétrie correspondant à l’un de ces réseaux.
Le cristal piézoélectrique le plus connu est le quartz (utilisé dans les oscillateurs) mais
ses propriétés ne sont pas adéquates pour les applications de transducteurs ultrasonores : son
impédance acoustique est relativement élevée et son coefficient de couplage très faible (10%).
D’autres cristaux, tel que le niobate de lithium (LiNbO3) ou le tantalate de lithium
(LiTaO3), ont des coefficients de couplage plus élevées. Le coût élevé et la fragilité de ces
cristaux expliquent leur quasi-absence dans les produits actuels. Ils sont cependant utilisés en
laboratoire dans des dispositifs à très haute résolution pour des raisons essentiellement
technologiques (Million, 2003 ; Gonzalez, De Frutos, & Duro, 1999).
8
Généralités sur les matériaux piézoélectriques et les systèmes ultrasonores
Tableau I-1 : Les 14 Réseaux de Bravais
Réseaux
Paramètres
Angles
Primitif
Cubique
Centré
a =b=c
α = β =γ =π 2
a =b≠c
α = β =γ =π 2
Faces Centrées
Tétragonal
Primitif
(Quadratique)
Centré
Hexagonal
Primitif
Rhombohédrique
Primitif
a =b≠c
a =b=c
(Trigonal)
α = β =π 2
γ = 2π 3
α = β =γ ≠π 2
< 2π 3
Primitif
Centré
Orthorhombique
a≠b≠c
α = β =γ =π 2
Faces Centrées
Bases Centrées
Primitif
Monoclinique
a≠b≠c
Bases Centrées
α = β =π 2
γ ≠π 2
Primitif
Triclinique
a≠b≠c
9
α ≠ β ≠γ ≠π 2
Représentation
Généralités sur les matériaux piézoélectriques et les systèmes ultrasonores
Céramiques
Les céramiques piézoélectriques sont les matériaux les plus utilisés à l’heure actuelle
pour la transduction ultrasonore. Elles sont souvent utilisées seules mais elles entrent aussi
dans la fabrication des composites. Le succès de ces matériaux est dû au fait qu’ils sont d’un
coût relativement faible, qu’ils sont usinables et faciles à transformer et surtout qu’ils sont très
performants. Les céramiques les plus utilisées sont :
•
les titanates de baryum,
•
les PZT (plomb, zirconate, titanate), qui comptent cinq à six compositions différentes.
Elles sont les plus utilisées,
•
les titanates de plomb,
•
les métaniobates de plomb utilisés pour l’imagerie haute résolution.
Notons que les céramiques sont des polycristaux qui sont fabriqués par frittage d’un
mélange d’oxydes et que leur procédé de fabrication peut être modulé comme leur
composition afin d’ajuster leurs performances diélectriques, mécaniques et piézoélectriques
(Million, 2003).
Polymères
Certains polymères tel que le PVDF (PolyVynilDiFluorure) et des copolymères tel que
le P(VDF-TrFE) peuvent acquérir des propriétés piézoélectriques. Ils ont une faible
impédance acoustique. Cependant ils ont des coefficients de couplage bien plus faibles que
ceux des céramiques. L’amélioration des procédés de fabrication a permis d’obtenir des
coefficients de couplage de l’ordre de la moitié de ceux obtenus avec des céramiques. Les
transducteurs à base de copolymères ont aujourd’hui des performances qui s’approchent de
celles des capteurs à céramiques. Ils sont essentiellement utilisés dans les dispositifs hautes
fréquences à cause d’avantages technologiques (Million, 2003).
Composites
Ces matériaux ont fait leur apparition dans les sondes d’échographie médicale au
début des années 80 et représentent l’avancée majeure dans le domaine des matériaux
piézoélectriques, depuis l’apparition des PZT dans les années 60 (Million, 2003).
Leur origine provient du constat selon lequel aucun matériau existant n’avait à la fois
une impédance acoustique assez faible pour bien transmettre son énergie aux tissus
biologiques et une valeur de coefficient de couplage élevée (Chapelon et al., 2000). En effet,
les céramiques ont une impédance acoustique trop élevée et les polymères ont une valeur de
10
Généralités sur les matériaux piézoélectriques et les systèmes ultrasonores
coefficient de couplage trop faible. Il fallait donc coupler ces deux matériaux afin de tirer les
avantage de l’un et l’autre. L’idée est donc d’utiliser à la fois une céramique à coefficient de
couplage élevé, associée à un matériau passif de faible impédance acoustique pour obtenir un
matériau qui a une impédance acoustique plus faible et un coefficient de couplage comparable
à celui d’une céramique (Fleury, 2003).
I.2 Equations de base de la piézoélectricité
I.2.1
Introduction
La piézoélectricité est un couplage entre les phénomènes électriques, mécaniques et
thermiques (Guiffard, 1999; Royer & Dieulesaint, 1996). Dans les lois de comportement, des
variables piézoélectriques et pyroélectriques relient les grandeurs mécaniques (déformations,
contraintes) et thermiques aux grandeurs électriques. Les équations gouvernant le
comportement thermo-piézo-élastique linéaire ont été introduites par Mindlin en 1961. En
1971, Tiersten (Tiersten, 1971) développe la théorie générale non-linéaire de la piézo-thermoélasticité (Agrawal & Treanor, 1999).
Désignons par S et T respectivement le tenseur des déformations et des contraintes et
D et E respectivement les vecteurs de l’induction électrique et du champ électrique. Pour un
matériau piézoélectrique,
S, T, D et E sont des variables d’état. Chaque gradeur peut
s’exprimer en fonction des deux autres indépendantes. Les coefficients qui les relient sont le
tenseur d’élasticité, le tenseur piézoélectrique et le tenseur diélectrique. Selon le choix des
variables d’état, quatre couples d’équation de la piézoélectricité peuvent être écrits.
I.2.2
Formalisme général des coefficients piézoélectriques
Le Tableau I-2 présente un glossaire des symboles des tenseurs utilisés dans les
différentes équations et matrices.
11
Généralités sur les matériaux piézoélectriques et les systèmes ultrasonores
Tableau I-2 : Glossaire des abréviations de la piézoélectricité (M Brissaud, 1991)
Abréviations
Définitions
D (C.m2)
Induction Electrique
E (V.m-1)
Champ Electrique
ε (F.m-1)
Permittivité Electrique
β (m.F-1)
Type d’énergie
ELECTRIQUE
Constante d’imperméabilité
diélectrique
S
Déformation Relative
T (N.m-2)
Contrainte
s (m2.N-1)
Compliance
C (N.m-2)
Raideur Elastique
MECANIQUE
Constante piézoélectrique :
-1
d (C.N )
proportionnalité entre la charge et la
contrainte à champ nul ou constant
Constante piézoélectrique :
e (C.m-2)
proportionnalité entre la charge et la
déformation à champ nul ou constant
Constante piézoélectrique :
g (m2.C-1)
proportionnalité entre la contrainte et
PIEZOELECTRIQUE
le champ à induction nulle ou
constante
Constante piézoélectrique :
h (N.C-1)
proportionnalité entre la déformation
et le champ à induction nulle ou
constante
Dans la suite de ce travail, les matrices transposées sont repérées par un suffixe t en
exposant. Les autres grandeurs en exposant signifient que la grandeur est constante ou nulle.
I.2.3
Rappel des équations de la piézoélectricité linéaire
Si les effets de couplage thermoélectrique sont considérés nuls, les différentes
variables utilisées pour le développement de la loi de comportement piézoélectrique sont
12
Généralités sur les matériaux piézoélectriques et les systèmes ultrasonores
celles présentées au Tableau I-2. Selon le standard IEEE 176-1987 (IEEE, 2002), la loi de
comportement de la piézoélectricité linéaire comprend les équations suivantes :
,
,
(I-1)
.
.
(I-2)
(I-3)
(I-4)
,
(I-5)
.
(I-6)
,
(I-7)
.
(I-8)
Les grandeurs étant tensorielles, d’ordre 1 pour le champ et l’induction électrique ou
d’ordre 2 (contrainte et déformation), les facteurs les reliant sont donc aussi tensoriels, d’ordre
4 pour la compliance ou la raideur, d’ordre 3 pour les constantes piézoélectriques ou d’ordre 2
pour la permittivité électrique (Royer & Dieulesaint, 1996, 1999).
Le tenseur d’élasticité a 81 composantes, néanmoins, pour un matériau dans son état
naturel le nombre de constantes indépendantes se réduit à 36. Les tenseurs peuvent donc être
écrits sous forme matricielle en utilisant la notation contractée d’Einstein.
ij ou kl
α ou β
11
1
22
2
33
3
32 ou 23
4
31 ou 13
5
21 ou 12
6
,
!"#$ % & ' ( ),
!"#$ % + & ' ( ),!"#$ % & ' ( + ),
!"#$ % + & ' ( + ),
2
2
4
%, &, (, )
.
2
,
(I-9)
!"#$ & (, !"#$ & + (,
1,2,3 ' 1,
1,2, … ,6.
La figure I-4 présente les résultats de la réduction du nombre de composantes des
tenseurs élastiques, diélectriques et piézoélectriques des cristaux appartenant aux différentes
classes de symétrie ponctuelle (Royer & Dieulesaint, 1996) :
13
Généralités sur les matériaux piézoélectriques et les systèmes ultrasonores
Figure I-4 : Composantes des tenseurs élastiques, piézoélectriques et diélectriques suivant les
classes de symétrie
14
Généralités sur les matériaux piézoélectriques et les systèmes ultrasonores
Afin de passer facilement d’un système à l’autre, il est intéressant d’exprimer les
relations liant les constantes élastiques, piézoélectriques et diélectriques. La notation de Voigt
permet de passer en notation matricielle :
4
%
%&
1
%
%1
5 4,
%1 1
%&
1
%1 1
,
%1 &1 ,
%1 %
(I-10)
,
,
%& &1 .
Dans la suite de ce travail seul les expressions (I-3) et (I-4) seront utilisés. Tous les
calculs futurs seront faits pour des matériaux de classe Hexagonale.
I.3 Intérêt de la caractérisation des matériaux
Les performances d’un système ultrasonore dépendent directement des propriétés
fonctionnelles des matériaux utilisés dans le dispositif. Afin d’utiliser les matériaux de
manière optimale il est indispensable de connaître leur comportement dans la gamme de
fréquence d’utilisation de ces dernières. Il est donc nécessaire de connaitre les propriétés
fonctionnelles des matériaux pour prédire leur fonctionnement dans les dispositifs réalisés.
Ainsi il est nécessaire de caractériser les matériaux avant toutes utilisations. Les pertes
(électriques et mécaniques) dans les matériaux sont très souvent négligées en basse fréquence.
Cependant à partir de certaines fréquences d’utilisation ces pertes ne peuvent plus être
négligées. Les différentes pertes doivent donc être identifiées et évaluées car elles jouent un
rôle important sur les performances (rendement) des systèmes réalisés. Parmi ces propriétés
on distingue :
La densité : elle est le rapport entre la masse d'un matériau et la masse du même
volume d'eau pure de température 4 degrés.
La vitesse des ondes acoustiques dans le matériau.
kt, le coefficient de couplage électro-acoustique. Ce coefficient, compris entre 0 et 1,
caractérise l’aptitude du matériau à convertir une énergie électrique en énergie
15
Généralités sur les matériaux piézoélectriques et les systèmes ultrasonores
mécanique ou inversement. Pour une grande transformation électromécanique il doit
être le plus élevé possible.
ZA, l’impédance acoustique : elle est donnée par le produit masse volumique par la
vitesse. Pour les transducteurs à usage thérapeutique elle doit être proche de celle de
l’eau.
La constante diélectrique est le rapport entre la permittivité ε du matériau et la
permittivité du vide. Elle relie le champ électrique à l’induction.
Le Tableau I-3 présente les constantes physiques de quelques matériaux
piézoélectriques.
Tableau I-3 : Constante physique des matériaux piézoélectriques
Quartz SiO2
BaTiO3
PVDF
(Morgan
(Morgan
(Measurement
Electro
Electro
Specialties
Ceramics, n.d.)
Ceramics, n.d.)
Inc., n.d.)
Densité
2,65
5,7
1,78
7,75
Vitesse (m/s)
5400
4300
2200
4480
kt (%)
10
52
14
47
ZA (MRay)
14,31
24,51
3,92
34,72
4,5
1700
12-13
915
Propriétés
Constante
diélectrique
PZT
(Levassort et
al., 2006)
I.4 Conclusion
Ce premier chapitre présente une synthèse bibliographique sur les matériaux
piézoélectriques. Il présente le mécanisme de la piézoélectricité dans les céramiques
ferroélectriques. Les équations de base de la piézoélectricité et la présentation des matrices
des coefficients élastiques, piézoélectriques et diélectriques dans le cas d’une structure
hexagonale permettront de définir les équations d’état du système.
16
Première partie
Théorie sur la Spectroscopie de Résonance
Ultrasonore
17
Dans le cas de plaques piézoélectriques, il existe dans la littérature des modèles
permettant de calculer facilement leur réponse fréquentielle (Auld, 1990; Berlincourt et al.,
1964; Royer & Dieulesaint, 1996, 1999). Cependant, ces méthodes sont le plus souvent
unidimensionnelles. De ce fait, elles utilisent plusieurs échantillons pour caractériser
complètement un matériau piézoélectrique. Cependant, la synthèse des matériaux
piézoélectriques n’est pas toujours reproductible et peut conduire à des écarts importants entre
les propriétés d’une même série d’échantillons. D’où la nécessité de déterminer toutes les
propriétés fonctionnelles à partir d’un seul échantillon.
C’est ainsi que la spectroscopie acoustique, qui est une méthodologie de détermination
des propriétés (élastiques, piézoélectriques et diélectriques) des matériaux, a été utilisée. Cette
méthode permet alors à partir d’un seul échantillon de petite taille, d’identifier l’intégralité du
tenseur piézoélectrique (Delaunay, 2006). Cette méthode a connu un essor dans les années
1960 avec les travaux de R. Holland (R. Holland & EerNisse, 1968) et H. Demarest
(Demarest, 1971) qui ont eu à résoudre le problème par des méthodes numériques basées sur
une approche variationnelle. Aujourd’hui les applications de cette méthode sont multiples
(Adachi, Kondo, Yamaji, Yang, & Yang, 2005; Heyliger & Ledbetter, 1998; Heyliger, 2000;
Migliori et al., 1993; Visscher, Migliori, Bell, & Reinert, 1991).
Les méthodes expérimentales utilisées jusqu’à présent sont basées sur des mesures de
vibration. Ces mesures sont souvent très difficiles à mettre en œuvre (problème de précision
des mesures et durée de l’expérience très longue), requiert un matériel très souvent coûteux et
ne prennent pas en compte les pertes dans les matériaux. La mesure de l’impédance électrique
d’un échantillon est plus facile à réaliser et plus rapide. Ce travail permettra donc de trouver
une méthode permettant de caractériser et de déterminer les pertes mécaniques et électriques
des matériaux (parallélépipédiques) à partir de la mesure d’impédance électrique.
L’objectif de cette partie est de mettre en place les éléments théoriques permettant le
calcul des modes propres de vibration d’un cube piézoélectrique en régime libre et semi-libre.
Ce modèle sera utilisé pour calculer les vibrations forcées d’un matériau (parallélépipède avec
2 électrodes) et pour la modélisation de l’admittance électrique d’un cube piézoélectrique.
18
Mode de vibration d’un cube piézoélectrique : approche variationnelle
Chapitre II : Mode de vibration d’un cube
piézoélectrique : approche variationnelle
II.1 Introduction
Le but de ce travail est de calculer l’admittance électrique dans le cas de matériaux
avec deux faces métallisées en utilisant la méthode variationnelle. Il est donc nécessaire
d’étudier les fréquences propres du matériau et les modes propres de vibrations associées à
ces fréquences. Pour ce faire les vibrations libres d’un matériau parallélépipédique seront
étudiées dans un premier temps. Dans un second temps une électrode sera introduite et le
comportement d’ensemble sera étudié et comparé au premier cas. Ces deux premiers cas ont
été précédemment étudiés dans les travaux d’Ohno (Ohno, 1976, 1990)et de Delaunay et
al.(Delaunay, 2006). Troisièmement une seconde électrode sera introduite et les nouvelles
fréquences propres et modes associés seront comparées aux deux premiers cas. Enfin ce cas
sera extrapolé pour déterminer l’admittance électrique du matériau dans cette configuration.
Cette étude permettra aussi de valider les résultats de la caractérisation par admittance.
II.2 Mise en équation
Il n’existe pas de solution analytique exacte pour calculer les vibrations 3D d’un
matériau. Un calcul approché sera donc utilisé. Il est basé sur la minimisation de l’énergie du
système d’où l’utilisation d’une formulation Lagrangienne. Le Lagrangien d'un système
physique est une fonction des variables dynamiques qui décrit de manière concise les
équations du mouvement de ce système. Cette fonction est définie comme étant la différence
entre la densité d’énergie cinétique Ec, d’énergie de déformation Edef et d’énergie potentielle
Ep. Elle a pour expression :
6
7? 8
9
:;<
=>
@.
(II-1)
Cette équation fait intervenir non seulement la géométrie de l’objet mais aussi les
propriétés élastiques, piézoélectriques et diélectriques du matériau. La détermination des
points stationnaires de ce système donne les fréquences propres de l’échantillon.
19
Mode de vibration d’un cube piézoélectrique : approche variationnelle
2L2
x2
x1
2L3
x3
2L1
Figure II-1 : Parallélépipède rectangle de dimensions 2L1,2L2,2L3: utilisé pour la
spectroscopie.
Considérons un parallélépipède rectangle de dimension 2L1, 2L2, 2L3 tel que décrit
sur la Figure II-1. Les expressions de l’énergie cinétique et de déformation associées à une
résonance permettent de définir l’équation du Lagrangien. Les densités d’énergie de
déformation et d’énergie cinétique associées à un champ de déplacement particulaire et à un
champ électrique sont données par les relations suivantes (R. Holland & EerNisse, 1968) :
1
#
#
2 %,& %&() (,)
A
1
FG2 #% #%,
2
E
1
B
B ,
2 ,C CD ,D
(II-2)
(II-3)
où ui, i=1,2,3 sont les composantes cartésiennes du vecteur de déplacement. En utilisant la
notation d’Einstein, le tenseur de déformation au premier ordre est défini par :
#%,&
I#&
1 I#%
H
2 IJ&
IJ%
K.
(II-4)
Il n’y a aucune charge libre à l’intérieur du solide piézoélectrique. Il n’y a donc pas de
divergence du potentiel électrique. Cette condition s’exprime par (R. Holland & EerNisse,
1968) :
LN MC B
C
N
0 P 7@ B,C
C
@
0.
(II-5)
Si Dm est remplacée par son expression (eq.(I-3)), l’équation (II-5) devient :
7@ QB,C
C() #(,)
B,C
CD B,D R
@.
(II-6)
En remplaçant Edef et Ec du Lagrangien par leurs expressions respectives (eq. (II-2) et
(II-3)) et en y intégrant l’équation (II-6), le Lagrangien devient alors :
6
7U
S
T
8# ,
#
,
FGT # #
2B,V
V
#
,
20
B,V
VW B,W >
@.
(II-7)
Mode de vibration d’un cube piézoélectrique : approche variationnelle
L’équation (II-7) n’est valable que s’il n’y a pas d’électrodes sur le solide
piézoélectrique. Dans le cas contraire il faudra prendre en compte en toute rigueur le travail
des forces électrostatiques, la taille, le volume et la matière des électrodes (or, alu…).
Cependant l’épaisseur des électrodes peut être négligée dans le calcul car étant très petite par
rapport à celle du solide. Par conséquent, seul le travail des forces électrostatiques est
considéré. Dans ces conditions le Lagrangien s’écrit comme suit (R. Holland & EerNisse,
1968) :
6
X
U
1
8#
2 ,
\
#
,
FGT # #
Y Z MV B8
]S
[
V
#
2B,V
,
V
#
VW B,W >
,
N,
B,V
VW B,W >
@
(II-8)
où P est le nombre total d’électrodes sur le solide et A la surface de l’électrode en question.
Considérons une variation infinitésimale du champ de déplacement et du champ électrique et
évaluons le changement du Lagrangien correspondant. Les fréquences propres de vibration du
solide piézoélectrique sont alors déterminées grâce aux points stationnaires du Lagrangien.
D’où la résolution de l’équation suivante :
I6
0.
(II-9)
II.3 Vibrations libres : parallélépipède sans électrode
II.3.1
La Méthode de Rayleigh-Ritz
La méthode de Rayleigh-Ritz (R. Holland & EerNisse, 1968; Maynard, 1996) consiste
à chercher une approximation des modes de vibration dans un espace de dimension N
engendré par N fonctions choisies. Les solutions sont de la forme :
^#_%
∑M
!
^^^_
1 a! b! .
(II-10)
Les 8b^_= >=]S,T,…,c sont les fonctions de bases et seront choisies orthogonales pour respecter la
condition de normalité des vibrations mécaniques :
7@ b!% b!d% @
5!!d,
(II-11)
où i=1,2,3 représente les trois directions de l’espace et δpp’ est le symbole de Kronecker et est
défini comme suit :
21
Mode de vibration d’un cube piézoélectrique : approche variationnelle
5!!d
.
1 % ! !d-.
0 %D"D
(II-12)
Le potentiel électrique est défini comme suit :
B
∑h
f]S ef gf .
(II-13)
En remplaçant les expressions du déplacement (Eq.(II-10)) et du potentiel (Eq.(II-13))
dans celle du Lagrangien (Eq. (II-7)), cette dernière devient après développement :
6
S
T
où
Γ!!d
7 b!%,&
Ω!$
Λ$$d
7 g$,C
avec :
b!%,&
g$,C
i∑= ∑=j a= a=j 8Γ==j
7 g$,C
1 Ib!%
H
2 IJ&
Ig$
.
IJC
%&() b!d (,)
C() b!(,)
CD g$d,D
Ib!&
IJ%
FGT 5==j >
2 ∑= ∑f a= af Ω=f
∑f ∑fj af afj Λ ffj n,
@,
(II-14)
(II-15)
@,
(II-16)
@,
(II-17)
K,
(II-18)
(II-19)
Г, Ω et Λ sont respectivement
les matrices d’interaction élastique, piézoélectrique et
diélectrique, (Richard Holland, 1968). La résolution de l’équation (II-9) nous conduit au
système aux valeurs propres suivant (Richard Holland, 1968) :
oΓ
e
ΩΛpS Ωq r
ΛpS Ωq a.
FGT a,
(II-20)
(II-21)
La résolution de cette équation aux valeurs propres nous donne les valeurs des
pulsations propres ω et donc des fréquences propres mais aussi les vecteurs propres associés à
ces valeurs propres. Ces vecteurs propres correspondent aux coefficients de la décomposition
de Rayleigh-Ritz (ap de l’eq.(II-10) et br de l’eq.(II-13)). Ces vecteurs propres permettent de
calculer la déformation du matériau pour toutes les fréquences propres.
Les tableaux (Tableau II-1 : Définition de la matrice d’interaction élastiqueTableau
II-1), (Tableau II-2) et (Tableau II-3) décrivent respectivement les matrices d’interactions Г,
Ω et Λ (Ohno, 1976).
22
Mode de vibration d’un cube piézoélectrique : approche variationnelle
Tableau II-1 : Définition de la matrice d’interaction élastique
i,j
SS tS
1,1
2,2
2,3
1,2
vu tx
TT tT
xx tw
Tx tx
vu tS
Tx tT
wx tw
xx tx
Su tS
Tu tT
xv tw
Sv tS
3,1
vv tw
uu tS
vv tS
3,3
uu tT
xx tT
xu tT
ww tw
wv tw
s==j
vu tv
Tx tv
Sv tu
Sv ty
Su tz
Su t{
xu tu
xu ty
Tu tz
Tu t{
Sx tx
Sx tv
wv tu
wv ty
wu tz
wu t{
wu tx
xv tv
vv tu
Sw ty
Sx tz
vu t{
Tw tv
Tv tx
xu tv
wu tu
Sx tu
xv ty
vu ty
Tv tz
xu t{
uu tz
ST t{
Tableau II-2 : Définition de la matrice d’interaction piézoélectrique
i
1
SS tS
Tu tT
wv tw
Tv tx
Sv tS
Tx tT
ww tw
Tw tx
Su tS
2
3
TT tT
wx tw
Tx tx
Ω=f
wu tv
wS tu
Sv ty
Su tz
TS t{
wx tv
wv tu
Sw ty
Sx tz
Tv t{
wT tv
wu tu
Sx ty
ST tz
Tu t{
Tableau II-3 : Définition de la matrice d’interaction diélectrique
SS tS
TT tT
ww tw
Tw tx
}ffj
wT tv
Sw tu
wS ty
ST tz
TS t{
Les coefficients Gk résultent des interactions élastiques, piézoélectriques et
diélectriques.
II.3.2
Choix des fonctions de base
La difficulté de la méthode de Rayleigh-Ritz se trouve très souvent dans le choix des
fonctions de bases. Les premières études ont consisté à choisir des fonctions trigonométriques
[Holland 68] et des polynômes de Legendre (Demarest, 1971) particulièrement adaptés à des
formes parallélépipédiques. Les polynômes de Legendre ont une bonne stabilité numérique.
23
Mode de vibration d’un cube piézoélectrique : approche variationnelle
Dans ce travail ils seront utilisés pour les fonctions de base du système. Les fonctions de base
sont (Ohno, 1976) :
1
JS
JT
Jw
•€ H K •• H K •‚ H K _ ,
6S
6T
6w
~6S 6T 6w
b^_=
(II-22)
1
JS
JT
Jw
•ƒ H K •„ H K •… H K
6S
6T
6w
~6S 6T 6w
gf
(II-23)
où la pième et la rième fonctions de b^_= et gf sont respectivement définies par les triplets (λ, µ, ν)
et (ξ, ζ, η). Pα(x) est un polynôme de Legendre normalisé de degré α, les grandeurs Li sont
les demi-longueurs de chaque coté et e i est le vecteur unitaire du champs de déplacement
suivant la direction xi . (L1L2L3)-1/2 est le facteur de normalisation du champ de déplacement
des particules (Ohno, 1990).
Ce choix des fonctions de base permet de calculer les matrices d’interactions élastique,
piézoélectrique et diélectrique précédemment définies. Les triplets, (λ,µ,ν) et (ξ,ζ,η), sont
choisis le plus souvent sur la base d’un entier N et M tel que (Bryan Zadler, 2005) :
.
†
‹
‡
Œ
ˆ ‰ Š,.
• ‰ M.
(II-24)
Par conséquent plus N est grand, plus le résultat est précis. Mais le choix de N doit
obéir à un compromis entre convergence, temps de calcul et la précision du résultat.
Pour une valeur de N donnée nous aurons :
3Q
M
3
3
R
oM
1roM
2roM
3r⁄2,
(II-25)
combinaisons pour le vecteur de déplacement.
Pour une valeur de M donnée nous aurons :
Q
Š
3
3
R
oŠ
1roŠ
2roŠ
3r⁄6,
(II-26)
combinaisons pour le potentiel électrique.
Le choix de N et M conditionne la dimension des matrices d’interaction et par conséquent le
nombre de fréquences propres pouvant être identifiés.
Les coefficients Gk, utilisés dans la définition des matrices d’interactions (Tableau
II-1, Tableau II-2 et Tableau II-3), sont donnés dans les travaux d’Ohno et de Delaunay. Ils
sont définis comme suit (Delaunay et al., 2008; Ohno, 1976) :
24
Mode de vibration d’un cube piézoélectrique : approche variationnelle
tS
tT
tw
tx
tv
tu
ty
tz
t{
T
j 5VVj 5WWj ⁄6S ,
5
T
VV• 5WW• ⁄6T ,
•
5 • 5VV•
5
•
VV• •WW• ⁄6w 6T ,
5 • •VV•
• • 5VV•
•
•
avec :
•
T
WW• ⁄6w ,
WW• ⁄6w 6T ,
(II-27)
WW• ⁄6w 6S ,
5VV• •WW• ⁄6w 6S ,
•VV• 5WW• ⁄6S 6T ,
j VVj 5WWj ⁄6S 6T ,
o), C, Dr
o), C, Dr
o), C, Dr
o†, ‡, ˆr ' o)d, Cd, Ddr
o†, ‡, ˆr ' o) j , Cj , Dj r
o‹, Œ, •r ' o)d, Cd, Ddr
o†d, ‡d, ˆdr !"#$ ) 'ae) a# 1 ,
o‹, Œ, •r !"#$ ) 'ae) a# 2,
o‹d, Œd, •dr !"#$ ) 'ae) a# 3.
(II-28)
Les expressions des coefficients Dij, Eij, Fij et δij sont calculées, pour les fonctions de base
choisies, en Annexe 1.
Dans le paragraphe suivant, ce modèle sera appliqué à un cube de PMN-34,5PT pour
calculer ses fréquences propres et les champs de déplacement correspondant.
II.3.3
Résultats des simulations
Ce modèle est appliqué à un matériau PMN-34,5PT de dimensions 10x10x10 mm3.
Les propriétés, utilisées dans cette simulation, ont été extraites par Delaunay et al (Delaunay
et al., 2008). Le Tableau suivant montre les caractéristiques du matériau utilisé dans la
simulation.
25
Mode de vibration d’un cube piézoélectrique : approche variationnelle
Tableau II-4 : Propriétés d’une céramique de PMN-34,5PT (Delaunay et al., 2008).
Propriétés
Unités
Valeurs
Kg/m3
8060
C11E
GPa
174,7
C12E
GPa
116,61
C13E
GPa
119,3
C33E
GPa
154,8
C44E
GPa
26,7
C66E
GPa
29,0
ε 11S
ε0
2373
ε 33S
ε0
2825
e15
C/m2
17,1
e31
C/m2
-6,4
e33
C/m2
27,3
ρ
Masse Volumique
Rigidité Elastique
Permittivité Diélectrique
Constante Piézoélectrique
Résolution de l’équation aux valeurs propres
Pour résoudre l’équation aux valeurs propres (eq.(II-20) et eq.(II-21)), il faudra choisir
le degré N du polynôme d’approximation. Il doit être choisi de manière à obtenir un
compromis entre convergence, temps de calcul et précision. Les critères de convergence du
système sont étudiés pour différentes valeurs de N. La résolution de l’équation aux valeurs
propres du système (Eq.(II-20)) donne les fréquences propres de vibration du matériau. La
Figure II-2 présente l’évolution des fréquences en fonction du degré maximal choisi.
La Figure II-2 montre que la convergence pour les degrés 5 et 6 n’est pas bonne.
L’écart maximal sur les fréquences entre ces deux degrés est de 5.55%. Le degré 5 ne peut
donc pas être utilisé dans la suite des travaux. De même le degré 6 aussi ne peut pas être
utilisé car l’écart maximal sur les fréquences est de 5.09%. Cependant les degrés 7, 8 et 9
convergent bien car l’écart maximal sur les fréquences est de 0.54% pour N=7 et N=8 et de
0.17% pour N=8 et N=9. De plus, toutes les fréquences dégénérées se trouvent à la même
26
Mode de vibration d’un cube piézoélectrique : approche variationnelle
position à partir du degré 7. Pour un degré 7 la taille maximale des matrices est de 360 tandis
qu’elle est de 495 pour le degré 8. Les calculs sont donc plus rapides avec le degré 7 et le
traitement inverse dans la perspective d’une caractérisation du matériau prendra moins de
temps(Diallo, Clezio, Lethiecq, & Feuillard, 2012).
1,25
fréquence n°7
fréquence n°8
fréquence n°9
fréquence n°10
1,2
fréquence n°11
fréquence n°12
fréquence n°13
Fréquence Normalisée
fréquence n°14
fréquence n°15
1,15
fréquence n°16
fréquence n°17
fréquence n°18
fréquence n°19
1,1
fréquence n°20
fréquence n°21
fréquence n°22
fréquence n°23
fréquence n°24
1,05
fréquence n°25
fréquence n°26
fréquence n°27
fréquence n°28
1
fréquence n°29
4
5
6
7
8
9
fréquence n°30
Degré du polynôme d'approximation
Figure II-2 : Evolution des fréquences normalisées en fonction du degré
Cette étude montre que degré 7 est suffisant pour la résolution de l’équation aux
valeurs propres (compromis entre convergence et précision de 2% sur les fréquences de
résonance), ce qui conduit à une matrice Г de 360x360, une matrice Ω de 360x120 et une
matrice Λ de 120x120 et donne 360 fréquences propres. Cependant ce degré peut ne plus
27
Mode de vibration d’un cube piézoélectrique : approche variationnelle
convenir pour les hautes fréquences. Il faudra donc revoir le critère de convergence dans ce
cas. Les trente premières fréquences propres sont présentées Figure II-2.
Tableau II-5 : Fréquences propres (en Hz) d’un cube de PMN-34,5PT
0
82965
126955
142253
169496
0
89242
129801
145260
170279
0
109157
129801
153082
170279
0
109157
134127
153082
170701
0
118058
139264
160015
170701
0
119402
142253
161715
172933
Les six premières fréquences de résonance correspondent aux modes statiques : trois
rotations et trois translations. Il existe aussi une dégénérescence de certains modes
(redondance de certaines fréquences) correspondant à des rotations suivant les trois directions
du cube (voir annexe 5). Cette dégénérescence est due à la symétrie du matériau et à la
géométrie choisie.
Déformées modales du cube de céramique piézoélectrique
a-) 89242 Hz
b-) 119402 Hz
c-) 145260 Hz
d-) 170279 Hz
Figure II-3 : Déformée modale d’un cube de PMN-34,5PT
28
Mode de vibration d’un cube piézoélectrique : approche variationnelle
La résolution de l’équation aux valeurs propres (Eq.(II-20) donne non seulement les
pulsations naturelles du système mais aussi les vecteurs propres associés ap. La connaissance
du vecteur propre pour un mode donné permet de calculer les déplacements ui à partir des
équations (II-10) et (II-22). Ces déplacements permettent de représenter la déformation du
cube pour toutes les fréquences propres. La Figure II-3 présente la déformation modale du
cube pour quelques fréquences propres. La Figure II-3.a correspond à un mode de torsion, la
Figure II-3.b et la Figure II-3.d correspondent à des modes de flexion et la Figure II-3.c
correspond à un mode de dilatation.
Potentiel électrique sur les faces perpendiculaires à la polarisation
Fréquences
x3=-L3
x3=L3
89242 Hz
119402 Hz
145260 Hz
170279 Hz
Figure II-4 : Potentiel électrique d’un cube de PMN-34,5PT
29
Mode de vibration d’un cube piézoélectrique : approche variationnelle
La connaissance des vecteurs propres associés aux déplacements mécaniques permet
de déduire les vecteurs propres associés au champ électrique br à partir de l’équation (II-22).
Les équations (II-13) et (II-24) permettent ainsi de calculer le potentiel électrique en tout
point du cube. Les figures suivantes représentent le potentiel électrique sur les faces x3=-L3 et
x3=L3 pour les fréquences précédemment choisies.
La Figure II-4 montre que le potentiel suit les mêmes variations que le déplacement
mécanique. Ceci s’explique par le fait que le potentiel et le déplacement suivent les mêmes
lois de comportement. Les potentiels sur les deux faces en parallèles sont les mêmes dans
certains cas et opposés dans d’autres. C’est la conséquence de l’utilisation des polynômes de
Legendre car Pα(1) = 1 et Pα(-1) = (-1)α (avec α un entier naturel). Ces deux potentiels sont
déphasés de απ.
Le potentiel électrique n’est pas constant sur la face car l’échantillon est dépourvu
d’électrode. Le potentiel est donc libre sur la surface.
II.4 Vibrations semi-libres : cube avec une électrode sur la surface
x3=-L3
Dans cette partie, une électrode est introduite sur une des faces perpendiculaires à la
polarisation.
II.4.1
Calcul de l’équation aux valeurs propres
La mise en place d’une électrode (Figure II-5) sur la surface x3=-L3 change
l’expression du Lagrangien. Cependant il faut noter que l’épaisseur et le poids de l’électrode
sont négligés dans le calcul du Lagrangien. De ce fait, l’équation (II-8) sera utilisée dans cette
partie à la place de l’équation (II-7) utilisée dans la précédente partie.
Figure II-5 : Parallélépipède Rectangle avec électrode sur la face x3=-L3.
30
Mode de vibration d’un cube piézoélectrique : approche variationnelle
En appliquant la méthode de Rayleigh Ritz à l’équation (II-8) le Lagrangien devient :
1
‘Y Y a= a=j 8s==j
2
=
=j
6
où
N=f
”ffj
L gf MV
L gf MV
b=
V
FGT 5==j >’
1
“Y Y ef efj o}ffj
2
f
fj
VW gfj,
,
‘Y Y a= ef 8Ω=f
=
2”ffj r•
f
N=f >’
N,
(II-29)
(II-30)
N.
(II-31)
Гpp’, Ωpr et Λrr’ sont respectivement définis par les équations (II-14), (II-15) et (II-16). Les
matrices A et B représentent le travail des forces électrostatiques.
La différentiation du Lagrangien par rapport aux coefficients ap et br donne le système
d’équations aux valeurs propres suivant (Richard Holland, 1968) :
os
e
oΩ
Nro}
o}
2”rpS oΩ
II.4.2
2”rpS oΩ
Nrq a.
Nrq ra
FGT a,
(II-32)
(II-33)
Choix des fonctions de bases
La présence de l’électrode impose le même potentiel électrique à tous les points de la
face x3=-L3 :
BoJS , JT , 6w r
E' .
(II-34)
Cette condition physique nous conduit à changer de fonction de base du potentiel
électrique car la précédente permettait d’avoir un potentiel libre sur toutes les faces alors
qu’ici le potentiel doit être constant sur la face x3=-L3. Pour simplifier les calculs, l’électrode
sera mise à la masse, c’est à dire : BoJS , JT , _6w r
0. Pour une meilleure convergence du
calcul les polynômes de Legendre sont conservés mais la partie sur x3 est pondérée d’un
polynôme qui l’annule en –L3. Cette fonction annule en même temps les matrices A et B et
réduit donc le temps de calcul (Diallo et al., 2012). Les fonctions de base du déplacement
restent donc inchangées. La fonction de base du potentiel devient (Delaunay, 2006) :
gf
S
~—˜ —™ —š
aœ E A… Q—š R
›
š
•ƒ Q—˜ R •„ Q—™ R A… Q—š R,
›
˜
›
1… •T Q1
S
™
›
›š
—š
š
(II-35)
Rž •… Q—š R.
›
(II-36)
š
Les tableaux regroupant les définitions des matrices d’interactions élastique,
piézoélectrique et diélectrique restent les mêmes. Les Gk restent inchangés pour la matrice
31
Mode de vibration d’un cube piézoélectrique : approche variationnelle
d’interaction élastique car l’expression des fonctions de base du déplacement reste la même.
Cependant les Gk seront modifiés pour les matrices d’interactions piézoélectrique et
diélectrique. Dans ce cas, les Gk sont donnés dans les travaux de Delaunay. Ils sont définis
dans le cadre de la matrice d’interaction piézoélectrique comme suit (Delaunay, 2006) :
tS
o=r
€ƒ 5•Ÿ ‚…
tT
5€ƒ
o=r
•Ÿ ‚…
tx
5€ƒ
o=r
•Ÿ •‚…
tw
tv
tu
ty
tz
t{
6TS ,
6TT ,
5€ƒ 5•Ÿ
o=r
‚…
5€ƒ ••Ÿ
o=r
‚…
6T 6w ,
o=r
€ƒ 5•Ÿ •‚…
6w 6S ,
•€ƒ 5•Ÿ
o=r
‚…
o=r
€ƒ ••Ÿ ‚…
•€ƒ
o=r
•Ÿ ‚…
6Tw ,
6T 6w ,
(II-37)
6w 6S ,
6T 6S ,
6T 6S ,
Les Dij, Eij et Fij sont les mêmes que dans ceux dans la matrice d’interaction élastique
précédemment calculée. Le calcul des coefficients
Annexe 2.
o=r
¡¢ ,
o=r
¡¢ ,
o=r
¡¢
et •¡¢
o=r
est présenté en
Les coefficients Gk sont définis dans le cadre de la matrice d’interaction diélectrique
comme suit (Delaunay, 2006) :
GS
D¥¥j 䧧j C¢¢j LTS ,
Gw
δ¥¥j 䧧j D¢¢j LTw ,
GT
Gx
Gv
Gu
Gy
Gz
G{
o©r
δ¥¥j D§§j C¢¢j LTT ,
o©r
o©r
δ¥¥j E§§j F¢¢j LT Lw ,
o©r
δ¥¥j F§§j E¢¢j LT Lw ,
o©r
(II-38)
F¥¥j 䧧j E¢¢j Lw LS ,
o©r
E¥¥j 䧧j F¢¢j Lw LS ,
o©r
E¥¥j F§§j C¢¢j LT LS,
o©r
F¥¥j E§§j C¢¢j LT LS,
o©r
Le calcul des coefficients
o:r
¢¢j ,
o:r
¢¢j ,
o:r
¢¢j
et •¢¢j est présenté en Annexe 2.
o:r
32
Mode de vibration d’un cube piézoélectrique : approche variationnelle
II.4.3
Résultats de la simulation
Calcul des nouvelles fréquences propres
La résolution de la nouvelle équation aux valeurs propres (Eq. (II-31)) donne les
fréquences propres du système. Le Tableau II-6 montre une comparaison entre les fréquences
propres du cube dépourvu d’électrode et de celui avec une électrode complète sur une face.
Tableau II-6 : Calcul de l’écart fréquentiel d’un cube de PMN-34,5PT de dimension
10x10x10 dû à la métallisation sur la face x3=-L3
Numéro
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Sans Electrode
Face -L3 Electrodée
Fréquences (Hz)
Fréquences (Hz)
82965
89242
109157
109157
118058
119402
126955
129801
129801
134127
139264
142253
142253
145260
153082
153082
160015
161715
169496
170279
170279
170701
170701
172933
Ecart Maximal
83016
87844
106266
106266
117614
119288
123305
123305
125821
134127
136859
141867
141867
144714
152798
152798
159918
161136
166173
166853
166853
169976
169976
172431
Ecart relatif Moyenné
Ecart
-0,06%
1,57%
2,65%
2,65%
0,38%
0,10%
2,88%
5,00%
3,07%
0,00%
1,73%
0,27%
0,27%
0,38%
0,19%
0,19%
0,06%
0,36%
1,96%
2,01%
2,01%
0,42%
0,42%
0,29%
5,00%
1,2%
Le calcul des nouvelles fréquences montre que l’écart moyen avec les fréquences
calculées précédemment est de 1,2 % et que l’écart maximal est de 5,00%. Cependant cette
faible différence ne nous permet pas de dire que l’apport de l’électrode est négligeable car il y
a un décalage de certains modes propres de vibration. Les deux fréquences à la même
33
Mode de vibration d’un cube piézoélectrique : approche variationnelle
position (ayant le même numéro) ne décrivent pas forcément le même mode. Les fréquences
dégénérées ne se retrouvent pas à la même position (voir annexe 5).
Déformée modale d’un cube piézoélectrique avec une face métallisée
Tableau II-7 : Comparaison des déformées modales sur la face L3 dans les cas cube sans
électrode et cube avec une électrode
Sans Electrode
Face –L3 Electrodée
a) 89242 Hz
b) 87844 Hz
c) 145260 Hz
d) 144714 Hz
e) 160015 Hz
f) 159918
g) 170279
h) 166853
34
Mode de vibration d’un cube piézoélectrique : approche variationnelle
Pour vérifier ce décalage de certains modes prédits, une comparaison des spectres de
déplacement sans électrode et avec une électrode sur la face –L3 est nécessaire. Le Tableau
II-7 montre une comparaison entre les champs de déplacement calculés pour le même numéro
de fréquence sur la face x3=L3.
La modification des conditions électriques affecte la position et la forme de certains
modes. Les figures a) et b) du Tableau II-7 prédisent le même mode, de même que les figures
c) et d) du même tableau. Les figures e) et f) à 160 kHz et g) et h) bien qu’ayant les mêmes
numéros de fréquences n’engendrent pas le même mode avec ou sans électrode.
Classification des fréquences suivant les modes
Tableau II-8 : Comparaison des fréquences des modes retrouvés
Numéro de Mode
Sans Electrode (0)
Face -L3 Métallisée
(1)
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
82965
89242
109157
109157
118058
119402
126955
129801
129801
134127
139264
142253
142253
145260
153082
153082
160015
161715
169496
170279
170279
170701
170701
172933
83016
87844
106266
106266
117614
119288
125821
123305
123305
134127
136859
141867
141867
144714
152798
152798
161136
166173
169976
169976
-
Ecart (0&1)
Ecart Maximal
-0,06%
1,57%
2,65%
2,65%
0,38%
0,10%
0,89%
5,00%
5,00%
0,00%
1,73%
0,27%
0,27%
0,38%
0,19%
0,19%
0,36%
1,96%
0,42%
0,42%
5,00%
Ecart Moyen
1,27%
35
Mode de vibration d’un cube piézoélectrique : approche variationnelle
Les fréquences voisines ne correspondent pas forcément aux mêmes formes. Il faudra
donc les classer par numéro de mode. Les champs de déplacement des différentes fréquences
ont été calculés à l’Annexe 5. Le Tableau II-8 montre la classification des fréquences suivant
les modes décrits. Les numéros des modes sont classés suivant leur ordre d’apparition dans le
cas du cube sans électrode.
Le Tableau II-8 montre que les écarts (maximal et moyen) restent quasi-inchangés.
Cependant le mode prédit à la fréquence de 125821 Hz vient avant ceux à 123305 Hz. Cette
comparaison prend en compte la nature du mode prédit. Les modes 23, 26, 27 et 30 ne
trouvent pas de correspondance dans les trente premières fréquences.
II.5 Conclusion
Cette étude reprend la méthode variationnelle proposé par Ohno et Delaunay et al.. La
discussion sur le critère de convergence a permis de choisir le degré 7 pour la suite de ce
travail. Cependant les matrices d’interaction peuvent être simplifiées suivant la symétrie. Par
exemple pour notre structure les matrices d’interactions peuvent être divisées en huit (8) blocs
de matrices d’interactions. Cette simplification permet d’avoir des matrices de petite taille et
donc de diminuer les temps de calcul. Elle permet aussi de séparer directement les modes
semblables (Mochizuki, 1987). Ces modèles permettront de valider les résultats obtenus dans
les prochains chapitres.
Les méthodes décrites donnent plusieurs fréquences propres. Parmi ces fréquences,
seules celles qui permettent un couplage électromécanique sont intéressantes dans l’optique
de déterminer les propriétés fonctionnelles du matériau. L’identification de ces fréquences est
très difficile et très longue à faire (plusieurs jours) car il faut calculer les champs de
déplacement associés à toutes les fréquences propres avant de chercher leur correspondant en
expérience. Enfin compte tenu des conditions d’excitation électrique certains modes ne sont
pas engendrés dans cette gamme de fréquences (23, 26, 27 et 30). L’admittance électrique,
quant à elle, ne donne que les fréquences qui permettent un couplage piézoélectrique.
L’identification est donc très facile à faire. L’admittance électrique sera donc modélisée.
Dans le chapitre suivant, une seconde électrode sera introduite dans le modèle de
Delaunay et al (Delaunay et al., 2008). Cette configuration permettra de modéliser
l’admittance électrique du matériau.
36
Modélisation de l’admittance électrique, extension de la méthode variationnelle
Chapitre III : Modélisation de l’admittance électrique,
extension de la méthode variationnelle
III.1 Introduction
L’originalité de ce travail est l’introduction d’une nouvelle électrode sur la face L3 et
le choix de la nouvelle fonction de base de potentiel. L’objectif est de caractériser les
céramiques avec un seul échantillon à partir d’une simple mesure électrique. Les méthodes
utilisées jusqu’à présent sont basées sur des mesures de vibration. Ces mesures sont souvent
très difficiles à mettre en œuvre (problème de précision des mesures et durée de l’expérience
très longue) et requièrent un matériel très souvent coûteux. De plus la sensibilité de
l’instrumentation, en particulier de l’interféromètre laser, laisse supposer qu’il est possible
d’identifier les modes propres de vibration libre sur des échantillons plus petits (de 5 mm à 1
mm de coté). Ainsi, les propriétés à petites échelles (< 1cm) pourraient être révélées.
Toutefois, la précision sur les constantes mesurées résulte de l’aptitude du dispositif à
identifier et à analyser les différents modes excités. Pour de très petites dimensions, cette
technique est donc limitée par la densité des modes qui complexifie leur identification. Cette
caractérisation n’est donc adaptée que pour des échantillons dont les dimensions sont proches
de 1 cm. Si tel n’est pas le cas, l’ensemble des modes ne sera pas présent et, donc, les
informations liées au spectre de résonance ne seront pas suffisantes pour établir une
caractérisation complète. De plus, une étude en fréquence peut s’avérer délicate car la
vibration libre, en haute fréquence, engendre une densité modale importante rendant difficile
la distinction des modes.
La mesure de l’impédance électrique d’un échantillon est plus facile à réaliser et plus
rapide (mise en place du dispositif et mesure d’impédance sur un échantillon ne dépassent pas
30 min). L’objectif est donc de développer un modèle permettant de prédire l’impédance ou
l’admittance d’un cube piézoélectrique afin d’utiliser ce modèle pour la caractérisation des
matériaux.
Dans ce chapitre la méthode variationnelle est utilisée pour modéliser l’admittance
électrique d’un cube piézoélectrique. La formulation matricielle a été adoptée pour simplifier
la résolution du problème.
37
Modélisation de l’admittance électrique, extension de la méthode variationnelle
III.2 Vibrations forcées : cube avec deux électrodes sur la surface
x3=-L3 et sur x3=L3
Considérons une céramique piézoélectrique parallélépipédique avec deux électrodes
sur les faces –L3 et L3. Notons que les électrodes sont complètes sur les deux faces comme le
montre la figure suivante.
Figure III-1 : Parallélépipède Rectangle de dimensions 2L1, 2L2, 2L3 avec deux
électrodes.
III.2.1 Calcul de la nouvelle équation aux valeurs propres
L’introduction d’une seconde électrode sur la face L3 ne change pas l’expression du
Lagrangien (Eq.(II-29)). Les expressions de matrices A et B deviennent :
N=f
”ffj
∑T]S L gf MV
∑T]S L gf MV
V
b=
,
VW gfj,W
,
(III-1)
.
(III-2)
Ainsi le système d’équation aux valeurs propres précédemment défini reste inchangé.
Choix des fonctions de base
Les fonctions de base du champ de déplacement restent inchangées. La présence
d’électrodes sur –L3 et L3 impose un potentiel constant sur ces faces :
.
BoJS , JT , 6w r E '1,.
BoJS , JT , 6w r E '2.
(III-3)
38
Modélisation de l’admittance électrique, extension de la méthode variationnelle
La fonction de base choisie doit vérifier ces conditions de potentiel sur les faces -L3 et
L3. Choisissons de court-circuiter les deux électrodes et de les mettre à la masse, c’est à dire
que : φ ( x1 , x2 ,− L3 ) = φ ( x1 , x2 , L3 ) = 0 . Bien que cette condition ne soit pas nécessaire, elle
accélère la convergence du calcul et annule les matrices A et B. Les polynômes de Legendre
ont été conservés et pondérés par un polynôme indépendant de x1 et x2 et fonction de x3 qui
annule le potentiel sur –L3 et sur L3. La fonction de base du potentiel choisie est :
gf
S
~—˜ —™ —š
aœ E: A• HJ63K
3
•ƒ Q ˜ R •„ Q ™ R A… Q š R,
›
o
›
—˜
1r• H1
—™
J3
K
63
›
2
—š
(III-4)
•• HJ63K.
3
(III-5)
La Figure III-2 présente de représentation graphique de fη (x) pour n={1,2,3,4,5,6} :
Figure III-2 : Représentation graphique du polynôme de Legendre fn(x) pour les six
premiers ordres.
Ce graphe montre que le potentiel électrique est nul sur les faces x3=-L3 et x3=L3 mais
il reste libre à l’intérieur du cube et sur les faces non métallisées.
Dans ce cas la définition des matrices d’interactions élastiques, piézoélectriques et
diélectriques reste inchangée, la valeur numérique de la matrice d’interaction élastique aussi
car les fonctions de base du déplacement sont identiques. La définition des Gk est la même
pour les matrices d’interactions piézoélectrique et diélectrique. Cependant les coefficients
o=r
‚… ,
o:r
‚…
o=r
‚…
,
,
o:r
‚…
o=r
‚…
, •‚… pour la matrice d’interaction piézoélectrique et les coefficients
o=r
o:r
‚… ,
, •‚… pour la matrice d’interaction diélectrique ne sont pas les mêmes que
o:r
précédemment car la fonction fη n’est plus la même.
39
Modélisation de l’admittance électrique, extension de la méthode variationnelle
Calcul des coefficients de la matrice d’interaction piézoélectrique
En reprenant l’expression des Gk dans le cadre de la matrice d’interaction
piézoélectrique (Eq.(II-37)) et en prenant en compte les nouvelles fonctions du potentiel
électrique (Eq.(III-5)) les valeurs
o=r
‚… ,
o=r
‚…
,
o=r
‚…
, •‚…
o=r
sont présentées dans l’Annexe 4. Le
calcul de la première intégrale est explicité à l’Annexe 4.
Calcul des coefficients de la matrice d’interaction diélectrique :
En reprenant l’expression des Gk dans le cas de la matrice d’interaction diélectrique
(Eq.(II-38)) les valeurs
o:r
……j ,
o:r
……j
,
o:r
……j
, •……j sont présentées dans l’Annexe 4. Le calcul de
o:r
ces deux matrices permet de résoudre l’équation aux valeurs propres car la matrice
d’interaction élastique est déjà connue.
III.2.2 Résultats de la simulation
Calcul des nouveaux modes propres : déformée modale
La résolution de l’équation aux valeurs propres (Eq.(II-32)) donne les nouvelles
fréquences propres du cube de PMN-34,5PT métallisé sur les deux faces perpendiculaires à la
polarisation.
Tableau III-1 : Déformation de la face L3 dans le cas d’un cube avec deux électrodes
a-) 86689 Hz
b-) 117710 Hz
c-) 141390 Hz
d-) 164960 Hz
40
Modélisation de l’admittance électrique, extension de la méthode variationnelle
Comme pour le cas avec une électrode, les fréquences situées à la même position ne
prédisent toujours pas le même mode (voir Annexe 5). Le champ de déplacement, sur la face
L3, est calculé pour les mêmes numéros de fréquence que précédemment.
Les figures du Tableau III-1 confirment la présence d’un décalage en fréquence. Le
mode décrit à la figure (e) du Tableau II-7, qui avait pour fréquence 145260 Hz dans le cas
avec une électrode, a pour fréquence 117710 Hz dans ce cas (figure b). La figure c) ne trouve
pas de mode correspondant dans le cas cube sans électrode mais on le retrouve bien dans le
cas du cube avec une électrode. La figure (d) quant à elle, ne trouve pas de mode
correspondant dans les deux cas précédents.
Comparaison des nouvelles fréquences propres
Tableau III-2 : Comparaison des fréquences de même mode.
Numéro de
Mode
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Sans
Face -L3
Face -L3 et L3
Electrode (0) Electrodée (1) Electrodées (2)
82965
89242
109157
109157
118058
119402
126955
129801
129801
134127
139264
142253
142253
145260
153082
153082
160015
161715
169496
170279
170279
170701
170701
172933
Ecart (0&1)
Ecart (0&2)
-0,06%
1,57%
2,65%
2,65%
0,38%
0,10%
0,89%
5,00%
5,00%
0,00%
1,73%
0,27%
0,27%
0,38%
0,19%
0,36%
1,96%
0,42%
0,42%
-
-0,05%
2,86%
4,67%
4,67%
0,92%
0,18%
1,76%
9,18%
9,18%
0,00%
3,42%
0,61%
0,61%
18,97%
0,31%
0,73%
3,44%
2,60%
2,60%
-
Ecart Maximal
5,00%
18,97%
Ecart Moyen
1,27%
3,51%
83016
87844
106266
106266
117614
119288
125821
123305
123305
134127
136859
141867
141867
144714
152798
161136
166173
169976
169976
-
83006
86689
104060
104060
116970
119190
124720
117890
117890
134130
134500
141390
141390
117710
152600
160540
163670
166260
166260
-
41
Modélisation de l’admittance électrique, extension de la méthode variationnelle
Le Tableau III-2 montre une comparaison des fréquences suivant les numéros de
mode. La classification a été faite grâce aux champs de déplacement calculés en Annexe 5.
Le Tableau III-2 montre que l’écart maximal passe de 9,18% à 18,97%. Ce mode
correspondant à l’index n°20 dans le cas cube sans électrode se retrouve à l’index n°12 dans
le cas du cube métallisé sur les deux faces. Les modes 22, 23, 26, 27 et 30 ne trouvent pas de
mode correspondant dans les trente premières fréquences.
III.3 Calcul de la matrice d’admittance : cube avec électrodes sur les
faces –L3 et L3
La détermination de la matrice d’admittance passe par l’évaluation du champ de
déplacement et du potentiel électrique du cube piézoélectrique (R. Holland & EerNisse,
1968). Dans le chapitre précédent ces deux grandeurs ont été évaluées. Les mêmes
expressions de potentiel électrique et de déplacement mécanique sont réutilisées pour la
détermination de l’admittance.
La quantité de charge Q sur une électrode (2) pour un mode µ donné est définie par la
relation suivante (R. Holland & EerNisse, 1968) :
® o=r
M3 Q 3() #(,)
LN ^^^_
3D B,D R
^^_
N,
(III-6)
u et B sont respectivement les équations des déplacements et du potentiel électrique. Pour
obtenir la matrice d’admittance nous devons exprimer le courant sur l’électrode (1) (R.
Holland & EerNisse, 1968) :
^_w 8
&G L[ M
¯
w
#
,
wW B,W >
N_.
(III-7)
Le courant et la quantité de charge sont reliés par l’expression I=dQ/dt.
En faisant la différenciation entre le courant et la tension il en résulte (Richard
Holland, 1968) :
°
&G ∑•
o˜r o™r
±² ±²
™ p³™
³²
&G
(III-8)
.
Dans cette relation, CS est la capacité statique du cube piézoélectrique. Elle s’exprime
comme suit (Richard Holland, 1968) :
N
33 263 .
(III-9)
Dans le cas d’un échantillon cubique l’admittance devient (Richard Holland, 1968):
42
Modélisation de l’admittance électrique, extension de la méthode variationnelle
&G ∑•
°
avec ®o‡r
8®‡ >
2
™ p³™
³²
&G
(III-10)
,
7U M3 Q 3() #(,)
3D B,D R
@.
III.3.1 Résultats de simulation : Validation du modèle d’admittance
Pour valider le modèle d’admittance, les résultats des simulations sont comparés avec
ceux prédits par les modèles de Mason (Mason, 1948) et KLM (Krimholtz, Leedom, &
Matthaei, 1970). Dans l’étude de vibration de plaques minces, considérerons une lame
piézoélectrique de dimensions latérales 2L1 et 2L2 très grande devant l’épaisseur 2L3 comme
le montre la Figure III-3.
x2
2L2
x1
2L3
x3
2L1
Figure III-3 : Plaque de matériau piézoélectrique avec deux faces métallisées.
En l’absence de pertes, la relation donnant l’impédance électrique d’une lame
piézoélectrique chargée par deux milieux avant et arrière d’impédance mécanique Z1 et Z2
vaut (Royer & Dieulesaint, 1999) :
´
) E
µ̄
1
& 0
‘1
G
(2' ´!
(
2´! o1 coso( rr &o´1 ´2 r sino( r
’,
Q´2! ´1 ´2 R sino( r &´! o´1 ´2 r coso( r
(III-11)
où d représente l’épaisseur de l’échantillon i.e. d=2L3.
Lorsque la lame est libre, alors Z1=Z2=0 (forces nulles sur les faces), l’impédance
électrique prend la forme :
´
) E
µ̄
1
»1
& 0G
(2'
tano( ⁄2r
¾.
( ⁄2
(III-12)
La fréquence d’antirésonance et le coefficient de couplage sont donnés par (Royer &
Dieulesaint, 1999) :
43
Modélisation de l’admittance électrique, extension de la méthode variationnelle
Aa
('
@g o2 r,
(III-13)
¿2A $ tan H2
ÀA
a
À Aa A$
K.
Aa
(III-14)
Le coefficient de couplage théorique est obtenu grâce à l’équation suivante :
('
Á
2
33
33 33
(III-15)
.
Application à une plaque piézoélectrique de PMN34,5PT :
Considérons les valeurs de C33, e33 et ε33 et de la masse volumique de la céramique
PMN-34,5PT données dans le Tableau II-4. Pour une épaisseur de 10 mm et des dimensions
latérales de 1000 mm le modèle de Mason donne les spectres d’admittance et d’impédance de
la Figure III-4.
Figure III-4 : Impédance et admittance d’une plaque PMN-34,5PT(modèle de Mason)
Les fréquences de résonnance et d’antirésonance associées à ces deux spectres sont
présentées dans le Tableau III-3. Ce tableau montre que seuls les harmoniques impaires sont
non nuls.
Tableau III-3 : Fréquences de résonance et d’antirésonance (modèle de Mason)
Numéro
1
2
3
4
Fréquences de résonance (fr)
222520
712620
1193300
1672800
Fréquences d'antirésonance (fa)
239290
717880
1196500
1675100
1,00
3,00
5,00
7,00
fa/fa(1)
Coefficient de couplage (kt)
40,18%
44
Modélisation de l’admittance électrique, extension de la méthode variationnelle
Le modèle d’admittance développé dans ce travail est ensuite appliqué à une plaque de
PMN-34,5PT parallélépipédique de dimensions 2L1=2L2=1000 mm et 2L3=10 mm. Pour
assurer une bonne prédiction des harmoniques le degré maximal d’approximation des
polynômes de Legendre est pris égal à neuf (9).
Figure III-5 : Module de l’impédance et de l’admittance d’une plaque PMN-34,5PT.
La Figure III-5 présente les évolutions fréquentielles de l’admittance et de
l’impédance électriques du modèle variationnelle. Cette figure est quasi-identique à celle
obtenue par le modèle de Mason (sauf pour le 3éme harmonique). Le Tableau III-4 présente les
fréquences de résonance et d’antirésonance et leurs harmoniques.
Tableau III-4 : Fréquences de résonance et d’antirésonance (modèle variationnelle)
Numéro
1
2
3
4
Fréquences de résonances (fr)
222540
712600
1197300
1890200
Fréquences d'antirésonances (fa)
236600
716800
1200000
1893800
1
3,03
5,07
8,00
fa/fa(1)
Coefficient de couplage (kt)
37,15%
Le Tableau III-4 montre que seules les harmoniques impaires de la fréquence
d’antirésonance sont non nulles sauf pour la quatrième fréquence. Le coefficient de couplage
est de 37,15%. Il est donc proche de celui trouvé précédemment.
Le Tableau III-5 présente une comparaison des fréquences de résonance et
d’antirésonance obtenues avec les deux modèles. Il y’a donc une bonne adéquation des
résultats entre les deux modèles sauf pour la quatrième fréquence.
45
Modélisation de l’admittance électrique, extension de la méthode variationnelle
Tableau III-5 : Comparaison des fréquences obtenues des deux modèles
Numéro
Fréquences de résonances (fr)
Fréquences d'antirésonances (fa)
Fréquences de résonances (fr)
Fréquences d'antirésonances (fa)
Ecart entre fr
Ecart entre fa
1
222520
239290
222555
236600
-0,02%
1,12%
2
712620
717880
712600
716800
0,00%
0,15%
3
1193300
1196500
1197200
1200000
-0,33%
-0,29%
4
1672800
1675100
1890200
1893800
-13,00%
-13,06%
Modèle
Mason
Variationnelle
Les champs de déplacement correspondant à la fréquence de résonance et ses
harmoniques sont représentés à la Figure III-6.
Déformée de la face L3
1
2
3
4
Figure III-6 : Champs de déplacement obtenu à la fréquence de résonance et ses
harmoniques.
Cette figure confirme bien que les résonances 1, 2 et 3 correspondent à des modes de
dilatation (Yao, Shannigrahi, & Tay, 2004). La fréquence 4 ne correspond pas une
46
Modélisation de l’admittance électrique, extension de la méthode variationnelle
harmonique impaire de la fréquence de résonance. Pour vérifier s’il s’agit bien d’un
d
mode
épaisseur le déplacement particulaire suivant x3 a été calculé.
Figure III-7 : Déplacement particulaire selon x3 (x1=x2=0) pour les quatre fréquences
de résonances.
Cette figure montre que le déplacement suivant x3 est homogène à un sin (n*x3/L3) où
n est le numéro d’harmonique du mode. Nous retrouvons donc les harmoniques impaires de
vibration d’une plaque piézoélectrique. La fréquence de 8*fa est due au choix du degré
maximal du polynôme d’approximation.
d’approximation Le degré 9 permet de prédire les trois premières
fréquences de résonance et d’antirésonance. Cependant un écart fréquentiel est observé à
partir de la 4ème résonance. Pour bien prédire cette 4ème fréquence le degré maximal du
polynôme d’approximationn est pris égal à quatorze (14) (Figure
(
III-8).
Figure III-8 : Impédance
ce et admittance d’une plaque PMN-34,5PT calculée avec N=14.
N=14
47
Modélisation de l’admittance électrique, extension de la méthode variationnelle
La quatrième fréquence de résonance qui était prédit avec N=9 à 1893800 Hz se
retrouve à la fréquence de 1675510 Hz pour N=14. La cinquième fréquence de résonance qui
était hors de cette plage de fréquence se retrouve maintenant dans cette bande de fréquence.
SuyvvSÂ
Cette harmonique se trouve bien à 7*fa au lieu de 8*fa (
TwuuÂÂ
7,08). L’écart entre cette
fréquence et celle prédit par le modèle de Mason est inférieur à 0,03%.
Le modèle d’admittance confirme les résultats d’une plaque en mode épaisseur se
trouvant dans la littérature.
III.3.2 Résultats de simulation : Modélisation du spectre d’admittance d’un
cube
Après avoir calculé les fréquences propres du système dans le cas d’un échantillon
avec deux électrodes, les déplacements surfaciques et le potentiel électrique sont calculés pour
en déduire la matrice des charges électriques Q (eq.(III-6)). La matrice d’admittance est
déduite de la matrice des charges et des fréquences propres. La Figure III-9 présente
l’évolution du module de l’admittance électrique en fonction de la fréquence.
Figure III-9 : Module de l’admittance d’un Cube piézoélectrique PMN-34,5PT de
dimension 10X10X10 mm 3.
Dans cette plage de fréquence, seules cinq fréquences sont couplées alors que soixante
quinze fréquences propres y étaient calculées. L’admittance permet ainsi une identification
plus rapide des fréquences électriques que les autres méthodes variationnelles existant dans la
48
Modélisation de l’admittance électrique, extension de la méthode variationnelle
littérature (Delaunay et al., 2008; Ohno, 1976). Les fréquences couplées sont regroupées dans
le Tableau III-6 avec les modes correspondant.
Tableau III-6 : Fréquences piézoélectriquement couplées et numéros associés.
N° de résonnance
N° mode Fréquences (Hz)
1
12
117714
2
30
167331
3
48
234637
4
50
242701
5
52
255358
49
Déformée théorique de la face L3
Modélisation de l’admittance électrique, extension de la méthode variationnelle
Ce tableau (Tableau III-6) montre que sur les trente premières fréquences de
résonances seules deux sont couplées. Les modes décrits par ces fréquences sont divers et
variés. Les deux premiers modes sont des modes de dilatation. Le troisième est un mode de
flexion. Tandis que les deux dernières combinent dilatation et cisaillement. La nature de ces
champs de déplacement montre que toutes les constantes des différents tenseurs sont sensibles
à l’admittance du cube.
III.4 Conclusion
Le modèle d’admittance a été décrit. L’introduction d’une seconde électrode dans le
modèle de Delaunay et al. (Delaunay et al., 2008) a permis de montrer qu’il existe un
décalage en fréquence entre les modes de vibrations libre et forcée. La simulation a permis de
montrer que sur les 75 premières fréquences propres, seules 5 correspondent à des résonances
électriques. L’admittance ainsi simulée permet donc une identification plus rapide et plus
efficace des fréquences de résonance que les modèles précédents (Delaunay et al., 2008;
Ohno, 1976). Le mode épaisseur a été choisi pour valider le modèle. Le coefficient de
couplage (en mode épaisseur) obtenu via le modèle d’admittance est identique à celui donnée
par le constructeur. La comparaison des fréquences de résonance et d’antirésonance obtenus
grâce aux modèles de Mason et d’admittance montre une très bonne cohérence entre ces
modèles.
50
Deuxième partie
Etude Expérimentale
51
Dans cette partie, l’influence des électrodes sur le spectre fréquentiel de la
résonance d’un cube piézoélectrique, est mise en évidence. Les dispositifs
expérimentaux, qui ont permis de faire les mesures, sont décrits. Des mesures de
vitesses particulaires normales sont faites grâce à un dispositif d’interférométrie laser
et comparées avec les résultats théoriques. Des mesures électriques (admittances et
impédances électriques) permettent de caractériser les matériaux grâce au modèle
d’admittance. Des échantillons de PMN-34,5PT, PZ21 de dimensions respectives
10x10x10 mm3 et 15x15x15 mm3 et des échantillons de PZ27, PZ52 et PZ54 de
dimensions 4x4x4 mm3 ont été caractérisés.
52
Spectre de vibration d’un cube piézoélectrique
Chapitre IV : Spectre de vibration d’un cube
piézoélectrique
IV.1 Introduction
La mesure de l’admittance électrique du cube piézoélectrique suffit pour extraire
l’ensemble de ses constantes élastiques, piézoélectriques et diélectriques. L’objet de ce
chapitre est de décrire le dispositif expérimental qui a été mis en place pour caractériser des
matériaux. Afin de valider cette méthode de caractérisation, les modes expérimentaux seront
mesurés en utilisant le dispositif d’interférométrie Laser (Babilotte et al., 2011). Les mesures
des vibrations surfaciques dans les trois cas (cube sans électrode, cube avec une électrode et
cube avec deux électrodes) permettront de voir si les résultats de la caractérisation vérifient
les modèles d’Ohno et de Delaunay et al..
IV.2
Dispositifs expérimentaux
IV.2.1 Excitation électrique et détection optique du spectre de vibration
d’un cube piézoélectrique
Contrôleur
DC500
Ordinateur de calcul
Interféromètre
Laser +
déplacement
Contrôleur
OFV500
Echantillon
Oscilloscope
Porte échantillon
Générateur Large Bande
Figure IV-1 : Schéma de principe d’une mesure de vibration surfacique.
53
Spectre de vibration d’un cube piézoélectrique
Le schéma de principe est présenté Figure IV-1. Un générateur d’impulsion large
bande (Sofranel) envoie une excitation électrique sur notre échantillon posé sur un porte
échantillon (bloc d’aluminium + mousse). Les vibrations de la surface sont détectées avec une
sonde laser. Cette sonde optique, associée à une détection électronique à large bande, permet
de mesurer des vitesses mécaniques normales à la surface. Les signaux sont numérisés et
moyennés par un oscilloscope. Un programme Labview permet depuis l’ordinateur
d’automatiser les mesures. L’interféromètre est fixé à un système de déplacement dans le plan
qui nous permet de mesurer la vitesse surfacique sur tous les points de la face et ainsi
reconstituer les modes de vibration à la surface du cube. Une photo du dispositif expérimental
est présentée sur la Figure IV-2.
Figure IV-2 : Dispositif expérimental : Banc de mesure optique.
54
Spectre de vibration d’un cube piézoélectrique
IV.2.2 Dispositif de mesure d’admittance électrique
Figure IV-3 : Schéma de principe d’une mesure d’admittance
d’admittance électrique.
électrique
Pour mesurer l’admittance électrique (parties réelle et imaginaire) d’un résonateur
piézoélectrique libre en fonction de la fréquence, un analyseur d’impédance
d’impédance couplé à un kit de
mesure d’impédance est utilisé. L’élément piézoélectrique dont les deux faces sont
métallisées est placé dans un système permettant un contact électrique sur chaque face
(métallisée).. Dans ces conditions, l’élément piézoélectrique
piézoélectrique se comporte comme un
résonateur libre. Le dispositif de mesure est présenté sur la Figure IV-3.
IV
Enfin, avant
d’effectuer la mesure, le système global est calibré en mesurant l’impédance de charges de
référence (charge étalon 50 Ω,
Ω 0 Ω et circuit ouvert). Grâce à un câble de liaison, les mesures
sont transférées sur un ordinateur via un programme d’acquisition avant d’être traitées.
IV.3 Mesures des vibrations sur un cube de propriétés connues
IV.3.1 Mise en place de l’excitation
Les mesures
res optiques ont été faites sur des cubes de PMN-34,5PT
PMN 34,5PT dans les trois cas
étudiés en théorie (échantillon non métallisé, échantillon avec une électrode et échantillon
avec deux électrodes). Pour l’échantillon dépourvu d’électrode la tension d’excitation est
e
appliquée sur les coins opposés des deux faces perpendiculaires à l’axe de polarisation. Bien
que cela ne soit pas le cas, l’excitation est supposée ponctuelle, car l’intégralité des modes
peut être engendrée avec ce type d’excitation. Deux petites électrodes
trodes sont mises en place sur
les coins comme le montre la Figure IV-4.. Leur surface étant très petite devant la surface de la
55
Spectre de vibration d’un cube piézoélectrique
face, leurs influences sur les fréquences de résonances sont supposées négligeables (Delaunay
et al., 2008).
a) Face avant
b) Face arrière
Figure IV-4 : Schéma d’excitation électrique pour un cube sans électrode (métal en gris).
gris)
Le même principe est adopté pour un cube avec une seule électrode. La face arrière
sera entièrement métallisée tandis que la face avant aura une petite électrode sur un coin
(Figure IV-5).
Pour le cube avec deux électrodes les deux faces sont entièrement métallisées comme
montré sur la Figure IV-5.b).
a) Face avant
b) Face arrière
Figure IV-5 : Schéma d’excitation électrique pour un cube avec une électrode (métal en gris).
IV.3.2 Résultats expérimentaux
Cube dépourvu d’électrode
La réponse impulsionnelle
impulsionnelle du cube est mesurée avec le dispositif expérimental de la
Figure IV-1. Cette mesure est faite sur la face arrière du cube (Figure IV-5.b et Figure IV-4.b)
par pas régulier de 0,5 mm.. Ce processus de mesure permet de cartographier la face
fac et permet
de déterminer les modes de vibration du cube piézoélectrique. La Figure IV-6 présente la
réponse temporelle mesurée au centre de la face arrière.
56
Spectre de vibration d’un cube piézoélectrique
Figure IV-6 : Réponse temporelle du cube dépourvu d’électrode (mesure de vitesse au
centre de la face).
A partir de cette réponse temporelle, la réponse fréquentielle du cube piézoélectrique à
une excitation électrique est déduite. Le calcul des réponses fréquentielles de tous les points
de la surface donnent le spectre de vibration de la face. La Figure IV-7 présente l’évolution
fréquentielle de la vitesse de vibration de deux points (coin et milieu de la face arrière).
Figure IV-7 : Vitesse de vibration en fonction de la fréquence (milieu et coin de la face)
57
Spectre de vibration d’un cube piézoélectrique
Cette figure prouve que toutes les vibrations de la face ne sont pas perceptibles à tous
les points de la face. Les déplacements donnant lieu aux résonances
nances n°1 et n°2 du spectre
mesuré sur un coin n’existent pas (où sont très atténués) dans le cas du spectre mesuré au
milieu de la face. Ce sont des modes de flexion ou de torsion. Par contre le mode n°1 du
spectre mesuré au milieu correspond à un mode de dilatation car il est perceptible au coin de
la face et a une amplitude plus grande au milieu de la face.. Le calcul des spectres fréquentiels
sur tous les points de la face permettent de représenter la vibration de la face en fonction de la
fréquence.
nce. Ces résonances correspondent à des modes propres de vibration du matériau. Les
fréquences propres des vibrations mesurables
mesurables au centre de la face sur cette bande de
fréquences sont regroupées dans le Tableau IV-1.
Tableau IV-1 : Fréquence des résonances sensibles au centre de la face
Fréquences en Hz
159200
186300
208300
243100
260200
279100
291300
Cube avec une électrode
Le même dispositif expérimental permet de mesurer les vibration
ibrations dans le cas d’un
cube avec une électrode. Cette fois-ci
fois la face arrière est entièrement métallisée.
métallisée
Figure IV--8 : Vitesse de vibration en fonction de la fréquence.
fréquence
58
Spectre de vibration d’un cube piézoélectrique
Un spectre montre que les coins sont beaucoup plus sensibles aux vibrations de la face
observée (Figure IV-8). Le nombre de résonances retrouvé sur les coins est de 19 tandis que
ce nombre est de 10 au centre de la face. La différence de réflexivité entre l’électrode et la
partie sans électrode peut expliquer que certains modes n’ont pas pu être visualisés dans le
premier cas. La métallisation permet une meilleure réflectivité du faisceau Laser. Le Tableau
IV-2 donne les fréquences des résonances retrouvées au centre de la face.
Tableau IV-2 : Fréquence des résonances sensibles au centre de la face
Fréquences en Hz
139200
149000
166100
178500
208500
237800
242700
261900
280100
290500
Ces fréquences des vibrations sont différentes de celles du cube sans électrode. La
comparaison des différents modes mesurés à ces fréquences permet d’évaluer l’impact de
l’électrode.
Cube avec deux électrodes :
Figure IV-9 : Vitesse de vibration surfacique en fonction de la fréquence.
59
Spectre de vibration d’un cube piézoélectrique
Le spectre obtenu est beaucoup plus sélectif (Figure IV-9). Les fréquences couplées
piézoélectriquement sont plus basses que précédemment. Les fréquences couplées sont
regroupées dans le Tableau IV-3 qui présente les fréquences des résonances retrouvées au
centre de la face.
Tableau IV-3 : Fréquence des résonances sensibles au centre de la face
Fréquences en Hz
126000
168500
177400
240100
245400
262100
L’introduction de la nouvelle électrode décale les fréquences de résonances. Dans ce
cas le nombre de mode couplé est moins important que précédemment. L’introduction d’une
seconde électrode rigidifie la structure donc certains modes se retrouvent en très hautes
fréquences. De plus l’excitation sur les deux électrodes entières favorise plus les modes de
dilatation.
IV.3.3 Comparaison théorie-expérience :
Les fréquences propres et les champs de vibration expérimentaux des résonances
perceptibles au centre de la face sont comparés aux résultats théoriques.
Comparaison théorie-expérience : Cas sans électrode
La Tableau IV-4 montre une assez bonne adéquation entre les champs de vitesses
théoriques et expérimentaux même si le rapport signal sur bruit des signaux mesurés n’est pas
des meilleurs. Mais les valeurs des fréquences correspondantes sont assez éloignées surtout
pour les deux premiers modes avec un écart de 13900 Hz soit 8,73% pour le premier et 8400
Hz soit 4,5% pour le deuxième mode. Pour ces deux modes les champs de vitesse entre
théorie et expérience sont déphasés de π. Cette différence peut résulter d’un problème de
calage de la phase.
L’identification a été très difficile voire impossible en hautes fréquences car la
transformation électromécanique est faible et donc certains point sont noyés dans du bruit.
60
Spectre de vibration d’un cube piézoélectrique
Tableau IV-4 : Comparaison entre modes et fréquences théoriques et expérimentaux
Fréquences
Exp. (Hz)
Déformée modale Exp.
Fréquences
Théo. (Hz)
159200
145260
186300
177948
208300
205266
243100
242520
Déformée modale théorique
Comparaison théorie expérience : Cas avec une électrode
La Tableau IV-5 montre une assez bonne adéquation théorie-expérience au niveau des
fréquences de résonance et des champs de vitesse. Plus la fréquence est élevée, plus il y’a
divergence entre les fréquences de résonance des modes théoriques et expérimentaux (7 et
21% en haute fréquences). Les propriétés utilisées en entrée du modèle ont été extraites par
61
Spectre de vibration d’un cube piézoélectrique
Delaunay et al. Les mesures de vibration ont été faites dans les mêmes conditions que dans
cette étude (cube avec une électrode et excitation sur le coin) (Delaunay et al., 2008). C’est
pour cela que la correspondance est meilleure dans ce cas.
Tableau IV-5 : Comparaison entre modes et fréquences théoriques et expérimentaux
Fréquences
Exp. (Hz)
Déformée modale Exp.
Fréquences
Théo. (Hz)
139200
136859
149000
144714
166100
161136
178600
177157
62
Déformée modale Théorique
Spectre de vibration d’un cube piézoélectrique
208500
201656
237800
237890
242700
245605
261900
259741
280100
302059
Comparaison théorie-expérience : Cas avec deux électrodes
Le Tableau IV-6 montre que certains modes précédemment prédits se retrouvent plus
bas en fréquence. L’introduction d’une seconde électrode confirme que les fréquences de
résonance deviennent de plus en plus basses par rapport au cas avec une électrode.
63
Spectre de vibration d’un cube piézoélectrique
Tableau IV-6 : Comparaison entre modes et fréquences théoriques et expérimentaux
Fréquences
Exp. (Hz)
Déformée modale Exp.
Fréquences
Théo. (Hz)
126000
117714
168500
198433
177400
167331
240100
245908
245400
242701
64
Déformée modale théorique
Spectre de vibration d’un cube piézoélectrique
262100
255538
La Figure IV-10 présente une comparaison des spectres mesurés au centre de la face
dans les trois cas (cube sans électrode, cube avec une électrode et cube avec deux électrodes).
Figure IV-10 : Comparaison des trois spectres expérimentaux (bleu : sans électrode ; noir :
avec une électrode et rouge : avec deux électrodes).
L’introduction d’une électrode change les conditions aux limites électriques sur cette
face. Ce changement de conditions aux limites électriques influence la vibration du cube.
IV.4 Mesures électriques sur un cube de propriétés connues
Dans cette partie sont présentés les résultats des mesures électriques. Ces mesures ont
permis d’obtenir l’impédance et l’admittance électrique du cube de PMN-34,5PT de
dimensions 10x10x10 mm3. Ces grandeurs sont représentées sur la Figure IV-11.
65
Spectre de vibration d’un cube piézoélectrique
Figure IV-11 : Mesures électriques : partie réelle et imaginaire de l’impédance et
l’admittance électrique d’un cube de PMN-34,5PT
La Figure IV-11 montre cinq résonances dans cette plage de fréquence. Ces
fréquences sont regroupées dans le Tableau IV-7.
Tableau IV-7 : Fréquences couplées piézoélectriquement
Fréquences des résonances électriques en Hz
126900
177470
239400
244530
260870
IV.4.1 Comparaison entre mesure électrique et mesure de vibration :
La Figure IV-12 présente les amplitudes normalisées des spectres de vibration
mécaniques et le module du spectre d’admittance. Les résonances électriques et mécaniques
sont confondues. Ceci est dû au fait que les vibrations mécaniques sont excitées
électriquement (voir protocole de mesure au Laser). Les fréquences de résonances du spectre
d’admittance correspondent aux modes résonants couplés.
66
Spectre de vibration d’un cube piézoélectrique
Figure IV-12 : Comparaison des fréquences de résonnances
résonnance électriques
lectriques et mécaniques
expérimentales
IV.4.2 Comparaison théorie expérience :
Dans le modèle d’admittance, le matériau est considéré sans perte, la partie réelle de
l’admittance est donc nulle.. Ce sont les modules des admittances théorique et expérimentale
qui sont comparés.
Figure IV-13 : Comparaison des spectres d’admittance théorique (noir) et
expérimental (rouge).
67
Spectre de vibration d’un cube piézoélectrique
IV.4.3 Discussion
La Figure IV-13 montre que les deux spectres d’admittance (théorique et
expérimental) ont le même nombre de résonances (cinq). Pour le spectre expérimental la
quatrième résonance est peu visible car noyée dans du bruit. Il faut ainsi se référer à la partie
réelle de l’admittance pour bien la distinguer (voir Figure IV-11). Cependant les résonances
ne sont pas localisées aux mêmes endroits. Cette différence peut s’expliquer par le fait que les
propriétés utilisées ont été extraites d’un cube avec une seule électrode. Cependant les modes
prédits théoriquement sont les mêmes que ceux obtenus en pratique (Tableau IV-8).
Le Tableau IV-8 montre une bonne adéquation entre les modes de résonance
théoriques et expérimentaux. La plupart des modes observés sont des modes de dilatation
(épaisseur).
Tableau IV-8 : Comparaison entre modes théoriques et expérimentales.
N°
Déformée théorique de la face
Déformée expérimentale de la
mode
L3
face L3
1
2
3
68
Spectre de vibration d’un cube piézoélectrique
4
5
IV.5 Conclusion
Les dispositifs expérimentaux présentés dans ce chapitre ont permis de mesurer
l’admittance électrique et d’engendrer et d’identifier les modes de vibration des échantillons.
L’admittance électrique ainsi mesurée permettra d’extraire les propriétés fonctionnelles des
échantillons. Les mesures des vibrations dans les trois cas (sans électrode, une électrode et
deux électrodes) confirment le décalage en fréquence prédit en théorie. Les mesures des
modes de vibration permettront de valider les résultats de la caractérisation. Cette étude
montre une bonne correspondance entre modes prédits par l’admittance théorique et ceux
donnés par l’admittance expérimentale.
Jusqu’à présent le matériau était considéré sans perte. L’introduction des pertes
entraine une atténuation des amplitudes et donc une meilleure adéquation entre amplitude
théorique et expérimentale. Dans le chapitre suivant les pertes électriques et mécaniques sont
évaluées et introduites dans le modèle.
69
Spectre de vibration d’un cube piézoélectrique
70
Evaluation des pertes globales ramenées d’un cube piézoélectrique
Chapitre V : Evaluation des pertes globales ramenées
d’un cube piézoélectrique
V.1 Introduction des pertes dans les modèles de vibration d’un
cube
Dans un matériau piézoélectrique, deux mécanismes de pertes interviennent, d’une
part les pertes mécaniques et d’autre part les pertes diélectriques (Feuillard, 1993).
V.1.1
Prise en compte des pertes mécaniques et diélectriques
Les pertes mécaniques sont une conséquence de la propagation des ondes dans les
céramiques. Elles sont dues aux frottements internes générés dans ces matériaux (Zaitsev,
Feuillard, & Diallo, 2012).
On considère d’abord les pertes mécaniques, en faisant abstraction des propriétés
électriques et piézoélectriques. Aux fréquences qui nous intéressent, les pertes mécaniques
sont d’origines viscoélastiques. Leur existence dans ce milieu mécanique se traduit par
l’apparition de coefficients d’élasticité complexes. Si l’on veut prendre en compte ce terme,
nous devons considérer le matériau non piézoélectrique. Cela revient donc à considérer le
matériau à champ électrique constant. Le coefficient d’élasticité complexe s’écrit (Loyau,
2004; Royer & Dieulesaint, 1999) :
C E = C E (1 + jδ )
m
(V-1)
où δ m représente les pertes mécaniques.
D’un point de vue diélectrique (en faisant abstraction des phénomènes mécaniques), si
le matériau est libre de se déformer (déformation non nulle), le déplacement des particules va
pouvoir contribuer, au travers d’un moment dipolaire non nul, à l’induction électrique. Par
contre, dans le cas d’une déformation nulle, le moment dipolaire induit est nul et donc il n’y a
pas de contribution d’origine mécanique. Les pertes purement diélectriques, δe , interviennent
donc sur la constante diélectrique à déformation constante et a pour forme (Loyau, 2004;
Royer & Dieulesaint, 1999):
71
Evaluation des pertes globales ramenées d’un cube piézoélectrique
ε s = ε s (1 − jδ e )
V.1.2
(V-2)
Impact sur le déplacement mécanique
La méthode de Rayleigh-Ritz est toujours utilisée mais, dans le cas d’un matériau avec
pertes, ap et br deviennent complexes. Les polynômes de Legendre restent inchangés. Les
éléments des matrices d’interactions élastiques et diélectriques deviennent complexes. Par
conséquent les valeurs propres et les vecteurs propres aussi sont complexes. Les déplacements
deviennent donc complexes (présence de parties réelle et imaginaire).
N
u i = ∑ a pψ p
p =1
(V-3)
où ui est le déplacement complexe et ap les nouvelles valeurs propres du système d’équations
aux valeurs propres.
V.1.3
Impact sur l’admittance électrique
L’admittance électrique d’un matériau sans perte est donnée par l’équation (III-8).
Cependant une céramique sans pertes n’existe quasiment pas. L’admittance électrique
devient :
µ
Y 1− 2 = jω ∑
µ
µ
Q (1) Q ( 2 )
[ω ] − ω
µ 2
2
+ jω C 1− 2
(V-4)
avec Q (µn ) = Q(µn ) + jQ '(µn ) où Q(µn ) et Q '(µn ) représentent, respectivement, la quantité de charge et
les pertes capacitives sur la surface n pour le mode propre µ.
L’introduction des pertes fait apparaître une partie réelle dans l’équation de l’admittance
électrique. Cette partie réelle est proportionnelle à la quantité de chaleur dissipée par effet
Joule.
V.2 Evaluation des pertes sur un cube de propriétés connues
V.2.1
Mesure des pertes mécaniques
Dans un premier temps considérons que les pertes diélectriques sont nulles et que les
pertes élastiques sont approximativement égales à l’inverse du facteur de qualité. Dans ce cas
le facteur de qualité de chacune des cinq résonances électriques sera mesuré. Cette valeur est
donnée par la relation:
72
Evaluation des pertes globales ramenées d’un cube piézoélectrique
δm ≅ δ =
f −f
1 ∆f
=
= 2 1
Q f
f
r
r
(V-5)
Le Tableau V-1 donne le facteur de qualité de chaque résonance.
Tableau V-1 : Facteur de qualité et pertes mécaniques sur les différentes résonances.
N° Résonnance
1
2
3
4
5
126900
177470
239400
244530
260870
Fréquence 1 (f1 en Hz)
126600
176630
242800
260470
Fréquence 2 (f2 en Hz)
127230
178300
244930
261230
Facteur de Qualité (Q)
201,43
106,27
114,80
343,25
8,71.10-3
2,91.10-3
Fréquence de résonnance (fr
en Hz)
Pertes élastiques (δm)
4,96.10-3 9,41.10-3
Le Tableau V-1 montre que le facteur de qualité diffère d’une résonance à l’autre. La
mesure sur la troisième résonance n’a pas été possible en raison du faible rapport signal sur
bruit. Les fréquences à la mi-hauteur n’ont pas pu être mesurées. Un facteur de perte moyen,
de 6,65 10-3, est utilisé pour une première approximation.
Cette valeur de perte a été introduite dans le tenseur élastique. La Figure V-1
représente l’admittance électrique obtenue.
73
Evaluation des pertes globales ramenées d’un cube piézoélectrique
Figure V-1 : Admittance électrique après l’introduction des pertes mécanique.
V.2.2
Mesure des pertes électriques
L’admittance électrique (V-4) est la somme de deux admittances.
Y 1−2 = Y 1 + Y 2
(V-6)
µ
avec : Y 1 = jω ∑
µ
µ
Q (1) Q ( 2 )
[ω ] − ω
µ 2
2
(admittance dynamique) et Y 2 = jω C1−2 (admittance statique).
Les résonances résultent de l’impédance dynamique et la pente de l’admittance
clampée. L’angle entre la tangente de la partie réelle de l’admittance théorique et celle
expérimentale est due à l’admittance clampée (voir Figure V-2). L’admittance clampée peut
s’écrire :
Y 2 = jω C 1−2 = ω C1−2 (δ e + j ) .
(V-7)
Cette admittance peut se mettre sous la forme :
Y 2 = R + jX
(V-8)
La Figure V-2 permet de déterminer la partie réelle de l’admittance clampée R.
74
Evaluation des pertes globales ramenées d’un cube piézoélectrique
Figure V-2 : Tangente des admittances électriques expérimentale (noir) et théorique
(bleu).
Les pertes électriques sont calculées en prenant une valeur de cette pente et la
fréquence correspondante (sauf pour f=0). Pour la fréquence de 0,3 MHz, les pertes
électriques obtenues sont de l’ordre de 1,38.10-2.
En introduisant les pertes électriques dans le modèle d’admittance les courbes (noir)
de la Figure V-3 sont obtenues.
Figure V-3 : Admittances électriques (en bleu pertes mécaniques seules et en noir après
introduction des pertes électriques).
75
Evaluation des pertes globales ramenées d’un cube piézoélectrique
L’introduction de facteurs de pertes globaux mécaniques et diélectriques permet de
modéliser non seulement les positions des fréquences de résonance de l’admittance électrique
mais aussi leur amplitude et leur largeur à mi-hauteur. Ces deux valeurs de pertes
(mécaniques et électriques) ne constituent que des valeurs de départ. Une optimisation est
donc nécessaire pour avoir le meilleur couple (pertes mécaniques-pertes électriques)
permettant d’avoir une meilleure adéquation théorie-expérience.
V.3 Conclusion
Cette étude montre que la partie réelle de l’admittance électrique résulte des pertes
dans le matériau. L’admittance électrique théorique a été comparée à celle expérimentale et
les pertes électriques et mécaniques ont été évaluées. L’introduction de ces pertes dans le
modèle a permis d’obtenir un meilleur facteur de qualité. Cependant, les fréquences
théoriques et expérimentales ne concordent pas.
Dans la partie suivante, les paramètres d’entrées seront optimisés pour obtenir une
bonne adéquation entre théorie et expérience. Les propriétés ainsi obtenues sont utilisées
comme valeurs d’entrée dans les modèles d’Ohno (cube sans électrode), de Delaunay (cube
avec une électrode) et de cube avec deux électrodes. Les résultats obtenus sont comparés aux
résultats expérimentaux. Les erreurs relatives sur les fréquences des modes sont comparées
avec celles obtenues avec les paramètres d’entrée.
76
Troisième partie
Caractérisations tensorielles des céramiques
77
L’identification des tenseurs élastiques, piézoélectriques et diélectriques a été faite
grâce à une procédure d’optimisation des paramètres. Cette procédure permet d’ajuster les
paramètres d’origine pour avoir une meilleure adéquation entre l’admittance électrique
théorique et celle expérimentale. Le système a onze inconnues car les matériaux sont
anisotropes et symétriques (structure hexagonale). En prenant en compte la relation C12= C112C66 le nombre d’inconnues passe de onze à dix. Le nombre de fréquences couplées étant plus
petit que le nombre d’inconnues il n’est donc pas aisé de déterminer correctement les valeurs
exactes des tenseurs car les solutions peuvent être multiples. Une procédure de minimisation
sera donc utilisée pour optimiser les paramètres ajustés.
78
Stratégie d’inversion et caractérisations tensorielles de céramiques
Chapitre VI : Stratégie d’inversion et caractérisations
tensorielles de céramiques
VI.1
Méthodes de traitement inverses : stratégie d’inversion
VI.1.1 Introduction
Afin de trouver les paramètres ajustées d’un modèle, ses résultats doivent être
comparés à des mesures expérimentales à travers une boucle de rétroaction. Pour ce faire, il
est alors indispensable de définir une condition sur la minimisation de l’écart entre le
comportement théorique et réel et sur l’agissement des variables d’entrée du modèle, comme
le montre le schéma Figure VI-1 (Delaunay, 2006) :
Figure VI-1 : Schéma du principe de minimisation
La fonction de minimisation F(e) est le plus souvent définie par le principe des
moindres carrés. Cette fonction se définit comme suit :
•o r
∑ | |T .
(VI-1)
VI.1.2 Sensibilité des fréquences de résonance aux paramètres d’entrée
Le Tableau VI-1 quantifie l’écart fréquentiel dû à un petit écart sur la valeur des
paramètres d’entrées. Il montre que, pour un cube métallisé entièrement sur les deux faces, les
fréquences de résonance sont plus sensibles aux coefficients en 3 (31,33). Cela est dû à la
présence des électrodes sur les faces L3 et –L3 et à la polarisation qui est suivant l’axe x3.
Cette sensibilité montre qu’il peut avoir une combinaison des valeurs d’entrées qui donnera en
79
Stratégie d’inversion et caractérisations tensorielles de céramiques
sortie des fréquences de résonance identiques à celles expérimentales. Cependant cette étude
de sensibilité montre que les fréquences dépendent de tous les coefficients du tenseur.
Tableau VI-1 : Sensibilité des fréquences de résonance aux propriétés du matériau
%/GPa
%/C/m2
%/nF/m
Mode
1
2
3
4
5
∆f/∆CE11
0,07
0,04
0,02
0,01
0,02
∆f/∆CE33
0,75
0,43
0,24
0,13
0,14
∆f/∆CE44
0,02
0,04
0,25
0,29
0,31
∆f/∆CE66
-0,69
-0,19
0,30
0,48
1,03
∆f/∆CE13
-1,59
-0,92
-0,60
-0,29
-0,20
∆f/∆e15
0,03
0,11
0,13
0,19
0,08
∆f/∆e31
-0,15
-0,45
-0,21
-0,12
-0,11
∆f/∆e33
0,12
0,31
0,17
0,12
0,07
∆f/∆εS11
0,00
-0,08
-0,08
-0,04
0,00
∆f/∆εS33
-0,07
-0,19
-0,11
-0,12
-0,05
VI.1.3 Sensibilité des amplitudes des résonances aux paramètres d’entrée
Le Tableau VI-2 quantifie l’écart d’amplitude des résonances dû à un petit écart sur la
valeur des paramètres d’entrées pour les valeurs de pertes calculées précédemment. Cette
sensibilité nous montre qu’il peut exister une combinaison des valeurs d’entrées qui donnera
en sortie des amplitudes identiques à celles expérimentales. Globalement les amplitudes des
résonances sont plus sensibles aux coefficients piézoélectriques.
L’examen des deux tableaux de sensibilité (Tableau VI-1 et Tableau VI-2) montre que
les deux premières résonances sont globalement plus sensibles aux coefficients C33, C13, e31,
e33 et ε33. Ces deux résonances correspondent donc à des modes de dilatation.
80
Stratégie d’inversion et caractérisations tensorielles de céramiques
Tableau VI-2 : Sensibilité de l’amplitude des résonances aux propriétés du matériau
Mode
%/GPa
%/C/m2
%/nF/m
1
2
3
4
5
∆H/∆CE11
-0,73
-0,67
3,47
1,92
-1,26
∆H/∆CE33
-1,13
0,03
-1,95
4,83
-3,44
∆H/∆CE44
0,03
0,06
-7,11
12,33
-13,04
∆H/∆CE66
1,17
0,65
-23,60
-38,17
10,16
∆H/∆CE13
2,07
0,51
-2,84
-14,93
2,51
∆H/∆e15
0,09
-0,12
-14,68
11,70
-8,69
∆H/∆e31
-6,78
-0,95
-17,31
4,06
-1,18
∆H/∆e33
6,22
2,47
6,80
13,53
2,10
∆H/∆εS11
0,04
0,09
1,37
-3,12
1,71
∆H/∆εS33
-0,17
2,24
-0,94
-5,97
4,31
VI.1.4 Ajustement global du spectre d’admittance
Pour ajuster de façon globale le spectre d’admittance il faut ajuster dans un premier
temps les fréquences de résonance et dans un second temps faire un ajustement global en
introduisant la hauteur des résonances. Pour ce faire il faut définir un critère de minimisation
de l’écart entre celles mesurées et celles calculées par le modèle. Ici, ce critère est basé sur la
minimisation de la valeur ∆mc (∆mc1 pour les fréquences et ∆mc2 pour les amplitudes) définie
par (Schwarz & Vuorinen, 2000; Brian Zadler et al., 2002) :
∆V9S
∆V9T
oÎr
oÎr
∑ÎÇ<ÈÉÊËÌéÉ p<ÏÐÑÏËÑéÉ Ç
oÎr
∑ÎÇ<ÈÉÊËÌéÉ Ç
oÎr
™
oÎr
™
.
∑ÎÇÒÈÉÊËÌéÉ pÒÏÐÑÏËÑéÉ Ç
oÎr
∑ÎÇÒÈÉÊËÌéÉ Ç
™
™
eVI-2)
.
(VI-3)
L’ajustement des constantes, suivant ce critère, est ensuite réalisé grâce à la méthode
du simplexe. Cette algorithme est schématisé Figure VI-2.
81
Stratégie d’inversion et caractérisations tensorielles de céramiques
Echantillon
Estimation des
constantes
Mesure de
l’admittance
électrique
Calcul de l’admittance
électrique ( par le model)
Fréquences et
Amplitudes des
résonances
(expérience)
Fréquences et Amplitudes
des résonances (théorie)
Ecart entre théorie et
expérience inférieur
ou égal ∆mc
NON
Modification
des propriétés
OUI
Propriétés
fonctionnelles
extraites
Figure VI-2 : Schéma du principe de l’algorithme du simplexe
VI.2
Caractérisations
tensorielles
à
partir
des
mesures
électriques
VI.2.1 Introduction
Le simplexe a été appliqué au modèle d’admittance pour extraire toutes les propriétés
fonctionnelles des céramiques. Les densités ont été mesurées sur les échantillons ayant servi
pour l’expérience. Les résultats des caractérisations ont été utilisés comme valeurs d’entrée
82
Stratégie d’inversion et caractérisations tensorielles de céramiques
des modèles d’Ohno (Ohno, 1976) et de Delaunay (Delaunay et al., 2008). Ces simulations
permettent de valider la méthode de caractérisation.
VI.2.2 Résultats pour la céramique PMN-34,5PT
Les résultats obtenus pour le PMN-34,5PT sont présentés dans le Tableau VI-3.
Tableau VI-3 : Propriétés d’une céramique PMN-34,5PT extraites grâce au modèle au modèle
d’admittance.
Propriétés
Unités
Valeurs
Valeurs
Initiales
Ajustées
ρ
Kg/m3
C11E
GPa
174,7
192,79
C12E
GPa
116,61
136,2
C13E
GPa
119,3
123,62
C33E
GPa
154,8
156,96
C44E
GPa
26,7
24,98
C66E
GPa
29,0
28,27
ε 11S
ε0
2373
2143
ε 33S
ε0
2825
2664
e15
C/m2
17,1
17,24
e31
C/m2
-6,4
-7,29
e33
C/m2
27,3
28,76
kt
%
40
43
Pertes mécaniques
δm
%
0,54
Pertes électriques
δe
%
0,885
Masse Volumique
8060
Rigidité Elastique
Permittivité Diélectrique
Constante Piézoélectrique
Coefficient de couplage
Les tenseurs obtenus sont quasi-identiques aux valeurs de départ sauf pour les
coefficients C11 et C12 qui sont très grands par rapport aux valeurs de départ. Ceci peut
s’expliquer par le fait que les valeurs initiales ont été obtenues grâce à un cube métallisé sur
une seule face et que le modèle de Delaunay et al ne prend pas en compte les pertes dans le
83
Stratégie d’inversion et caractérisations tensorielles de céramiques
matériau. Le nouveau kt est supérieur au premier car quand le matériau durcit, il se renforce
au niveau du couplage électromécanique.
VI.2.3 Optimisation des pertes électriques et mécaniques
Les tenseurs ayant changé, une procédure d’optimisation a été lancée pour déterminer
à nouveau les pertes électriques et mécaniques en même temps. L’optimisation se fait avec les
deux hypothèses décrites précédemment. Cette optimisation permet d’obtenir les valeurs
présentées au Tableau VI-3.
VI.2.4 Fiabilité des résultats obtenus
Pour vérifier la fiabilité des résultats obtenus, une comparaison des spectres
d’admittance théorique (utilisant les paramètres ajustés) et pratique a été faite. Les modes de
vibrations théoriques et pratiques dans les trois cas étudiés précédemment (cube sans
électrode, modèle d’Ohno, cube avec une face métallisée, modèle de Delaunay et cube avec
deux faces métallisées) ont été comparés.
Comparaison des spectres d’admittances
Le spectre d’admittance obtenu est en adéquation avec celui expérimental (Figure
VI-3 et Figure VI-4). Cependant, il faudra comparer le modèle avec les modèles existants
dans la littérature.
84
Stratégie d’inversion et caractérisations tensorielles de céramiques
Figure VI-3 : Partie réelle de l’admittance électrique : théorie (rouge) et expérience (noir)
Figure VI-4 : Partie imaginaire de l’admittance électrique : théorie (rouge) et expérience
(noir)
Comparaison des champs de déplacement
Cube sans électrode : Modèle d’Ohno
La comparaison des champs de déplacement des particules expérimentaux à ceux
théoriques montrent que le tenseur extrait par le modèle d’admittance donne une meilleure
adéquation théorie-expérience (voir Tableau VI-4).
85
Stratégie d’inversion et caractérisations tensorielles de céramiques
Tableau VI-4 : Comparaison entre modes et fréquences théoriques et expérimentaux
Fréquences
Exp. (Hz)
Déformée modale Exp.
Fréquences
Théo. (Hz)
159200
157214
186300
189061
208300
217677
243100
248534
Déformée modale théorique
L’écart maximal en fréquences est de 8,73% dans le cas du tenseur extrait par
Delaunay alors qu’il est de 4,51% dans le cas du tenseur extrait du modèle d’admittance. Pour
le cas du cube sans électrode, les paramètres extraits du modèle d’admittance semblent être
plus en adéquation avec l’expérience que ceux extraits par le modèle vibrationnel (Tableau
VI-5). Certains modes ont l’air de ne pas correspondre mais ceci n’est dû au fait que la
réception laser des modes n’est pas des meilleure quand le cube n’est pas métallisé. En plus le
86
Stratégie d’inversion et caractérisations tensorielles de céramiques
coefficient de couplage électromécanique est très faible quand le cube est dépourvu
d’électrode.
Tableau VI-5 : Comparaison des fréquences expérimentales et théoriques
Fréquences
Tenseur de
Expérimentale (0)
Delaunay (1)
(Hz)
(Hz)
159200
145260
186300
Tenseur extrait
avec le modèle
Ecart (0&1)
Ecart (0&2)
157214
8,73%
1,22%
177948
189061
4,49%
-1,47%
208300
205266
217677
1,45%
-4,51%
243100
242520
248534
0,23%
-2,24%
d'admittance (2)
(Hz)
Cube avec une électrode : Modèle de Delaunay
Sur certains modes la transformation électromécanique n’est pas importante ce qui
explique qu’ils ne sont pas bien représentés. Il faut aussi noter qu’expérimentalement il est
difficile de mesurer le déplacement sur les bords de la face. La comparaison des champs de
déplacement des particules expérimentaux à ceux théoriques montre que le tenseur extrait par
le modèle d’admittance donne une bonne adéquation théorie expérience (Tableau VI-6).
Tableau VI-6 : Comparaison entre modes et fréquences théoriques et expérimentaux
Fréquences
Exp. (Hz)
Déformée modale Exp.
Fréquences
Théo. (Hz)
139200
139967
149000
156417
87
Déformée modale Théorique
Stratégie d’inversion et caractérisations tensorielles de céramiques
166200
166099
178500
187520
208500
213708
237800
233550
242700
246105
261900
266349
88
Stratégie d’inversion et caractérisations tensorielles de céramiques
280100
289552
290500
299992
L’écart maximal en fréquences est de 21,1% dans le cas du tenseur extrait par
Delaunay (Delaunay et al., 2008) alors qu’il est de 5,08% dans le cas du tenseur extrait du
modèle d’admittance. Dans le cas du cube avec une électrode, les paramètres extraits du
modèle vibrationnel donnent une bonne adéquation théorie expérience en basses fréquences.
Cependant, pour les hautes fréquences, on note une forte divergence entre fréquences
théoriques et expérimentales. Le tenseur extrait du modèle d’admittance donne une bonne
adéquation en hautes et en basses fréquences (Tableau VI-7).
Tableau VI-7 : Comparaison des fréquences expérimentales et théoriques
Fréquences
Tenseur de
Tenseur extrait avec
Expérimentale (0)
Delaunay (1)
le modèle
(Hz)
(Hz)
d'admittance (2) (Hz)
139200
136859
149000
Ecart (0&1)
Ecart (0&2)
139967
1,71%
-0,52%
144714
156417
2,88%
-4,97%
166100
161136
166099
2,99%
0,00%
178500
177157
187520
0,73%
-5,08%
208500
201656
213708
3,29%
-2,49%
237800
237890
233550
-0,03%
1,79%
242700
245605
246105
-1,20%
-1,40%
261900
259741
266349
0,83%
-1,69%
280100
302059
289552
-7,85%
-3,38%
290500
351736
299992
-21,10%
-3,28%
89
Stratégie d’inversion et caractérisations tensorielles de céramiques
Cube avec deux électrodes
Dans ce cas le coefficient de couplage est plus important donc les modes
expérimentaux sont mieux représentés et l’indentification est beaucoup plus facile à faire que
dans les cas précédents. La comparaison des champs de déplacement expérimentaux à ceux
théoriques montrent que le tenseur extrait par le modèle d’admittance donne une meilleure
adéquation théorie expérience (Tableau VI-8).
Tableau VI-8 : Comparaison entre modes et fréquences théoriques et expérimentaux
Fréquences
Exp. (Hz)
Déformée modale Exp.
Fréquences
Théo. (Hz)
126000
127321
168500
165387
177400
177540
240100
240537
90
Déformée modale théorique
Stratégie d’inversion et caractérisations tensorielles de céramiques
245400
246032
262100
260750
L’écart maximal en fréquences est de 17,74% dans le cas du tenseur extrait par
Delaunay (Delaunay et al., 2008) alors qu’il est de 1,87% dans le cas du tenseur extrait du
modèle d’admittance (Tableau VI-9). Dans ce cas, les paramètres extraits du modèle
vibrationnel donnent des fréquences assez divergentes de celles obtenues en pratique. Le
tenseur extrait du modèle d’admittance donne une bonne adéquation que ce soit en haute ou
en basse fréquence.
Tableau VI-9 : Comparaison des fréquences expérimentales et théoriques
Fréquences
Tenseur de
Expérimentale (0)
Delaunay (1)
(Hz)
(Hz)
125600
117714
168500
Tenseur extrait
avec le modèle
Ecart (0&1)
Ecart (0&2)
127321
6,54%
-1,08%
198433
165387
-17,74%
1,87%
177400
167331
177540
5,67%
-0,09%
240100
245908
240537
-2,42%
-0,18%
245400
242701
246032
1,12%
-0,24%
262100
255538
260750
2,50%
0,51%
d'admittance (2)
(Hz)
Les figures (Figure VI-3 et Figure VI-4) et les tableaux (de Tableau VI-4 à Tableau VI-9)
montrent que les résultats expérimentaux en terme de résonance électrique et de déformée
91
Stratégie d’inversion et caractérisations tensorielles de céramiques
modale sont en bon accord avec les calculs issus des valeurs ajustées des propriétés
fonctionnelles du cube de PMN-34,5PT données préalablement (Tableau VI-3).
VI.2.5 Résultats pour la céramique PZ-21:
Le modèle d’admittance a été appliqué à la caractérisation d’un cube de PZ-21 de
dimensions 15x15x15 mm 3. Les mesures électriques ont permis d’obtenir l’admittance
électrique du cube de PZ-21.
Résultats
Grâce au modèle d’admittance la totalité des tenseurs du cube de PZ-21 a pu être
extraite ainsi que les pertes électriques et mécaniques associées.
Les résultats ainsi obtenus (Tableau VI-10) sont proches des valeurs données par le
constructeur de ces céramiques (Ferroperm, n.d.). Une comparaison entre les spectres
d’admittances théoriques et expérimentales mais aussi entre les fréquences des modes
théoriques et expérimentales permettra de juger la validité des résultats. La comparaison des
spectres d’admittances théorique et expérimental est présentée Figure VI-5.
92
Stratégie d’inversion et caractérisations tensorielles de céramiques
Tableau VI-10 : Propriétés d’une céramique de PZ-21PT
Propriétés
Unités
Valeurs de
Valeurs de
départ
Ferroperm
Valeurs Ajustées
(Modèle
d’admittance)
ρ
Kg/m3
7700
7780
7700
C11E
GPa
172
114
123,08
C12E
GPa
122
75,6
80,81
C13E
GPa
107
72,4
73,68
C33E
GPa
140
111
106,12
C44E
GPa
22,4
26,3
20,87
C66E
GPa
25,1
19,2
21,13
ε 11S
ε0
1114
2121
1514
ε 33S
ε0
903
1981
1675
e15
C/m2
16,36
16,19
13,43
e31
C/m2
-6,9
-2,92
-2,19
e33
C/m2
27,3
23,4
29,21
Pertes mécaniques
δm
%
3 ,5
-
1,5
Pertes électriques
δe
%
3
-
2
Masse Volumique
Rigidité Elastique
Permittivité Diélectrique
Constante Piézoélectrique
Vérifications des résultats
Comparaison des spectres d’admittances
93
Stratégie d’inversion et caractérisations tensorielles de céramiques
Figure VI-5 : Admittance électrique du cube de PZ-21PT : expérimentale (noir) et théorie
(bleu) après ajustement
La comparaison des spectres théorique et expérimental montre une assez bonne
adéquation entre spectre théorique et expérimental. L’écart observé sur la seconde résonance
est dû au fait qu’un facteur de perte global est utilisé.
Comparaison des fréquences de modes
La cartographie de la face arrière du cube avec une seule électrode a été faite grâce au
dispositif d’interférométrie laser. Les fréquences des groupes des modes identifiées
expérimentalement ont été comparées avec celles données par le modèle théorique d’Ohno en
utilisant les propriétés extraites de l’admittance comme paramètres d’entrée du modèle. Les
fréquences de résonance ont été mesurées jusqu’à environ 200 kHz.
Le Tableau VI-11 présente la comparaison des fréquences des modes théoriques et
expérimentales. Les modes théoriques de vibration du cube sont obtenus grâce au modèle
d’OhnO (cube dans des conditions libre-libre) (Ohno, 1976). Le tenseur extrait ci-dessus
(Tableau VI-10) est utilisé comme valeurs d’entrée du modèle. Ce tableau montre une bonne
94
Stratégie d’inversion et caractérisations tensorielles de céramiques
adéquation pour toutes les fréquences sauf pour B1u(2) dont l’écart est de 13% (pour les
champs de vitesse, voir Annexe 7). Le tenseur extrait du modèle d’admittance est donc
satisfaisant.
Tableau VI-11 : Comparaison des fréquences théoriques et expérimentales des groupes
identifiés
Groupes identifiés
Fréquences
Fréquences
Expérimentales
Théoriques
(Hz)
Ecart
(Hz)
Torsion
51653
51520
0,26%
Flexion (selon x2/x3)
72558
68358
5,79%
Torsion
85528
85310
-2,20%
Dilatation
93768
93016
0,80%
Flexion (selon x3)
110401
109546
0,77%
Cisaillement (selon x3)
140919
144036
-1,99%
Flexion (selon x3)
144429
163408
-13,14%
Cisaillement (selon x3)
198904
205194
-2,61%
Cette étude a permis d’évaluer les propriétés fonctionnelles de la céramique PZ-21.
Les propriétés extraites sont cohérentes avec celles données par le constructeur (Ferroperm,
n.d.). Dans la suite cette procédure sera utilisée pour caractériser d’autres matériaux.
VI.2.6 Détermination des propriétés d’autres matériaux
Avec la même procédure les propriétés caractéristiques des matériaux suivant : PZ27
de dimensions 3,99 x 4,01 x 4,01 mm3, PZ52 de dimensions 4 x 4 x 3,91 mm3 et PZ54 de
dimensions 4,02 x 4,02 x 4,02 mm3 (de masses respectives 0,5032 g, 0,462 g et 0,5085 g) ont
été déterminées.
Le Tableau VI-12 présente le récapitulatif des propriétés extraites des spectres
d’admittances des matériaux cités ci-dessous. Ces propriétés permettent d’obtenir une bonne
adéquation entre les spectres d’admittances théoriques et expérimentales. Les valeurs ainsi
obtenues sont proches de celles données par le constructeur (Ferroperm, n.d.).
95
Stratégie d’inversion et caractérisations tensorielles de céramiques
Tableau VI-12 : Tableau récapitulatif des propriétés de matériaux caractérisés avec
l’admittance électrique
Propriétés
Unités
PZ27
PZ52
PZ54
ρ
kg/m3
7840
7380
7830
C11E
GPa
153
114,4
157,2
C12E
GPa
108
65,4
104,7
C13E
GPa
87
64,56
93,75
C33E
GPa
111
101,23
129,36
C44E
GPa
25
21
24,3
C66E
GPa
22,5
24 ,5
26,25
ε 11S
ε0
1117
1113
1306
ε 33S
ε0
911
651
1249
e15
C/m2
9,6
8,53
9,49
Constante Piézoélectrique e31
C/m2
-2,96
-3,64
-2,86
e33
C/m2
19,2
25,97
23,68
Pertes mécaniques δm
%
1,49
0,33
0,26
Pertes électriques δe
%
1,01
0,2
0,14
Masse Volumique
Rigidité Elastique
Permittivité Diélectrique
VI.3 Conclusion
Le modèle numérique de l’admittance électrique est bien adapté pour la caractérisation
de matériaux piézoélectriques. Le dispositif expérimental mis en place est simple et très facile
à réaliser contrairement à l’interférométrie laser. Les résultats obtenus avec cette méthode sur
le PMN-34,5PT sont en parfaite adéquation avec celles données dans la littérature.
L’admittance a aussi permis d’identifier les propriétés fonctionnelles de la céramique PZ21.
Ces deux échantillons ont des dimensions de 10 mm et 15 mm. De plus l’admittance
électrique à permis d’extraire les tenseurs des céramiques PZ-27, PZ-52 et PZ-54 d’environ 4
96
Stratégie d’inversion et caractérisations tensorielles de céramiques
mm de coté. Les mesures d’admittance permettent donc de caractériser des échantillons de
très petites tailles contrairement aux mesures par interférométrie laser.
Les résultats obtenus semblent cohérents car ils vérifient le modèle vibrationnel
d’Ohno (Ohno, 1976). Les résultats du PMN-34,5PT ont permis d’obtenir une meilleure
adéquation théorie-expérience que ceux du PZ-21 car son spectre d’admittance a un meilleur
facteur de qualité. Pour le PZ-21 le facteur de qualité est médiocre (inférieur à 65) ce qui se
traduit par des pertes plus élevées et donc une moins bonne concordance entre les résonances
théoriques et pratiques. La mesure de la densité des matériaux a été faite avec les deux
électrodes donc la densité réelle du matériau peut être différente de celle utilisée dans les
calculs ce qui peut se traduire par un léger décalage en fréquence.
97
Stratégie d’inversion et caractérisations tensorielles de céramiques
98
Effet de la taille de l’électrode sur le spectre d’admittance électrique
Chapitre VII :
Effet de la taille de l’électrode sur le
spectre d’admittance électrique
VII.1
Introduction
Jusqu’à présent le modèle d’admittance développé
développé prenait en compte deux électrodes
complètes sur les deux faces perpendiculaires à la polarisation. Les tenseurs extraits peuvent
donc prendre en compte les propriétés électromécaniques des électrodes. Il faudra donc
évaluer l’influence des électrodes sur chaque coefficient des tenseurs élastiques,
piézoélectriques et diélectriques des céramiques.
Dans ce chapitre l’électrode du bas (x3=-L3) ne sera pas changée cependant celle du
haut (x3=L3) aura différentes tailles et l’admittance électrique sera calculée
cal
pour chaque
configuration d’électrode. Les tailles choisies
choisi s pour l’électrode du haut sont : 1/25
(configuration 1), 4/25 (configuration 6), 9/25 (configuration 7), 16/25 (configuration 8) et
25/25 (configuration 9) par rapport à la surface de la face x3=L3. En fonction de la taille de
l’électrode du haut
ut certains modes seront générés
générés et d’autres annihilés. Les mesures des
spectres d’admittance pour chaque configuration permettront de comparer théorie
théori et
expérience.
VII.2
Calcul de l’admittance électrique d’un
d’un cube avec une
électrode partielle
VII.2.1 Choix des fonctions de base
Figure VII-1 : Cube piézoélectrique avec une électrode entière et une électrode partielle
99
Effet de la taille de l’électrode sur le spectre d’admittance électrique
La Figure VII-1 présente la nouvelle configuration du cube piézoélectrique dont
l’admittance électrique est à calculée.
Les fonctions de bases précédemment choisies pour le déplacement mécanique restent
inchangées. Cependant la nouvelle configuration impose un changement des fonctions de base
du potentiel électrique. Ainsi, le potentiel électrique doit être le même sur toute la partie
métallisée et libre dans la partie sans électrode. Comme dans le cas du cube avec deux
électrodes entières les électrodes seront ici aussi court-cuitées et mises à la masse pour
simplifier les calculs des matrices d’interactions piézoélectriques et diélectriques. Les
fonctions de base choisies pour le potentiel électrique sont :
Bf
où
1
JS
JT
Jw
•ƒ H K •„ H K A… H K
6S
6T
6w
~6S 6T 6w
xw
f¢ H K
Lw
(VII-1)
xw T
xw
K P¢ H K pour la partie métalisée,
Lw
Lw
1
x
x
w
w
o 1r¢ H1
K P H K pour la partie libre.
2
Lw ¢ Lw
o 1r¢ H1
(VII-2)
La première fonction est celle utilisée dans le cas de deux électrodes entières et la
deuxième fonction est celle utilisée dans le cas d’un cube avec une seule électrode.
La matrice d’interaction élastique reste inchangée car les fonctions de base du
déplacement mécanique restent les identiques. Cependant il faudra calculer les nouvelles
matrices d’interaction piézoélectrique et diélectrique.
VII.2.2 Calcul des nouvelles matrices d’interaction piézoélectrique et
diélectriques
La fonction de base du potentiel électrique est une fonction par partie. Les intégrales
volumiques doivent donc prendre en compte les bornes de l’électrode partielle. Les
contributions volumiques des fonctions de bases d’un cube avec une seule électrode sont
connues et ainsi que celles avec deux électrodes entières. Elles peuvent donc être utilisées
dans le cas d’une électrode partielle.
Les tableaux (II-1, II-2 et II-3) regroupant les définitions des matrices d’interactions
élastique, piézoélectrique et diélectrique restent inchangés. Les coefficients Gk restent
inchangés pour la matrice d’interaction élastique car l’expression des fonctions de base du
déplacement est la même que dans le chapitre II. Cependant ils sont modifiés pour les
100
Effet de la taille de l’électrode sur le spectre d’admittance électrique
matrices d’interactions piézoélectrique et diélectrique. La Figure VII-2 présente le principe
utilisé pour le calcul de ces coefficients Gk pour les matrices d’interactions piézoélectrique et
diélectrique dans le cas d’une électrode partielle.
Pour calculer les interactions volumiques des différentes fonctions de base dans un
cube avec une électrode pleine et une électrode partielle, le calcul se fait en quatre phases.
a) Cube avec une électrode pleine et une
b) Délimitation des deux électrodes en
électrode partielle.
c) Coupe suivant les deux électrodes en
regard
d) L’électrode du haut est retirée sur le
regard
e) Remplacement du parrallélépipéde avec
électrode par celui sans électrode
premier parrallélepipéde
f) Cube avec une électrode entière sur une
face
supérieure dans le cube
Figure VII-2 : Schéma de principe du calcul des matrices d’interactions
101
Effet de la taille de l’électrode sur le spectre d’admittance électrique
Phase 1 : les interactions volumiques dans un cube avec une seule électrode seront
calculées (figure f).
Phase 2 : dans un second temps, les interactions volumiques dans un parallélépipède
rectangle dont la surface de base est égale à la surface de l’électrode partielle et considéré
avec une seule électrode entière seront calculées (parallélépipède figure d).
Phase 3 : dans un troisième temps, interactions volumiques dans le parallélépipède
rectangle précédent seront calculées en considérant qu’il possède deux électrodes entières
(parallélépipède figure c).
Phase 4 : enfin les interactions volumiques dans le cube avec une électrode partielle et
une électrode pleine seront donc obtenues en faisant 1-2+3 (cube figure a).
Tableau VII-1 : Nouvelles définitions des Gk de la matrice interaction piézoélectrique
tS
Q
tw
Q5€ƒ 5•Ÿ
tT
o=r
€ƒ 5•Ÿ ‚…
Q5€ƒ
o=r
•Ÿ ‚…
tx
Q5€ƒ
tu
Q•€ƒ 5•Ÿ
tv
ty
tz
t{
o=r
•Ÿ •‚…
Q5€ƒ ••Ÿ
Q
Q
o=r
‚…
o=r
‚…
o=r
‚…
o=r
€ƒ 5•Ÿ •‚…
o=r
€ƒ ••Ÿ ‚…
Q•€ƒ
o=r
•Ÿ ‚…
d€ƒ 5d•Ÿ
o=r
‚…
5d€ƒ 5d•Ÿ
o=r
‚…
5d€ƒ d•Ÿ
o=r
‚…
5d€ƒ d•Ÿ •‚…
5d€ƒ •d•Ÿ
•d€ƒ 5d•Ÿ
o=r
o=r
‚…
o=r
‚…
d€ƒ 5d•Ÿ •‚…
d€ƒ •d•Ÿ
•d€ƒ d•Ÿ
o=r
o=r
‚…
o=r
‚…
d€ƒ 5d•Ÿ d‚… R 6TS
o=r
5d€ƒ d•Ÿ d‚… R 6TT
o=r
5d€ƒ 5d•Ÿ d‚… R 6Tw
o=r
5d€ƒ d•Ÿ •d‚… R 6T 6w
o=r
5d€ƒ •d•Ÿ d‚… R 6T 6w
o=r
•d€ƒ 5d•Ÿ d‚… R 6w 6S
o=r
d€ƒ 5d•Ÿ •d‚… R 6w 6S
o=r
d€ƒ •d•Ÿ d‚… R 6T 6S
o=r
•d€ƒ d•Ÿ d‚… R 6T 6S
o=r
Les Dij, Eij et Fij sont les mêmes que dans ceux dans la matrice d’interaction élastique
précédemment calculée (voir Annexe 1). Le calcul des coefficients
o:r
……j
,
o:r
……j
Annexe 2.
o=r o=r
¡¢ , ¡¢ ,
o=r
¡¢
, •¡¢ ,
o=r
o:r
……j ,
et •……j est le même que pour un cube avec une seule électrode et est présenté en
o:r
102
Effet de la taille de l’électrode sur le spectre d’admittance électrique
5d€€j , d€€j , d€€j •d€€j sont définies comme suit :
5d€€j
d€€j
d€€j
•d€€j
ߘ
Ý •€ oÞr•€j oÞr Þ
ßà
ߘ
Ý
ßà
ߘ
mVII-3)
•€ oÞr •€j oÞr
Þ
Þ
Þ
Ý •€ oÞr
ßà
ߘ
Ý
ßà
(VII-4)
•€j oÞr
Þ
Þ
(VII-5)
•€ oÞr
•€j oÞr Þ
Þ
(VII-6)
où X0 et X1 sont respectivement les coordonnées de début et de fin de l’électrode.
Tableau VII-2 : Nouvelles définitions des Gk de la matrice interaction diélectrique
GS
QD¥¥j 䧧j C¢¢j
o©r
Dd¥¥j δd§§j C¢¢j
o©r
Dd¥¥j δd§§j Cd¢¢j R LTS
Gw
Qδ¥¥j 䧧j D¢¢j
δd¥¥j δd§§j D¢¢j
δd¥¥j δd§§j Dd¢¢j R LTw
GT
Qδ¥¥j D§§j C¢¢j
o©r
o©r
δd¥¥j Dd§§j C¢¢j
o©r
o©r
o©r
δd¥¥j Dd§§j Cd¢¢j R LTT
o©r
o©r
Gx
Qδ¥¥j E§§j F¢¢j
o©r
δd¥¥j Ed§§j F¢¢j
o©r
δd¥¥j Ed§§j Fd¢¢j R LT Lw
Gu
QF¥¥j 䧧j E¢¢j
Fd¥¥j δd§§j E¢¢j
Fd¥¥j δd§§j Ed¢¢j R Lw LS
Gv
Gy
Gz
G{
Qδ¥¥j F§§j E¢¢j
o©r
o©r
QE¥¥j 䧧j F¢¢j
o©r
QE¥¥j F§§j C¢¢j
o©r
QF¥¥j E§§j C¢¢j
o©r
δd¥¥j Fd§§j E¢¢j
o©r
o©r
Ed¥¥j δd§§j F¢¢j
o©r
Ed¥¥j Fd§§j C¢¢j
o©r
Fd¥¥j Ed§§j C¢¢j
o©r
o©r
δd¥¥j Fd§§j Ed¢¢j R LT Lw
o©r
o©r
Ed¥¥j δd§§j Fd¢¢j R Lw LS
o©r
Ed¥¥j Fd§§j Cd¢¢j R LT LS
o©r
Fd¥¥j Ed§§j Cd¢¢j R LT LS
o©r
Les coefficients définis pour le Tableau VII-1 sont valables pour le Tableau VII-2. Les
valeurs
d‚… ,
o=r
d‚… ,
o=r
d‚… , •d‚… ,
o=r
o=r
d……j,
o:r
d……j ,
o:r
d……j et •d……j sont identiques à celles
o:r
o:r
présentées dans l’Annexe 4 (cube avec deux électrodes). Le calcul de la première intégrale est
explicité à l’Annexe 3.
103
Effet de la taille de l’électrode sur le spectre d’admittance électrique
VII.3
Validation sur un cube de PMN 34,5PT
Le cube de PMN-34,5PT précédemment étudié est utilisé pour cette nouvelle étude.
Une des deux électrodes est remplacée par une petite électrode de taille 1/9ème de la surface de
la face. La petite électrode a une forme carrée et est placée sur un coin de la face.
L’admittance électrique théorique dans cette nouvelle configuration a été calculée en
utilisant les résultats de la caractérisation du Tableau VI-3. Cependant les pertes mécaniques
et électriques ont été revues à la hausse et prises respectivement égales à 2% et 1,4% car en
excitant plus de modes on augmente les pertes. L’admittance expérimentale est obtenue grâce
au dispositif expérimental décrit dans le Chapitre IV (paragraphe IV.2.2). La Figure VII-3
présente une superposition des spectres d’admittance théorique et expérimentale.
Figure VII-3 : Module de l’admittance électrique d’un cube de PMN34,5PT avec une
électrode partielle
Cette figure montre une assez bonne adéquation des deux spectres d’admittance. Les
quelques différences notées peuvent provenir des dimensions exactes de l’électrode mais aussi
surtout aux facteurs de pertes globaux introduits dans le modèle car ils ont été estimés à partir
104
Effet de la taille de l’électrode sur le spectre d’admittance électrique
des pertes obtenues pour une excitation sur deux électrodes entières. On constate l’apparition
de petites résonnances correspondant à des modes de flexion et de torsion avant le premier
mode de dilation qui se situe aux environs de 150 KHz alors que ces modes étaient quasiinexistants dans le spectre d’admittance avec deux électrodes entières. Le spectre
d’admittance devient plus riche en résonances, cependant leur hauteur est beaucoup plus
petite. Le mode de dilation s’est décalé de 126 kHz avec les deux électrodes entières à 150
kHz avec une électrode partielle.
VII.4
Application à des cubes de Pz27
VII.4.1 Présentation des échantillons
Le modèle précédemment décrit a été appliqué à quatre cubes de Pz27 avec une
électrode entière sur une des faces perpendiculaires à l’axe de polarisation et une électrode
partielle sur la face opposée. Les électrodes partielles ont une forme carrée et pour dimensions
respectives 1/25, 4/25, 9/25, 16/25 et 25/25 par rapport à la surface de la face du cube. La
Figure VII-4 présente la disposition et la taille de l’électrode supérieure dans cette étude.
Config1 Config6 Config7
Config8
Config9
Figure VII-4 : Configuration de l’électrode supérieure des échantillons
Ces échantillons ont été fabriqués par Meggit Sensing System. Ils ont des dimensions
10x10x10 mm3 et ont été polarisés avec deux électrodes entières perpendiculairement aux
électrodes avant d’enlever l’électrode supérieure et la remplacer par une électrode partielle.
VII.4.2 Comparaison des différents spectres d’admittance
Les propriétés fonctionnelles de la céramique Pz27 utilisées dans cette simulation sont
celles calculées dans le chapitre précédant (Tableau VI-12). Les pertes électriques et
mécaniques de ce tableau sont utilisées dans ce calcul bien qu’elles soient calculées pour une
105
Effet de la taille de l’électrode sur le spectre d’admittance électrique
excitation sur deux électrodes entières. Les mesures d’admittance sont faites avec le dispositif
expérimental décrit au Chapitre IV.
La Figure VII-5 présente une superposition de l’évolution fréquentielle des spectres
théoriques (figure a) et expérimentaux (figure b) obtenus pour les cinq configurations
d’électrodes étudiées (config1, config6, config7, config8 config9).
a) Théorie
b) Expérience
Figure VII-5 : Comparaison des cinq spectres théoriques de l’admittance électrique
Les spectres théoriques et expérimentaux montrent que le nombre de modes excités
dépend de la taille de l’électrode. La configuration 1 montre dix résonances en théorie (neuf
en expérience) tandis que la configuration 9 ne montre que trois résonances que ce soit en
théorie ou en expérience. Dans le premier cas, l’excitation est faite de telle sorte que les
vibrations libres du cube soient observées. Dans le cas de deux électrodes complètes sur les
deux faces la structure se rigidifie et seuls les modes de dilatation sont excités. Les amplitudes
des résonances dépendent aussi de la taille de l’électrode.
Les résultats théoriques et expérimentaux montrent un décalage de la résonance
principale vers les basses fréquences. La Figure VII-6 présente l’évolution de cette résonance
en fonction de la surface de l’électrode partielle. Dans la configuration 1 cette résonance est
localisée à 148 kHz en expérimental. Elle se retrouve à 124,8 kHz dans le cas de la
configuration 9.
106
Effet de la taille de l’électrode sur le spectre d’admittance électrique
Figure VII-6 : Evolution de la résonance principale en fonction de la surface de l’électrode
(rouge : théorie et bleu : expérience)
VII.5
Conclusion
L’influence de l’électrode dans le spectre d’admittance a été étudiée dans ce chapitre.
Les admittances électriques théoriques ont été modélisées dans le cas d’un cube avec une
électrode entière sur une face et une électrode partielle sur la face opposée. Ce modèle a été
validé avec un matériau de référence (PMN-34,5PT), avant d’être appliqué à des cubes de
Pz27 avec différentes tailles de l’électrode partielle. Les admittances expérimentales ont été
mesurées pour chaque configuration d’électrode. La comparaison des spectres théoriques et
expérimentaux a permis de relever un décalage de la résonance principale vers les basses
fréquences. Le nombre de résonances dépend de la taille de l’électrode. Plus l’électrode est
petite plus le couplage est petit et plus les pertes électriques et mécaniques sont grandes.
Ce travail n’est pas encore exhaustif car l’étude théorique a été faite avec un seul
couple de perte pour toutes les configurations. Il faudra donc en toute rigueur calculer les
pertes ramenées pour chaque configuration. L’optimisation des pertes permettra ainsi de
déterminer la partie imaginaire de tous les coefficients des tenseurs élastique et diélectrique.
107
Conclusion et Perspectives
109
La connaissance des propriétés fonctionnelles des matériaux piézoélectriques est très
importante pour le dimensionnement des systèmes ultrasonores. Cependant cette
caractérisation de matériaux pose un certain nombre de problèmes. Les méthodes actuels sont
très limités. Les unes utilisent très souvent plusieurs échantillons pour déterminer l’ensemble
des propriétés du matériau. Il est cependant préférable d’en utiliser qu’un seul pour palier
l’inhomogénéité des matériaux et les difficultés de reproductibilité. Les autres utilisent un seul
échantillon cependant leur utilisation est limitée par la taille des échantillons, la complexité du
dispositif expérimental, les délais de l’expérimentation et de l’identification des modes et ne
prennent pas en compte les pertes électriques et mécaniques dans le matériau.
Dans ce travail une nouvelle méthode basée sur la spectroscopie de résonance
ultrasonore a été mise en place pour palier ces problèmes de méthode (utilisation de plusieurs
échantillons) et d’expérimentation (temps de mesures et délai d’identification). Cette méthode
consiste à ajuster, au spectre d’admittance mesuré via le dispositif d’impédancemétrie, le
spectre d’admittance théorique. L’avantage de cette méthode est le fait qu’elle utilise non
seulement un échantillon pour extraire toutes les propriétés fonctionnelles de matériaux mais
aussi que le dispositif expérimental est très simple à mettre en œuvre et l’acquisition de
l’admittance expérimentale ne dure que quelques minutes (5 min maximum pour un
échantillon). De plus suivant les conditions d’excitation électrique les pertes électriques et
mécaniques résultant peuvent être évaluées. C’est ainsi qu’un modèle d’admittance électrique
de matériaux piézoélectriques de formes parallélépipédiques a été développé. Ce modèle
d’admittance a été validé grâce au modèle de Mason en prenant des dimensions latérales très
grandes devant l’épaisseur de l’échantillon. La comparaison des fréquences de résonance et
d’antirésonance obtenus grâce aux modèles de Mason et d’admittance montre une très bonne
cohérence entre ces modèles.
Les pertes électriques et mécaniques ont été évaluées et introduites dans le modèle
d’admittance. Il en résulte que la partie réelle de l’admittance est l’image des pertes
électriques et mécaniques. L’introduction des pertes dans le modèle a permis d’obtenir un
meilleur facteur de qualité théorique.
Le modèle numérique de l’admittance électrique s’est avéré bien adapté pour la
caractérisation de matériaux piézoélectriques. Le dispositif expérimental mis en place est
simple et facile à réaliser et ne nécessite pas a priori l’identification des modes de vibration.
Les résultats obtenus avec cette méthode sur un matériau étalon (PMN-34,5PT dont les
propriétés sont connues) sont en adéquation avec celles données dans la littérature. Les
110
propriétés fonctionnelles de la céramiques PZ21 ont aussi été extraites. Ces deux échantillons
ont des dimensions respectives de 10 mm et 15 mm donc très adaptées pour vérifier des
mesures laser. Les propriétés ainsi extraites ont été utilisées comme paramètres d’entrées des
modèles d’Ohno et de Delaunay et al.. Elles permettent ainsi d’obtenir des fréquences quasi
identiques pour les modes recueillis par l’interféromètre laser.
De plus l’admittance
électrique a permis d’extraire les tenseurs des céramiques PZ-27, PZ-52 et PZ-54 d’environ 4
mm de coté. Les mesures d’admittance peuvent donc caractériser des échantillons de petites
tailles.
Le modèle d’admittance est ensuite adapté à des céramiques avec de nouvelles
configurations d’électrodes afin de modéliser l’influence des électrodes sur les fréquences de
résonance et les pertes électriques et mécaniques par rapport à la taille des électrodes. L’une
des faces perpendiculaires à la polarisation est entièrement métallisée tandis que la face
opposée a une électrode partielle (de 1/25 à 1).
Dans le futur l’influence des électrodes sur les propriétés fonctionnelles extraites des
céramiques sera étudiée. Une correction de ces propriétés sera donc mise en place (calcul de
la partie imaginaire de tous les coefficients).
Actuellement les fonctions de bases choisis (polynômes de Legendre) permettent
seulement de modéliser l’admittance électrique de matériaux parallélépipédiques. Cependant
en introduisant d’autres types de fonctions de bases stables et faciles d’intégration, il sera
possible d’étendre ce modèle à d’autres types de géométrie. La prise en compte des pertes
dans le modèle d’admittance permettra aussi de modéliser l’échauffement (dissipation
thermique) dans les céramiques piézoélectriques.
111
112
Annexes
A
Annexe 1 : Description des Dij, Eij et Fij dans le cas du cube sans
électrode
Les fonctions de bases utilisées sont des polynômes de Legendre. Les fonctions de Legendre sont
les solutions de l’équation différentielle suivante :
d 
dy 
(1 − x 2 )  + n( n + 1) y = 0 .

dx 
dx 
(A.1.1)
La formule de Rodrigues donne une équation du polynôme de Legendre sous la forme :
si n = 0,
1

Pn ( x) =  1 d n
( x 2 − 1) n sinon.
 n
n
 2 n! dx
[
(A.1.2)
]
La figure suivante présente de représentation graphique de Pn(x) pour n={1,2,3,4,5,6} :
Figure A.1.1 : Représentation graphique du polynôme de Legendre Pn(x) pour les six premiers
ordres (Delaunay, 2006).
Ce graphique montre que les polynômes de Legendre sont à moyenne nulle sauf pour n=1. Le
nombre de lobe dépend du degré du polynôme de Legendre. La moyenne de ces fonctions est nulle.
B
Les matrices Г, Ω et Λ défines dans les tableaux 1, 2 et 3 sont calculées dans les travaux
d’OHNO [Ohno]. Le calcul de Г sera explicité pour le cas C E = C E . Pour ce faire les équations
1111
ijkl
(2.15) et (2.18) seront utilisées.
1 E  ∂ψ p1 ∂ψ p1  ∂ψ p '1 ∂ψ p '1 
Γpp ' = Γp ' p = ∫∫∫ C1111

+

+
dV .
v4
∂x1  ∂x1
∂x1 
 ∂x1
(A.1.3)
En utilisant la relation (2.22)


x 
x 
 1  dP  1 


dP
λ  L  λ '  L   x   x   x   x 
CE

 1
 1  P  2  P  2  P  3  P  3  dV .
Γ
= 1111
µ  L  µ '  L  ν  L  ν '  L 
pp' L L L ∫∫∫v  dx
dx

1 2 3
1
1
 2   2   3   3 




En posant X i =
Γ
pp'
=C
xi
cette équation devient :
Li
( )
pp '
( ) ( )
( )
( )
1 dPλ X1 dPλ ' X1
dX
2
1
L
dX
dX
1
−1
14444
1 44
14444442
3
1
Γ
( )
( ) ( )
1
1
1 dPλ X1 dPλ ' X1
dX ∫ P X P X dX 2 ∫ P X P X dX 3
∫ 2 dX
1 µ 2 µ' 2
ν 3 ν' 3
dX
−1 L1
−1
−1
1
1
1
E
1111
(A.1.4)
E
= C1111
δ µµ 'δνν ' ∫
(A.1.5)
(A.1.6)
G1
Les valeurs des Gk de l’équation (2.27) sont obtenues par extension de ce calcul aux autres
combinaisons des (i,j,k,l).
Les Dij, Eij et Fij sont définis comme suit :
Dλλ '
 2λ + 1 2λ '+1(λ '+1)λ ' / 2 si λ ≥ λ ' et λ + λ ' paire,

1 dP ( X ) dP ( X )

'
λ
λ
=∫
dX =  2λ + 1 2λ '+1(λ + 1)λ / 2 si λ ' ≥ λ et λ + λ ' paire, (A.1.7)
dX
dX
−1

sinon,
0

C
1
Eλλ ' = ∫ P ( X )
−1
1
Fλλ ' =
∫
−1
λ
dP ( X )
λ
dX

λ ' ( X )dX =  2λ + 1 2λ '+1 si λ < λ ' et λ + λ ' impaire,

dP
dX
0
(A.1.8)
sinon,
 2λ + 1 2λ '+1 si λ > λ ' et λ + λ ' impaire,
P ( X )dX = 
λ'
0
sinon.
D
(A.1.9)
Annexe 2 : Description des coefficients des matrices d’interaction
piézoélectrique et diélectrique dans le cas du cube avec une
électrode
Les fonctions de bases du potentiel électrique changent pour répondre aux conditions aux limites
électriques dues à la présence de l’électrode. L’équation (II-36) a été choisie pour répondre à ses
critères. La figure suivante présente la représentation graphique de fn(x) pour n={1,2,3,4,5,6} :
Figure A.2.1 : Représentation graphique du polynôme de Legendre fn(x) pour les six premiers
ordres (Delaunay, 2006).
Les fonctions ne sont plus symétriques et la moyenne n’est plus nulle pour toutes les fonctions.
Détermination de la matrice d’interaction piézoélectrique
E
( p)
( p)
Le calcul des coefficients Cνη
, Dνη( p ) , Eνη
et Fνη( p ) est présenté dans la thèse de Thomas
Delaunay (Delaunay, 2006). Ils ont pour expressions :
Cνη( p )
1

1
1 (ν + 1) (2ν + 3)
= ∫ P ( X ) f ( X )dX =

ν
η
2Π ν (2ν − 1)
−1

0
si ν = η ,
si ν + 1 = η ,
si ν − 1 = η ,
(A.2.1)
sinon,
si ν < η ,
ν (ν + 1) 2

P ( X ) fη ( X )
=∫ ν
dX = Π η (η + 1) 2
si ν > η et ν + η paire,
dX
dX
−1

(η (η + 1) + 2 ) 2 si ν > η et ν + η impaire,
1
( p)
Dνη
1
( p)
Eνη
= ∫ P (X )
−1
ν
(ν + 1) (2ν + 1) si ν = η ,

dX = Π 1
si ν < η ,
dX

0
sinon,
η (X )
f
ν (2ν + 1) si ν = η ,

P (X )
=∫ ν
f ( X )dX = Π 1
si ν > η ,
η
dX
−1

0
sinon,
(A.2.2)
(A.2.3)
1
Fνη( p )
η
où Π = (−1)
(A.2.4)
2ν + 1
.
2
Détermination de la matrice d’interaction diélectrique :
(d )
(d )
(d )
(d )
Les coefficients Cηη
' , Dηη ' , Eηη ' et Fηη ' sont calculés dans la thèse de Thomas Delaunay
[Delaunay]. Ils ont pour expressions :
F
(d )
Cηη
'
si η = η ' ,
(3η (η + 1) − 2 ) (4η (η + 1) − 3)

η ' (2η '+1)
si η + 1 = η ' ,

1
η ' (2η '+1) - 1
si η − 1 = η ' ,

= ∫ f ( X ) f ( X )dX = Θ
η
η'
−1
(η (η + η ')) (4(2η '+1)(η + η '+1)) si η − 2 = η ' ,

(η ' (η + η ')) (4(2η '+1)(η + η '+1)) si η + 2 = η ' ,

0
sinon,
où Θ =
(−1)η +η '
,
2η + 1
1
(d )
Dηη
' =
∫
−1
(d )
Eηη
'
E
(1 + 2η (η (η + 1) + 1)) (4(2η + 1))

(
X ) f (X )

η
η'
η +η '
dX = (− 1) (η (η + 1) + 1) 2
f
dX
dX


(− 1)η +η ' (η ' (η '+1) + 1) 2
si η = η ' ,
si η < η ' ,
(
(
=
∫
−1
)
)
si η = η ' ,
1 2

η 2 2 1 − 4η 2 + 1 si η − 1 = η ' ,
f (X )
η
η +η ' 
f ( X )dX = (− 1) 
dX η '
η '2 2 1 − 4η '2
si η + 1 = η ' ,

0
sinon.
(
(
(A.2.6)
si η > η ' ,
si η = η ' ,
1 2

1
η '2 2 1 − 4η '2 + 1 si η + 1 = η ' ,
f (X )
η'
η +η ' 
dX = (− 1) 
= ∫ f (X )
η
dX
−1
η 2 2 1 − 4η 2
si η − 1 = η ' ,

0
sinon,
1
(d )
ηη '
(A.2.5)
)
)
G
(A.2.7)
(A.2.8)
Annexe 3 : Calcul d’intégral
Les coefficients des matrices d’interaction piézoélectrique et diélectrique ont été calculés dans le
document Cependant ce cas étant celui utilisé pour la détermination de l’admittance électrique, le calcul
( p)
de la première intégrale permettant de déterminer Cνη
sera explicité.
1
∫
−1
Pα ( x) f β ( x)dx =
(−1) β
=
2
=
=
( −1) β
2
(−1) β
2
2α + 1 1
Pα ( x) (−1) β (1 − x 2 ) P β ( x) dx
∫
−
1
2
(A.3.1)
1
1

(2α + 1)(2 β + 1)  ∫ Pα ( x) Pβ ( x)dx − ∫ x 2 Pα ( x) Pβ ( x)dx 
−1

−1
1
 2
 
α
β
 α +1
 β + 1
( 2α + 1)( 2 β + 1) 
Pα +1 ( x ) +
Pα −1 ( x ) 
Pβ +1 ( x ) +
Pβ −1 ( x )  dx 
δ αβ − ∫ 
2α + 1
2α + 1
2β + 1
 2 β + 1
 
−1 
 2α + 1
 2

(α + 1)( β + 1)
2
 2α + 1 δ αβ − (2α + 1)(2 β + 1) 2α + 3 δ (α +1)( β +1)





(α + 1) β
2
2
α ( β + 1)
(2α + 1)(2 β + 1) −
δ (α −1)( β +1) 
δ (α +1)( β −1) −
 (2α + 1)(2 β + 1) 2α + 3

(2α + 1)(2 β + 1) 2α − 1




2
αβ
δ (α −1)( β −1)
−

 (2α + 1)(2 β + 1) 2α − 1


α2 
1  (α + 1) 2

1 −
 2α + 3 + 2α − 1  si α = β ,
α
2
+
1




β (α + 1)
1
−
si α = β − 2,
1
β
(2α + 1)(2 β + 1) 2α + 3
P
α ( x ) f β ( x ) dx = ( −1) 
∫−1

α ( β + 1)
1
−
si α = β + 2,

(2α + 1)(2 β + 1) 2α − 1

0 sinon.

H
Annexe 4 : Calculs des coefficients des matrices d’interaction
piézoélectrique et diélectriques
•
Matrice d’interaction piézoélectrique

ν2 
1  (ν + 1) 2
 si ν = η ,

+
1 −
 2ν + 1  2ν + 3 2ν − 1 

η (ν + 1)
1
−
si ν = η − 2,
1
( p)
η
ν
+
2
3
ν
ν
+
+
(
2
1
)(
2
1
)
Cνη
P
x
f
x
dx
=
−
(
)
(
)
(
1
)

∫−1 ν η

ν (η + 1)
1
−
si ν = η + 2,

(2ν + 1)(2η + 1) 2ν − 1

0 sinon,

d Pν ( x) dfη ( x )
dx = ( −1)η ∏ (D1 + D 2 + D3 + D 4 + D 5 + D 6 + D 7 )
−1
dx
dx
(A.4.1)
1
Dνη( p ) ∫
où
2ν
 − 4(η + 1)
 2η + 1 + 2ν + 1 + 2(η + 1)/(2 β + 1) si ν > η + 1 et ν + η paire,
D1 = 

0 sinon,
 − 4η
+ 2(ν + 1)/(2ν + 1) si ν > η − 1 et ν + η paire,

D 2 =  2η + 1

0 sinon,
(ν + 1)(η + 1)(η + 1)(η + 2) + νη (η − 1)η

η
η
(
+
1
)
−
si ν ≥ η et ν + η paire,

(2ν + 1)(2η + 1)


(ν + 1)(η + 1)(ν + 1)(ν + 2) + νη (ν − 1)ν

D3 = ν (ν + 1) −
si ν ≤ η et ν + η paire,
(2ν + 1)(2η + 1)


0 sinon,

(η − 1)η si ν ≥ η - 2 et ν + η paire,

(ν + 1)η
D4 = −
(ν + 1)(ν + 2) si ν ≤ η - 2 et ν + η paire,
(2ν + 1)(2η + 1) 
0 sinon,
I
(A.4.2)
(η + 1)(η + 2) si ν ≥ η + 2 et ν + η paire,

(η + 1)ν
D5 = −
ν (ν − 1) si ν ≤ η + 2 et ν + η paire,
(2ν + 1)(2η + 1) 
0 sinon,
2η /(2η + 1) si ν < η − 1 et ν + η paire,
D6 = 
0 sinon,
2 /(2ν + 1) si ν = η et ν + η paire,
D7 = 
0 sinon,
d Pν ( x )
f η ( x ) dx = ( −1)η ∏ (E1 + E 2 + E 3)
−1
dx
1
Eνη( p ) ∫
(A.4.3)
où

2(η + 1) 2
2η 2
2
−
si ν < η et ν + η impaire,

E1 =  (2η + 1)(2η + 3) (2η + 1)(2η − 1)

0 sinon,
 2(η + 1)(η + 2)
si ν < η + 2 et ν + η impaire,
−
E 2 =  (2η + 1)(2η + 3)

0 sinon,
2η (η − 1)

− (2η + 1)(2η - 1) si ν < η - 2 et ν + η impaire,
E3 = 

0 sinon,
1
dfη ( x)
−1
dx
Fνη( p ) ∫ Pν ( x)
dx = (−1)η ∏ (F1 + F 2 + F 3)
(A.4.4)
où

2(η + 1) 2
2η 2
2
−
si ν > η et ν + η impaire,

F1 =  (2η + 1)(2η + 3) (2η + 1)(2η − 1)

0 sinon,
 2(η + 1)(η + 2)
si ν > η + 2 et ν + η impaire,
−
F 2 =  (2η + 1)(2η + 3)

0 sinon,
J
2η (η − 1)

− (2η + 1)(2η - 1) si ν > η - 2 et ν + η impaire,
F3 = 

0 sinon,
2ν + 1 2η + 1
.
2
avec : ∏ =
•
1
(d )
Cηη
' = ∫
−1
Matrice d’interaction diélectrique

η 2  (η + 1) 2 (η + 2) 2
2  (η + 1) 2
1

 +
+
1 −
2
 2η + 1  2η + 3 2η − 1  (2η + 1)(2η + 3) 2η + 5


η2 
η 2 (η + 1) 2
1  (η + 1)2
1


+
+
+
si η = η ' ,

2


 2η + 1  2η + 3 2η − 1  2η - 3 (2η + 1)(2η − 1)

η ' (η + 1)
2
1
(η + 1)(η + 2)
−
+
 (2η + 1)(2η '+1) 2η + 3
(2
2η + 1 2η '+1 η + 5)(2η + 3)


2
2
η 2  η ' (η '+1)
1
1  (η + 1) 2
 (η '+1) + η '  +


+
si η = η '−2,
 2η '+3 2η '−1 
2η + 1 2η '+1 2η + 1  2η + 3 2η − 1  2η '-1


ν (η '+1)
η2 
2
1
1  (η + 1) 2



+
+
fη ( x) fη ' ( x)dx = (−1)η +η ' −
2η + 1 2η '+1 2η + 1  2η + 3 2η − 1 
 (2η + 1)(2η '+1) 2η − 1

 (η '+2)(η '+1)
 (η '+1) 2
η (η − 2)
η '2 
1

 si η = η '+2,
+
+

2η + 1 2η '+1 (2η − 1)(2η − 3)  2η '+3 2η '−1 
 2η '+3

η (η − 1)
1
(η '+1)(η '+2)

si η = η '+4,
 2η + 1 2η '+1 (2η − 1)(2η − 3)
2η '+3

 (η + 1)(η + 2)
1
η ' (η '−1)

si η = η '−4,
 2η + 1 2η '+1 (2η + 3)(2η '−1) 2η + 5

0 sinon,


(A.4.5)
1
(d )
Dηη
' = ∫
−1
dfη ( x) dfη ' ( x)
dx
dx
( p)
dx = (−1)η Dηη
' + A1 + A2 + A3 + A4 + A5
K
(A.4.6)
A1 = (−1)η +η '
 η +1 η + 2

(η + 1)(η + 2) 
(η '+1) 2
η '2

η ' (η '+1)
η ' (η '+1) +
+
−
η
η
η
η
η
η
η
η
+
+
+
+
+
+
+
−
2
1
2
3
(
2
1
)(
2
3
)
(
2
'
1
)(
2
'
3
)
(
2
'
1
)(
2
'
1
)




 
 η ' (η '−2)(η '−1) 2
(η + 1) 2
η2


+
+
si η ≥ η '-2 et η + η ' paire,
 
  (2η + 1)(2η + 3) (2η + 1)(2η − 1)  (2η '+1)(2η '−1)


 η +1 η + 2
(η + 1)(η + 2) 
(η '+1) 2
η'2

(η + 2)(η + 3)
∏ −
+
(η + 2)(η + 3) +
(2η + 1)(2η + 3)  (2η '+1)(2η '+3) (2η '+1)(2η '−1) 
 2η + 1 2η + 3

 
 ηη ' (η '−1)(η + 1)
(η + 1) 2
η2

+
si η ≤ η '-2 et η + η ' paire,
+ 
(
2
+
1
)(
2
+
3
)
(
2
+
1
)(
2
−
1
)
η
η
η
η
 (2η '+1)(2η '−1)
 

0 sinon,


A2 = ( −1) η +η '
 

 (η + 1)(η + 2) (η '+1)(η '+2) 
(η + 1) 2
η2
η ' (η '+1) + 
(η '+3)(η '+2)
+
− 
 ( 2η + 1)( 2η + 3) ( 2η '+1)(2η '+3) 
  ( 2η + 1)( 2η + 3) ( 2η + 1)( 2η − 1) 

 


(η + 1) 2
(η '+1) 2
η2
η '2



η ' (η '+1)
+
+
+
 


  ( 2η + 1)(2η + 3) ( 2η + 1)(2η − 1)  ( 2η '+1)(2η '+3) ( 2η '+1)(2η '−1) 

(η − 1)η
(η '−1)η '
+
(η '−2)(η '−1) si η ≥ η ' et η + η ' paire,
 ( 2η − 1)( 2η + 1) (2η '−1)( 2η '+1)



 (η + 1)(η + 2) (η '+1)(η '+2) 
(η + 1) 2
η2
 
η (η + 1) + 
(η + 3)(η + 2)
∏ − 
+
 (2η + 1)( 2η + 3) ( 2η '+1)( 2η '+3) 
  ( 2η + 1)( 2η + 3) ( 2η + 1)( 2η − 1) 

 


(η + 1) 2
(η '+1) 2
η2
η '2



η (η + 1)
+
+
+
 


  ( 2η + 1)(2η + 3) ( 2η + 1)(2η − 1)  ( 2η '+1)(2η '+3) ( 2η '+1)(2η '−1) 

(η − 1)η
(η '−1)η '
+
(η − 2)(η − 1) si η ≤ η ' et η + η ' paire,
 ( 2η − 1)( 2η + 1) (2η '−1)( 2η '+1)

0 sinon,


L


 (η '+1)(η '+2)
(η − 1)η
(η + 1) 2
η2

η ' (η '+1) + 
+
(η '+2)(η '+3)
−
 ( 2η + 1)(2η + 3) (2η + 1)(2η − 1)  (2η '+1)(2η '+3)
 ( 2η − 1)(2η + 1)

(η − 1)η
(η '−1)η '
+
 (2η − 1)(2η + 1) (2η '−1)(2η '+1) η ' (η '+1) si η ≥ η '+2 et η + η ' paire,



 (η '+1)(η '+2)
(η − 1)η
(η + 1) 2
η2


η (η + 1)
+
A3 = (−1) η +η ' ∏ −
(η − 2)(η − 1) + 
η
η
η
η
η
η
−
+
+
+
+
−
(
2
1
)(
2
1
)
(
2
1
)(
2
3
)
(
2
1
)(
2
1
)

 (2η '+1)(2η '+3)


(η − 1)η
(η '−1)η '

+ (2η − 1)(2η + 1) (2η '−1)(2η '+1) (η − 2)(η − 1) si η ≤ η '+2 et η + η ' paire,

0 sinon,


(η − 1)η
(η '+1)(η '+2)

 (2η − 1)(2η + 1) (2η '+1)(2η '+3) (η '+2)(η '+3) si η ≥ η '+4 et η + η ' paire,


(η − 1)η
(η '+1)(η '+2)

A4 = (−1)η +η ' ∏
(η - 2)(η - 1) si η ≤ η '+4 et η + η ' paire,
η
η
η
η
(
2
−
1
)(
2
+
1
)
(
2
'
+
1
)(
2
'
+
3
)


0 sinon,

(η + 1)(η + 2)
 (η '−1)η '
 (2η '−1)(2η '+1) (2η + 1)(2η + 3) (η '−2)(η '−1) si η ≥ η '−4 et η + η ' paire,

 (η '−1)η '
(η + 1)(η + 2)

A5 = (−1)η +η ' ∏
(η + 2)(η + 3) si η ≤ η '−4 et η + η ' paire,
η
η
η
η
(
2
'
−
1
)(
2
'
+
1
)
(
2
+
1
)(
2
+
3
)


0 sinon,

1
(d )
Eηη
' = ∫ fη ( x)
−1
dfη ' ( x)
( p)
dx = (−1)η Eηη
' + B1 + B2 + B3 + B4 + B5
dx
(A.4.7)

2(η + 1) 2
2η 2
2(η + 1)(η + 2) (η '+1)(η '+2)
−
+
 (2η + 1)(2η + 3) (2η + 1)(2η − 1) (2η + 1)(2η + 3) (2η '+1)(2η '+3)



(η + 1) 2
(η '+1) 2
η2
η '2
+ 2



+
+
 

B1 = (−1)η +η ' ∏  (2η + 1)(2η + 3) (2η + 1)(2η − 1)  (2η '+1)(2η '+3) (2η '+1)(2η '−1) 

2η (η − 1)
η ' (η '−1)
+
 (2η + 1)(2η − 1) (2η '+1)(2η '−1) si ν < η et ν + η impaire,

0 sinon,

M
 2(η + 1)(η + 2)

 2(η '+1)(η '+2)
η2
(η + 1) 2


−
+
2
+


(2
+
1)(2
+
3)
(
2
+
1
)(
2
+
3
)
(
2
+
1
)(
2
−
1
)
η
η
η
η
η
η

 (2η '+1)(2η '+3)



 2η (η − 1) 
η '2
(η '+1) 2

 si ν < η + 2 et ν + η impaire,
B 2 = (−1)η +η ' ∏ 
+
η
η
η
η
η
η
(
2
+
1
)(
2
−
1
)
(
2
'
+
1
)(
2
'
+
3
)
(
2
'
+
1
)(
2
'
−
1
)




0 sinon,




η '2
2η (η − 1)
2(η + 1)(η + 2) 
(η '+1) 2


+
+
−
 (2η + 1)(2η - 1) (2η + 1)(2η + 3)  (2η '+1)(2η '+3) (2η '+1)(2η '−1) 



η2
2η ' (η '−1) 
(η + 1) 2
η +η '

 si ν < η - 2 et ν + η impaire,
∏ +
B3 = (−1)
+
 (2η '+1)(2η '−1)  (2η + 1)(2η + 3) (2η + 1)(2η − 1) 

0 sinon,


η ' (η '−1)
 2(η + 1)(η + 2)
si ν < η - 4 et ν + η impaire,

B 4 = (−1)η +η ' ∏  (2η + 1)(2η + 3) (2η '+1)(2η '−1)

0 sinon,
B5 = (−1)
η +η '
(η '+1)(η '+2)
 2η (η − 1)
 (2η + 1)(2η − 1) (2η '+1)(2η '+3) si ν < η + 4 et ν + η impaire,
∏

0 sinon,
dfη ( x)
fη ' ( x)dx = (−1)η Fηη( p' ) + C1 + C2 + C3 + C4 + C5
−1
dx
1
Fηη( d') = ∫
(A.4.8)

2(η + 1) 2
2η 2
2(η + 1)(η + 2) (η '+1)(η '+2)
−
+
 (2η + 1)(2η + 3) (2η + 1)(2η − 1) (2η + 1)(2η + 3) (2η '+1)(2η '+3)



(η + 1) 2
(η '+1) 2
η2
η '2
+ 2
  (2η + 1)(2η + 3) + (2η + 1)(2η − 1)  (2η '+1)(2η '+3) + (2η '+1)(2η '−1) 
η +η '
C1 = (−1) ∏  



2η (η − 1)
η ' (η '−1)
+
 (2η + 1)(2η − 1) (2η '+1)(2η '−1) si ν > η et ν + η impaire,

0 sinon,

N
 2(η + 1)(η + 2)

 2(η '+1)(η '+2)
(η + 1) 2
η2


−
+
2
+


 ( 2η + 1)(2η + 3) ( 2η + 1)(2η − 1)  (2η '+1)(2η '+3)
 (2η + 1)(2η + 3)


 2η (η − 1) 
(η '+1) 2
η '2

 si ν > η + 2 et ν + η impaire,
C 2 = ( −1)η +η ' ∏ 
+
 ( 2η + 1)(2η − 1)  (2η '+1)(2η '+3) (2η '+1)(2η '−1) 

0 sinon,




η '2
2η (η − 1)
2(η + 1)(η + 2) 
(η '+1) 2


+
+
−

η
η
η
η
η
η
η
η
(2
+
1)(2
1)
(2
+
1)(2
+
3)
(
2
'
+
1
)(
2
'
+
3
)
(
2
'
+
1
)(
2
'
−
1
)






η2
2η ' (η '−1) 
(η + 1) 2

 si ν > η - 2 et ν + η impaire,
C 3 = (−1)η +η ' ∏ +
+
η
η
η
η
η
η
(
2
'
1
)(
2
'
1
)
(
2
1
)(
2
3
)
(
2
1
)(
2
1
)
+
−
+
+
+
−




0 sinon,


η ' (η '−1)
 2(η + 1)(η + 2)
 (2η + 1)(2η + 3) (2η '+1)(2η '−1) si ν > η - 4 et ν + η impaire,
η +η '
C 4 = (−1)
∏

0 sinon,
(η '+1)(η '+2)
 2η (η − 1)
si ν > η + 4 et ν + η impaire,

C 5 = (−1)η +η ' ∏  (2η + 1)(2η − 1) (2η '+1)(2η '+3)

0 sinon,
avec : ∏ =
2η + 1 2η '+1
.
2
O
Annexe 5 : Comparaison des champs de déplacement dans les trois
cas (sans électrode, avec une électrode et avec deux électrodes)
Tableau A.5.1 : Comparaison des modes de vibration théorique des 23 premières fréquences
propres non nulles dans les trois cas.
N
°
Sans électrode
Avec une électrode
7
8
9
10
P
Avec deux électrodes
11
12
13
14
15
Q
16
17
18
19
20
R
21
22
23
24
25
S
26
27
28
29
30
T
Annexe 6 : Le simplexe
Le simplexe, Nelder & Mead
Le simplexe est une technique à la fois fondamentale et très populaire pour les problèmes
d'optimisation linéaire. Ainsi, étant donné un ensemble d'inégalités linéaires sur n variables réelles,
l'algorithme permet de minimiser (ou maximiser) une fonction objectif, qui est elle aussi linéaire
(Zahara & Kao, 2009).
C’est la méthode la plus utilisée à ce jour. Cet algorithme a été mis en place par Nelder & Mead
en 1965 (Nelder & Mead, 1965). Il est particulièrement utilisé dans les domaines du génie électrique, du
génie mécanique, du génie chimique et en médecine.
Le simplexe représente une figure géométrique à N+1 côtés (dans un espace à N paramètres soit
N dimensions). Le point minimal est atteint en déformant et en déplaçant le simplexe (par rapport à une
position initiale aléatoire). Le principe est le suivant (Luersen, Le Riche, & Guyon, 2004) :
maintenir un simplexe S,
soient  x j 
les sommets de S,
  j = 1,2..., N + 1
il est supposé que f ( x ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x ) ≤ ... ≤ f ( x
),
1
2
3
N +1
soit le centroïde des N premiers sommets : x = ∑iN= 1 x / N ,
c
i
à chaque itération, x
N +1
est remplacé par µ = (1 + µ ) x − µ x
,
c
N +1
où µ représente les opérations de base : Réflexion (µ= 1), Expansion (µ= 2), Contraction
interne (µ= -1/2) et Contraction externe (µ = 1/2).
L’algorithme proposé est alors le suivant (Nelder & Mead, 1965) :
soit un simplexe S initial,
soient τ et ƒmax, la précision et le nombre maximal d’itération,
tant que f ( x
N +1
,
) − f ( x ) > τ et n ≤ f
1
f
max
si f ( x ) ≤ f ( x ) < f ( x ) alors x
=x ,
1
R
N
N +1
R
si f ( x ) < f ( x ) < f ( x ) alors x
=x ,
E
R
1
N +1
E
si f ( x ) < f ( x ) et f ( x ) ≥ f ( x ) alors x
=x ,
1
R
E
R
N +1
R
si f ( x ) ≤ f ( x ) < f ( x
,
) et f ( x ) ≤ f ( x ) alors x
=x
N
R
N +1
CE
R
N +1
CE
si f ( x ) ≥ f ( x
) et f ( x ) < f ( x
) alors x
=x ,
R
N +1
CI
N +1
N +1
CI
sinon rétrécissement.
U
Cet algorithme ne converge pas toujours. Cependant, en pratique, il est très robuste (Lagarias,
Reeds, Wright, & Wright, 1998).
Exemple
Considérons le système d’inéquations suivant :
3x1 + 2 x 2 + x3 + 2 x 4 ≤ 255

 x1 + x 2 + x3 + x 4 ≤ 117

4 x1 + 3 x 2 + 3x3 + 4 x 4 ≤ 420
(A.6.1)
avec x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0
Ce système d’inéquations a trois inéquations et quatre inconnues. Ce système est donc
surdimensionné. Par conséquent plusieurs solutions sont possibles parmi lesquelles le quartet (0,0,0,0).
Pour avoir une solution unique il faut donc une ligne d’optimisation de la solution. Ainsi une équation
supplémentaire sera introduite. Cette équation est dite fonction d’optimisation. Choisissons :
max y = 19x1 + 13x2 + 12x3 + 17x4 . Il faudra donc chercher la solution qui permettra de maximiser y.
Le système précédent devient ainsi :
max y = 19 x1 + 13x2 + 12 x3 + 17 x4
3x1 + 2 x2 + x3 + 2 x4 ≤ 255

 x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 117

4 x1 + 3x2 + 3x3 + 4 x4 ≤ 420

 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0
(A.6.2)
La solution de base (0,0,0,0) précédemment donnée n’est plus optimal car y=0. Il existe donc une
solution plus adéquate que celle-ci. L’objectif sera donc de rechercher la solution optimale de notre
système.
Pour résoudre ce système d’inéquations, des variables dites d’écart seront introduites dans le
système. Ces variables permettent de passer d’un système d’inéquations à un système d’équations
(eq.(A.6.3)).
V
max y = 19 x1 + 13x2 + 12 x3 + 17 x4
3x1 + 2 x2 + x3 + 2 x4 + t1 = 255

 x1 + x2 + x3 + x4 + t2 = 117

4 x1 + 3x2 + 3x3 + 4 x4 + t3 = 420

 x1 , x2 , x3 , x4 , t1 , t2 , t3 ≥ 0
(A.6.3)
Le simplexe en tableaux
Le simplexe en tableaux permet de rendre les étapes du simplexe plus rapides. Voici l'écriture
sous forme de tableau pour notre exemple. On applique le critère des variables entrantes et sortantes
puis on effectue le pivot de Gauss pour en déterminer le quartet optimal.
x1
x2
x3
x4
t1
t2
t3
C
t1
3
2
1
2
1
0
0
255
t2
1
1
1
1
0
1
0
117
t3
4
3
3
4
0
0
1
420
y
19
13
12
17
0
0
0
0
x1, x2 x3 et x4 sont des variables hors base tandis que t1,t2 et t3 sont des variables de base. La
solution de base est donnée par le quartet (0,0,0,0) mais y n’est pas optimal. Cependant il faut toujours
partir avec la solution de base pour le simplexe avant d’optimiser.
Il faudra rechercher un pivot. La solution est optimale dès que tous les coefficients de y sont
négatifs ou nuls. La colonne du pivot est toujours celle du coefficient y le plus positif (plus grand). Dans
notre exemple, c’est 19 donc la première colonne est celle du pivot. La variable associée au pivot est la
variable entrante donc ici x1. Il faudra maintenant déterminer la variable sortante. Pour cela il faut faire
le rapport des contraintes (C dans le tableau) aux coefficients correspondants et prendre le plus petit
rapport positif. La ligne contenant ce rapport est la ligne du pivot. Par conséquent le pivot va être à
l’intersection de cette ligne et de la colonne du pivot comme le montre le tableau suivant :
W
x1
x2
x3
x4
t1
t2
t3
C
K
t1
3
2
1
2
1
0
0
255
85
t2
1
1
1
1
0
1
0
117
117
t3
4
3
3
4
0
0
1
420
105
y
19
13
12
17
0
0
0
0
Le pivot est donc le chiffre 3 et la variable sortante est t1.La variable x1 va donc rentrer dans la
base et t1 va en sortir. Ce qui nous conduit à l’étape suivante :
x1
x2
x3
x4
t1
t2
t3
C
K
t1
3
2
1
2
1
0
0
255
85
t2
1
1
1
1
0
1
0
117
117
t3
4
3
3
4
0
0
1
420
105
y
19
13
12
17
0
0
0
0
x1
1
2/3
1/3
2/3
1/3
0
0
85
t2
0
1/3
2/3
1/3
-1/3
1
0
32
t3
0
1/3
5/3
4/3
-4/3
0
1
80
y
0
1/3
17/3
13/3
-19/3
0
0
-1615
Pour le calcul des nouveaux coefficients les instructions suivantes seront appliquées :
les éléments de la ligne du pivot vont être divisés par le pivot,
les éléments de la colonne du pivot autre que le pivot deviennent nuls,
à chaque fois que la ligne du pivot croise une colonne en zéro la colonne reste inchangée.
tous les autres éléments sont à calculer à l’aide de la méthode du rectangle.
Les itérations sont à répéter jusqu’à obtenir tous les coefficients de la ligne y négatifs ou nuls. La
solution optimale est ainsi atteinte. On lit sur le tableau final les valeurs des coefficients variables x1, x2,
x3 et x4. Les variables hors base sur le tableau final sont nulles tandis que les variables de base ont pour
valeurs le nombre se trouvant à l’intersection de la ligne de la variable et de la colonne des contraintes
(C).
X
Ce travail est ainsi très difficile à faire manuellement surtout dans ce cas car le système possède
dix variables indépendantes. C’est ainsi qu’un programme développé sous Matlab a été adapté au
spectre d’admittance pour obtenir un ajustement optimal avec un nombre d’itérations raisonnables.
Y
Annexe 7 : Comparaison des champs vitesse théoriques et
expérimentaux
Tableau A.6.1 : Comparaison des modes de vibration théorique et expérimental du PZ-21PT.
Groupes identifiés
Fréquences Expérimentales (Hz)
Au
Ag
B1u
Z
Fréquences Théoriques (Hz)
B1g
B1u(2)
AA
BB
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GG
Résumé
Ce travail a pour objectif la détermination des propriétés fonctionnelles des matériaux
piézoélectriques : les coefficients de couplage, les constantes élastiques, piézoélectriques et
diélectriques, de même que les pertes électriques et mécaniques.
De nos jours, les techniques conventionnelles d’identification de ces paramètres utilisent
plusieurs échantillons. Dernièrement le laboratoire a développé (Delaunay et al.) une méthode
ultrasonore de caractérisation de matériaux piézoélectriques permettant de déterminer ces propriétés à
partir d’un seul échantillon. Cette méthode, basée sur la spectroscopie de résonance ultrasonore,
examine les modes de vibrations d’un cube piézoélectrique et extrait des résonances mécaniques
mesurées par interférométrie Laser les propriétés électromécaniques de l’échantillon. Dans ce travail,
cette méthode a été modifiée afin d’obtenir les propriétés électromécaniques des matériaux à partir
d’une seule mesure d’impédance électrique.
Dans un premier temps, le problème direct est résolu ; les fréquences propres et les modes
propres d’un cube sont modélisés par une méthode variationnelle ; les champs de déplacement et
l’admittance électrique sont calculés en fonction de la fréquence. La géométrie étant fixée, forme
cubique, l’admittance dépend seulement des propriétés du matériau et des conditions de métallisation de
l’échantillon. La méthode est validée à travers la caractérisation d’un cube de PMN-34,5PT dont les
propriétés sont connues. Les mesures électriques de l’impédance de l’élément sont comparées au spectre
d’admittance prédit par la théorie. Les vitesses de vibration du matériau sont également mesurées et
comparées aux résultats donnés par les modèles existants.
La résolution du problème inverse, permet de déterminer les propriétés d’un matériau inconnu, à
travers la convergence de courbe d’admittance théorique vers celle expérimentale. Les propriétés du PZ21 sont extraites grâce à cette procédure. Une discussion sur ces valeurs et une comparaison avec celles
de la littérature permet de valider les résultats obtenus.
Mots clés : Ultrasons - Piézoélectricité - Céramiques – Modélisation- Admittance
Abstract
This work deals with the determination of electromechanical properties of piezoelectric
materials: coupling coefficients, elastic, dielectric and piezoelectric constants, electrical and mechanical
losses.
Until now, several samples are needed in conventional techniques to perform the complete
identification of the material properties. Recently, Delaunay et al. proposed an ultrasonic protocol
allowing the determination of these characteristics from only one sample. This method, referred to as
Resonant Ultrasound Spectroscopy, is based on the comparison of the mode shapes and frequencies of
modeled vibration modes of piezoelectric parallelepipeds with experimental data measured by Laser
interferometry. It is here modified to obtain the electromechanical properties from electrical impedance
measurements only. The direct problem is first solved: the resonance modes of a two face metalized
piezoelectric cube are modeled and both mechanical displacements and electrical impedance are
calculated as functions of the frequency. The method is first applied for validation on a PMN-34.5PT
material with known properties. Electrical impedance and mechanical velocity measurements are
performed and their agreement to the theoretical predictions is discussed.
In order to determine the properties of unknown materials, the inverse problem is solved by
fitting the theoretical impedance curves to experimental ones. This procedure is then applied to the
identification of the properties of PZ-21. The results are discussed and compared to data from the
literature.
Keywords: Ultrasound - Piezoelectricity - Ceramics – modeling- Admittance