De la mécanique des systèmes à celle des solides.

Chapitre B-VIII
De la mécanique des systèmes à celle
des solides.
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RÉSUMÉ :
Il s’agit dans ce chapitre d’établir les lois de la mécanique du solide à partir de celles
de la mécanique du point.
On commence par démontrer les théorèmes du centre de gravité, du moment cinétique
et de l’énergie cinétique pour un système de points matériels et l’on introduit ensuite le
référentiel barycentrique.
On établit les propriétés du champ des vitesses d’un solide et l’on introduit successive-
ment le vecteur rotation et la matrice d’inertie, ce qui permet l’adaptation au solide des
théorèmes relatifs aux systèmes.
On montre l’intérêt de la notion de torseur pour modéliser les interactions.
On termine en montrant, pour un solide réel, le découplage entre mécanique et thermo-
dynamique, ce qui justifie le modèle du solide parfait.
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Table des matières
B-VIII De la mécanique des systèmes à celle des solides. 1
1 Rappels de mécanique du point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2Systèmesmatériels. ............................. 7
3 Postulat d’additivité des forces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Forces intérieures et extérieures à un système. . . . . . . . . . . . . . . 8
5 Théorème du centre de gravité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.aCentredegravité............................ 9
5.b Quantité de mouvement d’un système matériel. . . . . . . . . . . 9
5.cLethéorème............................... 10
5.d Forces de pesanteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6 Théorème du moment cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.a Théorème du moment cinétique en un point fixe. . . . . . . . . . . 11
6.b Théorème du moment cinétique par rapport à un axe. . . . . . . . 12
6.c Moment des forces de pesanteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7 Théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.a Enoncé du théorème pour un système. . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.b Energie potentielle de pesanteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
8 Référentiel barycentrique et théorèmes de Kőnig. . . . . . . . . . . . . . 14
8.a Référentiel barycentrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
8.b Théorème de Kőnig pour le moment cinétique. . . . . . . . . . . . 15
8.c Théorème du moment cinétique au centre de gravité. . . . . . . . 16
8.d Théorème de Kőnig pour l’énergie cinétique. . . . . . . . . . . . . 17
3

9 Champ des vitesses d’un solide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9.a Définition d’un solide parfait. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9.b Vecteur rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9.c Champ des vitesses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9.d Composition des vecteurs rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10 Moment cinétique d’un solide. Matrice d’inertie. . . . . . . . . . . . . . 23
10.a Matrice d’inertie en G, centre de gravité. . . . . . . . . . . . . . . 23
10.b Matrice d’inertie en O, point fixe. Formule de Huyghens. . . . . . 24
10.c Calcul des matrices d’inertie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
10.d Moment cinétique en mécanique du point et en mécanique du solide. 27
11 Energie cinétique d’un solide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
11.aCasgénéral. .............................. 27
11.b Cas particulier où il existe un point fixe. . . . . . . . . . . . . . . 27
12 Adaptation des théorèmes de la mécanique des systèmes à celle des
solides........................................ 28
12.a Remarque initiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
12.b Théorème du centre de gravité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
12.c Théorème du moment cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
12.d Théorème de l’énergie cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
13Notiondetorseur............................... 30
13.aDéfinitions................................ 30
13.b Formulation torsorielle des théorèmes de la mécanique des systèmes. 32
13.cForcelocalisée.............................. 32
13.d Formulation torsorielle du théorème de l’énergie pour un solide. . 33
13.e Notion de couple. Réduction d’un torseur. . . . . . . . . . . . . . 33
14 Mécanique du solide et thermodynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . 34
15 En guise de conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
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1 Rappels de mécanique du point.
Il ne s’agit ici que d’un résumé du chapitre B-II consacré à la dynamique du point
matériel, sans aucun commentaire ni aucune démonstration.
On postule l’existence de particules de taille infiniment petite, appelées points matériels.
La matière, dans ce modèle, est un assemblage de points matériels. A chaque point matériel
est affecté un coefficient scalaire appelé masse inertielle noté m
On postule l’existence de référentiels privilégiés appelée référentiels inertiels ou réfé-
rentiels galiléens dans lequel un point matériel isolé, c’est-à-dire sans interaction avec tout
autre point, a un mouvement rectiligne uniforme, donc a une vitesse constante.
On appelle quantité de mouvement du point Ade masse mAet de vitesse −→ vAla
grandeur vectorielle : −→
pA=mA−→ vA(t)
Dans le cas d’un système isolé 1de deux points en interaction notés Aet B, on appelle
force exercée par Bsur Ala grandeur vectorielle :
−→
FB→A=d−→
pA
dt=d dt(mA−→
vA) = mA
d−→ vA
dt
et bien sûr la force exercée par Asur Bla grandeur vectorielle :
−→
FA→B=d−→
pB
dt=d dt(mB−→
vB) = mB
d−→ vB
dt
On postule que pour un système isolé de deux particules, la somme de leurs deux
quantités de mouvement se conserve et l’on en déduit immédiatement que :
−→
FB→A=−−→ FA→B
Il s’agit du théorème d’action et réaction.
Soit un point matériel A(isolé ou en interaction avec un point B, voire d’autres) de
masse mA, de vitesse −→ vAet donc de quantité de mouvement −→ pA=mA−→ vA. On définit
le moment cinétique de Acomme un champ vectoriel dont la valeur en tout point Mdu
référentiel est : −→
σA(M) = −−→ MA ∧−→ pA
De cette formule résulte une « formule de changement de point », qui peut être utile,
permettant de lier les valeurs du champ de moment cinétique en deux points différents,
disons Met M0. La voici :
−→
σA(M0) = −→ σA(M) + −−−→ M0M∧−→ pA
1. c’est-à-dire qu’il n’y a pas d’autre points matériels que Aet B
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