Théorie et pratique des codes correcteurs Codes

Codes Reed-Solomon
Construction des codes Reed-Solomon
Propriétés des codes Reed-Solomon
Décodage des codes Reed-Solomon
Bibliographie
GEL-7064 : Théorie et pratique des codes
correcteurs
Codes Reed-Solomon
Notes de cours
Jean-Yves Chouinard
Département de génie électrique et de génie informatique
Université Laval
[email protected]
26 février 2013
Jean-Yves Chouinard Codes Reed-Solomon

Codes Reed-Solomon
Construction des codes Reed-Solomon
Propriétés des codes Reed-Solomon
Décodage des codes Reed-Solomon
Bibliographie
Plan de la présentation
1Codes Reed-Solomon
2Construction des codes Reed-Solomon
3Propriétés des codes Reed-Solomon
4Décodage des codes Reed-Solomon
Algorithme de décodage de Peterson, Gorenstein et Ziergler
Exemple de décodage de code Reed-Solomon
5Bibliographie
Jean-Yves Chouinard Codes Reed-Solomon

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Propriétés des codes Reed-Solomon
Décodage des codes Reed-Solomon
Bibliographie
Codes Reed-Solomon
Définition (code Reed-Solomon) :
Un code Reed-Solomon est un code BCH qm−aire de longueur
n=qm−1.
Définition (classe cyclotomique) :
Le partitionnement de l’ensemble des entiers modulo nen sous-
ensembles disjoints de la forme :
Ci=na,aq,aq2,aq3,...,aqd−1o
dans le corps de Galois CG(q), donne les classes cyclotomiques
q−aires modulo n.
Remarque : à chaque classe cyclotomique corresponds une classe
de conjugués.
Jean-Yves Chouinard Codes Reed-Solomon

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Bibliographie
Exemple (classes cyclotomiques d’un corps de Galois) :
Considérons le corps de Galois CG(32)=CG(25)pour lequel nous
désirons déterminer les classes cyclotomiques. Les classes de
conjugués sont :
β, βq, βq2, βq3, βq4, . . .
Pour le corps de Galois CG(32), nous avons :
β=0=⇒ {0}
β=1=⇒ {1}
β=α=⇒ {α, α2, α4, α8, α16}
β=α3=⇒ {α3, α6, α12, α17, α24}
β=α5=⇒ {α5, α9, α10, α18, α20}
β=α7=⇒ {α7, α14, α19, α25, α28}
β=α11 =⇒ {α11, α13, α21, α22, α26}
β=α15 =⇒ {α15, α23, α27, α29, α30}
Jean-Yves Chouinard Codes Reed-Solomon

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Construction des codes Reed-Solomon
Propriétés des codes Reed-Solomon
Décodage des codes Reed-Solomon
Bibliographie
Exemple (classes cyclotomiques d’un corps de Galois) :
Les classes cyclotomiques correspondantes sont obtenues en
déterminant les séquences modulo nsuivantes (ici les séquences
modulo 31) :
a,aq,aq2,aq3,aq4, . . .
La première classe cyclotomique est la classe (triviale) :
C0:0=⇒ {0}
La seconde classe cyclotomique est :
C1:1,1·2=2,1·22=4,1·23=8,1·24=16,1·25=
32 ≡31 1=⇒ {1,2,4,8,16}
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