Chapitre 1 Introduction à la Mécanique Quantique

Chapitre 1
Introduction à la Mécanique Quantique
1.1 Révision d’algebre linéaire
1.1.1 Théorèmes utiles sur les déterminants.
1. En multipliant chaque élément d’une ligne (ou d’une colonne) d’un déterminant par une constante k, la valeur
du déterminant est multipliée par k.
2. Un déterminant est nul si :
(a) tous les éléments d’une ligne (ou colonne) sont nuls.
(b) deux lignes (ou colonnes) sont identiques.
(c) deux lignes (ou colonnes) sont proportionnelles.
3. Si deux lignes (ou deux colonnes) d’un déterminant sont interchangées la valeur de ce déterminant change de
signe.
4. La valeur d’un déterminant est ne change pas si :
(a) on transpose ce déterminant.
(b) on ajoute à chaque élément d’une ligne kfois l’élément correspondant d’une autre ligne, kétant un nombre
quelconque (même chose pour les colonnes).
1.1.2 Matrices.
Un tableau rectangulaire de nombres ou de fonctions tel que :
A=
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
.
.
..
.
.....
.
.
am1am2. . . amn
(1.1)
est appelé matrice.
Pour l’élément de matrice désigné par aij,iest l’indice de ligne et jl’indice de colonne.
Règles pour le produit.
L’élément de la matrice produit AB =Cs’écrit :
cij =X
s
aisbsj (1.2)
En général la multiplication n’est pas commutative AB 6=BA. La différence AB −BA, notée [A,B], est appelée
commutateur de Aet B.
Distributivité :
A(B+C)F=ABF +ACF (1.3)
(AB)C=A(BC) = ABC (1.4)
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Matrices spéciales.
Matrice nulle notée 0dont tous les éléments sont nuls. Pour tout A,0+A=A+0=A;0A =A0 =0.
Toutefois si AB =0,Aou Bn’est pas nécessairement 0.
matrice unité 1,
1ij =δij (1.5)
Pour tout A
1A =A1 =A(1.6)
Matrice transposée : At
at
ij =aji (1.7)
Matrice inverse A−1
Complexe conjugué d’une matrice A∗.
Matrice associée A†:
a†
ij =a∗
ji (1.8)
Matrice hermitienne :
A†=A(1.9)
Relation Type de matrice propriétés des ´ éléments
At=Asymétrique aji =aij
At=−Aantisymétrique aji =−aij aii = 0
(At)−1=Aorthogonale Psasiasj =Psaisajs =δij
A∗=Aréelle
A∗=−Aimaginaire pure
A†=Ahermitienne a∗
ij =aji
A†=−Aantihermitienne a∗
ij =−aji
(A†)−1=Aunitaire Psa∗
siasj =Psaisa∗ js =δij
Matrice inverse.
La matrice adjointe de Anotée b Aest construite de la façon suivante :
b
Aij =Aij (1.10)
Aij est le cofacteur de l’élément Aij dans le déterminant |A|qui est égal au déterminant obtenu en enlevant la ieme
ligne et la jeme colonne de |A|multiplié par (−1)i+j.
b
AA =Ab A=|A|1(1.11)
Si Aest carrée et non singulière alors :
A−1=b A/|gA|AA−1=A−1A=1(1.12)
Systèmes linéaires.
Le système d’équations inhomogènes :
A11x1+A12x2+··· +A1nxn=y1
A21x1+A22x2+··· +A2nxn=y2
.
.
..
.
.
An1x1+An2x2+··· +Annxn=yn(1.13)
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s’écrit sous la forme d’une équation matricielle
Ax =y(1.14)
xet ysont des vecteurs colonnes. Si |A| 6= 0 alors A−1existe et
A−1Ax =x=A−1y(1.15)
Combinaisons linéaires.
Une combinaison linéaire est une relation de la forme
ys=
m
X
j=1
Bsjxj(1.16)
qui fait correspondre mquantités xiàhautres quantités yi. Elle s’écrit sous forme matricielle :
y=Bx (1.17)
Valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice.
Si gA est carrée d’ordre n, la matrice
K=λ1−A(1.18)
est appelée matrice caractéristique de A. L’équation
|K|=|λ1−A|= 0 (1.19)
est l’équation caractéristique de A. par |K|=K(λ)est un polynôme d’ordre nen λdont les racines sont les racines
de la matrice A.
Si B=Q−1AQ alors
KB=|λ1−B|=|Q−1|˙ |λ1−A|˙ |Q|=|λ1−A|=KA|(1.20)
La relation
Ax =ax(1.21)
où aest un scalaire et xun vecteur colonne est l”equations aux valeurs propres de A. Cette équation peut s’écrire
(a1−A)x≡Kx = 0 (1.22)
Les valeurs propres de Asont donc les racines de A, ce qui fournit la méthode de calcul des valeurs propres. Pour
calculer les vecteurs propres on doit résoudre les systèmes inhomogènes
Axi=aix(1.23)
les aiétant les valeurs propres. Il est pratique de regrouper les vecteurs propres et les valeurs propres dans des
matrices :
AX =XD (1.24)
Dest la matrice diagonale des valeurs propres Dii ≡ai
Si l’on multiplie à gauche par X−1l’équation précédant
X−1AX =X−1XD =D(1.25)
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Matrices hermitiennes.
Nous énoncerons ici sans les démontrer quelques théorèmes importants concernant les matrices hermitiennes. par
– Les valeurs propres d’une matrice hermitienne sont réelles.
ai=a∗
i(1.26)
– Les vecteurs propres d’une matrice hermitienne sont orthogonaux.
x†
ixj= 0 i6=j(1.27)
– Si on normalise les vecteurs propres alors la matrice des vecteurs propres est unitaire.
X†X=1(1.28)
1.2 Exercices
1. AB =C, quelle est l’expression de C−1.
2. Montrer que T r(AB) = T r(BA).
3. Inverser la matrice suivante.
A= ( 12.0 2.0−1.02.0 4.0 1.0−1.0 1.0 3.0 ) (1.29)
4. Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de A. Recalculer A−1à partir des valeurs propres et vecteurs
propres, proposer une méthode de calcul de A−1/2
1.3 Opérateurs et equations aux valeurs propres
1.3.1 Opérateurs différentiels.
Un opérateur est une opération mathématique qui transforme une fonction ϕ(x)en une autre fonction f(x):
f(x) = Aϕ(x)(1.30)
Un opérateur de la forme :
A=a0+a1
d
dx +a2
d2
dx2+···;ai=fonction de x (1.31)
est appelé opérateur différentiel.
Si
A(ϕ1+ϕ2) = Aϕ1+Aϕ2(1.32)
A est un opérateur linéaire
1.3.2 Equations aux valeurs propres.
Pétant un opérateur quelconque et ϕ(x)une fonction quelconque, il n’existe pas, En général, de relation particulière
entre P ϕ(x)et ϕ(x). Il existe cependant des cas où P ϕ(x)est un multiple de ϕ(x):
P ϕ(x) = pϕ(x)(1.33)
où pest une constante par rapport à x. Une telle équation est appelée équation aux valeurs propres. ϕ(x)est une
fonction propre de Pet pla valeur propre associée.
Exemple :
P=d
dx, ϕ(x) = ekx (1.34)
P ϕ(x) = kϕ(x)(1.35)
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1.3.3 Opérateurs hermitiens.
Une fonction est dite de carré sommable si l’intégrale
∞
Z
−∞
ϕ∗(x)ϕ(x)dx (1.36)
a une valeur finie.
ϕ∗(x)est le complexe conjugué de ϕ(x)
Considérons l’opérateur Aet les fonctions u(x)et v(x). Soit A∗le complexe conjugué de l’opérateur A. Si, en
admettant que ces intégrales existent
Zu∗(x)Av(x)dx =Z(A∗u∗(x))v(x)dx (1.37)
pour toutes les fonctions uet vde carré sommable, l’opérateur Aest appelé hermitien.
Les valeur propres d’un opérateur hermitien sont réelles.
1.3.4 Propriétés des fonctions propres d’un opérateur hermitien.
Deux fonctions fet gsont orthogonales si Zf∗(x)g(x)dx = 0 (1.38)
Théorème : Si ϕλet ϕµsont des fonctions propres de l’opérateur hermitien Acorrespondant à des valeurs propres
aλet aµdifférentes, ϕλet ϕµsont orthogonales.
Démonstration
Aϕλ=aλϕλ(1.39)
Aϕµ=aµϕµ(1.40)
Aϕ∗
µ=a∗ µϕ∗ µ(1.41)
Aétant hermitien aλet aµsont réelles
Zϕ∗
µAϕλdτ =aλZϕ∗ µϕλdτ (1.42)
d’autre part Zϕ∗
µAϕλdτ =ZA∗ϕ∗ µϕλdτ =aµZϕ∗ µϕλdτ (1.43)
donc
aλZϕ∗
µϕλdτ =aµZϕ∗ µϕλdτ (1.44)
Cette égalité ne peut être vérifiée que si
aµ=aλou Zϕ∗
µϕλdτ = 0 (1.45)
On appelle ensemble complet un ensemble de fonctions de mêmes variables et de carré sommable {ψ1, ψ2, . . .}tel
que pour toute fonction fde mêmes variables et de carré sommable
f=
∞
X
s=1
csψs(1.46)
Théorème : Les fonctions propres d’un opérateur hermitien forment un ensemble complet. Cet ensemble est égale-
ment appelé base.
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