La théorie des opérateurs nucléaires

Séminaire Schwartz
L. S CHWARTZ
La théorie des opérateurs nucléaires
Séminaire Schwartz, tome 1 (1953-1954), exp. no 12, p. 1-7
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Faculté des Sciences de Paris
-:-:-:Séminaire SCHWARTZ
Année 1953/1954
1.7 février 1954
Exposé n° 12
LA THÉORIE DES OPÉRATEURS
NUCLÉAIRES.
1.- La trace.
E
Soit
un
espace de
Banach
appellerons le dual Et . On
correspondance biunivoque et iso-
dont
nous
sait que - par définition - il existe une
E’) des formes bilinéaires continues
métrique entre l’espace
sur
~~
E
x
E’
et le dual de
(x~x’)
. A la forme bilinéaire canonique
E(~)~ E’
~~
correspond donc
linéaire continue
forme
une
sur
Et
E@
~r"’
.
qu’on appelle "trace"
et
définition, Tr(u)
~~
=
à 1 . De plus tout
qu’on
note
Tr. Si
u
=
03A3 (x ,y’> > . La forme
~ ~ ~ ~
u 6.E@
Et
s’écrit
sous
B~
y’03BD
"v
U
Trace est de
la forme
~-~
u
~
~~
Il
avec
donc la série
finie,
=2~
~~0
03A3 xn , y’n>
on
a, par
norme.
égale
~~.
converge
continue
absolument et l’on a~ puisque la trace est
justifier le mot "trace", rappelons qu’on peut identifier E(~)E’
à l’espace des endomorphismes de rang fini de E ,et que si E est de diPour
mension finie la forme trace coïncide
la trace usuelle des
avec
opérateurs.
Tant
application continue canonique
qu’on ne sait pas si elle est biunivoque, on peut seulement parler de la
trace d’un élément de E’
et non de la trace de l’opérateur image
Il
~
existe
une
~’
, tE~E~ .
Rappelons d’autre part qu’il existe
E @ E’
E
isomorphisme
un
S
(symétrie)
entre
défini par
et
-.-
Si
on
dans
E
à
identifie
et
C
l’espace des applications
E’ ~ ( E s ) !
à
un
de rang fini de
espace de transformations de
-2-
correspond ~
S
l’application
la trace est aussi définie
lité entre
ë(E;F’) .
F’
En
~-~F .
E03C0
Si
u
sur
B(E,F)
et
au
moyen de la trace : soit
est l’identité dans
1
Donc si
u
E(X) F
ë
envoie
F , A~1
E @
B(E,F)
F
c
dans
(A@ l)(u) ~
trace de
peut former la
on
A e
.
et l’on
effet, les
en
F
transposition des opérateurs. Grâce à S ~
E’ (~ E . On peut alors interpréter la dua-
la
a
deux membres pour A
égales
et elles sont
2.- L’application
u
pour
fixé sont des formes linéaires continues
=
x @ y ..
.(E~;F).E.F~
E’
localement
convexes.
topologie de la convergence uniforme sur les
ensembles bornés dans un espace d’applications linéaires.
Soient E ~ F deux espaces localement convexes séparés quelconques.
Aux: éléments de E’ (g)F correspondent les applications linéaires continues
L’indice . désigne
de rang fini de
pace est
E
dans
la
F. Donc
car ce
dernier
es-
l’espace des applications faiblement continues. (Cf. Exposé 8, n~ l)
PROPOSITION 1 : La topologie induite
~
(E~ F)
Et
E’ ~F
sur
par
celle de
est identique à la topologie de
définition la topologie induite sur
E~ (x)F par
F) . Or une partie équicontinue de E" est le
polaire d’un voisinage de 0 dans E’ qui est lui-même le polaire d’un ensemble borné de E donc (théorème du bipolaire) elle est l’enveloppe conLa
topologie
de
E’0 F
est par
~ ((E")~ ;
.
vexe
équilibrée
faiblement fermée d’un borné de
E. Or dans
une
"S -topolo-
peut remplacer les ensembles de (~ par leur enveloppe convexe
F) induisent la même
F) et
équilibrée fermée. Donc
gie,
on
topologie
sur
E’
COROLLAIRE :
continue ~
Si
~.(E ;
~
(~)F .
E
et
F
sont complets, il existe une application
F) oui prolonge l’identité sur
topologie 7T étant plus
existe une application canonique E’1
l’application Et
F) .
En
effet,
la
(S~F_~E~
~Lb(E03C4 ;
topologie 6. ~ il
qu’on composera avec
fine que la
àe Banach.
3,- Définition àex applications nucléaires - Gax des espaces
Désormais, le seul -produit tensoriel considéré sera le produit 03C0;ainsi
"
/~
/~
~
~
~
DÉFINITION
le
à F de (Ej F)
opérateurs nucléaires
E §F .
norme
La
ne
cas
est
où
Lf
E’ § F
dense dans
lT
norme
en
particulier
vement
est compact
L (E; F )
un
1
note
sont
quotient
espace
dite norme-trace
ou
soit pas biunivoque ma;i.s on’
ne
et
q
nucléaire est limite "uniforme" (dans
.
sera
on
Î) IlTr .
ou
général.
en
@ F étant
E’
de la
Banach
Les éléments de
..
de Fredholm. L1(E,F)
~1 ’ Î 1
connait pas de
pax le démontrer
ou
quotient
norme
nucléaire notée
On
sont des espaces de
F
et
E
,Si
sous-espace 03C6 ( E ’
dits
de
1 :
(l’image
sait
étant continue, tout opérateur
d’opérateurs de rang fini donc
E
d’une boule de
F
dans
ne
est relati-
compacte).
Si
.tiens sont
les
E
=
F
est
un
Hilbert,
opérateurs complètement
les
opérateurs nucléaires
hermi-
(03BBn)
continus dont la sui te
des
valeurs propres est sommable et
Dans le
cas
décomposition
Il y. ))
.
toutes
u=
1,
ces
généraux,
des Banach
03A 03B i x’i ~ yi , x’i~E; , ~x’i
|~
est
PROPOSITION 2 : .Soient
H E
application continue
opérateur nucléaire
On
effet le
un
u :
1 Â,J
Pour
[t Bou
o
A
us.e
est
un
~B ))
A~
o
Bou
A
diagramme commutatif
(H; G)
que définit ce diagramde la forme x’
~ y ) ..
E’
°
un
élément de
E~F
tel que
et
donc
B o u
o
A
une
1,
opérateur nucléaire.
B : F2014~G . Alors
et
@F
les 2
admet
u
précisément
dans cf
applications de E’
sont continues, et coïncident pour u.~ L
Donc, si u est nucléaire, u.. étant
(car
me
a en
et
opérateur nucléaire
Il
et la borne inférieure de
,
représentations
tout
est nucléaire.
Compte tenu de
ce
que Il
=
Il
k~~
Cas mènerai.
des opérateurs nucléaires.
4.- Définition
DÉFINITION
E
Ou dit qu’une application linéaire u : E~F , où
et F sont des espaces localement convexes séparés, est nucléaire, s’il
existe deux espaces de Banach E1 et F1 . mi opérateur nucléaire... 03B2
E. ~F1 , et deux opérateurs continus (X : E~E1 , S: F1~F tels
u
quo
=
2 .
o
/B
03B1
03B2
REMARQUE ’: Il suffit que
.
ô
étendre
Pour simplifier, on appelle disque
En remplaçant
E. par o (E) et F.
C est
une
épijection
à
isomorphe
sera
Eu 1
,
partie complétante
J3
provient
élément
que
et
Y
et
F
=
u
appartient à
un
dans E’ , i
et
~i
de
.
est défini
Eu
et
t
o
de
E’
2 que
d’un
ensemble de la forme
E.
que
B~
or
E’A’ FB1
FB1 , mais
=
o
E’
dans
0
E~, ~ où A’~ U~
u
= 03B1 03B2 03B1 provient
autre
t03B1 ~ 03B1 n’est
@F .
Il y
a
même
t (A’ (X)B)
sait
on
où
A
(exposé 5)
B
et
que
u0
sont compactes
D’ où la
F .
est nucléaire si et
u s
t
et
03B1
On peut donc supposer dans la
E’., "
étant le
dual
de E.,0
applications continues "canoniques"
E’A’ FB~Lb(EA’ ; FB)~Lb(E;F) .
Comme un élément de
sous
.,
convexes
sont des applications compactes.
Remarquons d’autre. part que
E’
seulement
sont
A’
E’
par
0(
supposer que
l
équilibrées compactes (donc complétantes).
définition
peut
~~
est
E’A’
PROPOSITION 3 ? Un opérateur
.
on
injection ; mais on sait (exposé 7)
à ~
pour v~ disque ouvert de
(t03B1~ 03B1(03B20) de E;F ;
provient
équilibré.
convexe
(0)
par
peut
car on
une
03B20
d’un élément
u0
~
tout ensemble
F. Comme le dual de
de
l’application canonique
plus :
E. normé,
soit Banach et
F~
la forme
~
on a
deux
on a une
telle
égalité
Réciproquement,
~
et si
dans
~
si
(E;F)
et
suffit qu’il soit de la forme
(y.)
est
on
renforce la topologie de
un sous-espace de
dans
F
E ,
~~.~
.L
jL
1
03A3|03BBi| + ~,(x’i)
une partie complétante.
est nucléaire
nucléaire.
nucléaire de
COROLLAIRE :
équicontinue
nucléaire, il faut et il
soit
SB.
u=
suite contenue dans
Si u
PROPOSITION 5 s
suite
une
une
PROPOSITION 4 : Pour qu’un opérateur u
suite équicontinue,
est
partie complétante de F ~
définit un opérateur nucléaire.
est contenue dans
converge dans
x’.
si
+~~~
E
dans
(prop. 2)
elle le reste quand
F
et qu’on affaiblit celle de F ; si E. est
sous-espace de F1 , u est nucléaire de E.
E
un
F..
application nucléaire de E dans F ~ et si
u(E) est contenu dans un sous-espace F2 de F , u n’est pas nécessairement nucléaire de E dans
De même si u est nulle sur un sous-espace
dans F ,
E~ de E ~ elle n’est pas nécessairement nucléaire de
Par contre si
est
u
5~- Transposée d’une
une
application
PROPOSITION 6 : Soient
nucléaire.
E
alors tu ~ L1(F’;E’) et ~tu~1
u nucléaire, u est nucléaire
Soit
u ~ L1(E;F) ,
effet
en
tion de
u
E"
dans
cas
connus, la
F"
F
=
i
tu : F’b~E’ b
En effet
0~
F , donc
propriété
une
u
E . F
ou
F’
tu
03C6((u0) , u0 ~ 0F .
~u
est
une
deux
isométrie et
E
qu’on
dans
est
~E’b
F2014~ ,
H~ 1 (on
’
e8t nucléaire de
F. Dans tous les
de réflexivité de
F.
convexes séparés ;
nucléaire, et
c~E’c .
=
(Cf. définition 2)
est continue de
a
~i
l’injec-
localement
F’
c
ce
que
i
on a
l’hypothèse
espaces
est réfle-
F
Soit
u~)) ,
=
isométrie)
sans
si
1.
u nucléaire, u
subsiste
nucléaire.
on a
et ~tu~1 = ~u~
est nucléaire de
est
est continue
compacte,
est
S
est réflexif et
COROLLAIRE : Soient
E~F
Comme
Réciproquement
E’
=
alors
nucléaire.
est
Si enfin
u :
u
dans
peut même montrer que
si
deux espaces de Banach.
!)uiL .
1
xif. et
donc
F
et
le droit de supposer.
dans
t03B2
F~
est
si
nucléaire,
Y
est
6~- Propriétés
de relèvement.
PROPOSITION
"
7 ~
Soient E . F , G trois espaces localement convexes
E :F : soit u une application nucléaire E -~G . Il existe
alors une application nucléaire v : F
plus dans
+ ~ .
le cas des Banach on peut supposer
~v~1 ~u~1
Bornons-nous
à faire la démonstration dans le
Considérons le diagramme déjà
i=
Le
trajet ~
~
est
vu
injection
un.
cas
des Banach.
(prop. 2)1
de
E
F
dans
épimorphisme métrique,
donc aussi
~~,
~âJ~
PROPOSITION 8 . Soient E . F , G trois espaces localement convexes
séparés F C. E , F fermé ; on suppose que tout dg,sga_, com act de4 est
l’image d’une partie complétante de E . Dans
ces conditions, toute appli..
cation nucléaire
tion nucléaire
Posons
H
v :
=
une
phisme
E/F . Supposons
élément
une
que
qui
peut supposer
provienne d’un élément u.
projette
sur
de
H
de
(prop. 3).
B . On
Soit
épimor-
a un
HB et il suffit de montrer que u0 s ’ obtient, à partir d’un
G’A’ EB l par projection, c’est-à-dire qu’on peut se rame-
des Banach.
Mais dans
ce cas on a
P , projection canonique
Ici
se
on
~
de
ner au cas
u
Banach
partie complétante compacte
partie complétante de E
Eg
par passade au quotient
G~E . De plus dans
est
B.
provient
u :
encore
~~
REMARQUES .
est
un
de
le
E
sur
épimormhisme,
donc
diagramme
suivant
H .
~~,
’
..
1°)
est
un
On est dans les conditions
Fréchet,
ou
si
E
est
d’application de la proposition 8 , si E
un dual d’espace de
Fréchet~ et F faiblement
-7-
f ermé.
2°) Reprenons
la
proposition 7 9 si l’on utilise la proposition 4 9 on peut
é crire u sous la forme u ~ ~ ~ . t ,
1 ~ 1 ‘°’’ z 1. et si grâce à Hahn Banach on
prolonge simultanément les ~r’ 1. en des formes ~r’ Z. équicontinues sur F 9
~-;
on peut poser
v = 03A3
03BBi y i ~ z . l 9 v prolonge u ce qui redémontre la
proposition 7 . De même pour la, proposition 8 .
,
_""",