Canope- LIlle 1ere - Académie de Lille

MATHÉMATI QU ES - P REMI ÈRE
mathématiques
première
PREMIÈRES
S, ES-L, STI2D,
STMG
Compétences
et évolution des pratiques
MARIE-CHRISTINE OBERT
FLORIAN ODOR
OLIVIER WANTIEZ
AGIR
mathématiques
première
PREMIÈRES
S, ES-L, STI2D,
STMG
Compétences
et évolution des pratiques
Michel Bachimont
Enseignant, lycée Édouard Branly à Boulogne-sur-Mer
Emmanuel Bacquet
Enseignant, lycée Édouard Branly à Boulogne-sur-Mer
Xavier Blouin
Enseignant, lycée Pierre de Coubertin à Calais
Marion Carré
Enseignante stagiaire, lycée Berthelot à Calais
Bernard Chrétien
Enseignant, lycée Giraux Sannier à Boulogne-sur-Mer
Marie-Hélène Cousyn
Enseignant, lycée Notre-Dame des Dunes à Dunkerque
Jean-Marc Duquesnoy
Enseignant, lycée André Malraux à Béthune
Vincent Joly
Enseignant, collège Frédéric Joliot-Curie à Lallaing
Catherine Lambert
Enseignant, lycée Pierre de Coubertin à Calais
Franck Lambert
Enseignant, lycée Sophie Berthelot à Calais
Didier Reghem
Enseignant, lycée Marguerite de Flandre à Gondecourt
Joël Ternoy
Enseignant, lycée Henri Darras à Liévin
Marie-Christine Obert, Florian Odor, Olivier Wantiez
IA-IPR de mathématiques, académie de Lille
AGIR
Directeur de publication
Jean-Marc Merriaux
Directrice de l’édition transmédia
et de la pédagogie
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Directeur artistique
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Coordination éditoriale
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Secrétariat d’édition
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Mise en pages
Magali Skoludek-Flori (intérieur)
Ludovic Bal (couverture)
Conception graphique
DES SIGNES studio Muchir et Desclouds
ISSN : 2425-9861
ISBN : 978-2-240-03707-7
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(établissement public à caractère administratif)
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Cette représentation ou reproduction par quelque
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articles 425 et suivants du Code pénal.
MATHÉMATIQUES PREMIÈRE
Sommaire
5
Avant-propos
7
ENJEUX DES PROGRAMMES DE MATHÉMATIQUES
9
Extraits des programmes Objectifs généraux
11
Compétences mathématiques au lycée
12
Une place centrale pour la résolution de problèmes
13
La formation des élèves
17
Accompagnement personnalisé au lycée
18
Contenus en évolution : statistique et probabilités, algorithmique
23
AIDER À PÉRENNISER LES ACQUIS :
PROGRESSIONS SPIRALÉES
25
Introduction
26
Tableau récapitulatif des différents programmes de première
27
Présentation de progressions spiralées et commentaires
(S, ES-L, STI2D, STMG)
37
ASSURER LA CONTINUITÉ DES APPRENTISSAGES
DU COLLÈGE À LA FIN DU LYCÉE :
PROGRESSIONS VERTICALES
39
Introduction
41
Statistique et probabilités de la troisième à la première
60
Situations en tâches complexes du collège à la classe de première
85
DÉVELOPPER LES COMPÉTENCES MATHÉMATIQUES
ET TRANSVERSALES AVEC LE NUMÉRIQUE
87
Introduction
91
Apprendre avec l’ENT
96
Parcours d’orientation
109
Parcours algorithmique
136
Parcours eTwinning
PARTIE 1
PARTIE 2
PARTIE 3
PARTIE 4
3
PARTIE 5
DOCUMENTS
EN LIGNE
POUR L’ENSEIGNANT
ET L’ÉLÈVE
139
ASSURER LA PROGRESSIVITÉ DES APPRENTISSAGES :
EXTRAITS DE PROGRESSIONS DÉTAILLÉES
141
Introduction
142
Fonctions polynômes de degré 2
149
Introduction aux suites numériques
163
Suites
170
Introduction de la dérivation
176
Dérivation
186
Loi binomiale
202
Introduction des nombres complexes
reseau-canope.fr/notice/mathematiques-premiere.html
MATHÉMATIQUES PREMIÈRE
Situations en tâches
complexes du collège
à la classe de première
POURQUOI ?
La démarche scientifique est au cœur des apprentissages. Elle permet à l’apprenant de se confronter à une
situation nouvelle qui nécessitera alors de se poser des questions, de formuler des hypothèses (conjectures),
d’expérimenter, de chercher, de modéliser, de raisonner et de communiquer. Autant de compétences attendues dans l’enseignement des mathématiques au lycée et qui traversent les cinq domaines du projet du
socle commun de connaissances, de compétences et de culture.
En outre cette démarche permet de donner du sens aux apprentissages et, de développer et consolider des
compétences, d’en acquérir de nouvelles en mettant les élèves face à des situations-problèmes ou en résolution de problèmes. Elle permet alors, dans le cadre des enseignements scientifiques, de favoriser la prise
d’initiative et contribuer à l’autonomie tout en donnant du sens aux notions.
Cependant fort de constater que, face à une situation nouvelle, les élèves semblent désarmés, démunis de
stratégie, ils baissent très vite les bras et se résignent en pensant ne pas posséder les compétences nécessaires. Ainsi, bien souvent, l’absence de réponse est le choix opéré par l’élève, renforcée par la crainte de
l’évaluation, bien souvent vécue comme binaire (vrai, faux). Les analyses suite aux évaluations PISA 2012 et
aux acquis du DNB ou du baccalauréat confortent cet état de fait.
Par exemple, au DNB sujet métropole juin 2014, l’item 5 (Élaborer une démarche) portait sur l’exercice 7 qui
était un problème portant sur l’isolation d’une toiture à l’aide de bottes de paille 4.
Exercice 7
Un agriculteur produit des bottes de paille parallélépipédiques (cf. Document 1, page suivante).
– Information 1 : dimensions des bottes de paille : 90 cm x 45 cm x 35 cm.
– Information 2 : le prix de la paille est de 40 € par tonne.
– Information 3 : 1 m3 de paille a une masse de 90 Kg.
1. Justifier que le prix d’une botte de paille est de 0,51 € (arrondi au centime).
2. Marc veut refaire l’isolation de la toiture d’un bâtiment avec des bottes de paille parallélépipédiques. Le bâtiment
est un prisme droit dont les dimensions sont données sur le schéma ci-après (cf. Document 2, page suivante).
Il disposera les bottes de paille sur la surface correspondant à la zone grisée, pour créer une isolation de 35 cm
d’épaisseur. Pour calculer le nombre de paille qu’il doit commander, il considère que les bottes sont disposées les
unes contre les autres. Il ne tient pas compte de l’épaisseur des planches entre lesquelles il insère les bottes.
– Combien de bottes devra-t-il commander ?
– Quel est le coût de la paille nécessaire pour isoler le toit ?
4
h
60
Michel Bourgeois, Esquisse d’une analyse de la campagne de relevés d’acquis des élèves au DNB 2014, 10 octobre 2014
ttp://mathematiques.ac-dijon.fr/spip.php?article92
ASSURER LA CONTINUITÉ DES APPRENTISSAGES DU COLLÈGEÀ LA FIN DU LYCÉE : PROGRESSIONS VERTICALES
Document 1
Document 2
Le relevé des acquis au niveau national portant sur 581 619 copies recensées sur l’item 5 donne le graphique
suivant :
Item 5
Cet item avait pour ambition de tester l’élaboration d’une démarche par les candidats, et indiquait qu’une
réponse devait être considérée comme correcte si le correcteur avait mis 2 points à la compétence C3 « Élaborer
une stratégie de résolution ».
Le barème proposait d’évaluer la compétence C3 de façon globale sur l’exercice, pour un total de 2 points.
Il indiquait que devaient être pris en compte :
– le lien entre masse et volume ou masse et prix des bottes de paille ;
– l’engagement dans le calcul de la superficie du toit (s’engager dans le calcul du petit côté JF suffisait) ;
– l’amorce d’une démarche pour calculer le nombre de bottes.
61
MATHÉMATIQUES PREMIÈRE
Le barème accordait les 2 points si deux sur trois au moins de ces éléments à prendre en compte étaient
réalisés. […]
Les 23,7 % de réponses correctes représentent de fait 42,5 % des copies ayant abordé le sujet. Ainsi il y a lieu
de penser que la compétence « Élaborer une stratégie de résolution » est moins développée et moins évaluée
que d’autres en cours d’apprentissage 5.
Donc, pour faire progresser les élèves dans ce domaine et éviter la copie blanche, il apparaît nécessaire
qu’une formation préalable soit faite aux élèves.
Les mathématiques et les sciences expérimentales mettent en œuvre une démarche :
– chercher : analyser le problème qui n’a pas de réponse immédiate, proposer des premiers éléments de
réponse, émettre des conjectures ;
– modéliser, représenter : faire des schémas, utiliser des logiciels, des algorithmes…
– calculer, raisonner : valider, ou pas les réponses proposées ;
– communiquer : présenter, à l’oral ou à l’écrit les résultats, même partiels, obtenus.
« Dans cette perspective, les connaissances ne sauraient s’opposer aux compétences, conçues comme capacités à mobiliser des ressources (savoirs, mais également savoir-faire ou savoir-être) devant une tâche ou une
situation complexe. L’élève apprend à entrer dans une démarche réflexive, à mobiliser des connaissances, à
choisir des stratégies et des procédures adaptées, pour penser, résoudre un problème, réaliser une tâche ou
un projet, dans une situation nouvelle ou inattendue. Les enseignants planifient et choisissent la façon la
plus pertinente d’y parvenir en combinant les actions qui mobilisent les élèves, et centrent leurs activités
et celles de la classe sur de véritables enjeux intellectuels, riches de sens et de progrès. Connaissances et
compétences sont donc les deux facettes complémentaires d’une authentique démarche d’apprentissage. »
Ainsi, l’approche par compétences, en situations complexes, si possible « inédites », ne doit en aucun cas se
substituer au travail d’apprentissage des automatismes simples et des procédures de base. Ces dernières
sont nécessaires puisqu’il s’agit de les mobiliser. Il faut donc ajouter des recherches en situations ouvertes
aux apprentissages « classiques ».
Dans une situation ouverte ou complexe, la mobilisation autonome de connaissances, capacités et attitudes
ne se réduit pas à la somme des performances dans les opérations simples qui la constituent, mais elle s’en
nourrit ; on parle alors de compétence.
L’acquisition d’une compétence doit répondre à une mobilisation efficace et cohérente passant nécessairement par un apprentissage.
Évaluer une compétence, c’est s’intéresser au résultat et non au détail 6.
QU’EST-CE QU’UNE SITUATION EN TÂCHE COMPLEXE ?
Une définition de la tâche complexe est proposée sur le site Éduscol : « La tâche complexe est une tâche
mobilisant des ressources internes (culture, capacités, connaissances, vécu…) et externes (aides méthodologiques, protocoles, fiches techniques, ressources documentaires…). »
Elle fait donc partie intégrante de la notion de compétence. C’est une combinaison :
– de connaissances fondamentales pour notre temps ;
– de capacités à les mettre en œuvre dans des situations variées, inédites ;
– d’attitudes indispensables tout au long de la vie, comme l’ouverture aux autres, le goût pour la recherche
de la vérité, le respect de soi et d’autrui, la curiosité, la créativité.
Confronter les élèves à des situations en tâches complexes en mathématiques permet :
– de donner du sens aux enseignements par la gestion de situations concrètes issues de la vie réelle ;
Esquisse d’une analyse de la campagne de relevés d’acquis des élèves au DNB 2014 – Michel bourgeois, 10 octobre 2014
http://mathematiques.ac-dijon.fr/spip.php?article92
6
D’après La Mise en œuvre du socle commun de connaissances et de compétences dans l’académie de Grenoble - Guide de bonnes
pratiques, académie de Grenoble, Inspection pédagogique régionale, 2012-2013. http://www.ac-grenoble.fr/socle/file/guide-bonnes-pratiquescompetences.pdf
5
62
ASSURER LA CONTINUITÉ DES APPRENTISSAGES DU COLLÈGEÀ LA FIN DU LYCÉE : PROGRESSIONS VERTICALES
–
–
–
–
de les motiver tout en leur donnant le goût des sciences ;
de développer les compétences mathématiques et la démarche d’investigation ;
de pérenniser des connaissances par des mobilisations fréquentes et régulières dans des contextes variés ;
de favoriser la prise en compte de l’hétérogénéité, en laissant le choix des procédures et de leur combinaison selon la propre démarche intellectuelle de chacun.
Les tâches proposées doivent s’ancrer sur la résolution de problèmes. Elles peuvent être issues de la vie
réelle, des mathématiques ou des autres disciplines. Elles doivent permettre à l’élève (seul ou en groupe) de
s’engager en autonomie, de débattre et d’argumenter. L’élève devient naturellement acteur de ses apprentissages notamment grâce à ce type d’activité empreinte de sens.
Elles sont plus ou moins ambitieuses :
– projet long : TPE (Travaux personnels encadrés), PEAC (Parcours d’éducation artistique et culturel), PIIODMEP
(Parcours individuel d’information, d’orientation et de découverte du monde économique et professionnel), stages, autres… L’idée d’objet d’étude proposé par le projet du socle commun conforte la nécessité
de travailler par cette pédagogie par projet ;
– projet court ou très court : pendant une séance, avec une seule question non guidée (et non plusieurs
questions successives qui conditionnent la démarche de résolution) laissant à l’élève, seul ou en petit
groupe, toute initiative.
Plusieurs types de supports peuvent s’assimiler à des situations en tâches complexes. On peut citer par
exemple :
– un support décrivant une situation, contenant des documents ressources et posant une question non
guidée ;
– une image, accompagnée ou non de texte, suggérant un débat, une problématique ;
– une simple question.
COMMENT METTRE EN ŒUVRE UNE TÂCHE COMPLEXE ?
Travailler en tâche complexe, c’est laisser l’élève « essayer avant de réussir », en acceptant le risque qu’il ne
réussisse que partiellement ou maladroitement ce qui était demandé.
« Lors de la mise en œuvre, le professeur doit :
– adopter une posture d’accompagnant ;
– ne pas attendre que les élèves aient été théoriquement équipés de tout ce dont ils ont besoin avant de
leur proposer des tâches complexes ;
– accepter les règles de base de mise en œuvre d’une tâche complexe :
1. ne pas intervenir pendant un temps initial incompressible d’au moins 10 minutes de prise de contact
avec le contexte ;
2. accepter et prendre en compte les errements et les impasses, en en conservant la trace dans des narrations ou des comptes rendus personnels, des brouillons, et ne pas réorienter systématiquement et
trop tôt ;
3. accepter que tous ne fassent pas tout. La personnalisation entraîne des différences, images de l’hétérogénéité du groupe. Certains ne termineront pas alors que d’autres auront besoin « d’aller plus loin »
(accompagnement personnalisé) ;
4. prévoir et mettre en place des aides qui laissent de l’autonomie à l’élève. Privilégier la rédaction de ces
aides en utilisant un nouveau questionnement.
– accepter de « faire un peu moins pour faire un peu mieux 7. »
D’après La Mise en œuvre du socle commun de connaissances et de compétences dans l’académie de Grenoble - Guide de bonnes
pratiques, académie de Grenoble, Inspection pédagogique régionale, 2012-2013. http://www.ac-grenoble.fr/socle/file/guide-bonnes-pratiquescompetences.pdf
7
63
MATHÉMATIQUES PREMIÈRE
COMMENT AIDER L’ÉLÈVE À S’ENGAGER DANS UNE TÂCHE COMPLEXE ?
Le projet de socle commun de connaissances, de compétences et de culture propose un domaine visant
les méthodes et outils pour apprendre. « Ce domaine permet de programmer un enseignement explicite
de l’information et de la documentation, des outils numériques, de la conduite de projets individuels et de
l’organisation des apprentissages, sans les déconnecter des disciplines 8. »
La nécessité d’une formation préalable des élèves à ce type de tâches, de la sixième à la terminale semble
nécessaire. Les données ci-dessous s’appuient sur un travail présenté dans l’ouvrage Mathématiques et Socle
commun au collège 9.
Une grille de référence est tout d’abord élaborée : elle regroupe les différentes aptitudes que l’élève doit
acquérir pour valider une compétence. Cette grille est communiquée préalablement aux élèves et leur permet d’identifier ce qui est attendu lors d’une évaluation, de développer chez eux une activité de contrôle
par rapport aux résultats obtenus et de mieux analyser leurs erreurs.
Grille de référence
Au collège, je dois acquérir un certain nombre de compétences qui me permettront de poursuivre mes études et me
seront utiles dans ma vie future.
En ce qui concerne les principaux éléments mathématiques et la culture scientifique, je dois savoir :
Restituer mes connaissances
Connaître les définitions, propriétés et théorèmes, connaître et utiliser les nombres
Savoir automatiser certaines procédures
Savoir refaire certaines démonstrations
Reconnaître des situations de référence
Mener à bien un calcul selon des modalités adaptées
M’informer, rechercher, extraire l’information utile
Observer, recenser des informations
Extraire d’un document (papier ou numérique) les informations relatives à un thème
de travail
Extraire des informations d’un fait observé
Décrire le comportement d’une grandeur
Distinguer ce qui est établi de ce qui est à prouver ou à réfuter
Réaliser, manipuler, calculer
Utiliser les fonctions de ma calculatrice scientifique, calculer, calculer mentalement,
utiliser une formule
Construire un graphique
Utiliser un tableur-grapheur, construire un tableau, un diagramme
Utiliser un logiciel de géométrie dynamique, construire une figure géométrique
D’après Le projet de socle commun de connaissances, de compétences et de culture par le Conseil supérieur des programmes.
Mathématiques et socle commun au collège : aider, évaluer, différencier, motiver, rendre autonome…, pages 88 et 89, Scérén-CRDP
Nord-Pas de Calais, coll. « Repères pour agir », 2010.
8
9
64
ASSURER LA CONTINUITÉ DES APPRENTISSAGES DU COLLÈGEÀ LA FIN DU LYCÉE : PROGRESSIONS VERTICALES
Raisonner
Questionner, identifier un problème, formuler une conjecture ou une hypothèse :
– saisir quand une situation se prête à un traitement scientifique
– formuler une hypothèse, une conjecture
Participer à la conception, à la mise en œuvre d’un algorithme, d’une procédure,
d’un programme :
– proposer une méthode, un calcul, un outil adapté ; faire des essais
– mettre en œuvre un raisonnement, une méthode, un théorème, une formule, une
technique
Contrôler, exploiter les résultats :
– confronter le résultat au résultat attendu, valider ou invalider la conjecture,
l’hypothèse
Communiquer, présenter la démarche
Présenter une observation, une situation, un résultat, une solution sous une forme
appropriée :
– exprimer un résultat, une solution, une conclusion par une phrase correcte
(expression, vocabulaire, sens)
– proposer une représentation adaptée (schéma, graphique, tableau, figure…)
– exprimer le résultat d’une mesure, d’un calcul (unité, précision…)
Exprimer à l’écrit ou à l’oral des étapes d’une démarche de résolution :
– présenter et expliquer l’enchaînement des idées (logique, rigueur, précision du
vocabulaire)
Les élèves vont plus particulièrement être évalués sur leur attitude : analyser une situation, conjecturer,
communiquer des résultats, les valider ou invalider. Ils pourront aussi exercer leur aptitude à s’informer,
d’abord en décrivant une situation ouvrant vers un problème, puis lors de l’utilisation de logiciels inconnus.
Les élèves vont au départ suivre le canevas ci-dessous 10, il décrit le déroulement d’une démarche expérimentale, puis progressivement dès la deuxième séance, certains s’en détacheront.
La démarche expérimentale en mathématiques
Mener une démarche expérimentale est une compétence complexe qui ne peut être acquise du premier coup, elle se
construit petit à petit par de nombreuses mises en situation.
Attention, la démarche expérimentale permet de mieux cerner les questions, nous conduit à des interrogations afin
de mieux formuler des conjectures.
ÉTAPES
QUELQUES PISTES POUR
VOUS AIDER…
Étape 1
Le Constat
Décrivez ce que vous avez
vu.
Indiquez les informations que
vous avez recueillies.
COMPÉTENCES
M’informer,
rechercher,
extraire
l’information utile
D’après Mathématiques et socle commun au collège : aider, évaluer, différencier, motiver, rendre autonome…, page 86, CRDP Nord-Pas
de Calais, coll. « Repères pour agir », 2010
10
65
MATHÉMATIQUES PREMIÈRE
Étape 2
Les problèmes
Comment peut-on
représenter cette situation ?
Comment peut-on trouver… ?
Communiquer,
présenter la
démarche
Comment peut-on montrer
que… ?
Comment peut-on
calculer… ?
Étape 3
les Conjectures
Une conjecture est une
solution possible, une
supposition raisonnable.
Raisonner
Pour résoudre un problème,
il faut élaborer une ou
plusieurs conjectures.
Étape 4
L’expérimentation
Vous pouvez utiliser la
calculatrice, construire
un graphique, utiliser un
tableur-grapheur, utiliser un
logiciel de géométrie, utiliser
un autre logiciel.
Raisonner
Réaliser
Vous pouvez tracer des
figures, utiliser votre matériel
de géométrie, faire des
découpages…
Vous pouvez proposer une
méthode, un calcul adapté.
Vous pouvez reconnaître un
théorème, une propriété,
appliquer une formule.
Étape 5
Les résultats
et la conclusion
Écrivez une phrase dans
laquelle vous présentez
vos résultats et expliquez
l’enchaînement de vos idées.
Raisonner
Communiquer
Vous concluez : Le
résultat obtenu lors de
l’expérimentation confirmet-il la conjecture ?
Le résultat de
l’expérimentation vous
semble-t-il cohérent ?
Étape 6
La démonstration
66
Vous allez mettre en œuvre
un raisonnement : avec
votre professeur vous allez
effectuer une démonstration
qui va permettre de valider
ou d’invalider tes résultats.
Raisonner
ASSURER LA CONTINUITÉ DES APPRENTISSAGES DU COLLÈGEÀ LA FIN DU LYCÉE : PROGRESSIONS VERTICALES
EXEMPLE DE DÉMARCHE EXPÉRIMENTALE
L’objectif de l’enseignant est d’introduire la notion de fonction (en classe de troisième).
Au départ, les élèves repèrent et communiquent les différentes informations utiles et leur articulation. C’est
la phase d’appropriation. Ensuite, les élèves sont amenés à mettre en évidence le problème, par l’intermédiaire d’un questionnement : « Comment peut-on expliquer… ? Comment peut-on calculer ? etc. »
La phase de conjecture permet de faire jaillir leur propre conception. Quelles idées et quelles explications
peuvent-ils donner à ce problème ?
TRAVAUX D’ÉLÈVES
Étape 1
Le Constat
La femme a bu une coupe de champagne et
deux verres de vin rouge. L’homme a bu un
whisky et deux verres de vin rouge. Ils sont
dans un restaurant.
M’informer, rechercher,
extraire l’information
utile
Étape 1
Le Constat
Deux personnes au restaurant autour d’une
table, ils vont manger.
M’informer, rechercher,
extraire l’information
utile
La femme : elle a bu une coupe de
champagne et deux verres de vin rouge.
L’homme : il a bu un whisky et deux verres
de vin rouge.
Pour conduire un véhicule, il faut un taux
d’alcool inférieur à 0,5 g/L.
De nombreux élèves sont allés trop vite pour cette première étape. Ils ont oublié des informations utiles, et
comme dans certains exercices, nous devons insister sur l’importance de prendre et traiter l’information.
Pour activer la recherche des connaissances en mémoire, il est nécessaire de stocker les informations, de
les classer et de mobiliser celles qui seront utiles.
67
MATHÉMATIQUES PREMIÈRE
Étape 2
Les problèmes
Comment savoir si l’homme
ou la femme peuvent
conduire ? Comment peut-on
trouver leur taux d’alcool ?
Communiquer, présenter
la démarche
C’est l’identification de la nature du problème qui va permettre à l’élève de trouver une méthode ou d’activer
les connaissances qui lui permettront de reconnaître une situation de référence.
La démarche illustrée dans l’ouvrage Mathématiques et socle commun 11 est reprise ici au niveau lycée par la
création d’un outil plus personnalisé.
OUTIL POUR UNE DÉMARCHE D’INVESTIGATION AU LYCÉE
La formation mathématique au lycée général et technologique vise le développement de compétences transversales (autonomie, prise d’initiative, adaptabilité, créativité, rigueur…) et de compétences spécifiques aux
mathématiques, explicitées ci-dessous.
Compétences
Au collège, je dois acquérir un certain nombre de compétences qui me permettront de poursuivre mes études et me
seront utiles dans ma vie future.
En ce qui concerne les principaux éléments mathématiques et la culture scientifique, je dois savoir :
Chercher
Analyser un problème.
Extraire, organiser et traiter l’information utile.
Observer, s’engager dans une démarche, expérimenter en utilisant éventuellement
des outils logiciels, chercher des exemples ou des contre-exemples, simplifier ou
particulariser une situation, reformuler un problème, émettre une conjecture.
Valider, corriger une démarche, ou en adopter une nouvelle.
Modéliser
Traduire en langage mathématique une situation réelle (à l’aide d’équations,
de suites, de fonctions, de configurations géométriques, de graphes, de lois de
probabilité, d’outils statistiques…).
Utiliser, comprendre, élaborer une simulation numérique ou géométrique prenant
appui sur la modélisation et utilisant un logiciel.
Valider ou invalider un modèle.
Représenter
Choisir un cadre (numérique, algébrique, géométrique…) adapté pour traiter un
problème ou pour représenter un objet mathématique.
Passer d’un mode de représentation à un autre. Changer de registre.
11
Mathématiques et socle commun au collège : aider, évaluer, différencier, motiver, rendre autonome…, CRDP Nord-Pas de Calais, coll.
« Repères pour agir », 2010
68
ASSURER LA CONTINUITÉ DES APPRENTISSAGES DU COLLÈGEÀ LA FIN DU LYCÉE : PROGRESSIONS VERTICALES
Calculer
Effectuer un calcul automatisable à la main ou à l’aide d’un instrument (calculatrice,
logiciel). Mettre en œuvre des algorithmes simples.
Exercer l’intelligence du calcul : organiser les différentes étapes d’un calcul
complexe, choisir des transformations, effectuer des simplifications.
Contrôler les calculs (au moyen d’ordres de grandeur, de considérations de signe ou
d’encadrement).
Raisonner
Utiliser les notions de la logique élémentaire (conditions nécessaires ou suffisantes,
équivalences, connecteurs) pour bâtir un raisonnement.
Différencier le statut des énoncés mis en jeu : définition, propriété, théorème
démontré, théorème admis…
Utiliser différents types de raisonnement (par analyse et synthèse, par équivalence,
par disjonction de cas, par l’absurde, par contraposée, par récurrence…).
Effectuer des inférences (inductives, déductives) pour obtenir de nouveaux résultats,
conduire une démonstration, confirmer ou infirmer une conjecture, prendre une
décision.
Communiquer
Opérer la conversion entre le langage naturel et le langage symbolique formel.
Développer une argumentation mathématique correcte à l’écrit ou à l’oral.
Critiquer une démarche ou un résultat. S’exprimer avec clarté et précision à l’oral et
à l’écrit.
Une situation en tâche complexe est donnée ainsi qu’un support à compléter pour aider l’élève à résoudre
un problème.
EXEMPLE DE FICHE ATTENDUE
La démarche expérimentale en mathématiques
Mener une démarche expérimentale est une compétence complexe qui a déjà été mobilisée lors de votre scolarité au
collège. Son apprentissage se poursuit au lycée.
Il s’agit pour vous de passer d’une situation contextualisée à une mathématisation pour une résolution utilisant des
outils et des résultats acquis en cours.
Il s’agit enfin de présenter des résultats dans le contexte de la situation de départ.
ÉTAPES
QUELQUES PISTES POUR VOUS
AIDER…
Étape 1
Le Constat
Que vous inspire le document
fourni ?
COMPÉTENCES
Chercher
Quelles informations sont
données par l’énoncé ?
Quelles informations sont
induites par l’énoncé ?
69
MATHÉMATIQUES PREMIÈRE
Étape 2
Les problèmes
Comment peut-on trouver… ?
Comment peut-on montrer
que… ?
Communiquer,
présenter la
démarche
Comment peut-on calculer… ?
Comment peut-on représenter
cette situation ?
Étape 3
les Conjectures
Élaborez une ou plusieurs
conjectures.
Raisonner
Étape 4
L’expérimentation
Pouvez-vous, en utilisant la
calculatrice, un logiciel de
calcul, un tableur grapheur,
un logiciel de géométrie
choisir un raisonnement, une
représentation du problème ?
Représenter
Reconnaissez-vous une situation
déjà rencontrée, un modèle
connu ?
Étape 5
Les résultats
et la conclusion
Écrivez un paragraphe
dans lequel vous présentez
vos résultats et expliquez
l’enchaînement de vos idées.
Modéliser
Raisonner
Le résultat obtenu lors des
raisonnements confirme-t-il la
conjecture ?
Étape 6
La conclusion
et la présentation
de la
démonstration
70
Il faut maintenant valider ou
invalider les conjectures émises
à l’aide de raisonnements et
présenter votre conclusion.
Raisonner
Communiquer
ASSURER LA CONTINUITÉ DES APPRENTISSAGES DU COLLÈGEÀ LA FIN DU LYCÉE : PROGRESSIONS VERTICALES
Au lycée, on continue à entraîner les élèves à la narration de recherches pour qu’ils élaborent à partir de la
grille précédente une fiche guide décrivant la démarche d’investigation.
Par confrontation on peut aboutir à un canevas pour la classe. Ce canevas peut être utilisé par la suite pour
une auto-évaluation.
EXEMPLES DE SITUATIONS DU COLLÈGE AU LYCÉE
LA TORNADE - CLASSE DE QUATRIÈME
situation-problème
TORNADE À BAILLEUL (NORD) LE 20 OCTOBRE 2013
Une tornade d’intensité modérée (EF2) a traversé la moitié est de la commune de Bailleul (Nord) le 20 octobre 2013,
vers 19 h 15. Le phénomène, ressenti par de nombreux témoins, a frappé plusieurs fermes, une zone d’activités et
quelques habitations, avant de se dissiper au-delà de la frontière belge.
En particulier cette tornade a traversé la parcelle n° 68 du hameau du Steentje en diagonale.
Estimer le temps mis par la tornade pour traverser la parcelle n° 68 de Steentje.
Si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans
l’évaluation des connaissances et compétences.
Document 1–Extrait d’un article de presse
Les études préliminaires estiment que la tornade était d’intensité EF2 avec des vents compris entre 120 km/h et 180
km/h selon l’échelle de Fujita. […]
Toutefois, il faut noter que sa vitesse de déplacement peut être très variable et peut atteindre 100 km/h. Les
dommages s’étendront alors sur des zones plus ou moins larges, en fonction de la vitesse et de la taille de la
tornade.
Source : http://www.maxisciences.com/tornade/une-tornade-provoque-des-degats-majeurs-dans-le-nord-de-la-france_
art31124.html
Document 2-Extrait du cadastre
parcelle n°68 du Steentje
Source : http//www.cadastre.gouv.fr
71
MATHÉMATIQUES PREMIÈRE
SORTIES AU FAST-FOOD - CLASSE DE SECONDE
Document 1
Les lipides devraient représenter 25 % à 30 % de l’apport calorique total sur une journée.
Il faut donc que 25 % à 30 % des calories consommées chaque jour le soient sous forme de graisses. Le reste étant
apporté par les protéines et les glucides.
Pour une personne qui consomme 2 500 Kcal/jour, il faut donc 750 Kcal apportés par les lipides. Sachant que 1 gr de
lipides = 9 Kcal, il faut consommer environ 83 gr de graisses par jour : (2 500 Kcal * 30 %) / 9 Kcal = 83 gr de lipides.
Document 2
Les apports énergétiques d’un adolescent devraient être :
– pour une fille = 2 490 Kcal/jour
– pour un garçon = 3 070 Kcal/jour.
Nicolas mange deux doubles hamburgers et une grande portion de frites. En fin d’après-midi, après une sortie au
cinéma avec ses amis, il effectue un nouveau passage au fast-food où cette fois il consomme un double hamburger
et deux grandes portions de frites.
Le comportement alimentaire de Nicolas ce jour-là correspond-il aux recommandations courantes ?
Sa maman lui dit : « Aujourd’hui tu as avalé l’équivalent en lipides de 25 cuillères à café d’huile. »
Qu’en pensez-vous ?
ESSENCE OU DIESEL 12 - CLASSE DE SECONDE
Le support est court, décrivant une situation ouverte et posant une question non guidée.
Situation-problème
Quelle voiture choisir ?
12
72
D’après Essence ou Diesel ? En seconde bac Pro, Matthieu Avrillaul – groupe TraAM Maths et TUIC de l’académie de Nantes, mai 2012.
ASSURER LA CONTINUITÉ DES APPRENTISSAGES DU COLLÈGEÀ LA FIN DU LYCÉE : PROGRESSIONS VERTICALES
Il s’agit de proposer une tâche non guidée dans l’esprit de celle proposée page 66. Ce sont les élèves qui font
émerger les questions de kilométrage et de rythme de changement de véhicule.
DIAGNOSTIC ET IMAGERIE MÉDICALE - CLASSE DE PREMIÈRE S
Des situations en tâche complexe sont intégrées dans les fiches découvertes métiers de l’Onisep. A été
choisie la fiche « Sage-femme 13. »
L’idée est de travailler sur le parcours de l’élève (PIIOMED) et donner du sens aux fonctions polynômes de
degré 2.
Sage-femme
Mathématiques - SVT - 1re
Découverte du métier
En utilisant un navigateur de votre choix et à partir de l’Onisep ou d’autres site, répondez aux questions suivantes :
http://www.onisep.fr/Ressources/Univers-Metier/Metiers/sage-femme
1. Lister les qualités nécessaires pour exercer ce métier.
2. Indiquer les études à suivre pour exercer ce métier ?
3. Où s’exerce ce métier ?
Témoignage d’un professionnel
LA PROFESSION DE SAGE-FEMME LIBÉRALE (KARINE, SAGE-FEMME DANS LE NORD)
La sage-femme est une personne formée pour prendre soin des femmes, c’est la raison pour laquelle même si c’est
un homme qui exerce ce métier il s’appelle également « sage-femme ».
La sage-femme exerce une profession médicale. Elle est spécialiste de la physiologie dans la prise en charge des
femmes, futures mamans, jeunes mamans et nouveau-nés.
Elle accompagne le couple dans son projet d’avoir un enfant, durant la grossesse, l’accouchement et ses suites tout
en assurant le suivi médical. Lorsqu’une pathologie survient, elle oriente vers le médecin et collabore à la prise en
charge de cette pathologie.
« En tant que sage-femme libérale, je travaille dans un cabinet médical et à domicile. J’assure le suivi de la
grossesse lors des consultations prénatales, la préparation à la naissance, le suivi à domicile des grossesses
pathologiques, le suivi de la mère et de l’enfant dès la sortie de maternité, la rééducation périnéale des femmes quel
que soit leur âge (si elles ont déjà des enfants) et le suivi gynécologique de prévention. »
Certaines sages-femmes libérales accompagnent également les parents en réalisant l’accouchement à la maternité
ou à domicile.
La grossesse et l’accouchement sont des événements qui doivent rester naturels. La sage-femme accompagne
les parents dans ce moment si bouleversant qu’est l’arrivée d’un enfant. Elle écoute, soutient, rassure et donne
confiance tout en vérifiant que les choses se déroulent sans soucis.
Lorsqu’elle ne travaille pas en libéral, la sage-femme exerce sa profession dans différents services de maternité
(pour consultations prénatales, préparation à l’accouchement, hospitalisation des grossesses pathologiques,
urgences maternité, salle de naissance, suites de naissance, conseils concernant l’allaitement…) ou dans un centre
de protection maternelle et infantile (PMI).
FORMATION INITIALE
5 années d’études sont nécessaires pour devenir sage-femme : 1 an à l’université puis 4 ans dans l’une des 38 écoles
de sages-femmes agréées par les régions. La formation débute par la PACES (première année commune aux études
de santé) accessible après le bac. Elle se termine par un concours au nombre de places restreint (20 % d’admis).
En 2e et 3e années de maïeutique : anatomie, physiologie, obstétrique et pédiatrie. S’y ajoutent des langues vivantes,
de la sociologie, de la psychologie, de l’éthique, du droit et une initiation à la recherche... Un tiers de la formation est
consacré aux stages. En fin de 3e année, obtention du diplôme de formation générale en sciences maïeutiques, de
niveau licence.
13
Document Onisep/ministère de l’Éducation nationale/académie de Lille.
73
MATHÉMATIQUES PREMIÈRE
Les 4e et 5e années sont davantage axées sur l’étude des pathologies et des grossesses à risques. Des stages en
maternité ou en pédiatrie sont prévus, assortis d’un stage pré-professionnalisant de fin d’études de 6 mois. Les
étudiants doivent également soutenir leur mémoire pour obtenir le DE (diplôme d’état) de sage-femme.
Le diplôme d’état de sage-femme est de niveau bac + 5.
FORMATIONS COMPLÉMENTAIRES
– Sage-femme cadre pour devenir surveillante de service de maternité ou enseignante auprès des étudiants
sages-femmes
– Diplôme universitaire en échographie obstétricale
– Diplôme universitaire en gynécologie
– Diplôme universitaire en acupuncture
– Diplôme universitaire en homéopathie
– Diplôme universitaire en lactation humaine et allaitement maternel…
– Obligation de formations complémentaires tout au long de la carrière : Développement professionnel continu (DPC)
Chaque fiche métier s’accompagne d’une rubrique, « À vous de jouer », qui propose une situation liée au
métier présenté.
Voici la deuxième situation présente également dans la fiche « Radiologue ». Il s’agit de diagnostiquer un
éventuel risque de malformation sur un fœtus.
Séance 1
Situation problème
Vous recevez deux patientes et vous devez émettre un diagnostic obligatoire pour chacune d’elles
afin de déterminer s’il n’y a pas de grossesse à risque ni d’anomalie.
Patiente 1
Patiente 2
74
ASSURER LA CONTINUITÉ DES APPRENTISSAGES DU COLLÈGEÀ LA FIN DU LYCÉE : PROGRESSIONS VERTICALES
Document 1
La longueur crânio-caudale (LCC) correspond à la distance située entre le sommet du pôle céphalique de
l’embryon et les fesses. Cette distance est mesurée par l’échographie. Elle permet d’estimer l’avancée de
la grossesse entre 7 et 13 semaines d’aménorrhée. C’est la mesure de référence pour l’estimation de l’âge
gestationnel (AG).
Document 2: équations OF Robinson
Robinson calibrated CRLs from 334 mesures of natural pregnancies with know and significant last
menstruations :
CRL=7,295 – 0,6444 GA + 0,0144GA2
Crown-Rump Length (CRL)= Longueur Cranio-Caudale (LCC)
gestational age (GA) = âge gestationnel (AG) exprimé en jours
Document 3
Arrêté du 23 juin 2009 fixant les règles de bonnes pratiques en matière de dépistage et de diagnostic prénatals
avec utilisation des marqueurs sériques maternels de la trisomie 21 :
http://www.legifrance.gouv.fr/affichTexte.do?cidTexte=JORFTEXT000020814373
Pour prolonger la séance 1
Situation-problème
Vous devez rédiger un article pour une revue médicale. En voici le plan :
– rappeler la méthode d’estimation de l’âge gestationnel en fonction de la longueur cranio-caudale mesurée
à l’échographie ;
– présenter une formule permettant, en utilisant les équations de Verwoerd-Dikkeboom, de retrouver l’âge
gestationnel après mesure à l’échographie de la longueur cranio-caudale (vous pourrez vous aider d’un
logiciel de calcul formel si vous le souhaitez) ;
– comparer la pertinence des deux méthodes de calcul ;
– préciser l’intervalle de temps pendant lequel cette méthode est plus pertinente que celle issue des équations
de Robinson.
Proposer cet article en vous aidant des documents ressources.
75
MATHÉMATIQUES PREMIÈRE
Document 1
Une femme, en début de grossesse, se présente au cabinet de radiologie pour sa première échographie. Vous
devez dater avec le plus de précision possible le début de grossesse de cette future maman.
Au premier trimestre de grossesse, il est possible de mesurer de nombreux paramètres qui sont fortement
corrélés à l’âge gestationnel (AG). À cet âge de grossesse, il semble que l’échographie soit remarquablement
performante, avec des intervalles de prédiction à 95 % d’environ plus ou moins cinq jours pour la longueur
cranio-caudale (LCC), ce qui traduit une variabilité aléatoire remarquablement faible.
Au premier trimestre, la précision est meilleure qu’au deuxième et la formule de Robinson est la plus simple et
la plus largement utilisée. Elle permet en routine clinique d’estimer simplement l’âge gestationnel en jours à
partir de la LCC par l’équation suivante :
AG = 8, 052 LCC + 23, 73 (F1)
Source : http://www.em-consulte.com/en/article/675232
Document 2
Le tableau, dont vous avez un extrait ci-dessous compare l’âge recalculé à l’aide de la formule de l’équation
de Robinson (cf. document 1) et affiche l’erreur relative commise.
Document 3-équation de Verwoerd-Dikkeboom
Verwoerd-Dikkeboom et al. use 3D mesurements from 6 to 14 weeks GA in 32 pregnancies to calibrate an equation of
te CRL.
CRL = 9, 0963 - 0, 751165GA + 0, 015508GA 2
Séance 2
Situation-problème
Dans un premier temps, une femme en début de grossesse se présente au cabinet de radiologie pour sa première
échographie. Vous devez dater avec le plus de précision possible le début de grossesse de cette future maman.
Dans un second temps vous lisez sur un site spécialisé qu’au premier trimestre de grossesse, il est possible
de mesurer de nombreux paramètres qui sont fortement corrélés à l’âge gestationnel (AG). C’est le cas du diamètre
ou du volume du sac gestationnel ou de la vésicule vitelline. Ces paramètres restent en pratique peu utilisés.
Plusieurs études ont évalué la biométrie du premier trimestre pour déterminer l’âge gestationnel.
À cet âge de grossesse, il semble que l’échographie soit remarquablement performante, avec des intervalles
de prédiction à 95 % d’environ plus ou moins cinq jours pour la longueur cranio-caudale (LCC), ce qui traduit
une variabilité aléatoire remarquablement faible. Au premier trimestre, la précision est meilleure qu’au deuxième
et la formule de Robinson est la plus simple et la plus largement utilisée. Elle permet en routine clinique d’estimer
simplement l’âge gestationnel en jours à partir de la LCC par l’équation suivante :
AG = 8, 052 LCC + 23, 73
Critiquer par la méthode de votre choix (tableur, calcul formel…) cette formule qui permettrait de dater de façon
plus rapide la date de début de grossesse d’une patiente.
Source : http://www.em-consulte.com/en/article/675232
76
ASSURER LA CONTINUITÉ DES APPRENTISSAGES DU COLLÈGEÀ LA FIN DU LYCÉE : PROGRESSIONS VERTICALES
Document 1 : Équations de datation
de début de grossesse
Traduction :
Crown-Rump Length (CRL) = Longueur Cranio-Caudale (LCC)
Gestational age (GA) = âge gestationnel (AG), exprimé en jours
Ces deux problèmes ont été proposés à des élèves de première S qui ont travaillé en deux groupes dont voici
les productions.
Travaux d’élèves
Dans la situation 1, on cherche à émettre un diagnostic pour chacune des patientes afin de déterminer s’il
n’y a pas de grossesse à risque ni d’anomalie.
Réponse d’élève - Situation 1
Pour répondre à la question on va prendre chacune des patientes à part et calculer le nombre de semaines
de grossesse.
Si le nombre de semaines est compris entre 11 et 13 on pourra déterminer en fonction d’un intervalle, ici
de 45 mm à 84 mm, si le fœtus possède une longueur cranio-caudale normale.
77
MATHÉMATIQUES PREMIÈRE
PATIENTE 1
PATIENTE 2
59.85=7.295-0.6444GA+0.0144GA²
0=7.295-59.85-0.644GA+0.0144GA²
61.8= 7.295-0.6444AG + 0.0144AG²
0=-52.555-0.644GA+0.0144GA²
0=7.295-0.6444AG + 0.0144AG²-61.8
0= 0.0144AG²-0.6444AG-54.505
Delta =(-0.644)²-4ac
Delta =
(-0.64444)²- 4*0.0144*(-54.505)
=3.441904
DONC S≈-42.06 et S2≈86.78
Delta=3.554790914
→ S2≈12.397 semaines
DONC S1≈-43.09 et S2≈87.84
→ S2≈ 12.428 semaines
On a premièrement utilisé la formule du document 2 : CRL = 7,295 – 0,6444 GA + 0,014GA2, où CRL correspond
à la longueur cranio-caudale et GA à l’âge gestationnel.
Connaissant la valeur de CRL, on a transformé l’égalité pour obtenir une équation de la forme de ax 2 + bx + c = 0
.
S
S
De là on a déterminé delta puis les solutions. La positive est le nombre de jours de grossesse puis on l’a
divisé par 7 pour obtenir le nombre de semaines d’aménorrhée.
Ensuite on a regardé si le nombre obtenu appartenait à l’intervalle décrit dans le document (11 et 13
semaines). Et on remarque que c’est le cas, donc on peut voir si la longueur cranio-caudale appartient bien
à l’intervalle décrit aussi dans le document (de 45 à 84 mm). Pour les deux, la longueur est comprise dans
l’intervalle, ce qui prouve que les deux fœtus ne possèdent aucune anomalie et que ce ne sont pas des
grossesses à risques.
78
ASSURER LA CONTINUITÉ DES APPRENTISSAGES DU COLLÈGEÀ LA FIN DU LYCÉE : PROGRESSIONS VERTICALES
Dans la situation 2, on rédige un article sur les différentes méthodes d’estimation de l’âge gestationnel. On
sait, d’après le document, que les mesures de la clarté nucale et de la longueur cranio-caudale sont effectuées
préalablement au dosage biochimique, sauf en cas de conclusion d’une convention mentionnée à l’article 7
du présent arrêté. La fenêtre dans laquelle ces mesures doivent être effectuées se situe entre 11 semaines
d’aménorrhée (SA) + 0 jour et 13 SA + 6 jours (soit de 45 mm à 84 mm de longueur cranio-caudale).
Réponse d’élève - Situation 2
On rédige un article sur les différentes méthodes d’estimation de l’âge gestationnel
On peut estimer l’âge d’un fœtus en utilisant la longueur crânio-caudale, qui correspond à la longueur
entre le sommet du crâne et les fesses de l’embryon. Cette distance est calculée à l’échographie entre 7 et
13 semaines. De plus, au premier trimestre, l’estimation est meilleure qu’au deuxième.
Grâce au logiciel de calcul formel Xcas, nous trouvons la formule suivante : X = 8, 03 y + 24, 22 qui nous
permet de déterminer l’AG recalculé.
La première commande correspond à l’expression de l’AG(x) en fonction de la LCC(y).
Dans un deuxième temps, considérant que 3,206...*10^(-6) est négligeable, nous déterminons une formule
approchée de x :
Ligne 2 : calcul de sqrt(0,015508)
Ligne 3 : calcule de -64,48...* le résultat retrouvé à la ligne précédente.
Ligne 4 : calcul de la partie constante 64,48...*0,37.
Nous obtenons ainsi la formule approchée AG b 8,03LCC + 24,22 utilisée dans le tableau.
Nous obtenons ensuite le document Excel suivant qui nous permet de comparer les deux méthodes de calcul.
79
MATHÉMATIQUES PREMIÈRE
On remarque que la méthode de Robinson contient plus d’erreurs que celle de Dikkeboom. En effet, à partir
de AG = 120, il n’y a plus d’erreur (% erreur = 0), alors que chez Robinson, la marge d’erreur est égale à 0
seulement dans l’intervalle [65 ; 95].
Nous pouvons préciser que la marge d’erreur est égale à 0, et donc que la méthode d’estimation de Dikkeboom
est plus précise dans l’intervalle [120 ;+∞[.
SITUATION INSPIRÉE DU SUJET DU BAC STI2D, JUIN 2014
Document 1
L’échelle de Fujita est une échelle servant à classer les tornades par ordre de gravité, en fonction des dégâts qu’elles
occasionnent. Une partie de cette échelle est présentée dans le tableau ci-dessous.
Catégorie
Vitesse des vents en km.h
Dégâts occasionnés
F0
60 à 120
Dégâts légers : dégâts sur cheminées, arbres,
fenêtres…
F1
120 à 180
Dégâts modérés : automobiles renversées,
arbres déracinées…
F2
180 à 250
Dégâts importants : toits arrachés, hangars et
dépendances démolis…
F3
250 à 330
Dégâts considérables : murs extérieurs et
toits projetés, maisons et bâtiments de métal
effondrés, forêts abattues…
F4
330 à 420
Dégâts dévastateurs : murs effondrés, objets
en acier ou en béton projetés comme des
missiles…
420 à 510
Dégâts incroyables : maison rasées ou
projetées sur de grandes distances, murs
extérieurs et toits arrachés sur de gros
bâtiments…
F5
Document 2
À partir des mesures relevées lors d’observations de phénomènes semblables, des météorologues ont admis la règle
suivante : « La vitesse des vents dans les tornades diminue régulièrement de 10 % toutes les 5 minutes. »
On appelle « durée de vie » d’une tornade le temps nécessaire, depuis sa formation, pour que la vitesse des vents
devienne inférieure à 120 km.h-1.
Document 3
Une tornade a balayé le sud-est des États-Unis. Lors de la formation de cette tornade, on a mesuré la vitesse des
vents par un radar météorologique et on a trouvé une vitesse initiale de 420 km.h-1.
Situation-problème
Vous êtes journaliste scientifique et vous devez écrire un article sur la tornade qui a balayé le sud des États-Unis.
Présenter les caractéristiques de cet épisode climatique, sa place sur l’échelle de Fujita et la durée de vie de cette
tornade.
80
ASSURER LA CONTINUITÉ DES APPRENTISSAGES DU COLLÈGEÀ LA FIN DU LYCÉE : PROGRESSIONS VERTICALES
Travaux d’élèves
Plusieurs méthodes ont été proposées par les élèves.
Salomé présente un algorithme qu’elle a programmé sur sa machine.
Il semble intéressant de le traduire en langage algorithmique.
La classe propose :
Entrées
V : vitesse du vent
E : nombre d’étapes
T : temps
Affectations
V ! 420
E!0
T!0
Traitement
Tant que V 2 120
V ! V - ^10/100 * V h
T ! T+5
E ! E+1
Fin de tant que
Sorties
Afficher V
Afficher T
Afficher E
Angèle propose d’utiliser le tableur.
La formule est la même.
Enfin Sébastien propose d’utiliser la calculatrice en mode récurrence.
5
81
MATHÉMATIQUES PREMIÈRE
Après un débat entre les élèves de la classe et sur proposition du professeur, on procède à une réécriture de
la formule : Vn + 1 = Vn -
10
10 k
a
100 Vn en Vn + 1 = 1 - 100 Vn = 0, 9Vn
Le débat fait ressurgir la notion de suite géométrique.
La conclusion de l’activité est l’écriture de Vn = 0,9n x 420.
82