Feuille 2

GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE ET ESPACES DE MODULES FEUILLE D’EXERCICES 2
ANDREAS HÖRING
L’objet principal du deuxième TD sera de traiter les exercices 1 à 4 (l’exercice 4
est dur, mais cette construction est fondamentale). L’exercice 5 ne sera pas corrigé
en TD, vous trouvez la réference pour la solution à la fin1.
Morphismes entre fibrés vectoriels
1.) Soit X un schéma algébrique défini sur un corps k algébriquement clos. Soient
M et N des fibrés vectoriels sur X et soit α : M → N un morphisme de OX modules. Montrer que pour tout entier s, le lieu
Xs := {x ∈ X | rg α ≤ s}
est un sous-schéma fermé de X. En déduire que
Xs0 := {x ∈ X | rg α = s}
est un sous-schéma localement fermé de X.
Indication : localement, le morphisme α est donné par une matrice à coefficents
dans OX .
Fibrés vectoriels sur les courbes
2.) Soit C une courbe projective, connexe, lisse définie sur un corps k algébriquement clos. Soit V un fibré vectoriel sur CV de rang r. On définit le degré de V
comme le degré du fibré en droites det V := r V .
(a) Montrer qu’on peut écrire V comme une extension
0→L→V →Q→0
où L est un fibré en droites et Q un fibré vectoriel de rang r − 1.
(b) (Lemme de Grothendieck) Supposons maintenant que C ≃ P1 . Montrer qu’on
peut écrire V comme somme de fibrés en droites, c’est-à-dire
V ≃ ⊕ri=1 OP1 (ai )
où ai ∈ Z. Cette décompositon est unique à permutation près.
Indication : montrer qu’on peut se ramener au cas où H 0 (P1 , V ) 6= 0 et
0 1
H (P , V (−1)) = 0. Puis on procède par récurrence sur le rang r, le cas r = 1
étant connu.
Remarque : cet énoncé est faux pour les courbes de genre au moins un (cf.
exercice 5 pour un exemple).
Date: 21 janvier 2008.
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Si vous avez des questions, contactez [email protected].
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Fibrés vectoriels en dimension supérieure
3.) Suite exacte d’Euler
Soit Pn := Pn (k) l’espace projectif de dimension n sur k un corps algébriquement
clos et notons ΩPn son fibré cotangent. Alors on a une suite exacte
0 → ΩPn → OPn (−1)⊕n+1 → OPn → 0.
De façon équivalente, le fibré tangent de Pn peut être écrit comme
0 → OPn → OPn (1)⊕n+1 → TPn → 0.
4.) La construction de Serre
La situation locale
Dans cette première partie, on travaille sur un anneau commutatif noethérien
local A. On rappelle que la dimension homologique dh(M ) d’un A-module M est
la longueur minimale d’une résolution par des modules libres.
(a) Soit M un A-module tel que dh(M ) ≤ 1. Si Ext1 (M, A) = 0, alors M est
libre.
(b) Soit M un A-module tel que dh(M ) ≤ 1 et soit ζ ∈ Ext(M, A). Soit Eζ
l’extension de M par A correspondant à ζ. Alors Eζ est libre si et seulement si ζ
engendre le A-module Ext1 (M, A).
(c) Soit I un A-module tel que dh(I) ≤ 1 et I est de rang un. Alors I peut être
engendré par deux éléments si et seulement si le A-module Ext1 (I, A) est monogène.
(d) Soit I un idéal dans A tel que dh(I) ≤ 1 et I peut être engendré par deux
éléments. Supposons qu’il existe un élément ζ de Ext1 (I, A) qui n’est pas nul. Alors
l’extension correspondante est un A-module libre.
La situation globale
Soit X une variété projective lisse définie sur un corps k algébriquement clos. Soit
Y un sous-schéma de X de codimension deux. Rappelons que le faisceau dualisant
[Har77, III,7] de Y est donné par la formule
ωY = Ext2 (OY , ωX ).
Supposons que Y est localement intersection complète, c’est-à-dire le faisceau
d’idéaux peut être localement engendré par deux éléments. Supposons en plus qu’il
existe un fibré en droites L tel que
h1 (X, L∗ ) = h2 (X, L∗ ) = 0
et un isomorphisme
φ : L ⊗ ωX ⊗ OY → ωY .
Montrer qu’il existe un fibré vectoriel E de rang deux tel qu’on a une suite exacte
0 → L∗ → E → IY → 0.
Indication : utiliser la suite exacte 0 → IY → OX → OY → 0 pour obtenir une
identification de Ext1 (IY , L∗ ) avec Hom(L ⊗ ωX ⊗ OY , ωY ). Appliquer la première
partie pour montrer que E est localement libre.
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La classification d’Atiyah
5.) Soit C une courbe projective, connexe, lisse de genre 1 définie sur un corps
k algébriquement clos. Soit V un fibré vectoriel sur C de rang 2. Supposons que V
n’est pas une somme de fibrés en droites.
Supposons d’abord que V s’écrit comme extension
0 → OC → V → L → 0
0
∗
et que H (C, V ⊗ Q ) = 0 pour tout fibré en droites Q de degré strictement positif.
(i) Montrer que 0 ≤ deg L ≤ 2.
(ii) Supposons que deg L = 0. Montrer que L ≃ OC .
(iii) Supposons que deg L = 1. On sait que C × Z ≃ Pic(C), donc L ≃ OC (p)
avec p un point dans C. Montrer que si
0 → OC → V ′ → OC (p′ ) → 0
est une extension non-triviale avec p′ 6= p un point dans C, alors il existe un fibré
en droites D de degré zéro tel que
V ′ ≃ V ⊗ D.
(iv) Montrer que le cas deg L = 2 est exclu.
Application. Déduire une classification des fibrés vectoriels de rang 2 sur C.
Pour la correction de cet exercice, cf. [Har77, V, Ch. 2]. L’article d’Atiyah [Ati57]
est également très intéressant.
Références
[Ati57] M. F. Atiyah. Vector bundles over an elliptic curve. Proc. London Math. Soc. (3), 7 :414–
452, 1957.
[Har77] Robin Hartshorne. Algebraic geometry. Springer-Verlag, New York, 1977. Graduate Texts
in Mathematics, No. 52.
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