Feuille 2

G´ EOM´ ETRIE ALG´ EBRIQUE ET ESPACES DE MODULES -
FEUILLE D’EXERCICES 2
ANDREAS H ¨ ORING
L’objet principal du deuxi`eme TD sera de traiter les exercices 1 `a 4 (l’exercice 4
est dur, mais cette construction est fondamentale). L’exercice 5 ne sera pas corrig´e
en TD, vous trouvez la r´eference pour la solution `a la fin1.
Morphismes entre fibr´es vectoriels
1.) Soit Xun sch´ema alg´ebrique d´efini sur un corps kalg´ebriquement clos. Soient
Met Ndes fibr´es vectoriels sur Xet soit α:M→Nun morphisme de OX-
modules. Montrer que pour tout entier s, le lieu
Xs:= {x∈X|rg α≤s}
est un sous-sch´ema ferm´e de X. En d´eduire que
X0
s:= {x∈X|rg α=s}
est un sous-sch´ema localement ferm´e de X.
Indication : localement, le morphisme αest donn´e par une matrice `a coefficents
dans OX.
Fibr´es vectoriels sur les courbes
2.) Soit Cune courbe projective, connexe, lisse d´efinie sur un corps kalg´ebri-
quement clos. Soit Vun fibr´e vectoriel sur Cde rang r. On d´efinit le degr´e de V
comme le degr´e du fibr´e en droites det V:= VrV.
(a) Montrer qu’on peut ´ecrire Vcomme une extension
0→L→V→Q→0
o`u Lest un fibr´e en droites et Qun fibr´e vectoriel de rang r−1.
(b) (Lemme de Grothendieck) Supposons maintenant que C≃P1. Montrer qu’on
peut ´ecrire Vcomme somme de fibr´es en droites, c’est-`a-dire
V≃ ⊕r
i=1OP1(ai)
o`u ai∈Z. Cette d´ecompositon est unique `a permutation pr`es.
Indication : montrer qu’on peut se ramener au cas o`u H0(P1, V )6= 0 et
H0(P1, V (−1)) = 0. Puis on proc`ede par r´ecurrence sur le rang r, le cas r= 1
´etant connu.
Remarque : cet ´enonc´e est faux pour les courbes de genre au moins un (cf.
exercice 5 pour un exemple).
Date: 21 janvier 2008.
1Si vous avez des questions, contactez ho[email protected].
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Fibr´es vectoriels en dimension sup´erieure
3.) Suite exacte d’Euler
Soit Pn:= Pn(k) l’espace projectif de dimension nsur kun corps alg´ebriquement
clos et notons ΩPnson fibr´e cotangent. Alors on a une suite exacte
0→ΩPn→ OPn(−1)⊕n+1 → OPn→0.
De fa¸con ´equivalente, le fibr´e tangent de Pnpeut ˆetre ´ecrit comme
0→ OPn→ OPn(1)⊕n+1 →TPn→0.
4.) La construction de Serre
La situation locale
Dans cette premi`ere partie, on travaille sur un anneau commutatif noeth´erien
local A. On rappelle que la dimension homologique dh(M) d’un A-module Mest
la longueur minimale d’une r´esolution par des modules libres.
(a) Soit Mun A-module tel que dh(M)≤1. Si Ext1(M, A) = 0, alors Mest
libre.
(b) Soit Mun A-module tel que dh(M)≤1 et soit ζ∈Ext(M, A). Soit Eζ
l’extension de Mpar Acorrespondant `a ζ. Alors Eζest libre si et seulement si ζ
engendre le A-module Ext1(M, A).
(c) Soit Iun A-module tel que dh(I)≤1 et Iest de rang un. Alors Ipeut ˆetre
engendr´e par deux ´el´ements si et seulement si le A-module Ext1(I, A) est monog`ene.
(d) Soit Iun id´eal dans Atel que dh(I)≤1 et Ipeut ˆetre engendr´e par deux
´el´ements. Supposons qu’il existe un ´el´ement ζde Ext1(I, A) qui n’est pas nul. Alors
l’extension correspondante est un A-module libre.
La situation globale
Soit Xune vari´et´e projective lisse d´efinie sur un corps kalg´ebriquement clos. Soit
Yun sous-sch´ema de Xde codimension deux. Rappelons que le faisceau dualisant
[Har77, III,7] de Yest donn´e par la formule
ωY=Ext2(OY, ωX).
Supposons que Yest localement intersection compl`ete, c’est-`a-dire le faisceau
d’id´eaux peut ˆetre localement engendr´e par deux ´el´ements. Supposons en plus qu’il
existe un fibr´e en droites Ltel que
h1(X, L∗) = h2(X, L∗) = 0
et un isomorphisme
φ:L⊗ωX⊗ OY→ωY.
Montrer qu’il existe un fibr´e vectoriel Ede rang deux tel qu’on a une suite exacte
0→L∗→E→ IY→0.
Indication : utiliser la suite exacte 0 → IY→ OX→ OY→0 pour obtenir une
identification de Ext1(IY, L∗) avec Hom(L⊗ωX⊗ OY, ωY). Appliquer la premi`ere
partie pour montrer que Eest localement libre.
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La classification d’Atiyah
5.) Soit Cune courbe projective, connexe, lisse de genre 1 d´efinie sur un corps
kalg´ebriquement clos. Soit Vun fibr´e vectoriel sur Cde rang 2. Supposons que V
n’est pas une somme de fibr´es en droites.
Supposons d’abord que Vs’´ecrit comme extension
0→ OC→V→L→0
et que H0(C, V ⊗Q∗) = 0 pour tout fibr´e en droites Qde degr´e strictement positif.
(i) Montrer que 0 ≤deg L≤2.
(ii) Supposons que deg L= 0. Montrer que L≃ OC.
(iii) Supposons que deg L= 1. On sait que C×Z≃Pic(C), donc L≃ OC(p)
avec pun point dans C. Montrer que si
0→ OC→V′→ OC(p′)→0
est une extension non-triviale avec p′6=pun point dans C, alors il existe un fibr´e
en droites Dde degr´e z´ero tel que
V′≃V⊗D.
(iv) Montrer que le cas deg L= 2 est exclu.
Application. D´eduire une classification des fibr´es vectoriels de rang 2 sur C.
Pour la correction de cet exercice, cf. [Har77, V, Ch. 2]. L’article d’Atiyah [Ati57]
est ´egalement tr`es int´eressant.
R´ ef´ erences
[Ati57] M. F. Atiyah. Vector bundles over an elliptic curve. Proc. London Math. Soc. (3), 7 :414–
452, 1957.
[Har77] Robin Hartshorne. Algebraic geometry. Springer-Verlag, New York, 1977. Graduate Texts
in Mathematics, No. 52.
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