triangles - MathsReibel

Chapitre 06 :
TRIANGLES
I) Triangle quelconque : Constructibilité et propriétés.
A, B et M sont 3 points distincts du plan.
1) Propriété : Inégalité triangulaire :
Dans un triangle, chaque côté est toujours plus petit que la somme des deux autres.
Exemple :
BC < BA + AC
BA < BC + CA
AC < AB + BC
2) Propriété : Conséquence :
Pour qu’un triangle soit constructible, il faut que la longueur de son plus grand côté soit
inférieure à la somme des longueurs de ses deux autres côtés.
Exemple :
1. Le triangle ABC tel que AB = 8 cm, BC = 5 cm et AC = 6 cm est il constructible ?
D’après l’énoncé :
Son plus grand côté est [AB].
AB = 8 cm et AC + BC = 5 + 6 = 11 cm.
On a donc AB < AC + BC.
D’après le cours :
8 cm
5 cm
8 cm
Un triangle est constructible si la longueur de son plus grand côté est inférieure à la
somme des longueurs de ses deux autres côtés.
Conclusion :
Le triangle ABC est constructible.
2, Le triangle MNP tel que MN = 4 cm, MP = 9 cm, et NP = 3 cm est-il constructible ?
3) Propriété :
Si C est un point du segment [AB] alors AC + CB = AB.
4) Propriété Réciproque :
Si l’égalité AC + CB = AB est vérifiée, alors C est sur le segment [AB].
Exemple :
1. Le triangle EFG tel que EF = 4 cm, FG = 6 cm et EF = 10 cm est aplati.
En effet, EG = 10 cm et EF + FG = 4 + 6 = 10 cm, donc EG = EF + FG.
4 cm
6 cm
10 cm
II) Triangle quelconque : Constructions :
Construction de type 1.
Construire un triangle dont on
connaît les longueurs des 3 côtés du
triangle.
Construction de type 2.
Construire un triangle dont on
connaît un angle et les deux côtés
qui le forment.
Exemple :
ABC est un triangle tel que :
è AB = 2cm
è AC = 3cm
è BC = 4cm
Exemple :
DEF est un triangle tel que :
è DE = 3cm
è DF = 4cm
è 
EDF = 30°
1. On trace un coté (à la règle). En
général, on choisit le plus long. On
nomme ses extrémités.
1. On trace un coté (à la règle). En
général, on choisit le plus long. On
nomme ses extrémités.
2. On reporte (au compas) les
longueurs des deux autres côtés à
partir de la bonne extrémité.
2. On construit (avec le
rapporteur) l’angle qu’on connaît à
partir du bon sommet.
3. On reporte la longueur du
second côté connu à partir de la
bonne extrémité (ici, le point D).
Construction de type 3.
Construire un triangle dont on
connaît 2 angles et un côté.
Exemple :
IJK est un triangle tel que :
è IJ = 4cm
è 
IJK = 60°
è 
JIK = 45°
1. On trace LE coté connu.
2. On construit (avec le rapporteur)
les deux angle qu’on connaît à partir
du bon sommet.
3. On prolonge les côtés des deux
angles pour obtenir le 3ème sommet
du triangle.
3. Les deux arcs se coupent : C’est
le 3ème sommet du triangle. On le
nomme puis on trace les côtés.
Attention :
La somme des deux côtés les plus
courts doit toujours être supérieure
au côté le plus long.
Sinon, les deux arcs de cercle
(Étape 2.) ne se coupent pas et le
triangle est impossible à construire.
Dans l’exemple, pas de problème :
2+3>4
3 bis. Si jamais on connaissait le
côté EF et non pas le côté DE, on
reporterait la distance à partir du
point F.
4. On trace les 2 côtés manquants.
Variante : Dans le cas où parmi les
deux angles connus, il y a celui dont
on ne connaît pas le sommet (ici,
l’angle 
IKJ ), on utilise la propriété
de la somme des angles d’un triangle
pour retrouver le troisième angle :
Exemple :
IJK est un triangle tel que :
è IJ = 4cm
è 
IJK = 60°
è 
IKJ = 75°
Donc:

KIJ = 180 – 60 – 75 = 45°
Et on se ramène à l’exemple de la
construction.