Révisions pour le DNB

Révisions pour le DNB - 2
Correction 1
E
F
G
O
2. [EF ]est un diamètre du cercle et Gest un point du cer-
cle.
Si un triangle a pour sommets les extrémités d’un di-
amètre et un point du cercle alors ce triangle est rectan-
gle en ce point.
Ainsi, le triangle EF G est rectangle en G.
3. Dans le triangle EF G, on a la relation trigonométrique
suivante :
tan
’
GEF =GF
EF
Par application numérique :
tan(26o) = F G
7
On en déduit :
F G = 7×tan(26o)
F G '3,4cm
4. L’angle
’
F EG est un angle inscrit au cercle, alors que
l’angle
’
F OG est l’angle au centre du cercle interceptant
le même angle. On obtient donc la relation suivante :
’
F OG = 2×
’
F EG
’
F OG = 2×26
’
F OG = 52o
Correction 2
Cétant le pied de la hauteur issue du sommet S, on en déduit
que le triangle HSC est un triangle rectangle en C.
Dans le triangle HSC rectangle en C, on a la relation
trigonométrique :
tan
’
CHS =CS
HC
tan 15 = CS
511
CS = 511×tan 15
CS '136 m
Correction 3
Notons Mle point d’intersection du cercle Cavec le segment
[DA].
35o
AB
C
D
I
C
M
35o
L’angle
÷
BM C est une angle inscrit et intercepte l’arc
˜
BC.
L’angle
’
BIC mesure 35oet il est inscrit dans le cercle C
interceptant l’arc
˜
BC.
On en déduit l’égalité suivante :
’
BIC =
÷
BM C = 35o
Ainsi, le point recherché est 35o.
Correction 4
1. a. Le triangle CIM est rectangle en I; ainsi, il est in-
scrit dans le cercle de diamètre [CM ].
Le triangle CJM est rectangle en J; ainsi, il est inscrit
dans le cercle de diamètre [CM ].
Soit C0le cercle de diamètre [CM ]; d’après les remar-
ques précédentes, on a :
I∈C0;J∈C0
b. L’angle
’
IJ M est un angle inscrit au cercle C0intercep-
tant
˜
IM ; l’angle
’
ICM est un angle inscrit interceptant
l’arc
˜
IM .
Deux angles inscrits, interceptant le même arc, ont la
même mesure :
’
IJ M =
’
ICM
c. Les angles
’
ICM et
’
MCJ sont deux angles adjacents
et ils forment un angle plat :
’
ICM +
÷
MCA =
‘
ICA
’
ICM +
÷
MCA = 180
÷
MCA = 180 −
’
ICM
D’après la question b. , on a :
÷
MCA = 180 −
’
ICM
÷
MCA = 180 −
’
IJ M
2. a. Le triangle MJB est un triangle rectangle en J: il
est inscrit dans le cercle de diamètre [MB].
Le triangle MKB est un triangle rectangle en K: il
est inscrit dans le cercle de diamètre [MB].
Notons C00 le cercle de diamètre [MB],ona:
M∈C00 ;J∈C00 ;K∈C00 ;B∈C00
b. Voici la représentation de ces quatre points et du cercle
C00 :
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B
J
K
M
En utilisant la propriété des angles inscrits intercep-
tant le même arc, on a les égalités suivantes :
÷
JKM =
’
JBM ;
’
KBJ =
÷
KM J
La somme de la mesure des angles dans un triangle
valant 180o, on en déduit l’égalité :
÷
KJM +
÷
JMK +
÷
MKJ = 180o
D’après les égalités précédentes :
÷
KJM +
’
JBK +
’
JBM = 180o
Les angles
’
JBK et
’
JBM sont adjacents :
÷
KJM +
÷
KBM = 180o
÷
KBM = 180o−
÷
KJM
÷
ABM = 180o−
÷
KJM
3. Les deux expressions de l’angle
÷
ABM donnent l’égalité :
180 −
÷
MJK = 180 −
÷
ACM
−
÷
MJK =−
÷
ACM
÷
MJK =
÷
ACM
D’après l’égalité de la question 1. c. :
÷
MJK = 180o−
’
IJ M
÷
MJK +
’
IJ M = 180o
Les angles
’
IJ M et
÷
MJK sont adjacents :
‘
IJ K = 180o
L’angle
‘
IJ K est un angle plat ; on en déduit que les
points I,Jet Ksont alignés.
Correction 5
1. Les arêtes de ces cubes ont tous pour mesure 6cm. La
hauteur du prime droit a pour mesure 3cm.
Voici une représentation de la face arrière de ce solide :
2. Chacun de ce cube a pour volume :
Vc= 63= 216 cm3
Le prisme droit a pour base un triangle rectangle isocèle
dont l’aire est :
AB=6×6
2= 18 cm3
Ainsi, son volume a pour valeur :
VP=AB×h= 18×3 = 54 cm3
Ce solide étant composé de six cubes et d’un prisme droit,
on en déduit que son volume a pour valeur :
V= 6×Vc+VP= 6×216 + 54 = 1350 cm3
3. a. Les arêtes [AB]et [BC]de ce prisme sont également
les arêtes du cube se trouvant sous le prisme. On en
déduit :
AB =BC ;(AB)⊥(BC).
On en déduit que la base ABC est un triangle isocèle
rectangle en B.
b. Le triangle ABC est rectangle en B.
D’après le théorème de Pythagore, on a l’égalité :
AC2=AB2+BC2
AC2= 42+ 42
AC2= 16 + 16
AC2= 32
AC =√32
AC =√16×2
AC = 4√2
c. Etant un prisme droit, la face ACF D est un rectangle
de dimension :
AC = 4√2cm ;AD = 3 cm
Son aire a pour valeur :
A=AC×AD = 4√2×3 = 12√2'16,97 mm2
Correction 6
1. le plan de section est parallèle à l’axe du cylindre. On en
déduit que le quadrilatère IJ KL est un rectangle.
2. a. Les points Ket Lappartenant au cercle formant la
base supérieure du cylindre, on en déduit que les seg-
ments [O0K]et [O0L]sont de même mesure : le triangle
O0KL est un triangle isocèle en O0.
b. Le triangle O0KL est isocèle en O0. En notant hle pied
de la hauteur issue du sommet principal O0, la hauteur
(O0H)est également la médiane, la médiatrice et la
bissectrice de ce triangle issue de O0. On en déduit les
deux mesures :
÷
LO0H= 35o;HL =1
2×KL
Dans le triangle O0HL rectangle en H, on a le rapport
trigonométrique suivant :
sin
÷
LO0H=HL
O0L
sin(35) = HL
4
HL = 4×sin(35)
HL '2,3cm
On en déduit la mesure approchée du segment [KL]:
KL = 2×HL '4,6cm
3. Le quadrilatère IJ KL est un rectangle et son aire a pour
mesure :
A=IJ ×IL '6×4,6'27,6cm2
Correction 7
Le fichier n’existe pas
Correction 8
1. Une boule de rayon 5ma un volume arrondi au mêtre
près :
V=4×π×R3
3=4×π×53 3=4×π×53 3=500 3×π'524 m3
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2. a. L’aquarium est une sphère et le sol est représenté
par un plan. L’intersection d’un plan et d’une sphère
forme un cercle.
b. On remarque les valeurs suivantes :
RO2= 52= 25
OH2+HR2= 32+ 42= 9 + 16 = 25
On remarque l’égalité : RO2=OH2+HR2
Le triangle OHR vérifie l’égalité de Pythagore, on en
déduit que le triangle OHR est rectangle en H.
3. a. Les segment [OT ]et [OR]sont deux rayons de la
sphère. On en déduit l’égalité :
OT =OR = 5 cm
Ainsi, la hauteur HT a pour valeur :
HT =HO +OT = 3 + 5 = 8 m
b. Ainsi, le volume de la calotte sphérique est obtenu par :
V=π×h2
3×(15 −h) = π×82 3×(15 −8) = π×64 3×7
=448
3×π'469,1445 m3'469 144,5dm3
'469 145 dm3
c. En notant xle nombre d’heures de fonctionnement et
sachant que les pompes délivrent un débit constant,
on obtient le tableau de proportionnalité suivant :
Nombre de litres 14 000 469 000
Durée 2x
D’après le produit en croix, on obtient l’égalité :
2×469 000 = x×14 000
x=2×469 000
14 000
x= 67
Les pompes doivent fonctionner pendant 67 hpour
remplir cet aquarium.
Correction 9
Le fichier n’existe pas
Correction 10
1. a. Le plan de section est parallèle à la base rectangu-
laire de la pyramide : on en déduit que la section de la
pyramide par ce plan est un carré.
On en déduit que le quadrilatère EF GH est un carré.
b. Dans le triangle OAB, le point Eest le milieu du côté
[OA]et la droite (EF )est parallèle à la droite (AB).
D’après la réciproque du théorème des milieux : si une
droite passe par le milieu d’un côté et si elle paral-
lèle à un côté alors cette droite passe par le milieu du
troisième côté.
Fest le milieu du segment [OB].
c. On dit que la pyramide EF GHO est une réduction de
coefficient 1
2de la pyramide ABCDO.
2. a. Dans le triangle OAB, le segment [EF ]relie les mi-
lieux des deux côtés : [OA]et [OB].
D’après le théorème des milieux : si, dans un triangle,
un segment relie les milieux de deux côtés alors ce seg-
ment mesure la moitié du troisième côté.
On en déduit la longueur du segment [EF ]:
EF =1
2×3 = 3 2
b. Le carré ABCD a pour aire :
A=AB2= 32= 9 cm2
Le carré EF GH a pour aire :
A0=3
22
=9
4cm2
c. On a le quotient suivant :
A0
A=
9
4
9=9 4×1 9=1 4=1 22
3. a. La pyramide ABCDO a pour aire :
V=1
3×A×OI =1 3×9×4 = 12 cm3
La pyramide EF GHO a pour aire :
V0=1
3×A0×OI0=1 3×9 4×2 = 3 2
b. On a le quotient suivant :
V0
V=
3
2
12 =3 2×1 12 =1 8=1 23
Correction 11
1. Voici le tableau complété :
Nombre de buts 4 5 6 7 8 9 10
Nombre de joueurs 7 8 7 1 1 1 3
Effectif cumulé croissant 7 15 22 23 24 25 28
2. La médiane doit partager cette série statistique en deux
parties de même effectif : sa valeur se situe entre la valeur
du caractère de la 14ième personne et de la 15ième per-
sonne.
La ligne des effectifs cumulés croissantes permet
d’obtenir la valeur de la médiane : M= 5.
3. Le partage de cette série à l’aide des quartiles et de la
médiane donne le schéma ci-dessous :
1e14e15e28e
1e7e8e14e15e21e22e28e
M
Q1Q3
N= 28
A l’aide de la ligne des effectifs cumulés croissants, on a :
Q1= 4,5;M= 5 ;Q3= 6
Correction 12
1. Afin de construire le diagramme en bâtons, construisons
le tableau des effectifs asocié à chacune de ces séries
statistiques :
Notes 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 20
Effectif
chez
Madame A
123221012001131
Effectif
chez
Madame A
000143323121000
On a le diagramme en batôns suivant :
http://chingatome.net

Madame A Monsieur B
2
4
3 5 6 7 8 9 101112131415161820
2. Voici les moyennes de ces deux classes :
Pour la classe de Madame A :
3+5+5+6+6+6+7+7+8+8+9+11
+12+12+15+16+18+18+18+20
20 =210 20 =10,5
Pour la classe de Monsieur B :
7+8+8+8+8+9+9+9+10+10+10+11
+11+12+12+12+13+14+14+15
20 =210 20 =10,5
3. Voici les deux séries de notes ordonnées :
Pour Madame A:
3;5;5;6;6;6;7;7;8;8
9;11 ;12 ;12 ;15 ;16 ;18 ;18 ;18 ;20
On en déduit que la médiane de cette série vaut 8,5.
Pour Monsieur B:
7;8;8;8;8;9;9;9;10 ;10
10 ;11 ;11 ;12 ;12 ;12 ;13 ;14 ;14 ;15
On en déduit que la médiane de cette série vaut 10.
4. Ces deux classes ont la même moyenne de 10,5. La classe
de Madame A a une médiane de 8,5: la moitié de sa
classe a une note inférieure à 8,5. Beaucoup plus d’élèves
sont en grandes difficultés dans cette classe.
On remarque que l’étendue de la classe de Monsieur B
est inférieur à celle de Madame A : sa classe est plus
homogène.
Correction 13
Le fichier n’existe pas
Correction 14
Le fichier n’existe pas
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