Chapitre 3 Théorèmes Fondamentaux

Chapitre 3
Théorèmes Fondamentaux
3.1 Théorème de Baire et ses conséquences
Théorème 3.1.1 (Théorème de Baire (1874-1932))
Si (E,d)est un espace métrique complet (6=;), alors l’intersection de
toute famille dénombrable de sous-ensembles ouverts et denses dans Eest
dense dans E.
(Autrement dit, si (Vn)nest une suite d’ensembles ouverts denses dans E,
alors \nVnest dense dans E).
Remarque 3.1.2 Le Théorème de Baire affirme que l’intersection des Vnest
dense. Cette intersection n’est pas nécessairement ouverte. Comme le montre
l’exemple suivant :
Exemple. Soit l’espace métrique complet R,|.|.
Puisque Qest dénombrable, Q={rn;n0}.
Soit Vn=R\{rn}.AlorsVnest ouvert et dense dans R.ParleThéorèmede
Baire
\n0Vn=\n0(R\{rn})=R\Q,
est bien dense dans R.MaisR\Q,n’estniouvertnifermé.
Un énoncé équivalent du Théorème de Baire
Théorème 3.1.3 Si (E,d)est un espace métrique complet (6=;), alors la
réunion de toute famille dénombrable de sous-ensembles fermés de E,d’in-
terieur vide est d’interieur vide.
(Autrement dit, si (An)nest une suite d’ensembles fermés tel que pour tout
n, ˚ An=;,alors 
˙
[nAn=;).
31

32 CHAPITRE 3. THÉORÈMES FONDAMENTAUX
Remarque 3.1.4 (1) Souvent le Théorème de Baire est utilisé sous la forme
suivante :
Soit (E,d)est un espace métrique complet (6=;). Soit (En)n1une
suite d’ensembles de fermés de Etel que E=[nEn,alorsilexiste
n01tel que ˚ En06=;.
(2) Sans l’hypothèse dénombrable, le Théorème de Baire peut être faux.
Exemple. Soit l’espace métrique complet (R,|.|).AlorsR=[x2R{x},or{x}
est fermé d’intérieur vide par contre Rn’est pas d’intérieur vide.
Remarque 3.1.5 (1) La conclusion du Théorème de Baire est appelée la
propriété de Baire.Unespacetopologiquequiadmetcettepropriétéestdit
espace de Baire (ou espace de second catégorie).
Exercice 3.1 Soit (E,d)est un espace métrique complet (6=;). Montrer
que :
(1) Tout fermé de Eest un espace de Baire.
(2) Tout ouvert de Eest un espace de Baire.
Applications : Le Théorème de Baire est un outil très important en Ana-
lyse. Voici quelques exemples spectaculaires d’applications de ce Théorème.
Exercice 3.2 Soit f:R!Rune fonction de classe C1vérifiant :
8x2R,9n2N,f
(n)=0.
Montrer que fest un polynôme.
Exercice 3.3 Soit ⇤([0,1]) = {f2C([0,1]); fest nulle part dérivable sur[0,1]}.
Montrer que ⇤([0,1]) est dense dans C([0,1]),k.k1.
Exercice 3.4 Soit (fn)nune suite de fonctions continues d’un intervalle
ouvert Idans R.Supposonsqu’elleconvergesimplementversf.
(1) Montrer que fest continue sur un ensemble dense dans I.
(2) En déduire que si une fonction est dérivable alors sa dérivée est continue
sur un ensemble dense.
Exercice 3.5 (I) Soit Eun espace de Banach. Montrer que
Eadmet une base algèbrique dénombrable si et seulement si dimE < 1.
(II) En déduire que R[X](ou C[X])l’espacedespolynômessurRou Cn’est
pas Banach pour aucune norme.

3.1. THÉORÈME DE BAIRE ET SES CONSÉQUENCES 33
Exercice 3.6 Soit E=`1(N)l’espace de Banach des suites x=(xn)n⇢C
bornées . Esera muni de la norme k.k1.
Soit T:E!Cune application linéaire vérifiant :
8x=(xn)n2E, 9n2Ntel que Tx =xn.
(1) Montrer que Test continue et calculer sa norme.
(2) Pour n2Nposons En={x2E;Tx =xn}.MontrerqueEnest un
sous-espace fermé de E.
(3) Montrer qu’il existe n02Ntel que Tx =xn0,8x2E.
Sur les fonctions discontinues
Donnons d’abord quelques définitions :
•Soit Eun espace topologique et Aun sous-ensemble de E.
(1) On dira que Aest un ensemble Fde Esi il est réunion dénombrable
de fermés de E.
(2) On dira que Aest un ensemble Gde Esi il est intersection dénombrable
d’ouverts de E.
Remarque 3.1.6 (1) Aest un ensemble Fsi et seulement si Acest un
ensemble G.
De même
(2) Aest un ensemble Gsi et seulement si Acest un ensemble F
•Soit Eun espace topologique et f:E!R.Soitx2Eet Vxl’ensemble
des voisinage de x.Onappellel’oscillation de fen xla quantité suivante
wf(x)= inf
V2Vx(sup
y,z2V|f(y)f(z)|)2R+[{+1}.
Alors
(1) fest continue en xsi et seulement si wf(x)=0.
(2) fest discontinue en xsi et seulement si wf(x)>0.
Remarque 3.1.7 Dans le cas où Eest un espace métrique, alors :
wf(x)=inf
✏>0(sup
y,z2B(x,✏)|f(y)f(z)|).
Pour une fonction f:E!R,notonsparD(f)l’ensemble des points de
discontinuités de f.
Si Dn(f)={x2E;wf(x)1
n,n1},alors
D(f)= [
n1Dn(f).

34 CHAPITRE 3. THÉORÈMES FONDAMENTAUX
Enfin notons par C(f)=D(f)c,l’ensembledespointsdecontinuitésdef.
On a le Théorème suivant :
Théorème 3.1.8 Soit Eun espace topologique et f:E!R.Alors
(1) D(f)est un ensemble F.
(2) C(f)est un ensemble G.
Preuve : Puisque D(f)=Sn1Dn(f),ilsuffitdemontrerquepourchaque
n1,Dn(f)est fermé. Soit x/2D
n(f),alorswf(x)<1
n.Pardéfinition
wf(x),ilexisteV2V
xtel que supy,z2V|f(y)f(z)|<1
n.Alors
8u2V, wf(u)sup
y,z2V|f(y)f(z)|<1
n.
D’où, V⇢D
n(f)cet donc x2
¸
Dn(f)c.Puisquexest arbitraire dans Dn(f)c,
on a montré que Dn(f)cest un ouvert. et donc Dn(f)est un fermé. (2)
s’obtient par passage au complémentaire.
Exercice 3.7 (1) Montrer que l’ensemble des nombres irrationnels n’est pas
un ensemble Fde R.
(On pourra utiliser le Théorème de Baire).
(2) En déduire qu’il n’existe pas de fonction f:R!Rtel que D(f)=R\Q.
Solution (1) Supposons au contraire que R\Q=Sn1Anavec Anfermé.
Alors
R=(R\Q)[Q=([
n1
An)[([
r2Q{r}).
Puisque Rest un espace métrique complet, par le Théorème de Baire, il
existe n0,˚ An06=;(on remarquera que 
¯
{r}=;). D’où, il existe un intervalle
ouvert ]a, b[⇢An0⇢R\Q. Contradiction, puisque par la densité de Qdans
R,]a, b[\Q6=;.
(2) est une conséquence du Théorème 2.1.6 et la question précédente.
Exercice 3.8 Montrer que Qn’est pas un ensemble Gde R.
•Exemples de fonctions discontinues :
(1) Soit f=Q:R!Rla fonction caractéristique de Qi.e.
f(x)=®1six2Q
0six/2Q.

3.2. APPLICATIONS LINÉAIRES CONTINUES 35
Alors D(f)=R(autrement dit fn’a pas de points de continuités).
De même pour la fonction caractéristique de f=R\Q=1Q.
(2) Soit f:]0,+1[!Rla fonction définie par
f(x)=(0six2R\Q
1
qsi x=p q2Qavec la fraction p qest irréductible.
Alors fest continue sur R\Qet discontinue sur Q;
i.e. D(f)=Qet C(f)=R\Q.
(3) Soit f:R!Rla fonction définie par
f(x)=®xsi x2Q
0six/2Q
Alors fest continue en 0et discontinue sur R⇤;
i.e. D(f)=R⇤et C(f)={0}.
3.2 Applications linéaires continues
Soit E,k.kEet F, k.kFdeux espaces normés et T:E!Fune application
linéaire.
Définition 3.2.1 Une application linéaire T:E!Fest dite bornée si il
existe ↵>0tel que
kTxkF↵kxkE.
Remarque 3.2.2 Attention d’habitude, dans le cadre des fonctions, le terme
"borné" traduit, pour une fonction fàvaleursréeloucomplexe,|f(x)|↵.
Mais dans le cadre des applications linéaires, on a kTxkF↵,8x2E
si et seulement si T=0.Eneffet,puisqueT(x)=T(x),onapourtout
6=0,kTxkF↵
||.
Théorème 3.2.3 Soit (E,k.kE)et (F, k.kF)deux espaces normés et T:
E!Fune application linéaire. Alors les conditions suivantes sont équiva-
lentes :
(1) Test continue ;
(2) Test continue en un point de E;
(3) Test continue en zéro ;
(4) Test bornée.