Une cavité gravitationnelle pour atomes

RÉSUMÉ : Cet article est consacré i la présentation théorique d'une cavité gravitationnelle pour atomes
neutres. Cette cavité comporte un seul miroir, formé par une onde lumineuse évanescente se propageant
à
la surface d'un diélectrique. Nous discutons la stabilité des trajectoires atomiques ainsi que le << chauffage ,,
des atomes dû aux reculs aléatoires se produisant lors des processus d'émission spontanée. Nous mon-
trons que, pour des.puissances laser raisonnables, des temps de stockage supérieurs
à la seconde peuvent
être attendus, ce qui correspond
à un mouvement comportant, pour chaque atome, plusieurs dizaines de
rebonds sur le miroir lumineux.
ABSTRACT : This paper is devoted to a theoretical presentation of a gravitational cavity for neutral atoms.
This cavity involves a single mirror formed by an evanescent wave propagating at the surface of a dielectric
medium. We discuss the stability of the atomic trajectories and the "heating" due to the random recoils
occuring because of spontaneous emission processes. We show that for reasonable laser powers, storage
times longer than 1 second can be achieved, This corresponds in average to several tens of bounces per
atom on the light mirror.
Le domaine du refroidissement et du piégeage
d'atomes neutres par laser a connu au cours des cinq
dernières années un développement spectaculaire. On
sait maintenant préparer des nuages atomiques dont la
température n'est que de quelques micro-Kelvins et
confiner ces nuages atomiques dans des pièges lumi-
neux pendant des durées de plusieurs secondes, voire
plusieurs minutes. De telles performances ouvrent des
perspectives très prometteuses dans le domaine de la
métrologie et des standards de fréquence et, plus géné-
ralement, en spectroscopie de très haute résolution
[l].
Parmi les diverses méthodes permettant de confiner
des atomes ultra-froids, les cavités atomiques consti-
tuent une approche particulièrement séduisante. L'élé-
ment de base de ces cavités est le miroir
à atomes,
formé par une onde lumineuse évanescente
à la surface
d'un diélectrique
[2,3,4]. La fréquence de l'onde est
choisie supérieure
à la fréquence de résonance de
l'atome, de sorte que l'atome arrivant sur le diélectrique
(") Laboratoire de Spectroscopie Hertzienne de l'ENS*. 24, rue Lhomond, F-75231 Paris Cedex 05, France.
* Unité de recherche de l'École normale Supérieure et de l'université Paris 6, associée au CNRS.
Revue Scientifique et Technique de la Défense - 1993 - 3

1 P. DESBIOLLES ET J. DALIBARD 1
Vide
. . . . . . . . . . .
Fig. 1. - Miroir à atomes formé par une onde lumineuse évanescente
se propageant
à la surface d'un diélectrique. La fréquence lumi-
neuse est choisie supérieure
à la fréquence de résonance atomique
de telle sorte que l'atome soit repoussé par les régions de haute
intensité lumineuse.
est repoussé des régions de haute intensité lumineuse. Si
la vitesse initiale de l'atome perpendiculairement au
miroir est suffisamment faible, cet atome est alors réflé-
chi et ne va pas se coller sur la surface du diélectrique
(Fig.
1).
L'assemblage de tels miroirs avec des rayons de
coiirbure convenables devrait permettre de réaliser des
cavités stables, semblables
à celles que l'on sait conce-
voir pour des ondes électromagnétiques
[5]. On pourra
alors accumuler un grand nombre d'atomes dans ces
cavités, les atomes étant la plus grande partie du temps
dans une zone d'intensité lumineuse nulle. Ceci peut
constituer dans bien des cas un avantage par rapport aux
pièges laser classiques, où les atomes absorbent et émet-
tent des photons en permanence. Pour les standards de
fréquence par exemple, on souhaite disposer du maxi-
mum d'atomes lents pour obtenir un bon rapport signal
sur bruit, mais les pièges lasers habituels sont inadaptés
à la fabrication d'une horloge. En effet, l'interaction
continue des atomes avec l'onde lumineuse piégeante
crée des déphasages incontrôlables des niveaux ato-
miques en jeu dans la transition d'horloge. Dans une
cavité atomique au contraire, on peut espérer avoir un
bien meilleur contrôle de ces déphasages, qui ne se pro-
duisent qu'au voisinage immédiat des miroirs.
Une autre application spectaculaire des cavités ato-
miques est l'interférométrie
à ondes de manière [6]. La
mise en évidence des modes de ces cavités serait la pre-
mière réalisation d'une interférométrie atomique
à
ondes multiples [7]. De tels interféromètres pourraient
constituer des capteurs extrêmement performants pour
détecter des champs de rotation ou d'accélération, profi-
tant
à la fois du gain en sensibilité de l'interférométrie
atomique par rapport
à l'interférométrie lumineuse
[8,9], et de la plus grande sensibilité de l'interférométrie
à ondes multiples par rapport aux interféromètres ato-
miques
à deux ondes qui sont les seuls à avoir été réali-
sés jusqu'à maintenant
[6]. A plus long terme, l'étude
du remplissage des différents modes de la cavité pour-
rait constituer un test des propriétés de statistiques quan-
Fig. 2. - Cavité gravitationnelle atomique un miroir.
Le mouvement
paraxial autour de la verticale est stable pourvu que le sommet de
la trajectoire atomique se situe sous le foyer du miroir. La cour-
bure du miroir a été exagérée pour être clairement visible.
tiques des atomes étudiés. S'il s'agit d'atomes boso-
niques, on devrait pouvoir en accumuler un grand
nombre dans le même mode de la cavité; s'il s'agit
d'atomes fermioniques au contraire, le principe de
,Fermi interdit de mettre plus d'une particule par mode.
Cet article est consacré
à une présentation de la
cavité atomique la plus simple au moins conceptuelle-
ment puisqu'elle ne comporte qu'un seul miroir (Fig.
2) :
les atomes sont lâchés sans vitesse initiale au-dessus
du miroir et y rebondissent
à la manière d'un sauteur
sur un trempoline. Le miroir est courbé de manière
à
assurer la stabilité transversale du mouvement au voi-
sinage de l'axe vertical. Le fonctionnement du miroir
pour des atomes
à deux niveaux est présenté dans la
partie
2. Nous y discutons également le problème du
chauffage introduit par les processus d'émission spon-
tanée lors du rebond. Dans la partie
3, nous étudions le
fonctionnement de la cavité gravitationnelle, d'abord
pour un miroir parfait, puis compte tenu du chauffage
spontané. Enfin la partie
4 est consacrée à la discus-
sion des modifications apportées au fonctionnement de
la cavité par la structure interne, en particulier hyper-
fine, des atomes.
-
-
-.
-- 2. LE MIROIR POUR UN ATOME
-
- _ À DEUX NIVEAUX
Dans cette section, nous décrivons le fonctionnement
d'un miroir atomique pour un atome
à deux niveaux.
Nous rappelons d'abord l'expression de la force s'appli-
quant sur un atome dans un gradient d'intensité lumi-
neuse. Nous donnons ensuite l'expression de la condi-
tion de rebond d'un atome dans une onde lumineuse
évanescente, et nous terminons par l'analyse des proces-
sus aléatoires d'émission spontanée qui peuvent se pro-
duire lors du rebond.

UNE CAVITÉ GRAVITATIONNELLE POUR ATOMES
Nous modélisons ici la transition atomique quasi-
résonnante avec la lumière laser par deux niveaux sépa-
rés par une énergie
AmA, un niveau fondamental stable g
et un niveau excité e de durée de vie rl. Lorsqu'un tel
atome est placé dans une onde lumineuse de fréquence
angulaire
q, présentant un gradient d'intensité, il subit
une force appelée force dipolaire, ou force de gradient.
Cette force dérive du potentiel
:
-3
où on a posé 6 = mL -
et où S( Y ) est le paramètre
-3
de saturation de l'atome au point r . Ce paramètre
de saturation s'exprime en fonction de
r, 6 et de la
-3
fréquence de Rabi Q( r ) :
la fréquence de Rabi étant elle-même définie à partir
-3 +
duchamp électrique local E( r ) et du dipôle atomique
+
d associé à la transition g t, e :
On constate sur (1) que l'atome est repoussé des
régions de haute intensité lumineuse lorsque la fré-
quence laser est choisie supérieure
à la fréquence de
résonance atomique (6
> O), et qu'il est attiré par les
régions de haute intensité dans le cas contraire.
Dans la suite de cet article, nous nous intéresserons
tout particulièrement
à la situation de faible saturation
+
s(r) << 1 et de grand désaccord 6 >> r . Dans
ce
sas, la forme et l'interprétation du potentiel
Y( r ) deviennent très simples :
Cette quantité représente le déplacement de la posi-
tion de l'état fondamental de l'atome sous l'effet du
champ lumineux (effet Stark dynamique) [IO]. La modi-
fication de l'énergie du niveau interne fondamental,
dans lequel l'atome se trouve la plus grande partie du
temps
à faible saturation, joue donc le rôle d'une éner-
gie potentielle pour le mouvement externe.
L'idée d'utiliser la force dipolaire pour fabriquer un
miroir
à atomes est due à Cook et Hill [2]. Elle a été
mise en œuvre pour la première fois par Balykin et ses
collaborateurs
[3]. Ce miroir est formé par la partie éva-
nescente d'une onde laser subissant une réflexion totale
à la surface d'un diélectrique (Fig. 1). En notant 8
l'angle d'incidence de cette onde laser et n l'indice du
diélectrique, la condition de réflexion totale s'écrit
n sin8 > 1 et on a alors dans le vide une onde évanes-
cente de la forme
:
où l'axe z est normal au miroir et où l'on a posé :
WL 2 2
a = - (n sin 0 - 1)
112
C
(6)
+
L'amplitude E, et la polarisation E , se déduisent de
l'amplitude et de la polarisation de l'onde incidente
grâce aux conditions de raccordement habituelles
à la
surface d'un dioptre.
Cette onde évanescente présente un gradient d'inten-
sité important sur une échelle de longueur de l'ordre de
la longueur d'onde lumineuse. Elle jouera le rôle d'un
miroir pour les atomes incidents si
6 > O, la condition de
rebond s'écrivant
:
où R est la fréquence de Rabi pour un atome situé au
voisinage immédiat du diélectrique, et où
u,(w) est la
vitesse atomique incidente normale au miroir. Si (8)
n'est pas satisfaite, l'atome va venir toucher la surface
du diélectrique et s'y coller. Au contraire, si
(8) est
vérifiée, la réflexion de l'atome va avoir lieu; il importe
néanmoins de remarquer que cette réflexion peut ne pas
être parfaitement spéculaire. En effet, au cours de la
réflexion, il peut se produire des processus
absorption
d'un photon-émission spontanée d'un photon de
fluorescence.
Un tel processus communique à l'atome une
+ -3 +
impulsion h(kt - kf) , où h. k f représente I'impulsion
du photon de fluorescence. Le caractère aléatoire de la
+
direction de k f provoque en moyenne un chauffage de
l'atome lors du rebond. Pour un bon fonctionnement du
miroir, il faut donc minimiser le nombre de ces
processus.l
Le nombre moyen n de photons émis lors d'un
rebond se calcule
à partir du taux d'émission spontanée
d'un atome
à un distance z au miroir :
dE r s(z)
- - --
-
dt 21 +s(z)
(9)
ce qui donne pour un aller et retour :
1 Nous négligeons ici le chauffage lit aux fluctuations de la force
dipolaire
(cf. [12]), car nous nous limitons à des situations où la satu-
ration est faible.

P. DESBIOLLES ET J. DALIBARD
En utilisant dt = dzlu, et en déduisant uz(z) de la
conservation de l'énergie
:
on obtient pour ii :
L'optimisation du miroir atomique consiste à fixer
d'abord la vitesse uZ(-) maximale, notée
uma,, que l'on
souhaite réfléchir sur ce miroir, la puissance laser inci-
dente et la taille de la tache réfléchissante. Si le faisceau
incident est dans le mode gaussien fondamental TEMoo,
la forme de cette tache est elliptique avec un petit axe
noté
r, et un grand axe rJcosû. Ceci permet de détermi-
ner le
« waist » w qui conduit au plus grand désaccord
possible compatible avec la condition de rebond
(8). On
trouve
w = $2r0 et
+
où fio - R( r = 0) est la fréquence de Rabi au
centre de la tache réfléchissante. On vérifie alors que les
valeurs de
6 et Q0 obtenues dans des situations expéri-
mentales réalistes correspondent
à un paramètre de satu-
ration au niveau du miroir s(0) petit devant 1, ce qui
était nécessaire pour utiliser (4).
Ceci conduit au nombre de photons spontanés émis
lors de la réflexion d'un atome de vitesse
u,, :
Finalement, on peut choisir l'angle d'incidence de
l'onde laser de manière
à maximiser le produit aRi
pour un faisceau laser incident donné. Par exemple, si
ce faisceau est polarisé perpendiculairement au plan
d'in~idence,~ on trouve que l'angle optimal vérifie :
Pour un indice de 1.51, ceci donne
Oopt = 52.5'. On
constate sur (14) que, comme attendu, la réflexion sur le
miroir sera d'autant plus proche de la réflexion spécu-
2 Nous nous limitons ici à cette configuration de polarisation qui
est la plus simple dans le cas où l'on doit également prendre en
compte la stxucture hyperfine et Zeeman des atomes (voir
4).
3 On peut également choisir une forme elliptique pour le faisceau
incident de manière obtenir lors de la réflexion totale une tache
éclairée circulaire..Ceci conduit
à une valeur légèrement différente
pour l'angle optimal
: O,,, = 58.3" [Il].
laire idéale que la vitesse umax à réfléchir sera faible et
que la fréquence de Rabi Qo sera grande. Il faut pour
cela un faisceau laser incident intense et bien focalisé.
Donnons pour terminer quelques ordres de grandeurs
correspondant
à cette optimisation. Considérons une
vitesse atomique incidente de 0.3 m/s correspondant
à la
situation expérimentale de la section suivante, et un
miroir réalisé avec une onde laser de puissance
100 mW, avec une tache réfléchissante correspondant
à
ro = 1 mm. Pour des atomes de sodium (i-127~ = 10 MHz,
M = 23 uma, h = 590 nm), le choix w = rg$2
conduit à une fréquence de Rabi au centre de la tache
réfléchissante Ro
= 22r. En utilisant (13) et (14), on
trouve alors
6 = 150 i- et 2 = 0.12. Il est donc possible
de réaliser pour ces atomes un miroir assurant un rebond
spéculaire pour
88 % des atomes. Pour des atomes de
césium (i-727~
= 5.2 MHz, M = 133 uma, h = 852 nm),
ces nombres deviennent = 51 r, 6 = 76 i- et 2 = 1.95.
La probabilité d'avoir une émission spontanée est alors
supérieure
à 1 à chaque rebond, ce qui ne permet pas
d'assurer un rebond spéculaire pour la majorité des
atomes. Il faudrait avoir recours
à une puissance laser
plus élevée ou un faisceau plus focalisé, et ajuster le
désaccord en conséquence. Constatons pour finir que les
valeurs de
6 et Ro trouvées dans ces deux exemples sont
bien dans le domaine de validité de l'approximation de
faible saturation et grand désaccord qui a conduit aux
équations (4) et (13).
Cette section est consacrée
à la description d'une
cavité atomique
à un miroir, utilisant la gravité pour
replier les trajectoires. Le miroir est concave de manière
à assurer le confinement transversal des atomes (c$ Fig. 2).
Nous commençons par supposer le miroir parfait et nous
décrivons les conditions de stabilité du mouvement
paraxial, au voisinage de l'axe vertical. Nous prenons
ensuite en compte le chauffage lié aux photons sponta-
nés pour évaluer les limitations qu'il entraîne sur le
temps de séjour des atomes dans la cavité.
Pour étudier la stabilité du mouvement paraxial,
considérons un mouvement dans un plan vertical xOz et
plaçons-nous dans la situation où la vitesse verticale
u,
au moment du rebond est grande devant la vitesse trans-
verse et où la hauteur de chute
h est grande devant
l'écart
à l'axe x au moment du rebond. La vitesse verti-
cale lors des différents rebonds est alors
à peu près
constante, et vaut
&h . La position transverse xn et
la vitesse transverse (u,), après le rebond
n se déduisent
de la position et de la vitesse après le rebond n-1 par la
formule
:

1 UNE CAVITÉ GRAVITATIONNELLE POUR ATOMES 1
où la matrice [Ml s'écrit en fonction de h, u, et du rayon
de courbure
R du miroir :
La matrice [Ml étant de déterminant 1, la condition
de stabilité de la relation de récurrence (16) impose que
cette matrice ait des valeurs propres de module 1, ce qui
est équivalent
à la condition :
Cette condition peut encore s'écrire :
Le mouvement paraxial sera donc stable si le point le
plus haut de la trajectoire des atomes, situé
à une hau-
teur
h au-dessus du miroir, se trouve en-dessous du
foyer de ce miroir, situé
à une altitude Rl2.
.Nous prenons maintenant en compte le chauffage lié
aux processus d'émission spontanée. Nous avons fait
pour cela une simulation numérique du mouvement
d'un grand nombre d'atomes lâchés avec une vitesse
initiale moyenne nulle et
à une hauteur moyenne h au-
dessus du miroir. La dispersion des vitesses
Aui et des
dispositions
Api(i = x,y,z) autour de ces valeurs
moyennes sont prises de l'ordre de celles trouvées en
pratique pour un piège magnéto-optique
: les deux dis-
tributions correspondantes sont gausiennes, avec
Aui = 4 ureC où urec = 6klM est la vitesse de recul asso-
ciée
à un seul photon, et avec Api = 0.1 mm. Les carac-
téristiques atomiques choisies sont celles de l'atome de
césium ou de sodium. Pour un atome donné et pour
chaque rebond, deux tirages au sort sont faits pour
modéliser le caractère aléatoire des processus d'émis-
sion spontanée
:
Le nombre n de photons spontanés émis est tiré au
sort suivant une loi de Poisson de valeur moyenne
i ,
où i est donné en (14). L'utilisation d'une loi de
Poisson est justifiée
à faible saturation (s << 1) puisque
les différents instants d'émission des photons spontanés
sont alors décorrélés.
La direction d'émission de chaque photon spontané
est tiré au sort suivant une loi isotrope et la vitesse de
l'atome est modifiée par le recul correspondant. Notons
qu'en toute rigueur, plutôt qu'un diagramme d'émission
isotrope, il aurait fallu prendre un diagramme de rayon-
nement dipolaire, dépendant de la polarisation du fais-
ceau laser incident. Mais ceci aurait entraîné une com-
plication notable du programme, sans changer qualitati-
vement les résultats obtenus.
Dans cette simulation numérique, le diélectrique a
une forme de paraboloïde, et sa partie réfléchissante
Fig. 3. - Variation du nombre d'atomes présents dans la cavité en
fonction du nombre de rebonds. Le nombre d'atomes initial est
de
10 000 (césium pour (a) et (b), sodium pour (c) et (d)). La
puissance laser est
P = 0.35 Watt pour les quatre courbes, et le
petit axe
r, de la tache réflkchissante est r,=l mm pour (a),(c), et
r,-=5 mm pour (b),(d).
pour les atomes est constitué par un disque elliptique
de petit axe r,. L'onde laser, de puissance
P, a un waist
-
W = J2ro et arrive avec l'angle d'incidence optimal
Oopt déterminé à la section précédente. Tant que l'atome
frappe la surface éclairée du diélectrique, il rebondit. En
revanche, s'il tombe en-dehors de cette surface éclairée,
il est considéré comme perdu. Le but de ce programme
est de déterminer la fraction d'atomes restants après un
nombre donné de rebonds.
La figure
3 présente les résultats obtenus pour une
puissance laser de 0.35 Watt, pour deux valeurs du petit
axe r,,
1 mm et 5 mm, et pour les deux types d'atomes
envisagés
: césium ou sodium. Pour chaque courbe,
IO4 atomes sont lâchés d'une hauteur h = 5 mm au-des-
sus d'un miroir de rayon de courbure 20 mm. Le temps
entre deux rebonds est dans ces conditions de
0.065
seconde. On voit clairement sur ces courbes que, si l'on
est intéressé en un grand nombre d'atomes restants
après seulement quelques rebonds, il faut choisir une
grande valeur de r. Ceci permet
à la plupart des atomes
de toucher le diélectrique dans la zone éclairée réflé-
chissante au premier rebond, malgré leur vitesse initiale
transverse. Mais la fréquence de Rabi
Clo est alors faible
et on est obligé de choisir un désaccord également rela-
tivement faible pour assurer le rebond
(cf. (13)). Dans
ce cas, le nombre de photons spontanés par rebond
i
est assez élevé (une dizaine pour le césium, 1 pour le
sodium) et les atomes sont rapidement éjectés en-dehors
de la cavité. Au contraire, si on choisit une petite tache,
la fréquence de Rabi et le désaccord du laser autorisés
sont plus grands, ce qui conduit
à une valeur beaucoup
plus faible de
n . Seule une petite fraction des atomes
tombent sur la zone réfléchissante lors des tous premiers
rebonds, mais ces atomes peuvent ensuite être conservés