Portefeuille - Probabilité risque neutre Marché complet sans

Constitution et Propriétés d’un portefeuille
Arbitrage et martingale
Complétude de marché et Lemme de Girsanov
Portefeuille - Probabilité risque neutre
Marché complet sans opportunité d’arbitrage
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Constitution et Propriétés d’un portefeuille
Arbitrage et martingale
Complétude de marché et Lemme de Girsanov
Actifs risqué et non risqué
Constitution du portefeuille
On notera Fnl’information dont on dispose à l’instant n
ÏEléments du portefeuille
1. Actif non risqué ou prévisible : (Bn,n∈N),Bnest Fn−1
mesurable,
2. Actif risqué : (Sn,n∈N),Snest Fnmesurable mais pas
Fn−1mesurable.
ÏEvolution Soient (rn,n∈N,r0=0) le taux d’intéret (prévisible)
de l’actif B, et (ρn,n∈N,ρ0=0) le rendement (risqué) de l’actif
S. L’évolution des actifs est donnée par :
∆Bn≡Bn−Bn−1=rnBn−1,
∆Sn≡Sn−Sn−1=ρnSn−1,
où (rn) est Fn−1-mesurable, (ρn) est Fn-mesurable.
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Arbitrage et martingale
Complétude de marché et Lemme de Girsanov
Actifs risqué et non risqué
Un portefeuille Πest un couple Π=(βn,γn)n≤T∈Nprévisible (i.e le
couple (βn,γn) est Fn−1mesurable), dont la valeur au temps nest
donnée par :
XΠ
n≡βnBn+γnSn, (XΠ
0≥0 fixé).
La gestion du portefeuille Πs’éffectue de la manière suivante. Au
temps nle portefeuille vaut XΠ
non décide de réajuster ce
portefeuille pour l’étape suivante, c’est à dire que l’on choisie le
couple (βn+1,γn+1). Après le ré-investissement le portefeuille vaut
βn+1Bn+γn+1Sn.On supposera que lors du réajustement le
portefeuille garde une valeur constante :
Définition
Un portefeuille est dit autofinancé si pour tout n
βnBn+γnSn=βn+1Bn+γn+1Sn.
Exercice Vérifier que la variation de XΠentre net n+1 est donnée
par ∆XΠ
n=βn∆Bn+γn∆Sn./

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Arbitrage et martingale
Complétude de marché et Lemme de Girsanov
Probabilité risque neutre
Arbitrage
Probabilité risque neutre
Définition
On dit que P∗est une probabilité risque neutre associée à Psi
.P∗est équivalente à la probabilité P, (i.e. P∗(A) =0⇐⇒ P(A) =0),
. (Sn/ǫn)n≤Test une martingale sous P∗, où
ǫn≡(1 +rn)(1 +rn−1)···(1 +r1), ǫ0=1.
Proposition
Supposons qu’il existe une probabilité risque neutre P∗. Alors, si Πest
un portefeuille autofinancé, sa valeur actualisée XΠ
n/ǫnest une
martingale sous P∗.
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Arbitrage et martingale
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Probabilité risque neutre
Arbitrage
Arbitrage
On s’intéresser à l’évolution du marché jusqu’à une date T fixée.
ÏLa notion d’opportunité d’arbitrage, correspond à la notion
économique : "opportunité de gagner de l’argent sans prendre
de risque", formellement,
Définition
On dit qu’il y a opportunité d’arbitrage s’il existe un portefeuille
autofinancé Πtel que
XΠ
0=0, XΠ
n≥0,∀n≤T, et P(XΠ
T>0) >0.
ÏLien entre la notion d’opportunité d’arbitrage et probabilité
risque neutre :
Theorème
Il n’existe pas d’opportunité d’arbitrage ⇐⇒ Il existe au moins une
probabilité risque neutre.
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