Portefeuille - Probabilité risque neutre Marché complet sans

Constitution et Propriétés d’un portefeuille
Arbitrage et martingale
Complétude de marché et Lemme de Girsanov
Portefeuille - Probabilité risque neutre
Marché complet sans opportunité d’arbitrage
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Constitution et Propriétés d’un portefeuille
Arbitrage et martingale
Complétude de marché et Lemme de Girsanov
Actifs risqué et non risqué
Constitution du portefeuille
On notera Fn l’information dont on dispose à l’instant n
Ï
Eléments du portefeuille
1. Actif non risqué ou prévisible : (Bn , n ∈ N), Bn est Fn−1
mesurable,
2. Actif risqué : (S n , n ∈ N), S n est Fn mesurable mais pas
Fn−1 mesurable.
Ï
Evolution Soient (r n , n ∈ N, r 0 = 0) le taux d’intéret (prévisible)
de l’actif B, et (ρn , n ∈ N, ρ0 = 0) le rendement (risqué) de l’actif
S. L’évolution des actifs est donnée par :
∆Bn ≡ Bn − Bn−1 = r n Bn−1 ,
∆S n ≡ S n − S n−1 = ρn S n−1 ,
où (r n ) est Fn−1 -mesurable, (ρn ) est Fn -mesurable.
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Arbitrage et martingale
Complétude de marché et Lemme de Girsanov
Actifs risqué et non risqué
Un portefeuille Π est un couple Π = (βn , γn )n≤T∈N prévisible (i.e le
couple (βn , γn ) est Fn−1 mesurable), dont la valeur au temps n est
donnée par :
Π
XΠ
n ≡ βn Bn + γn S n , (X 0 ≥ 0 fixé).
La gestion du portefeuille Π s’éffectue de la manière suivante. Au
temps n le portefeuille vaut X Π
n on décide de réajuster ce
portefeuille pour l’étape suivante, c’est à dire que l’on choisie le
couple (βn+1 , γn+1 ). Après le ré-investissement le portefeuille vaut
βn+1 Bn + γn+1 S n . On supposera que lors du réajustement le
portefeuille garde une valeur constante :
Définition
Un portefeuille est dit autofinancé si pour tout n
βn Bn + γn S n = βn+1 Bn + γn+1 S n .
Exercice Vérifier que la variation de X Π entre n et n + 1 est donnée
par ∆X Π
n = βn ∆Bn + γn ∆S n .
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Arbitrage et martingale
Complétude de marché et Lemme de Girsanov
Probabilité risque neutre
Arbitrage
Probabilité risque neutre
Définition
On dit que P∗ est une probabilité risque neutre associée à P si
1. P∗ est équivalente à la probabilité P, (i.e. P∗ (A) = 0 ⇐⇒ P(A) = 0),
2. (S n /ǫn )n≤T est une martingale sous P∗ , où
ǫn ≡ (1 + r n )(1 + r n−1 ) · · · (1 + r 1 ), ǫ0 = 1.
Proposition
Supposons qu’il existe une probabilité risque neutre P∗ . Alors, si Π est
un portefeuille autofinancé, sa valeur actualisée X Π
n /ǫn est une
∗
martingale sous P .
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Arbitrage et martingale
Complétude de marché et Lemme de Girsanov
Probabilité risque neutre
Arbitrage
Arbitrage
On s’intéresser à l’évolution du marché jusqu’à une date T fixée.
Ï La notion d’opportunité d’arbitrage, correspond à la notion
économique : "opportunité de gagner de l’argent sans prendre
de risque", formellement,
Définition
On dit qu’il y a opportunité d’arbitrage s’il existe un portefeuille
autofinancé Π tel que
Π
Π
XΠ
0 = 0, X n ≥ 0, ∀n ≤ T, et P(X T > 0) > 0.
Ï
Lien entre la notion d’opportunité d’arbitrage et probabilité
risque neutre :
Theorème
Il n’existe pas d’opportunité d’arbitrage ⇐⇒ Il existe au moins une
probabilité risque neutre.
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Arbitrage et martingale
Complétude de marché et Lemme de Girsanov
Complétude
Lemme de Girsanov
Notion de complétude et lien avec la probabilité risque
neutre
Ï
La notion de complétude correspond à un marché idéal où,
par exemple, toute option européenne peut être couverte
parfaitement par un portefeuille autofinancé, plus
généralement :
Définition
Un marché est dit complet si, pour toute variable aléatoire
f : Ω → R+ , il existe un portefeuille autofinancé Π qui reproduit f à
l’échéance T, i.e. X Π
T (ω) = f (ω), ∀ω ∈ Ω.
Ï
Lien entre la notion de complétude et probabilité risque
neutre ;
Theorème
Considérons un marché sans opportunité d’arbitrage. Le marché est
complet ⇐⇒ Il existe une unique probabilité risque neutre P∗ .
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Arbitrage et martingale
Complétude de marché et Lemme de Girsanov
Complétude
Lemme de Girsanov
Probabilité risque neutre et Lemme de Girsanov
Ï
A chaque étape nous avons supposé l’existence d’un
probabilité risque neutre artificielle, il est, en général, difficile
de la déterminer (dans le cadre d’un marché complet) le
Lemme de Girsanov va nous y aider.
Lemme
Soit (Mn , n ≤ T) une suite de v.a. adaptée et considérons une v.a. Z T
(FT -mesurable), vérifiant E(Z T ) = 1 et Z T (ω) > 0, ∀ω ∈ Ω. On définit
P′ en posant pour tout évènement A P′ (A) := E(Z T IA ), où E représente
l’espérance sous P. Alors le processus (M∗n )n≤T défini par
M∗n
n
X
¯
¶
¯
Zk
¯
E
∆Mk ¯ Fk−1 , où Z n = E(Z T |Fn ),
= Mn −
Z k−1
k=1
µ
est une martingale sous P′ .
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