I – La fonction exponentielle
publicité
C. JOURDAIN MATHEMATIQUES – T E.S. CHAP. 4 : FONCTION EXPONENTIELLE I – La fonction exponentielle 1) Définition de la fonction exponentielle On a vu que la fonction ln est dérivable donc continue et strictement croissante sur ]0 ;+[, à valeurs dans ] ;+[. Elle change donc de signe sur ]0 ;+[. On en déduit à l’aide du théorème des valeurs intermédiaires, que pour tout élément y de ] ;+[, l’équation ln x = y admet une unique solution x0 dans ]0 ;+[. Applications : 1) ln x = 0 admet une unique solution sur ]0 ;+[ : 1 2) ln x = 1 admet une unique solution sur ]0 ;+[ : e Définition : On défini ainsi pour chaque valeur y de ] ;+[, un nombre strictement positif et unique, x, tel que : ln x = y. Cette nouvelle fonction, réciproque de ln est appelée fonction exponentielle, et est notée : exp : x Propriétés : (1) exp(0) = 1 (2) exp(1) = e exp(x) On note : pour tout nombre réel x, exp(x) = ex. (résultat admis) 2) Premières propriétés de la fonction exp Propriétés : 1) pour tout nombre réel x, ex > 0, 2) pour tout nombre réel x, ln(ex) = x 3) Si x > 0, e ln x = x. 4) Pour tout nombre réel x et tout nombre réel y strictement positif, y = ex si et seulement si x = ln y. 5) ea = eb si, et seulement si : a = b 6) ea > eb si, et seulement si : a > b Démonstrations : …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... 1 C. JOURDAIN MATHEMATIQUES – T E.S. CHAP. 4 : FONCTION EXPONENTIELLE Exercices : 2 1] Résoudre : e2 x + 1 = ex +2x 3 …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... 2] Résoudre : e3 x + 4 ex + 7 …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... 3] Résoudre : e x + 1 = 7 …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... 2 4] Résoudre : ex 3x + 1 >3 …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... 4] Résoudre : ln(2x + 1) = Error! …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... 3) Courbe représentative de la fonction exp Dans un repère, les courbes représentatives des fonctions ln et exp sont symétriques par rapport à la droite : y = x. 2 C. JOURDAIN MATHEMATIQUES – T E.S. CHAP. 4 : FONCTION EXPONENTIELLE II – Propriété algébriques 1) Exponentielle d’une somme Propriétés : Pour tous nombres réels a et b, e a + b = ea eb. Démonstration : (Aide : comparer ln(e a + b) et ln(ea eb)) …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... exemples : Propriétés : e ex = …………………………………. ; 2 ex = ……………………………………… ; 2 e2x + 3 = ………………………………….. (1) Pour tout entier naturel n 2, pour tous réels a1, a2, …, an, on a : e a1+ a2 + … + an = e a1 … e an. (2) Pour tout réel a et pour tout entier relatif p, epa = (ea)p. Démonstration : (Aide : comparer ln(e a1+ a2 + … + an) et ln(e a1 … e an)) …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... exemples : 2 ex +2x 3 = …………………………………. e2x = ……………………………………… ; e3x = ………………………………….. ; 2) Exponentielle d’une différence Propriété : (1) Pour tout nombre réel a, e– a = Error! (2) Pour tous nombres réels a et b et ea – b = Error!. Démonstration : …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... Exercices : 1] Montrer que : ex + ln 2 – 1 = Error! ; 2 eln 3 – 2x = Error! et que : (ex – 1)(ex + 1) = e2x – 1 …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... 2] résoudre : e2x e3x – 1 2 …………………………………………………………………………………………………………………………………….... 3 C. JOURDAIN MATHEMATIQUES – T E.S. CHAP. 4 : FONCTION EXPONENTIELLE …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... 3] résoudre : 2 e2x + 5 ex + 3 < 0 …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... 4 C. JOURDAIN MATHEMATIQUES – T E.S. CHAP. 4 : FONCTION EXPONENTIELLE III – Etude de la fonction exponentielle 1) Limite de la fonction exponentielle en et en + Propriété : (1) lim; x + ex = + (2) lim; x ex = 0 Démonstration : (1) On sait que Cln est ……………….………… de sa tangente en x = 1, qui a pour équation : y = ……………………………... Ainsi, pour tout réel x > 0, ln(x) x – 1 < x, soit : ln(x) < ln(ex), soit : ……………………… Or lim; x + x = + , donc d’après :……………………………………………………………………………………………….... On a : lim; x + ex = +. (2) On pose : X = …………. Alors : ex = …………… = ……………. lim; x X = ………………… = …………… et …………………………………………… don c par composée, lim; x ex = 0. 2) Dérivée de la fonction exponentielle Propriété : (1) La fonction exponentielle est donc dérivable sur IR (2) Pour tout x de IR, (ex)’ = ex. Démonstration : (Aide : considérer la fonction f(x) = ln(ex) et la dériver ) …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... Conséquence : (1) Sa dérivée est donc toujours positive. On en déduit que exp est croissante sur IR. (2) Une primitive de la fonction exponentielle sur IR est la fonction exponentielle. 3) Tableau de variation et courbe La courbe représentative de exp admet une asymptote horizontale d’équation y = 0 au voisinage de . x f ’(x) = ex + + f(x) = ex + 0 f(x) = ex + 5 C. JOURDAIN MATHEMATIQUES – T E.S. CHAP. 4 : FONCTION EXPONENTIELLE Exercices : 1] f est la fonction définie sur IR par f(x) = e x – 3 – 2. a) Etudier le sens de variation de f sans calculer sa dérivée. b) Tracer sa courbe représentative dans un repère (0,Error!,Error!) à partir de celle de exp. …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... 2] Pour chacune des fonctions f définies ci-dessous, calculer f ’(x). a) Pour tout x > 0, f(x) = Error! b) Pour tout x de IR, f(x) = (x2 + x)ex …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... 3] Sur l’écran de la calculatrice ci-contre est représentée la fonction f définie sur ]2 ; +[ par : f(x) = x ex. a) Conjecturer la limite de f en + ainsi que les variations de f. b) Démontrer les conjectures faites au a). …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... 6 C. JOURDAIN MATHEMATIQUES – T E.S. CHAP. 4 : FONCTION EXPONENTIELLE IV – Etude d’une fonction eu u est une fonction définie sur un intervalle I. La fonction composée u suivie de exp est notée exp(u) ou e u ou parfois exp o u. 1) Limites On utilise le théorème sur la composée des fonctions. Exemple : Etudier la limite en + de f(x) = e x 2 +1 …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... Exercice : Etudier la limite en de chacune des fonctions suivantes. a) 2 Pour tout réel x, f(x) = ex x +1 b) Pour tout réel x, g(x) = eError! …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... 2) Sens de variation et dérivée de eu Propriété : Les fonctions u et eu ont le même sens de variation sur l’intervalle I. Démonstration : ………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... Propriété : u est une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction eu est dérivable sur I, et (eu)’ = u’ eu. Démonstration : …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... 7 Exemple : C. JOURDAIN MATHEMATIQUES – T E.S. CHAP. 4 : FONCTION EXPONENTIELLE 2 Déterminer la fonction dérivée de la fonction f définie sur I = IR par f(x) = e x x +3 …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... Exercice : Déterminer la fonction dérivée de la fonction f définie sur I = ]0, + [ par f(x) = (2x – 1) e Error! …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... 3) Primitives Propriété : u est une fonction dérivable sur un intervalle I. Une primitive sur I de la fonction u’ eu est la fonction eu. Exercice : 3] f est la fonction définie sur IR par : f(x) = e 1 – 2x. Déterminer la primitive F de f sur IR qui s’annule en 1. …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... Devoir Maison : - à rechercher de façon individuelle au brouillon, - à mettre en commun en binôme, - puis à rédiger de façon individuelle sur feuille et - à rendre pour la date fixée par le professeur. n°92 p 111 et n°124 p 116 8 C. JOURDAIN MATHEMATIQUES – T E.S. CHAP. 4 : FONCTION EXPONENTIELLE V – Une nouvelle notation 1) La notation ab(avec a > 0 et b réel) Définition : Pour tout réel a > 0, et pour tout réel b, on note ab le nombre réel tel que : ab = eb ln a. Remarque : Cette définition permet de généraliser les définitions des puissances données au collège. A L’AIDE DE LA CALCULATRICE : Pour calculer une valeur approchée de 2 Error! , on tape : donne l’affichage : Propriétés : 1,781797436 Pour tout réel a et a’ strictement positifs, et pour tout réel b et b’, on a : (1) ab ab’ = ab + b’ (4) Error! = ab – b’ (2) (ab)b’ = ab b’ (5) ab a’b = (a a’)b (6) Error! = Error!Error! (3) a– b’ = Error! Démonstration : (On ne démontreras ici que la 1ère propriété, les autres se démontrant de même manière) …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... Exemples : 1] Calculer « à la main » : 225 …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... 2] Calculer « à la main » : eln 500 …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... Exercice : On souhaite disposer de 4000€ dans 4 ans et 3 mois. Quel capital C doit-on ^placer aujourd’hui, à intérêts composés, au taux semestriel de 1,5 % ? Donner l’arrondi à l’euro. …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... 2) Racine n-ième d’un réel positif Propriété et définition : Pour tout entier n 1 et pour tout réel a 0, l’équation x n = a admet une solution et une seule dans l’intervalle [0, +[. Cette solution est appelée racine n-ième de a et est notée n a = a Error! . (admis) Exercice : 1] On place un capital de C euros à intérêts composés, au taux annuel de 3 %. Si les intérêts étaient calculés quotidiennement, quel est le taux t % qui, appliqué quotidiennement, permettrait d’obtenir le même capital au bout d’un an ? Donner l’arrondi de t au millième. …………………………………………………………………………………………………………………………………….... 9 C. JOURDAIN MATHEMATIQUES – T E.S. CHAP. 4 : FONCTION EXPONENTIELLE …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... 2] L’évolution en volume des dépenses de consommation en transport en France est donnée par le tableau cidessous. Calculer le taux de croissance annuel moyen. année Taux de variation des dépenses de 2000 2001 2002 2003 + 2,6 % + 2,6 % + 1,6 % + 1,2 % consommation des ménages Source : Insee …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... VI – Fonction f définie par : f(x) = ax (avec a > 0) 1) Fonction exponentielle de base a (avec a > 0) Définition : a est un réel strictement positif. La fonction exponentielle de base a est la fonction définie sur IR par f(x) = ax. 2) Etude de la fonction f définie par : f(x) = a x (avec a > 0 et a 1) Deux cas : 1] Si 0 < a < 1 : …………………………………………………………… exemple : f(x) = Error!Error! …………………………………………………………… ………………………………………………………………….. …………………………………………………………… ………………………………………………………………….. …………………………………………………………… ………………………………………………………………….. …………………………………………………………… ………………………………………………………………….. …………………………………………………………… ………………………………………………………………….. …………………………………………………………… ………………………………………………………………….. 2] Si a > 1 : exemple : f(x) = 2x Exercice : Dans un repère, C2 et C6 sont les courbes représentatives des fonctions f2 et f6 définies sur IR par : f2(x) = 2x et f6(x) = 6x. a) Tracer les courbes C2 et C6 à l’écran de la calculatrice avec les fenêtres graphiques – 10 X 10, puis –1 X 1. 10 C. JOURDAIN MATHEMATIQUES – T E.S. CHAP. 4 : FONCTION EXPONENTIELLE Conjecturer la position relative de C2 et C6. b) Démontrer cette conjecture. …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... 3) Liens avec les suites géométriques Propriétés : u est la suite géométrique de raison a > 0 et de premier terme u0 > 0. Si 0 < a < 1, u est décroissante. On parle de décroissance exponentielle. Si a = 1, u est constante. Si a > 1, u est croissante. On parle de croissance exponentielle. Démonstration : …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... Exercice : u et v sont deux suites géométriques de premier terme 1, et de raisons respectives 1,3 et 0,95. a) Exprimer un et vn en fonction de n. b) Déterminer le plus petit indice à partir duquel un 2 c) Déterminer le plus petit indice à partir duquel vn Error! …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... 11 C. JOURDAIN MATHEMATIQUES – T E.S. CHAP. 4 : FONCTION EXPONENTIELLE VII – Croissances comparées 1) Deux limites importantes Propriétés : (1) lim; x + Error! = 0 (2) Error!Error! = + Démonstration : Error! (1) soit la fonction f définie par : f(x) = ln(x) – x sur ]0, +[. Pour tout réel x, f ’(x) = ……………………………………….... donc f ’(x) est du signe de : ………..…………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... (2) Pour tout réel x > 0, Error! = ……………………………………………………………………………………………………... On pose : X = x Error! ……………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... Remarque : On déduis de (1) : lim; Conséquence : lim; x x + Error! = 0, soit Error!( x e – x ) = 0 x ex = 0. En effet : ……………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... 2) Règles opératoires Propriétés : (Admises) Pour tout entier naturel n : (1) lim; x + Error! = 0 (2) Error! Error! = + (3) Error! (xn ex ) = 0 On peut résumer toutes ces propriétés par : « A l’infini, les puissances de x l’emportent sur ln(x)» « A l’infini, l’exponentielle l’emporte sur toutes les puissances de x» Exercices : Calculer : lim; x + Error! …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………………………………….... Devoir Maison : (même consignes) n°73 p 91 – n°125 p 116 – n°127 p 117 12
