I – La fonction exponentielle

C. JOURDAIN
MATHEMATIQUES – T E.S.
CHAP. 4 : FONCTION EXPONENTIELLE
1
I – La fonction exponentielle
1) Définition de la fonction exponentielle
On a vu que la fonction ln est dérivable donc continue et strictement croissante sur ]0 ;+[, à valeurs dans ] ;+[.
Elle change donc de signe sur ]0 ;+[. On en déduit à l’aide du théorème des valeurs intermédiaires, que pour tout élément y
de ] ;+[, l’équation ln x = y admet une unique solution x0 dans ]0 ;+[.
Applications : 1) ln x = 0 admet une unique solution sur ]0 ;+[ : 1
2) ln x = 1 admet une unique solution sur ]0 ;+[ : e
Définition : On défini ainsi pour chaque valeur y de ] ;+[, un nombre strictement positif et unique, x, tel que :
ln x = y. Cette nouvelle fonction, réciproque de ln est appelée fonction exponentielle, et est notée :
exp : x exp(x)
Propriétés : (1) exp(0) = 1
(2) exp(1) = e
On note : pour tout nombre réel x, exp(x) = ex. (résultat admis)
2) Premières propriétés de la fonction exp
Propriétés : 1) pour tout nombre réel x, ex > 0,
2) pour tout nombre réel x, ln(ex) = x
3) Si x > 0, e ln x = x.
4) Pour tout nombre réel x et tout nombre réel y strictement positif, y = ex si et seulement si x = ln y.
5) ea = eb si, et seulement si : a = b
6) ea > eb si, et seulement si : a > b
Démonstrations :
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....

C. JOURDAIN
MATHEMATIQUES – T E.S.
CHAP. 4 : FONCTION EXPONENTIELLE
2
Exercices : 1] Résoudre : e2 x + 1 = ex2 +2x  3
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
2] Résoudre : e3 x + 4  ex + 7
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
3] Résoudre : e x + 1 = 7
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
4] Résoudre : ex2  3x + 1 >  3
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
4] Résoudre : ln(2x + 1) =
Error!
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
3) Courbe représentative de la fonction exp
Dans un repère, les courbes représentatives des fonctions ln et exp sont symétriques par rapport à la droite  : y = x.

C. JOURDAIN
MATHEMATIQUES – T E.S.
CHAP. 4 : FONCTION EXPONENTIELLE
3
II – Propriété algébriques
1) Exponentielle d’une somme
Propriétés : Pour tous nombres réels a et b, e a + b = ea  eb.
Démonstration : (Aide : comparer ln(e a + b) et ln(ea  eb))
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
exemples : e  ex2 = …………………………………. ; e2x + 3 = …………………………………..
2 ex = ……………………………………… ;
Propriétés : (1) Pour tout entier naturel n  2, pour tous réels a1, a2, …, an, on a : e a1+ a2 + … + an = e a1  …  e an.
(2) Pour tout réel a et pour tout entier relatif p, epa = (ea)p.
Démonstration : (Aide : comparer ln(e a1+ a2 + … + an) et ln(e a1  …  e an))
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
exemples : ex2 +2x  3 = …………………………………. ; e3x = …………………………………..
e2x = ……………………………………… ;
2) Exponentielle d’une différence
Propriété : (1) Pour tout nombre réel a, e– a =
Error!
(2) Pour tous nombres réels a et b et ea – b =
Error!
.
Démonstration :
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
Exercices : 1] Montrer que : ex + ln 2 – 1 =
Error!
; 2 eln 3 – 2x =
Error!
et que : (ex – 1)(ex + 1) = e2x – 1
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
2] résoudre : e2x e3x – 1  2
……………………………………………………………………………………………………………………………………....

C. JOURDAIN
MATHEMATIQUES – T E.S.
CHAP. 4 : FONCTION EXPONENTIELLE
4
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
3] résoudre :  2 e2x + 5 ex + 3 < 0
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....

C. JOURDAIN
MATHEMATIQUES – T E.S.
CHAP. 4 : FONCTION EXPONENTIELLE
5
III – Etude de la fonction exponentielle
1) Limite de la fonction exponentielle en et en +
Propriété : (1) lim;x  + ex = + (2) lim;x    ex = 0
Démonstration :
(1) On sait que Cln est ……………….………… de sa tangente en x = 1, qui a pour équation : y = ……………………………...
Ainsi, pour tout réel x > 0, ln(x)  x – 1 < x, soit : ln(x) < ln(ex), soit : ………………………
Or lim;x  + x = + , donc
d’après :………………………………………………………………………………………………....
On a : lim;x  + ex = +.
(2) On pose : X = …………. Alors : ex = …………… = …………….
lim;x    X = ………………… = …………… et ……………………………………………
don c par composée, lim;x    ex = 0.
2) Dérivée de la fonction exponentielle
Propriété : (1) La fonction exponentielle est donc dérivable sur IR
(2) Pour tout x de IR, (ex)’ = ex.
Démonstration : (Aide : considérer la fonction f(x) = ln(ex) et la dériver )
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………………………………………………………....
Conséquence : (1) Sa dérivée est donc toujours positive. On en déduit que exp est croissante sur IR.
(2) Une primitive de la fonction exponentielle sur IR est la fonction exponentielle.
3) Tableau de variation et courbe
La courbe représentative de exp admet une asymptote horizontale
d’équation y = 0 au voisinage de .
x
 +
f ’(x) = ex
+
f(x) = ex
+
0
f(x) = ex
+