Chapitre_11_DL

- 1 - Chapitre 11 : BTS 2 électrotechnique
Chapitre 11
Développements limités, Majorations Tayloriennes
I Objectifs
On étudie le comportement au "voisinage de 0" d'une fonction.
Pour cela on va remplacer la fonction par une fonction polynôme la meilleure possible.
II Majorations Tayloriennes
A] 1ère approche : Dérivabilité en a
Définition :
f est définie sur I contenant a. On dit f est dérivable en a IR si et seulement si :
A
hafhaf
h
)()(
lim0
ou lim;x  a
Error!
= A.
Conséquence :
f(a+h) = f(a) + Ah + h (h) avec lim;h
0(h) = 0.
On note aussi cela de la manière suivante : f(x+a) = f(a) + Ax + (x) avec lim;x
0(x) = 0.
Remarque :
Pour x voisin de 0 on a : f(x) f(0) + Ax. Localement on peut remplacer f par une fonction
affine.
Exemples usuels:
ln ( ) x + 1 x pour x voisin de 0.
exp x 1 + x pour x voisin de 0.
sin x x pour x voisin de 0.
1 + x 1 +
Error!
x pour x voisin de 0.
Mais dès que la variable s'éloigne de 0, l'approximation devient fausse d'où l'idée de chercher
à améliorer le procédé et d'avoir une idée sur l'erreur commise.
B] 2ème approche: Théorème des accroissements finis
Propriétés :
fonction à dérivée première bornée :
Si f est dérivable sur I et f ' est bornée sur I. ( pour tout x de ; f '(x) < M),
alors si x  I et a I on a : f(x) – f(a) M x – a .
fonction à dérivée seconde bornée :
Si f est deux fois dérivable sur I et f '' est bornée sur I .(Pour tout x de I f ‘’ (x) < M )
alors si xI et a  I f(x) – f(a) – ( ) x – a f’(a) M
Error!
.
Retour sur les exemples usuels :

- 2 - Chapitre 11 : BTS 2 électrotechnique
2
1
)('';
1
)(');ln()( x xf
x
xfxxf 
.
On se place sur [0,9;1,1] : 1;1
12 <
f ‘’(x) < 1;0
92. Ainsi
f ‘’(x) < 1,25.
On en conclut que M
Error!
0,061 < 0,07.
Donc, comme ln 1 = 0, ln ( ) 1+x x avec une erreur inférieure à 7%.
C] 3ème approche pour aller plus loin: fonction à dérivée d'ordre
n+1 bornée
Propriété :
Si f admet des dérivées jusqu'à l'ordre n + 1, sur I
et si f(n+1) est bornée sur I ( c'est-à-dire que pour tout x de I f(n+1)(x) < M)
alors f(x) – f(a) – ( ) x – a f ’(a) –
Error!
f ‘’(a) –… –
Error!
f(n) (a) M
Error!
appelée inégalité de Taylor ou majoration Taylorienne.
Démonstration :
ADMIS
D] Formule de Mac-Laurin
Propriété :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR contenant a et admettant des dérivées
continues jusqu’à l’ordre n+1 ( On dit que f est de classe Cn+1 sur I ). Alors on a :
f(x) = f(a) + ( ) x – a f ’(a) +
Error!
f ‘’(a) +… +
Error!
f(n) (a) +
Error!
n (x–a)
avec lim;x
a (x – a ) = 0
Démonstration :
On utilise la propriété du C] et le critère de d’Alembert.
III Développements limités
A] Définition et 1ère propriétés
Définition :
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de IR contenant 0. On dit que f admet
un développement limité à l’ordre n au voisinage de 0 s’il existe un polynôme Pn de degré
inférieur ou égal à n tel que pour tout x I :
f(x) = Pn(x) + xn (x) avec lim;x  0 ;(x) = 0.
On dit que Pn(x) est la partie régulière du DL et xn (x) est le terme complémentaire ou le
reste.
Propriété :
Si f admet un DL en 0 au moins à l’ordre 1, alors f est continue et dérivable en 0.
Démonstration :
On a immédiatement que lim;x  0 f(x) = a0.
En outre on a aussi aisément que lim;x  0
Error!
= a1 ce qui montre bien que f est dérivable
en 0 et que f ‘(0) = a1.
Propriété :
La partie régulière du DL en 0 d’une fonction paire ( respectivement impaire ) est un
polynôme constitué de monômes de degré pair ( respectivement impair ).
Démonstration :
ADMIS
Propriété :

- 3 - Chapitre 11 : BTS 2 électrotechnique
Soient n et p deux entiers naturels tel que p n.
Si f admet un DL d’ordre n en 0, alors f admet un DL d’ordre p en 0.
Démonstration :
C’est immédiat, il s’agit d’une espèce de troncature.
B] Développements limités des fonctions usuelles
On utilise à chaque fois la formule de Mac-Laurin !
1) La fonction exponentielle
Le développement limité de la fonction exponentielle au voisinage de 0 est :
ex = 1 + x +
Error!
+
Error!
+ … +
Error!
+ xn (x) avec
Error!
(x) = 0.
2) Les fonctions sinus et cosinus
Le développement limité de la fonction sinus au voisinage de 0 est :
sin x = x –
Error!
+
Error!
+ … +
Error!
n
Error!
+ x2n+1 (x) avec
Error!
(x) = 0.
Le développement limité de la fonction cosinus au voisinage de 0 est :
cos x = 1 –
Error!
+
Error!
+ … +
Error!
n
Error!
+ x2n (x) avec
Error!
(x) = 0.
3) Les fonction du type f : x
Error!
Error!
Le développement limité de cette fonction au voisinage de 0 est :
( )
1 + x = 1 + x +
Error!
x2 +
Error!
x3 + … +
Error!
xn + xn (x) avec
Error!
(x) = 0.
Cas particulier :
Pour  = – 1 on a ainsi :
Error!
= 1 – x + x2 – x3 + x3 (x) avec
Error!
;(x) = 0.
IV Propriétés algébriques
A] Opérations algébriques sur les développements limités
1) Somme et produit de fonctions
Propriété :
Si les fonctions f et g admettent à l'ordre n, au point 0, des développements limités dont les
parties régulières sont P(x) et Q(x) alors :
 f + g admet un développement limité à l'ordre n dont la partie régulière est
( )
P+ Q (x).
 f  g admet un développement limité à l'ordre n dont la partie régulière est le
polynôme déduit de ( ) PQ (x) en supprimant tous les termes de degré
strictement supérieur à n.
Exercice 8p109.
Exercice 10p110.
2) Produit par un réel k
Propriété :
Soit k un réel.
Si f est une fonction définie sur I un intervalle de IR contenant 0 admet un développement
limité d’ordre n de partie régulière P(x), alors la fonction kf admet un développement limité
d’ordre n de partie régulière ( ) kP (x).
Démonstration :
Il suffit d’écrire !!!
3) Quotient de deux fonctions
Propriété :

- 4 - Chapitre 11 : BTS 2 électrotechnique
Si f et g sont deux fonctions admettant des développements limités au voisinage de 0 à l’ordre
n de partie régulières respectives P(x) et Q(x) et telle que g(0) 0, alors le quotient
Error!
admet un développement limité à l’ordre n au voisinage de 0. La partie régulière de ce
développement lest obtenue suivant les puissances croissantes de P(x) par Q(x).
Exemple :
Faire le DL de tan au voisinage de 0 à l’ordre 5.
B] Autres opérations
1) Dérivation d’un développement limité
Propriété :
Si f est une fonction admettant un développement limité à l’ordre n au voisinage de 0 de partie
régulière P(x), alors f ‘ admet un développement limité à l’ordre ( ) n – 1 au voisinage de 0 de
partie régulière P ‘(x).
Exemple :
Trouver le DL de x
Error!
Error!
à l’ordre 3 en utilisant le DL à l’ordre 4 de x
Error!
Error!
.
2) Intégration d’un développement limité
Propriété :
Si f est une fonction admettant un développement limité à l’ordre n au voisinage de 0 de partie
régulière P(x), alors toute primitive F de f admet un développement limité à l’ordre ( ) n+1 au
voisinage de 0.
En outre si f(x) = P(x) xn (x) avec lim;x  0 (x) = 0, alors
F(x) = F(0) +
Error!
dt + xn+1 (x). On intègre terme à terme la partie régulière et on ajoute
F(0) !
Exemple :
Calculer le DL à l’ordre 5 au voisinage de 0 de la fonction x
Error!
ln
Error!
en utilisant le
DL à l’ordre 4 au voisinage de 0 de x
Error!
Error!
.
Exercice 15p110.
3) Développement limité d’une fonction composée
Propriété :
Si f est une fonction admettant un développement limité à l’ordre n au voisinage de 0 de partie
régulière P(x) et si g est une fonction admettant un développement limité à l’ordre n au
voisinage de 0 de partie régulière Q(x), alors la fonction f
Error!
g admet un développement
limité à l’ordre n au voisinage de 0. La partie régulière est obtenue en remplaçant dans P(x)
chaque terme xi par ( ) Q(x)i, puis on ne conserve que les termes de degré inférieur ou égal à n.
Exemples :
* Faire le développement limité de x
Error!
ln
Error!
en utilisant la fonction x
Error!
Error!
.
* Faire le développement limité de x
Error!
Error!
en utilisant la fonction sinus et la
fonction x
Error!
Error!
.
Exercice 7p109.
Exercices 9 et 12p110.
Exercices 25 et 26p111.
V Utilisations des développements limités
A] Détermination de limites

- 5 - Chapitre 11 : BTS 2 électrotechnique
Exemple 1 :
Déterminer la limite lim;x  0
Error!
.
Exemple 2 :
Déterminer la limite lim;x  0
Error!
.
Exemple 3 :
Déterminer la limite lim;x  0
Error!
.
B] Etude locale d’une fonction
Exemple :
Etudier sur IR+* la fonction f définie par x
Error!
Error!
exp
Error!
.
Exercice 18p110.
Exercices 22, 23, 24 et 28p111.
Exercices 31 et 34p112.
Exercice 38p113.