1 Déterminer un argument de chacun des nombres complexes donnés

1 Déterminer un argument de chacun des nombres complexes donnés :
z1 = – 1 + i
z2 = i
z3 = Error!  i
Error!
z4 = 6 + i 2
z5 = (2 + 2 i) (1  i)
z6 = i ( 6 – i 2)
z7 = Error!
z8 = ( 1  i)4
z9 = Error!Error!
z10 =  Error! + i
Error!
z11 = Error!
z12 = Error!
z13 = Error!
z14 = 3 + i
z15 = Error!
z16 = Error!Error!
z17 = Error!
z18 = Error! + i
Error!
2 A l'aide d'une calculatrice, donner une valeur à approchée à 102 près d'un argument de chacun des nombres
complexes suivants :
a) z1 = 1 – 2 i
b) z2 = i + 7
c) z3 =  4 + i
3 Ecrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :
a)  1  i
b)  Error! +
Error! i
c) 5 i
d) 1  i 3
e) Error!
f) (1 + i )3
g) 2 (1 + i)
h) Error!Error!
i) (1  i)(1 + i 3)
j) Error!
k) Error!3
l) cos Error!  i sin
Error!
m) sin Error! + i cos
Error!
n) – cos Error! + i sin
Error!
4 Ecrire sous forme exponentielle chacun des nombres complexes suivants :
z1 = sin  + i cos 
z2 = cos 2  – i sin 2 
z3 =  3 (cos  + i sin )
z4 = sin  + 2 i sin2 Error!,   ] , ]
z5 = 1 – cos  – i sin ,   ],]
5 Soit z = ( 6 + 2) + i ( 6 – 2).
1° Calculer z2.
2° Déterminer le module et un argument de z2.
3° En déduire le module et un argument de z.
6 Le repère (O;
Error!
,
Error!
), est orthonormal direct.
Déterminer, par lecture graphique, un argument de chacune des affixes des points A , B , I , J et M .
7 1° Les points A, B, C ont pour affixes: zA = 1 + i 3 zB = – 1 – i et zc = 3 + 2i.
Quelle particularité présente le triangle ABC ?
2° Les points A, B, C, D ont pour affixes respectives : – 2 + i, 4i,
Error!
+ 2i,
Error!
– i.
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
8 z et z' sont deux nombres complexes donnés non nuls.Montrer que z + z' = z + z' si, et seulement si,
arg z = arg z'+ 2 k  avec k dans Z;Z.
A
I
M
J
B
u
v

1 Déterminer un argument de chacun des nombres complexes donnés :
z1 = – 1 + i
z2 = i
z3 = Error!  i
Error!
z4 = 6 + i 2
z5 = (2 + 2 i) (1  i)
z1 = Error!
z2 = Error!
z3 = Error!
z4 = Error!
z5 = [4 , 0]
z6 = i ( 6 – i 2)
z7 = Error!
z8 = ( 1  i)4
z9 = Error!Error!
z10 =  Error! + i
Error!
z6 = Error!
z7 = Error!
z8 = [4 , ]
z9 = Error!
z10 = Error!
z11 = Error!
z12 = Error!
z13 = Error!
z14 = 3 + i
z15 = Error!
z11 = Error!
z12 = Error!
z13 = Error!
z14 = Error!
z15 = Error!
z16 = Error!Error!
z17 = Error!
z18 = Error! + i
Error!
z16 = Error!
z17 = Error!
z18 = Error!
2 A l'aide d'une calculatrice, donner une valeur à approchée à 102 près d'un argument de chacun des nombres complexes suivants
a) z1 = 1 – 2 i
b) z2 = i + 7
c) z3 =  4 + i
arg(z1)  – 1,11
arg(z2)  1,57
arg(z3)  2,90
3 Ecrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :
a)  1  i
b)  Error! + Error! i
c) 5 i
2 (cos Error! + i sin Error!
cos Error! + i sinError!
5 Error!
d) 1  i 3
e) Error!
f) (1 + i )3
2 Error!
cos Error! + i sinError!
2 2 Error!
g) 2 (1 + i)
h) Error!Error!
i) (1  i)(1 + i 3)
2 2 Error!
8 (cos 0 + i sin 0)
2 2 Error!
j) Error!
k) Error!3
l) cos Error!  i sin Error!
2 2 Error!
Error! Error!
cos Error! + i sin Error!
m) sin Error! + i cos Error!
n) – cos Error! + i sin Error!
cos Error! + i sin Error!
cos Error! + i sin Error!
4 Ecrire sous forme exponentielle chacun des nombres complexes suivants :
z1 = sin  + i cos 
z2 = cos (2 ) – i sin (2 )
z3 =  3 (cos  + i sin )
Error! z1 = ei(/2 –)
{ cos (2 ) = cos (– 2 );– sin (2 ) = sin (– 2 )
z2 = e–2i
z3 = 3 ei( + )

z4 = sin  + 2 i sin2 Error!.   ] , ]
z5 = 1 – cos  – i sin .   ],]
sin  = 2 sin Error! cos Error!
z4 = 2 sin
Error!
Error!
]–,] donc  appartient
Error!
donc sin
Error!
>
0
z4 = 2 sin
Error!
ei/2
Error!
z5 = 2 sin
Error!
Error!
z5 =
Error!
= 2 sin
Error!
e–i/2
6 Soit z = ( 6 + 2) + i ( 6 – 2). 1° Calculer z2. z = 8 3 + 8 i
2° Déterminer le module et un argument de z2. | z2 | = 16 et arg (z2) =
Error!
3° En déduire le module et un argument de z. | z2 | = 16 donc | z | = 4
arg (z2) =
Error!
+ 2 k  donc arg z =
Error!
ou arg z =
Error!
+ .
Re(z) > 0 et cos
Error!
< 0 donc arg z =
Error!
7 Le repère (O;
Error!
,
Error!
), est orthonormal direct.
Déterminer, par lecture graphique, un argument de chacune des affixes des points A , B , I , J et M .
zA = 1 + i, zB = – 1 – i, zI = 2, zJ = – 2 i et zM = 2 – 2 i
8 1° Les points A, B, C ont pour affixes: zA = 1 – i 3 zB = – 1 – i et zc = 3 – 2 + i.
Quelle particularité présente le triangle ABC ?
ABC semble rectangle isocèle en B
AB = | zA – zB | = | 1 – i 3 + 1 + i | = | 2 + i (1 – 3) | = 4 + (1 – 3)2
= 4 + 1 + 3 – 2 3 = 8 – 2 3
BC = | zC – zB | = | 3 – 2 + i + 1 + i | = | 3 – 1 + 2 i | = ( 3 – 1)2 + 4 = 8 – 2 3
AB = BC le triangle ABC est donc isocèle en B.
AC = | zC – zA | = | 3 – 2 + i – 1 + i 3 | = | 3 – 3 + i (1 + 3) | = ( 3 – 3)2 + (1 + 3)2
= 9 – 6 3 + 3 + 1 + 2 3 + 3 = 16 – 4 3
AC2 = 16 – 4 3 et AB2 + BC2 = 8 – 2 3 +8 – 2 3 = AC2. Le triangle est donc rectangle en B.
2° Les points A, B, C, D ont pour affixes respectives : – 2 + i, 4i,
Error!
+ 2i,
Error!
– i.
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
ABCD semble être un parallélogramme.
zB – zA = – 2 + i – 4 i = – 2 – 3 i
zD – zC =
Error!
– i –
Error!
– 2 i = –
Error!
– 3 i = – 2 – 3 i
zB – zA = zD – zC donc ABCD est un parallélogramme.
9 z et z' sont deux nombres complexes donnés non nuls. Montrer que |z+z'|=|z|+|z '| si, et seulement si, arg z = arg z'+ 2 k 
Interprétation géométrique. Soit M le point d'affixe z, M ' le point d'affixe z ' et M '' celui d'affixe z + z '
OM = | z |, OM ' = | z ' |, OM '' = | z '' | et MM '' = | z '' – z | = | z ' | = OM '
| z + z ' | = | z | + | z ' | OM '' = OM + MM '' M (OM '') O, M, M ' alignés arg z = arg z ' + 2 k 
Par le calcul. z = x + i y et z ' = x ' + i y '
| z + z ' | = | z | + | z ' | (x + x ')2 + (y + y ')2 = x2 + y2 + x '2 + y '2
x2 + x '2 + 2 x x ' + y2 + y '2 + 2 y y ' = x2 + y2 + x '2 + y '2 + 2 x2 + y2 x '2 + y '2
x x ' + y y ' = x2 + y2 x '2 + y '2 (x x ')2 + (y y ')2 + 2 x x ' y y ' = (x2 + y2)(x '2 + y '2)
(x x ')2 + (y y ')2 + 2 x x ' y y ' = (x x ')2 + y2 x '2 + x2 y '2 + (y y ')2
2 x x ' y y ' = y2 x '2 + x2 y '2 y2 x '2 + x2 y '2 – 2 x x ' y y ' = 0 (x x ' – y y ')2 = 0
x x ' – y y ' = 0
Error!
et
Error!
colinéaires z =  z ' avec 
Error!
rang z = arg z '
A
I
M
J
B
u
v
x
o
A
B
C
o
A
B
C
D