Partie A ( 1,5 )

T S4 : 2 h
Devoir surveillé n° 3
Vendredi 30 novembre 2007
1 2 points
VRAI-FAUX. Justifier les réponses
Soit (E) l'équation différentielle : 2 y' = a y – 1, où a est un réel fixé.
1° Si a = 4 alors les solutions de (E) sur I; R sont les fonctions x
Error!
Error!
+ K e2 x où K est une constante
réelle.
2° Si a = 0 alors les solutions de (E) sur D sont les fonctions x
Error!
Error!
+ K e– a x où K est une constante
réelle.
2 6 points
Soit la fonction f définie sur I; R par : { f (x) = e–
x
1
si x > 0;f (0) = 0
Soit C sa représentation graphique dans un repère (O;
Error!
;
Error!
)
1° a) Démontrer que la fonction f est continue en 0 ?
b) La fonction f est-elle dérivable en 0 ?
Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
2° Etudier la limite de f en + .
Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
3° Etudier les variations de f .
3 12 points
Partie A
1° Démonstration de cours
Soit (E) l'équation différentielle z' = a z .
Prérequis : La fonction x
Error!
ea x est solution de l'équation (E).
Démontrer que toute solution de (E) est de la forme x
Error!
C ea x, où C est une constante réelle.
2° Résoudre l'équation différentielle (E0) : y' + y = 0
3° On note (E) l'équation différentielle y' + y = e– x
a) Démontrer que la fonction u' définie sur I; R par u (x) = x e– x est solution de (E)
b) Montrer que v est une solution de l'équation (E0) si, et seulement si, u + v est solution de (E).
c) En déduire l’ensemble des solutions de (E).
Partie B
Pour tout réel k, on désigne par fk la fonction définie sur I; R par : fk (x) = (x + k) e– x et par (C k) la courbe
représentative de fk dans le repère orthonormal ( O ,
Error!
,
Error!
).
1° Déterminer la limite de fk en +  et donner une interprétation graphique du résultat.
Déterminer la limite de fk en  .
2° Calculer fk ' (x) pour tout x réel.
Etudier les variations de la fonction fk.
3° On considère deux réels k1 et k2 tels que k1 < k2.
Etudier la position de C k1 par rapport à C k2
4° On considère T k la tangente à C k au point d'abscisse 0.
a) Déterminer une équation de T k
b) Démontrer que, pour tout réel k, T k passe par un point indépendant de k.
5° Sur le graphique ci-joint on a représenté C k, pour k {0, 1, 3, – 1, – 2, – 3}, et la courbe d'équation y = e– x.
Tracer C 2 et T 2 sur le même graphique. On indiquera le point de C 2 où la tangente est horizontale.

1 VRAI-FAUX. Justifier les réponses Soit (E) l'équation différentielle : 2 y' = a y – 1, où a est un réel fixé.
1° Si a = 4 alors les solutions de (E) sur I; R sont les fonctions x
Error!
Error!
+ K e2 x où K est une constante réelle.
2 y' = 4 y – 1 y' = 2 y –
Error!
Les solutions sont de la forme x
Error!
K e2 x –
Error!
c'est à dire x
Error!
K
e2 x +
Error!
2° Si a = 0 alors les solutions de (E) sur D sont les fonctions x
Error!
Error!
+ K e– a x où K est une constante réelle.
2 y' = – 1 les solutions sont de la forme x
Error!
–
Error!
+ K.
2 Soit la fonction f définie sur I; R par : { f (x) = e–
x
1
si x > 0;f (0) = 0 Soit C sa représentation graphique dans un repère (O;
Error!
;
Error!
)
1° a) La fonction f est-elle continue en 0 ?
X = –
Error!
Error!
–
Error!
= – donc
Error!
f (x) =
Error!
eX = 0 = f (0) donc f est continue en 0.
b) La fonction f est-elle dérivable en 0 ? Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
Error!
=
Error!
=
Error!
X = –
Error!
Error!
–
Error!
= – donc
Error!
Error!
=
Error!
X eX = 0 donc f est dérivable en 0.
La courbe C admet en O l'axe des abscisses comme tangente.
2° Etudier la limite de f en + . Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
X = –
Error!
Error!
–
Error!
= 0 donc
Error!
f (x) =
Error!
eX = 1 donc C admet la droite d'équation y = 1
comme asymptote à la courbe C en + .
3° Etudier les variations de f .
f (x) = eu (x) avec u' (x) = –
Error!
et on sait que (eu)' = eu  u'
u(x)= –
Error!
et u' (x) = –
Error!
donc f '(x) =
Error!
e–
Error!
> 0 donc f est croissante sur
Error!
3 Partie A 1° Démonstration de cours Soit (E) l'équation différentielle z' = a z . Prérequis : La fonction x
Error!
ea x est
solution de l'équation (E). Démontrer que toute solution de (E) est de la forme x
Error!
C ea x, où C est une constante réelle.
Si f est solution. On définie g sur I; R par g (x) = f (x) e– a x
g '(x) = f '(x) e– a x – f (x) a e– a x = e– a x (f '(x) – a f (x)) = 0 donc g est constante.
g (x) = C et f (x) = g (x)  ea x = C ea x
2° Résoudre l'équation différentielle (E0) : y' + y = 0
y' + y = 0 y' = – y donc les solutions sont de la forme x
Error!
e– x
3° On note (E) l'équation différentielle y' + y = e– x
a) Démontrer que la fonction u' définie sur I; R par u (x) = x e– x est solution de (E)
u (x) = x e– x et u' (x) = e– x – x e– x = (1 – x) e– x
u' (x) + u (x) = (1 – x) e– x + x e– x = (1 – x + x) e– x = e– x.
b) Montrer que v est une solution de l'équation (E0) si, et seulement si, u + v est solution de (E).
u est solution de (E) donc pour tout réel x, u' + u = e– x
u + v solution de (E) (u + v)' + (u + v) = e– x u' + u + v + v' = e– x e– x + v' + v = e– x v' + v = 0.
c) En déduire l’ensemble des solutions de (E).
Les solutions sont de la forme u + v ou v solution de (E0)
Ce sont donc les fonctions de la forme x
Error!
x e– x + C e– x.
Partie B Pour tout réel k, on désigne par fk la fonction définie sur I; R par : fk (x) = (x + k) e– x et par (C k) la courbe
représentative de fk dans le repère orthonormal ( O ,
Error!
,
Error!
). 1° Déterminer la limite de fk en +  et donner une
interprétation graphique du résultat.
fk (x) = x e– x + k e– x
Error!
donc
Error!
fk (x) = 0. la droite d'équation y = 0 est asymptote.
Déterminer la limite de fk en  .
Error!
donc
Error!
fk (x) = – .
2° Calculer fk ' (x) pour tout x réel. Etudier les variations de la fonction fk.
fk ' (x) = 1  e– x + (x + k) (– e– x) = e– x (1 – x – k)
1 – x – k 0 x 1 – k
4° On considère deux réels k1 et k2 tels que k1 < k2. Etudier la position de C k1 par rapport à C k2
fk1(x) – fk2 (x) = (x + k1) e– x – (x + k2) e– x = (x + k1 – x – k2) e– x = (k1 – k2) e– x
 k1 < k2 donc k1 – k2 < 0;pour tout réel x
e– x > 0 donc pour tout réel x, fk1(x) – fk2 (x) < 0
Donc C k1 est au dessous de C k2
5° On considère T k la tangente à C k au point d'abscisse 0. a) Déterminer une équation de T k
x
– 
1 – k
+ 
fk ' (x)
+
0
–
fk (x)
– 
ek– 1
0

fk (0) = (0 + k) e0 = k et fk ' (0) = e0 (1 – 0 – k) = 1 – k.
Donc l'équation de T k est : y = k + (1 – k) x.
b) Démontrer que, pour tout réel k, T k passe par un point indépendant de k.
y = k (1 – x) + x
Donc si x = 1 alors y = 1.
Le point A(1, 1) est indépendant de k et T k passe par A
Variante T 0 : y = x
T 1 : y = 1 + (1 – 1) x c'est à dire y = 1.
M(x, y) T 0 T 1 { y = x;y = 1 x = 1 et y = 1.
Le point d'intersection de T 0 et T 1 est donc le point A(1 , 1)
Il reste à vérifier que pour tout réel k, A T k.
Pour tout réel k, k + (1 – k) = k + 1 – k = 1 donc A(1, 1) T k
5° sur le graphique on a représenté C k pour k {0, 1, 3, – 1, – 2, – 3} et la courbe d'équation y = e– x.
Tracer C 2 et T 2 sur le même graphique. On indiquera le point de C 2 où la tangente est horizontale.
La courbe C 2 admet une tangente horizontale au point Sk (1 – 2, e– (1 – 2)) et le point Sk appartient à la courbe
d'équation y = e– x.
T 2 passe par le point A2 (0, k) c'est à dire A2 (0, 2) et par le point A (1 ; 1)
La courbe C 2 coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse – 2 car f2 (x) = 0 x + 2 = 0 x = – 2
C 2 est entre C 1 et C 3
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
6
7
8
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-2
0
1
1
x
S2
C 1
C 3

2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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-2
-3
-4
-5
2
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-3
0
1
1
x
y
2
3
4
5
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2
3
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0
1
1
x
y
Nom :
Nom :