CHAPITRE V TRIANGLES ET CERCLES

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B – Chapitre V – Triangles et cercles
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CHAPITRE V
TRIANGLES ET CERCLES
Résumé de cours.
Les exercices qui suivent utilisent les résultats suivants :
Triangles rectangles
Notations :
•
côté opposé
hypoténuse
b
sin
a
β = =
côté adjacent
hypoténuse
c
cos
a
β = =
côté opposé
côté adjacent
b
tan
c
β = =
• Théorème 1 (cercle de Thalès)
Soit un cercle C de diamètre
[
]
BC
et A un point du cercle différent de B et C.
Alors le triangle
(
)
ABC
∆
est rectangle en A.
• Théorème 2 (réciproque du cercle de Thalès)
Soit un triangle
(
)
ABC
∆ rectangle en A et C son cercle circonscrit.
Alors le centre de C est le milieu de l’hypoténuse
[
]
BC
.
• Théorème 3 (Pythagore)
Soit un triangle
(
)
ABC
∆
rectangle en A.
Alors
222
BC AB AC
= + (
2 2 2
a b c
= +
).
• Théorème 4 (réciproque de Pythagore)
Soit un triangle
(
)
ABC
∆ tel que
222
BC AB AC
= +
.
Alors le triangle
(
)
ABC
∆ est rectangle en A .
• Théorème 5 (de la hauteur)
Soit un triangle
(
)
ABC
∆ rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A .
Alors
2
AH HB HC
= ⋅
(
2
h b c
′ ′
= ⋅
).
• Théorème 6 (Euclide)
Soit un triangle
(
)
ABC
∆
rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A .
Alors
2
AB BH BC
= ⋅
et
2
AC CH BC
= ⋅
.

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Triangles quelconques
Notations :
• Théorème 7 (Thalès)
Soit un triangle quelconque
(
)
ABC
∆ ,
(
)
D AB
∈ ,
(
)
E AC
∈ tel que
(
)
(
)
DE BC
.
Alors
AB AC BC
AD AE DE
= = .
• Théorème 8 (Pythagore généralisé ou Al Kashi ou du cosinus)
Soit un triangle quelconque
(
)
ABC
∆ .
Alors :
2 2 2
2
a b c b c cos
= + − ⋅ ⋅ ⋅ α
2 2 2
2
b a c a c cos
= + − ⋅ ⋅ ⋅ β
2 2 2
2
c a b a b cos
= + − ⋅ ⋅ ⋅ γ
• Théorème 9 (des sinus)
Soit un triangle quelconque
(
)
ABC
∆ et r le rayon de son cercle circonscrit.
Alors :
2
a b c
r
sin sin sin
= = = ⋅
α β γ
Cercles et angles
• Théorème 10 (de l’arc capable ou cercle de Thalès généralisé)
Soient
(
)
O,r
C
un cercle de centre O et de rayon r , A , B , C , D quatre points du cercle tel que
[
]
O AB
∉ (c’est-à-dire que la corde
[
]
AB
n’est pas un diamètre ), O et C du même côté de
[
]
AB
et O et D de part et d’autre de
[
]
AB
. On note
2 rd
AOB
= α
.
Alors
rd
ACB
= α
et
rd
BDA
= π−α
.
ACB
et
BDA
sont des angles inscrits
au cercle qui interceptent la corde
[
]
AB
AOB
est un angle au centre

3e B – Chapitre V – Triangles et cercles
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• Théorème 11 (réciproque du théorème de l’arc capable)
Soient
(
)
O,r
C
un cercle de centre O et de rayon r , A , B deux points du cercle tel que
[
]
O AB
∉ , C , D deux points du plan tel que O et C du même côté de
(
)
AB
avec
rd
ACB
= α
et O et D de part et d’autre de
(
)
AB
avec
rd
BDA
= π−α
.
Alors C et D se trouvent sur le cercle
(
)
O,r
C
.
• Théorème 12 (des angles inscrits de même amplitude)
Deux angles inscrits à un même cercle et qui ont même amplitude interceptent deux cordes
(respectivement deux arcs de cercle) de même longueur.
• Théorème 13 (des quadrilatères convexes)
Soient
(
)
O,r
C
un cercle de centre O et de rayon r , A , B , C , D quatre points du cercle tel que
(
)
ABCD
soit un quadrilatère convexe.
Alors la somme de deux angles opposés (intérieurs) du quadrilatère vaut
rd
π
:
rd
A C B D
+ = + = π
• Théorème 14 (réciproque du théorème 12)
Soit
(
)
ABCD
un quadrilatère convexe tel que
rd
A C B D
+ = + = π
.
Alors les quatre points A , B , C , D sont cocycliques (c’est-à-dire appartiennent à un même
cercle qui est le cercle circonscrit du quadrilatère)
• Théorème 15 (des angles tangentiels)
Soient
(
)
O,r
C
un cercle de centre O et de rayon r et
BAC
un angle aigu tel que A, B
∈
C
, le
point C en dehors du cercle et
(
)
AC
tangente au cercle (on dit que
BAC
est un angle
tangentiel ).
Alors
2
BOA BAC
= ⋅ .

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B – Chapitre V – Triangles et cercles
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EXERCICES
1) Dans un triangle
(
)
ABC
∆ rectangle en A on donne (avec les notations usuelles) deux des
neuf éléments a , b , c ,
b
′
,
c
′
,
β
,
γ
,
h
(hauteur issue de A) et Aire, calculez les autres :
a)
30
β
= °
et
8
a
=
cm
b)
13
a
=
m et
12
b
=
m
c)
8
c
=
dm et
' 6,4
c
=
dm
d)
2
294 mm
Aire =
et
2,8 cm
b
=
e)
2 3 km
h=
et
60
γ
= °
f)
6 m
h
=
et
15 m
a
=
g)
' 5 m
b
=
et
50
γ
= °
h)
2
31,5 m
Aire = et
tan 7
β
=
2) Dans un rectangle ABCD on sait que
15
AB
=
m et
20 10'
CAB
= °
. Calculez
AD
et
AC
3) Un rectangle a une longueur de 20 m et une largeur de 10 m. Calculez la longueur des
diagonales et les angles formés par les deux diagonales.
4) Les diagonales d’un losange mesurent respectivement 15 cm et 20 cm. Calculez
l’amplitude des angles et la longueur des côtés du losange.
5) L’ombre d’un arbre mesure 18 m lorsque le soleil est
32
°
au-dessus de l’horizon. Calculez
la hauteur de l’arbre .
6) Calculez la hauteur d’une tour dont l’ombre s’allonge de 12 m lorsque le soleil passe de
52
°
à
30
°
au-dessus de l’horizon.
7) On a un cercle de centre O et de rayon 5 cm. Une corde
[
]
MP
mesure 6 cm. Calculez la
distance de O à la corde et l’angle
MOP
.
8) Les côtés parallèles d’un trapèze isocèle mesurent respectivement 8 m et 20 m et la hauteur
7 m. Calculez la longueur des deux autres côtés ainsi que les angles du trapèze.
9) Un touriste, dont les yeux se trouvent à 1,8 m du sol, mesure à l’aide d’un théodolite que le
point le plus haut d’un monument se trouve à
52
°
au-dessus de l’horizontale. Il s’éloigne
ensuite de 60 m du monument et constate que cet angle a diminué de
21
°
. Faites une figure
puis calculez la hauteur du monument.

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B – Chapitre V – Triangles et cercles
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10) Le toit d’une maison est constitué de deux triangles isocèles isométriques et de deux
trapèzes également isocèles et isométriques. Les deux bases des trapèzes mesurent
respectivement 22 m et 14 m et la base des deux triangles mesure 12 m. La hauteur h du toit
mesure 3 m. Calculez l’aire totale du toit.
11) Voici un étau dont les deux mâchoires identiques enserrent un tube métallique. On sait que
30 cm
OB OC
= =
(figure 1) et que
120
CAB
= °
.
figure 1 figure 2
a) Calculez le diamètre extérieur minimal d’un tube circulaire qu’on peut serrer avec cet
étau, c’est-à-dire le diamètre extérieur du tube qui touche les parois de l’étau lorsque
ses deux mâchoires sont en contact ( figure 1 ).
b) Quel est l’écartement
CC
′
des mâchoires lorsque l’étau serre un tube de 60 cm de
diamètre ( figure 2 ) ?
12) Soit un triangle quelconque
(
)
ABC
∆
, de côtés a , b , c et d’angles α , β , γ .
a) Montrez que l’aire du triangle est donnée par l’une des trois formules suivantes :
sin sin sin
2 2 2
ab ac bc
Aire
γ β α
= = =