2 h

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Devoir surveillé n° 7
Vendredi 11 avril 2008
Exercice 1
1° Calculer I =
Error!
2° A l'aide de deux intégrations par partie calculer J =
Error!
Exercice 2
On donne le tableau de variations d'une fonction f dérivable sur I; R :
x
– 
0
2
+ 
f
+ 
0
4 e– 2
0
On définit la fonction F sur par F (x) =
Error!
.
1° Déterminer les variations de la fonction F sur I; R.
2° Montrer que 0 F (3) 4 e– 2
Exercice 3
On considère la suite (Un) définie par : pour tout entier naturel n non nul, Un =
Error!
1° Montrer que la fonction f : t
Error!
t e t est une primitive de g : t
Error!
(1 + t) e t sur [ – 1 , 0 ].
En déduire la valeur de U1 .
2° Montrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour tout n non nul : Un+1 = – (n + 1) Un + 1 (R)
3° a) Montrer que pour tout réel t de l'intervalle [ – 1 ; 0 ] et pour tout entier naturel non nul n :
0 (1 + t)n e t e t
b) En déduire que pour tout n non nul, 0 Un 1 –
Error!
4° a) Montrer que pour tout réel t de l'intervalle [ – 1 ; 0 ] et pour tout entier naturel non nul n :
(1 + t)n e t (1 + t)n
b) En déduire que pour tout n non nul, Un
Error!
5° Déterminer la limite de la suite (Un)

LE DERNIER EXERCICE EST AU CHOIX.
Exercice 4
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [ 0 ; + [ par f (x) = x ln(x + 1).
1° On pose I =
Error!
et J =
Error!
a) Vérifier que pour tout réel x – 1,
Error!
= x – 1 +
Error!
b) Calculer I.
3° A l’aide d'une intégration par parties et du résultat obtenu à la question 2°, calculer, I
2° La suite (Un) est définie sur I; N par Un =
Error!
.
a) Démontrer que la suite (Un) est croissante.
b) Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, 0 Un
Error!
.
En déduire la limite de la suite (Un).
Exercice 5
Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules noires, indiscernables au toucher.
1° On effectue au hasard un tirage de deux boules simultanément de l'urne.
On note A0 l’événement « on n’a obtenu aucune boule noire » ;
on note A1 l’événement « on a obtenu une seule boule noire » ;
on note A2 l’événement « on a obtenu deux boules noires ».
Montrer que p(A0) =
Error!
et p(A1) =
Error!
; en déduire p(A2).
2° Après ce premier tirage, il reste 4 boules dans l’urne.
On effectue à nouveau un tirage sans remise de deux boules de l’urne.
On note B0 l’événement « on n’a obtenu aucune boule noire au tirage n°2 » ;
on note B1 l’événement « on a obtenu une seule boule noire au tirage n°2 » ;
on note B2 l’événement « on a obtenu deux boules noires au tirage n°2 ».
a) Calculer pA0(B0), pA1(B0) et pA2(B0).
b) Calculer p(B0).
d) On n'a obtenu aucune boule noire lors de ce second tirage.
Quelle est la probabilité d'avoir obtenu une seule boule noire lors du premier tirage ?
3° On considère l’événement R : « il a fallu exactement les deux tirages pour que les deux boules noires soient
tirées de l’urne ». Montrer que p (R) =
Error!
.

Exercice 1 1° Calculer les intégrales suivantes I =
Error!
u (x) = ln (1 + 2 x) et u' (x) =
Error!
 2 donc
Error!
=
Error!
u (x)  u' (x)
On a donc I =
Error!
=
Error!
Error!
–
Error!
Error!
=
Error!
A l'aide de deux intégrations par partie calculer K =
Error!
{ u (x) = e2 x et u' (x) = 2 e2 x;v' (x) = cos x et v (x) = sin x K = [ sin x e2 x ] –
Error!
= –
Error!
{ u (x) = 2 e2 x et u' (x) = 4 e2 x;v' (x) = sin x et v (x) = – cos x donc K = –
Error!
= – (– 2 cos  e2  + 2 cos  e0 + 4 K)
On a donc K = – 2 e2  – 2 – 4 K donc K + 4 K = – 2 – 2 e2  donc K =
Error!
Exercice 2
On donne le tableau de variations d'une fonction f dérivable sur I; R :
x
– 
0
2
+ 
f
+ 
0
4 e– 2
0
On définit la fonction F sur par F (x) =
Error!
.
1° Déterminer les variations de la fonction F sur I; R.
F est la primitive de f qui s'annule en 2 donc F (x) = f (x)
D'après les variations de f la fonction f est toujours positive donc, pour tout réel x, F '(x) 0
F est donc croissante sur I; R.
2° Montrer que 0 F (3) 4 e– 2
F (3) =
Error!
D'après les variations de f on a : pour tout réel t [ 2 ; 3 ], 0 f (t) 4 e– 2
On peut intégrer les inégalités sur l'intervalle [ 2 ; 3 ] :
0
Error!
Error!
donc 0 F (2) 4 e– 2 (3 – 2)
Exercice 3 On considère la suite (Un) définie par : pour tout entier naturel n non nul, Un =
Error!
1° Montrer que la fonction f : t
Error!
t e t est une primitive de g : t
Error!
(1 + t) e t sur [ – 1 , 0 ].
f '(t) = 1  e t + t e t = (1 + t) e t = g (t)
En déduire la valeur de U1 .
U1 =
Error!
= [ F (t) ] = F (0) – F (– 1) = 0 e0 – (– 1) e– 1 =
Error!
2° Montrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour tout n non nul : Un+1 = – (n + 1) Un + 1 (R)
{ u (t) = (1 + t)n + 1 et u' (t) = (n + 1) (1 + t)n;v' (t) = e t et v (t) = e t donc Un + 1 = [ (1 + t)n + 1 e t ] –
Error!
donc Un + 1 = (0 + 1) e0 – (– 1 + 1) e– 1 – (n + 1) Un = 1 – (n + 1) Un
1° a) Montrer que pour tout réel t de l'intervalle [ – 1 ; 0 ] et pour tout entier naturel non nul n : 0 (1 + t)n e t e t
Pour tout réel t de l'intervalle [ – 1 ; 0 ], 1 + t 1 + 0 donc (1 + t)n 1 donc (1 + t)n e t e t.

b) En déduire que pour tout n non nul, 0 Un 1 –
Error!
Pour tout réel t de l'intervalle [ – 1 ; 0 ], 0 (1 + t)n e t e t.
On intègre les inégalités sur l'intervalle [ – 1 ; 0 ]
Error!
Error!
donc Un [ e t ] donc Un e0 – e– 1
5° a) Montrer que pour tout réel t de l'intervalle [ – 1 ; 0 ] et pour tout entier naturel non nul n : (1 + t)n e t e (1 + t)n
Pour tout réel t de l'intervalle [ – 1 ; 0 ], e t e0 donc (1 + t)n e t (1 + t)n e0 donc (1 + t)n e t (1 + t)n
b) En déduire que pour tout n non nul, Un
Error!
Pour tout réel t de l'intervalle [ – 1 ; 0 ], (1 + t)n e t (1 + t)n
On intègre les inégalités sur l'intervalle [ – 1 ; 0 ] :
Error!
Error!
Error!
=
Error!
=
Error!
–
Error!
=
Error!
donc Un
Error!
6° Déterminer la limite de la suite (Un)
Pour tout entier naturel n, 0 Un
Error!
Error!
Error!
= 0 donc, d'après le théorème des gendarmes,
Error!
Un = 0.
Exercice 4 Soit f la fonction définie sur l’intervalle [ 0 ; + [ par f (x) = x ln(x + 1). 1° On pose I =
Error!
.
a) Déterminer trois réels a, b et c tels que, pour tout x – 1,
Error!
= a x + b +
Error!
Error!
= a x + b +
Error!
Error!
=
Error!
Error!
=
Error!
{ a =1;a + b = 0;b + c = 0
{ a = 1;b = – 1;c = 1 et
Error!
= x – 1 +
Error!
b) Calculer I.
I =
Error!
=
Error!
– 1 + ln 2 – 02 + 0 – ln 1 = ln 2 –
Error!
3° A l’aide d'une intégration par parties et du résultat obtenu à la question 2°, calculer, I
Error!
Error!
donc J =
Error!
–
Error!
=
Error!
–
Error!
I =
Error!
–
Error!
Error!
=
Error!
2° La suite (Un) est définie sur I; N par Un =
Error!
. a) Démontrer que la suite (Un) est croissante.
Un + 1 – Un =
Error!
–
Error!
=
Error!
Pour tout réel x [ 0 , 1 ], xn (x – 1) ln (x + 1) 0 donc
Error!
0.
b) Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, 0 Un
Error!
. En déduire la limite de la suite (Un).
Pour tout réel x [ 0 , 1 ], 0 xn ln (x + 1) xn  ln 2
On intègre les inégalités sur l'intervalle [ 0 ; 1 ] : 0 Un
Error!
Error!
=
Error!
=
Error!

Exercice 5 Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules noires, indiscernables au toucher. 1° On effectue au hasard un
tirage de deux boules simultanément de l’urne. On note A0 l’événement « on n’a obtenu aucune boule noire » ; on note A1
l’événement « on a obtenu une seule boule noire » ; on note A2 l’événement « on a obtenu deux boules noires ».
Montrer que p(A0) =
Error!
et p(A1) =
Error!
; en déduire p(A2).
On est dans une situation d'équiprobabilité.
Il y a ( )
2;6 =
Error!
= 15 manières de choisir 2 boules parmi les 6 boules de l'urne.
L'événement A0 est l'événement "tirer 2 boules rouges"
Il y a ( )
2;4 =
Error!
= 6 manières de choisir 2 boules rouges parmi les 4 boules rouges donc p'(A0) =
Error!
A1 l’événement « on a obtenu 1 boule noire et 1 rouge ». Il y a 4  2 manières de choisir 1 boule rouge et une
boule noire parmi les 4 boules rouges et les 2 boules noires donc p(A1) =
Error!
p(A2) = 1 – p(A0) – p(A1) = 1 –
Error!
–
Error!
=
Error!
=
Error!
2° Après ce premier tirage, il reste 4 boules dans l’urne. On effectue à nouveau un tirage sans remise de deux boules de l’urne.
On note B0 l’événement « on n’a obtenu aucune boule noire au tirage n°2 » ; on note B1 l’événement « on a obtenu une seule
boule noire au tirage n°2 » ; on note B2 l’événement « on a obtenu deux boules noires au tirage n°2 ».
a) Calculer pA0(B0), pA1(B0) et pA2(B0).
Il y a ( )
2;4 = 6, manières de choisir 2 boules parmi les 4 boules de l'urne.
Si A0 est réalisé, il y a 2 boules rouges et 2 boules noires dans l'urne
Il y a ( )
2;2 = 1, manières de choisir 2 boules rouges parmi les 2 boules rouges de l'urne. Donc pA0(B0) =
Error!
Si A1 est réalisé, il y a 3 boules rouges et 1 boule noire dans l'urne
Il y a ( )
2;3 = 3 manières de choisir 2 boules rouges parmi les 3 boules rouges de l'urne. Donc pA1(B0) =
Error!
Si A2 est réalisé il n'y a plus de boules noires donc pA2(B0) = 1.
b) Calculer p(B0).
p(B0) = p(A0 B0) + p(A1 B0) + p(A2 B0)
= p(A0)  pA0(B0) + p(A1)  pA1(B0) + p(A2)  pA2(B0)
=
Error!
Error!
+
Error!
Error!
+
Error!
 1 =
Error!
+
Error!
+
Error!
=
Error!
=
Error!
d) On a obtenu aucune boule noire lors de ce second tirage.
Quelle est la probabilité d’avoir obtenu une seule boule noire lors
du premier tirage ?
pB0(A1) =
Error!
=
Error!
=
Error!
=
Error!
3° On considère l’événement R : « il a fallu exactement les deux tirages pour
que les deux boules noires soient tirées de l’urne ». Montrer que p (R) =
Error!
..
p(R) = p(A0 B2) + p(A1 B1) =
Error!
+
Error!
=
Error!
=
Error!
B0
1/15
1/6
A0
4/6
B1
4/15
1/6
6/15
B2
1/15
B0
4/15
3/6
8/15
A1
3/6
B1
4/15
0
B2
1/15
B0
1/15
1
A2
0
B1
0
B2