Les divisions justes

Année 2001-2002. Atelier Scientifique ZEP
Ecole primaire Jean Bonis & Collège Frédéric Chopin Melun
Élèves : ??
Enseignant : Jean-Michel ENGEL & Ludovic MOREAU
Chercheur : Pierre Duchet
Titre : Divisions justes
DIVISIONS JUSTES
Dans tout notre exposé, les nombres n et p désignent deux
nombres entiers non nuls.
1.
Définitions
 Division euclidienne
 Etre congru à
 Division juste
 Etre divisible par
 Multiple
2.
Critères de divisibilité
 Par 1
 Par 5
 Par 2
 Par 7
 Par 3
 Par 9
 Par 4
 Par 10
1. Définitions
 Division euclidienne
Effectuer la division euclidienne de n par p revient à trouver les
deux nombres entiers q et r tels que :
n=qp+r
Dans ce cas,
et
0r<p
n est appelé le dividende
p est appelé le diviseur
q est appelé le quotient
r est appelé le reste
 Etre congru à
Deux nombres entiers n1 et n2 sont congrus à un nombre entier
p si ils ont le même reste dans la division euclidienne par p.
Notation : n1  n2 [p]
Exemple :
151 = 4  37 + 3
le reste dans la division euclidienne de 151 par 4 est égal à 3
516 = 4  129 + 3
le reste dans la division euclidienne de 516 par 4 est égal à 3
On écrit donc 516  151 [4]
 Division juste
Une division juste est une division euclidienne où le reste est nul.
Remarque : le mot “ juste ” n’a pas le sens ici de “ correct ”
 Etre divisible par
Un nombre entier n est divisible par un autre nombre entier p si la
division euclidienne de n par p est juste.
 Multiple
Un nombre entier n est multiple d’un nombre entier p si la division
euclidienne de n par p est juste.
2. Critères de divisibilité
Pour savoir si un nombre n est divisible par un nombre p, on peut
bien sûr effectuer la division euclidienne de n par p et étudier le
reste obtenu.
Mais on veut maintenant trouver des méthodes plus rapides pour
savoir si un nombre est divisible par un autre nombre.
Voici quelques lois énoncées lors de nos recherches :
 Par 1
Tous les nombres entiers sont divisibles par 1.
n  1 = n
donc la division euclidienne de n par 1 est juste
quelque soit la valeur de n.
 Par 2
Loi n°1 :
Si le chiffre des unités d’un nombre entier est égal à 0, 2, 4, 6 ou
8, alors ce nombre est divisible par 2.
Loi n°2 :
Si le chiffre des unités d’un nombre entier est égal à 1, 3, 5, 7 ou
9, alors ce nombre n’est pas divisible par 2.
 Par 3
Définition :
Calculer la somme finale d’un nombre entier revient à effectuer la
somme de ses chiffres et à recommencer tant que la somme
obtenue possède plusieurs chiffres.
Notation :
n  s signifie la somme des chiffres du nombre n est égale à s.
Loi n°1 :
Si la somme finale d’un nombre entier est égale à 3, 6 ou 9, alors
ce nombre est divisible par 3.
Loi n°2 :
Si la somme finale d’un nombre entier n'est pas dans la liste (3, 6,
9), alors ce nombre n’est pas divisible par 3.
Exemple :
729 861  33
33  6
(car 7 + 2 + 9 + 8 + 6 + 1 = 33)
(car 3 + 3 = 6)
On notera 729 861  33  6
Donc la somme finale de 729 861 est égale à 6, et en utilisant
notre loi n°1, on en déduit donc que 729 861 est divisible par 3.
 Par 4
Loi n°1 :
Si le nombre formé par les deux derniers chiffres du nombre est
divisible par 4, alors ce nombre est divisible par 4.
Loi n°2 :
Si le nombre formé par les deux derniers chiffres du nombre n’est
pas divisible par 4, alors ce nombre n’est pas divisible par 4.
 Par 5
Loi n°1 :
Si le chiffre des unités d’un nombre entier est égal à 0 ou 5, alors
ce nombre est divisible par 5.
Loi n°2 :
Si le chiffre des unités d’un nombre entier est différent de 0 et de
5, alors ce nombre n’est pas divisible par 5.
Exemple :
650 000 195 est divisible par 5 car l’unité de ce nombre est 5.
 Par 7
Pour savoir si un nombre entier est divisible par 7, on n’a pas
besoin de connaître la valeur du quotient.
On veut simplement connaître la valeur du reste.
Si ce dernier est égal à 0, alors ce nombre est divisible par 7,
sinon il n’est pas divisible par 7.
Loi :
Si on retranche un multiple de 7 à un nombre apparaissant dans
l’écriture de notre nombre de départ, on ne change pas son reste
dans la division euclidienne par 7.
Applications de cette loi :
Si il y a un 7 dans l’écriture d’un nombre et qu’on le remplace par
un 0, on ne change pas le reste.
Si il y a un 8 dans l’écriture d’un nombre et qu’on le remplace par
un 1, on ne change pas le reste.
Si il y a un 9 dans l’écriture d’un nombre et qu’on le remplace par
un 2, on ne change pas le reste.
Si dans l’écriture du nombre apparaît un multiple de 7 et qu’on le
remplace par des 0, on ne change pas le reste.
Exemple :
721 249 891 
200 121

000 200 121
60 100
[7]
[7]
60 100

4 100
4 100

600
600

40 
5
40
[7]
[7]
[7]
[7]
 Par 9
Loi n°1 :
Si la somme finale d’un nombre entier est égale à 9, alors ce
nombre est divisible par 9.
Loi n°2 :
Si la somme finale obtenue est différente de 9, alors ce nombre
n’est pas divisible par 9.
 Par 10
Si le chiffre des unités d’un nombre est égal à 0, alors ce nombre
est divisible par 10.