calculs_distances

Distances dans le Système
solaire
la mesure de l'unité astronomique
1 - Proportions du système solaire d’après Copernic
Distance des planètes inférieures en général et de Vénus en particulier
Soleil
Vénus
Terre
Au moment de son élongation maximale, l’angle Terre-Planète-Soleil est un
angle droit.
20/04/2004
Mesure de la parallaxe solaire
2
Proportions du système solaire d’après Copernic
Au moment de son élongation maximale, l’angle
Terre-Planète-Soleil est un angle droit.
Soleil
Vénus
On peut écrire :
côté opposé PS
sin q =
=
d’où
hypoténuse
TS
Terre
PS = sinq  TS
V
Pour Mercure, q = 24 et pour Vénus q = 46,3
d'où en posant TS = 1 UA
q
T
S
MS = 0,41 UA et VS = 0,723 UA
VS
= 0,723
TS
20/04/2004
ou
TS
= 1,383
VS
Mesure de la parallaxe solaire
3
Proportions du système solaire d’après Kepler
D’après la troisième loi de Képler, si T est la période de rotation d’un astre autour du
Soleil et si a est le demi grand axe de sa trajectoire elliptique,
T2
= cte
a3
Pour toutes les planètes tournant autour du Soleil, le carré de la période sidérale T
exprimée en années est égal au cube du demi grand axe a exprimé en unités
astronomiques :
T 2 (années) = a 3 (UA)
20/04/2004
Mesure de la parallaxe solaire
4
Proportions du système solaire d’après Kepler
En supposant les trajectoires circulaires pour la Terre et Vénus on a :
2
V
2
T
T
T
=
(VS ) 3 (TS ) 3
TS  TT 
= 
VS  TV 
soit
2
3
En prenant TT = 365,25 j et TV = 224,70 j, on obtient
2
3
TS  365,25 
=
 = 1,382

VS
224,70 
20/04/2004
Mesure de la parallaxe solaire
5
Proportions du système solaire d’après Kepler
e=0
En réalité, les orbites sont elliptiques et le rapport
des distances dépend de l'orientation des planètes .
e=0 ,1
S
A un instant donné le rayon vecteur rp joignant le
centre du Soleil à une planète P se calcule à l’aide de
la formule suivante :
(1  e P )
rP = a P
1  e P cos(q  q 0 P )
R =1 ,28
2
R =1 ,51
ap est le demi-grand axe de l’ellipse, ep est l’excentricité de l’ellipse, et sont les
coordonnées polaires qui permettent de positionner la planète sur son orbite.
A un instant t d’alignement des planètes, le rapport des rayons vecteurs est égal à
rT aT 1  eT 1  eV cos(qV  q 0V )
=


rV aV 1  eV 2 1  eT cos(q T  q 0T )
2
Le 8 juin :
20/04/2004
Mesure de la parallaxe solaire
TS
= 1,398
VS
6
2 - Principe de la mesure de la distance Terre-Soleil
Imaginons 2 observateurs terrestres, l’un en A et l’autre en B
A
T
B
V
B’
S
e
A’
De A, Vénus se projette au point A’ sur le disque solaire
De B, Vénus se projette au point B’ sur le disque solaire
20/04/2004
Mesure de la parallaxe solaire
7
double
Principe de la mesure de la distance Terre-Soleil
Imaginons 2 observateurs terrestres, l’un en A et l’autre en B
De A, Vénus se projette au point A’ sur le disque solaire
De B, Vénus se projette au point B’ sur le disque solaire
Pour simplifier supposons que les deux observateurs sont sur un diamètre terrestre.
20/04/2004
Mesure de la parallaxe solaire
8
Principe de la mesure de la distance Terre-Soleil
A
T
V
B’
B
S
Notons : e = A’B’
D diamètre du Soleil
R rayon de la Terre
e
A’
La valeur maximale de A’B’ obtenue lorsque AB = 2 R
Différentes méthodes permettent d’obtenir le rapport
e
D
(Superposition de photographies …)
20/04/2004
Mesure de la parallaxe solaire
9
Principe de la mesure de la distance Terre-Soleil
A
B’
T
V
b
S e
A’
B
A' B' VS
VS
1
=
=
=
=
AB VT TS  VS TS
1
VS
 TS 
 1

 VS 
1
Ce rapport permet de déterminer la parallaxe du Soleil et d’en déduire sa distance à la Terre
e
 tanb  b
TS
exprimé en radians car b est très petit.
Dans le cas de A et B diamétralement opposés :
20/04/2004
e0 = A' B' = 2,51 AB = 5,02 R
Mesure de la parallaxe solaire
10
Principe de la mesure de la distance Terre-Soleil
A
B’

T
V
b
S e
0
A’
B
Le diamètre apparent du Soleil est mesurable depuis la Terre et vaut
Donc
e b
=
D 
D
 tan    exprimé en radians
TS
e
e
c'est-à-dire b =  =
D
TS
Dans le cas de A et B diamétralement opposés :
TS =
20/04/2004
 D 1
= 5,02 R    
b
 e0    
e0
Mesure de la parallaxe solaire
11
Principe de la mesure de la distance Terre-Soleil
A
B’
T

b
V
S e
0
A’
B
Exemple : R = 6378 km,  = 3131
' " = 31,52 
Supposons

60  180
D
= 43
e0
Alors TS = 150 000 000 km
20/04/2004
Mesure de la parallaxe solaire
12
3 - Géométrie simplifiée du problème
bV
A
B’
V
bS
Db
A’
B
A’ et B’ désignent les images de la planète Vénus sur le disque solaire respectivement
observées depuis les postes A et B ;
bS désigne la parallaxe du Soleil vu depuis les 2 postes A et B.
(Ce n’est pas la parallaxe du Soleil !)
bV désigne la parallaxe de Vénus vu depuis les 2 postes A et B
On trace la parallèle à AA’ passant par B.
Db désigne l’écart angulaire entre A’ et B’ « vus » depuis un point de la Terre .
20/04/2004
Mesure de la parallaxe solaire
13
3 - Géométrie simplifiée du problème
bV
A
B’
V
bS
Db
A’
B
On constate que
D b = bV  b S
La différence entre les écarts angulaires correspond à la différence des « parallaxes »
de Vénus et du Soleil. En utilisant les observations depuis 2 points de la Terre, on est
en mesure de déterminer la valeur de cet angle Db …voir plus loin.
20/04/2004
Mesure de la parallaxe solaire
14
3 - Géométrie simplifiée du problème
bV
A
B’
V
bS
Db
A’
B
Avec des angles mesurés en radians et en supposant que le segment [AB] est
perpendiculaire à la direction Terre-Soleil
AB
TS  VS
AB
AB AB
VS
AB
1
D b = bV  b S =

=

=

TS  VS TS TS TS  VS TS TS
1
VS
AB
1

La distance Terre-Soleil est donc TS =
TS
Db
1
VS
Reste à déterminer AB et D b !
bS =
20/04/2004
AB
TS
et b V =
Mesure de la parallaxe solaire
15
Calcul de D b
1. Méthode directe
Il s’agit de mesurer le diamètre du Soleil et la distance entre les deux traces c'est-àdire A’B’ sur une photographie.
Coblence
20/04/2004
Windhoek
Mesure de la parallaxe solaire
superposition
16
Calcul de D b
1. Méthode directe
B1
A1
Le diamètre angulaire du Soleil vu depuis la
Terre est 31,5’
Db
31,5
=
B’
A’
B2
A2
D/2
S
A' B'
D
donc
D b = 31,5'
20/04/2004
A' B'

A' B'
= 31,5 

radians
D
10800
D
Mesure de la parallaxe solaire
17
Calcul de D b
2. Calcul de D b par la méthode des cordes
La distance entre les cordes vues de A et B est
difficile à mesurer car les 2 lignes sont très proches
l’une de l’autre en comparaison du diamètre du
Soleil.
B1
A1
B’
A’
B2
A2
D/2
S
On peut remplacer les mesures de A’B’ par la
mesure des cordes A1A2 et B1B2
20/04/2004
Mesure de la parallaxe solaire
18
Calcul de D b
2. Calcul de D b par la méthode des cordes
Par utilisation du théorème de Pythagore
D2  B1 B2 2
 D
 B1 B2 
2
B' S =    
 =
 2
 2 
4
1
1
B' S =
D2  B1 B2 2 et A' S =
D2  A1 A2 2
2
2
2
2
A' B' SB' SA' 1 
 B1 B2 
 A1 A2  
=
=  1 
  1 
 
 D 
 D  
D
D
2


2
2
B1
A1
B’
A’
B2
A2
D/2
Il suffit donc de mesurer sur le dessin D, A1A2, et B1B2
Db
A' B'
pour déduire
puis TS.
=
31,5
D
S
Au travail !
20/04/2004
Mesure de la parallaxe solaire
19
Calcul de D b
3. Calculs de D b par la méthode des temps de passage
Supposons que le mouvement apparent de Vénus sur le Soleil ait lieu à vitesse constante,
la même pour tous les observateurs. Cette vitesse dépend du mouvement relatif de Vénus
et de la Terre autour du Soleil.
Vitesse apparente de Vénus :
T
V
b
Depuis la Terre, on voit Vénus tourner
autour du Soleil en 584 jours (période
synodique).

S
V '
Si les angles sont comptés en radians, on a :
VV’ = SV .  = TV . b
d’où
b SV 0,723
=
=
 TV 0,277
En comptant les angles en minutes d’arc, le rapport b /  est inchangé.
20/04/2004
Mesure de la parallaxe solaire
20
Vitesse apparente de Vénus
En comptant les angles en minutes d’arc, le rapport b /  est inchangé.
En une heure autour du Soleil, Vénus parcourt un angle
=
360  60
minutesd'arc
584  24
T
V
b

S
d’où
0,723 360  60  723
b=
=
0,277 584  24  277
V '
b = 4’/heure.
20/04/2004
Mesure de la parallaxe solaire
21
Vitesse apparente de Vénus
Les éphémérides permettent de calculer avec précision le déplacement angulaire de
Vénus devant le Soleil.
Passage de Vénus devant le Soleil 8 juin 2004
Date UTC
h m s
o
Déplacement du Soleil
Long.
Lat.
' "
o ' "
5
6
7
8
9
10
11
12
77
77
77
77
77
77
77
78
44
47
49
52
54
56
59
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
58.4074
21.8494
45.2904
8.7306
32.1697
55.6080
19.0453
42.4817
-00
-00
-00
-00
-00
-00
-00
-00
0
0
0
0
0
0
0
0
0.6005
0.5994
0.5982
0.5969
0.5956
0.5943
0.5928
0.5914
Date UTC
h m s
5
6
7
8
9
10
11
12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Déplacement de la planète
Long.
o ' "
o '
Lat.
"
77
77
77
77
77
77
77
77
47.8140
21.1813
54.4647
27.8149
1.37760
35.2839
9.64090
44.5247
56
54
53
51
49
48
46
44
18.3077
44.4696
9.17380
32.4902
54.5840
15.7045
36.1684
56.3377
-00
-00
-00
-00
-00
-00
-00
-00
8
9
9
10
11
11
12
12
Vitesse angulaire relative ?
Calculs d'éphémérides (http://www.imcce.fr/ephem/ephepos/ephepos_f1.html)
20/04/2004
Mesure de la parallaxe solaire
22
Calcul de D b
B1
3. Calcul de D b par la méthode des temps de passage
A1
Soit t0 l’hypothétique durée de passage de Vénus le
long d’un diamètre.
B’
A’
B2
A2
D/2
S
A la vitesse de 4 minutes d’arc par heure on obtient
t0 =
31,5
h = 7,875 heures = 28350 s.
4
Soit tA la durée du passage observé depuis A et tB la durée du passage observé depuis B
A1 A2 B1 B2 D
=
=
d ' où
tA
tB
t0
A1 A2 t A
=
D
t0
et
B1 B2 t B
=
D
t0
2
2
 tB 
 tA  
A' B' 1 
=
1    1   
D
2
 t0 
 t0  


Il suffit de calculer les temps de passage observés depuis A et B !
20/04/2004
Mesure de la parallaxe solaire
23
Résultats utilisant les observations de 1769
Distance entre les points A et B
A = Vardö
longitude lA : 31,02 est
latitude jA : 70,367 nord
PN
Vardö
B= Tahiti
longitude lB : 149,48 ouest
latitude jB : 17,482 sud
Soleil
S
jA
T
Equateur
j
B
Tahiti
A et B sont dans le même plan méridien : ~ 180°
L’angle ATB vaut avec calculettes :
(90 - jA) + 90 + jB = 127° 11’ et on utilisera R = 6378 km ;
 ATB 
AB = 2 R sin 
 = 11425 km
 2 
20/04/2004
Mesure de la parallaxe solaire
24
Résultats utilisant les observations de 1769
1. mesure directe
Par mesure directe de la distance entre les deux cordes lignes 1 et 3, on obtient
A’B’ = 3,8 mm pour un diamètre sur le dessin D = 188 mm
à Db =
20/04/2004
3,8 31,5  

= 0,000185 radians
188,0 10800
Mesure de la parallaxe solaire
25
Résultats utilisant les observations de 1769
2. par mesure des cordes
En mesurant A1A2 et B1B2 sur le
disque du Soleil, on obtient
A1A2 = 141,5 mm
B1B2 = 134 mm
D
= 188,0 mm
2
2
A' B' 1 
 134 
 141,5 
Alors
=  1 
  1 
  = 0,02150
 188 
 188  
D
2


D b = 0,02150 
20/04/2004
31,5  
= 0,000197 radians
10800
Mesure de la parallaxe solaire
26
Résultats utilisant les observations de 1769
3. Par mesure des temps de transit
20/04/2004
Mesure de la parallaxe solaire
27
Résultats utilisant les observations de 1769
3. Par mesure des temps de transit
Pour Vardö situé en A, avec l’observation de Borgrewing, on calcule en prenant les
temps des contacts intérieurs
tA = 15h 27 min 28,6 s – 9h 34 min 32,6 s = 21 176 s
Pour Tahiti situé en B, avec l’observation de Cook, on calcule
tB = 15h 14 min 11s – 9h 44 min 15 s = 19 796 s
En utilisant t0 = 28 350 s
2
2
A' B' 1 
 19796 
 21176 
=  1 
  1 
  = 0,02548



D
2
28350
28350 


31,5  
D b = 0,02548 
= 0,00023 radians
10800
20/04/2004
Mesure de la parallaxe solaire
28
Résultats utilisant les observations de 1769
Distance Terre Soleil
A
Il faut déterminer la distance de la base
c'est-à-dire la projection de [AB] dans
le plan perpendiculaire à TS
 : déclinaison du Soleil
b
T
B
On a alors base b =
jAjB
 j B  90  90  j A



jAjB

AB  cos 
 j B    = AB  cos  90 
   = AB  sin 
 






2
2
2
où  est la déclinaison de Vénus.
TS =
20/04/2004
base
1

TS
Db
1
VS
Mesure de la parallaxe solaire
29
Résultats utilisant les observations de 1769
Distance Terre Soleil
A
b
Base = 11425 x sin (43,94 +22,68)
= 10 487 km
T
B
TS =
20/04/2004
10487
1

0,0002 0,382
soit environ 137 000 000 km
Mesure de la parallaxe solaire
30
Calcul de la parallaxe moyenne du Soleil et de l’unité astronomique en 2004
La parallaxe équatoriale moyenne du Soleil 0 est par définition l’angle sous lequel
on voit le rayon équatorial de la Terre depuis le centre du Soleil lorsque le Soleil se
trouve à une unité astronomique de la Terre.
On a donc la relation suivante :
sin  0 =
R
a
où
0 =
R
a
avec 0 en radians
R étant le rayon équatorial terrestre et a l’unité astronomique d’où
a=
20/04/2004
R
R 180  3600
R 648000
en km
=

=

 0 rad  0 ' '

 0 ''

Mesure de la parallaxe solaire
31
Rappel
Il existe trois méthodes principales pour calculer la parallaxe solaire à partir des
observations combinées en deux lieux distincts du passage de Vénus devant le Soleil.
Elles sont citées ici sans ordre chronologique….
La première méthode consiste à mesurer directement sur deux clichés superposés
la différence de positions de Vénus.
La seconde est la méthode de Delisle, elle consiste à observer et comparer un même
contact entre le disque de Vénus et le disque solaire. Les contacts extérieurs étant
souvent difficiles à observer nous nous limiterons dans nos explications aux contacts
intérieurs, mais le raisonnement est en tous points identique pour les contacts
extérieurs.
La troisième méthode est la méthode de Halley, elle consiste à observer et comparer
la durée du phénomène.
20/04/2004
Mesure de la parallaxe solaire
32
Calcul de la parallaxe à partir des instants des contacts ou de la durée du passage.
Il existe deux formules simplifiées qui permettent un calcul direct de la parallaxe à partir
de la comparaison des instants d’un même contact en deux lieux distincts (méthode de
Delisle) ou à partir de la comparaison de la durée des passages en deux lieux distincts
(méthode de Halley)
Soit t0 l’instant observé d’un contact intérieur ou extérieur pour deux lieux indexés par
1 et 2 de latitudes j1 et j2 et de longitudes l1 et l2.
La parallaxe équatoriale moyenne solaire 0 s’obtient en comparant deux contacts
identiques à l’aide de la formule très simplifiée suivante
 A(cos j1 cos l1  cos j 2 cos l 2 )  
 B(cos j sin l  cos j sin l )   = dD (t  t )
1
1
2
2

 0 dt 2,O 1,O
C (sin j1  sin j 2 )

Les quantités A, B, C et dD/dt sont calculés pour chaque contact, sont indépendantes
de l’observateur et peuvent être calculées à l’avance.
On remarque également que la combinaison des lieux d’observation doit être faite de
sorte que la différence des temps de contacts soit maximale.
20/04/2004
Mesure de la parallaxe solaire
33
Calcul de la parallaxe à partir des instants des contacts ou de la durée du passage.
De même la parallaxe équatoriale moyenne solaire s’obtient en comparant deux durées
identiques à l’aide de la formule suivante où DTo la différence de temps de passage
observée
( Ai  A j )(cos j1 cos l1  cos j 2 cos l2 )  


dD
(
B

B
)(cos
j
cos
l

cos
j
cos
l
)


=

( DT0 )
 i

j
1
1
2
2
0
dt
(C  C )(sin j  sin j )

j
1
2
 i

i et j sont des indices liés aux mêmes contacts : i = 1, j = 4 pour les contacts
extérieurs et i = 2, j = 3 pour les contacts intérieurs.
dD sont donnés par le tableau suivant pour le
Les coefficients A, B, C et le terme
dt
passage de 2004
20/04/2004
Description du contact
A
B
C
Premier contact extérieur (indice 1)
Premier contact intérieur (indice 2)
Dernier contact intérieur (indice 3)
Dernier contact extérieur (indice 4)
2,2606
2,1970
-1,0929
-0,9799
-0,0194
0,2237
-1,1376
-1,3390
1,0110
1,1206
1,9090
1,8383
Mesure de la parallaxe solaire
dD/dt
"/min
-3,0846
-2,9394
2,9391
3,0842
34
Exemples numériques
Ville n°1 : Antananarivo (j1 = –18,866667° et l1 = –47,5°)
Instant du premier contact intérieur observé (indice 2): t2 = 5h 35m 30s UTC.
Instant du dernier contact intérieur observé (indice 3): t3 = 11h 8m 4s UTC.
Durée du passage intérieur observée:
t3- t2 = 5h 32m 34s.
Ville n°2 : Helsinki (j2 = 60,133333° et l2 = –25,05°)
Instant du premier contact intérieur observé (indice 2): t2 = 5h 38m 38s UTC.
Instant du dernier contact intérieur observé (indice 3): t3 = 11h 2m 20s UTC.
Durée du passage intérieur observée:
t3- t2 = 5h 23m 42s.
Dans les formules les facteurs des coefficients A, B, C sont identiques et peuvent être
calculés séparément :
cos j1 cos l1  cos j 2 cos l2 = 0,18815
cos j1 cos l1  cos j 2 cos l2 = 0,486815
sin j1  sin j 2 = 1,190553
20/04/2004
Mesure de la parallaxe solaire
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Calcul de la parallaxe à l’aide des premiers contacts :
L’écart des temps des premiers contacts intérieurs est de –3m 8s (–3,1333m), et
l’usage des valeurs des coefficients A2, B2, C2 et dD dans la première formule nous
dt
donne  0 = 8,945"
Calcul de la parallaxe à l’aide des durées des passages intérieurs :
L’écart de durée des passages intérieurs est de 8 min 52s (8,866 min), et l’usage des
valeurs des coefficients A2, B2, C2, A3, B3, C3 et dD dans la deuxième formule nous
dt
donnent la relation
-2,95426 0 = -2,9391"/min x (8,866 min)
dD 
 dD 
Attention, c’est la valeur 
 = 

 dt  3
 dt  2
et surtout son signe qui doit être utilisée.
0 = 8,822" soit 149 122 300 km (IERS : 149 597 870 610 m)
On rappelle que ces méthodes ne sont pas exactes, et que l’on doit utiliser des
formules plus complexes pour réduire les observations.
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Mesure de la parallaxe solaire
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