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Intégrales
1 - Intégrale simple
2 - Deux directions de généralisation
3 - Techniques de calcul
4 - Intégrale multiple
Bruno Rossetto, bureau A 37, tél. 06 08 45 48 54
et 04 94 14 27 26
email : [email protected]
site : http://rossetto.univ-tln.fr
2010-11, GEII semestre 3
Mathématiques
1
Somme discrète
• Distance parcourue lorsque la vitesse varie par paliers
v(t)
Distance parcourue durant l’intervalle
de temps t i , t i 1 , avec t i 1  t i  h
di = v(ti) . h
v(ti)
di est l’aire du rectangle hachuré.
n
Distance totale : D n   d i
h
i 1
n
t0
ti
ti+1
tn
t
D n   h . v(t i )
i 1
Dn est la somme des aires des rectangles
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Mathématiques
2
Somme continue
• Distance parcourue lorsque la vitesse varie de manière continue
v(t)
v(ti)
h
a = t0
t t+h
b = tn
Distance totale  lim D n  lim
n 
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t
n
 h . v(t i )
n   i 1
Mathématiques
3
Intégrale simple (1)
• Intégrale de Riemann : l’idée
v(t)
h
b  a tn  t0

n
n
h  t i 1  t i
v(ti)
= h . f(ti)
Aire
n
Aire totale  R n   h . v(t i )
i 1
h
a = t0
ti
(Rn est appelé somme de Riemann)
ti+1
b = tn
t
b
Intégrale   v(t)dt  lim R n
a
n 
L’intégrale est l’aire algébrique comprise entre la courbe, l’axe des t et les bornes
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Mathématiques
4
Intégrale simple (2)
• Intégrale de Riemann : d’autres idées
b  a tn  t0

n
n
f(t)
h
f(ti+1)
h  t i 1  t i
= h . f(ti+1)
Aire
n
Aire totale  R'n   h . f(t i 1 )
i 1
h
a = t0
ti
(R’n : somme de Riemann)
ti+1
b = tn
t
b
Intégrale   f(t)dt  lim R'n
a
n 
La somme de Riemann tend vers la même limite, mais par valeurs supérieures, cette fois-ci.
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Mathématiques
5
Intégrale simple (3)
• Intégrale de Riemann : formulation mathématique
Quelles sont les conditions pour que l’intégrale de Riemann existe ?
1 – Pouvons-nous toujours pratiquer le découpage ?
Il faut que la fonction f(x) soit définie pour tout x appartenant à l’intervalle [a, b].
2 – Dans quelles conditions la limite de la somme de Riemann existe-t-elle ?
Il faut que la fonction f(x) soit continue dans l’intervalle [a, b].
D’où la définition:
Soit f(x) une fonction définie et continue dans tout l’intervalle [a, b]. On subdivise cet
intervalle en n intervalles égaux de largeur h. Soit x = a + kh. On appelle intégrale de
b
Riemann  f(x)dx la limite de la somme Rn 
a
n
 h.f(x ) lorsque n tend vers l’infini.
k 1
k
L’intégrale est l’aire algébrique comprise entre la courbe, l’axe des x et les bornes.
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Mathématiques
6
Théorème de la moyenne
f(x)
Soit m le minimum et M le maximum de
la fonction f(x) :
M
m  f(x)  M
b
b
a
a
b
 mdx   f(x)dx   Mdx
f(c)
a
b
mb  a    f(x)dx  Mb  a 
m
a
m(b  a)  f(c) ((b - a)  M(b  a)
a c
c
b
x
Théorème de la moyenne : soit f une fonction à valeurs réelles, définie et continue sur un segment
[a, b]. Il existe au moins un point c appartenant à ce segment tel que
b
1
f(c) 
f ( x )dx

ba a
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Propriétés des intégrales
Linéarité
b
b
b
Si A et B sont des constantes,  Af(t)  Bg(t)  dt  A  f(t)  B  g(t)dt
a
a
a
Relation de Chasles
c
b
c
Si a < b < c :  f(t)dt   f(t)dt   f(t)dt
a
a
b
Permutation des bornes :
b
a
a
b
 f(t)dt  -  f(t)dt
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Calcul pratique d’une intégrale
x
Valeur F(x) d’une intégrale comme fonction de sa borne supérieure x : F(x) =
 f(t)dt
(1)
a
Par définition de la dérivée de F(x) :
dF( x )
F(x  h)  F(x)
 lim
h 0
dx
h
xh
x
xh

dF( x )
1
1
 lim   f(t)dt   f ( t )dt   lim   f(t)dt
Soit :
h 0 h 
dx
 h 0 h  x
 a
a



D’après le théorème de la moyenne, avec a = x et b = x+h, il existe c compris entre x et x+h tel que :
xh
h f(c) 
 f (t)dt
x
Lorsque h tend vers 0, c tend vers x en sorte que
dF( x )
 f ( x ) . En appliquant (1), on trouve que :
dx
b
 f(x) dx  F(b)  F(a), F(x) étant une primitive de f(x).
a
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Simplifications
• Exploiter les symétries pour simplifier
f(x)
.
+
-a
.
+
a
0
x
1 – Symétrie paire : f(-x) = f(x), pour tout x.
(symétrie par rapport à l’axe vertical)
L’intégrale sur un intervalle symétrique
par rapport à l’origine est égale à deux fois
l’intégrale sur le demi intervalle positif.
a
a
a
0
 f (x)dx 2 f (x)dx
f(x)
.
-a
_
.
+
0
a
x
2 – Symétrie impaire : f(-x) = - f(x), pour tout x.
(symétrie par rapport à l’origine)
L’intégrale sur un intervalle symétrique
par rapport à l’origine est nulle.
a
 f (x)dx 0
a
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Exemples
• Calcul d’une valeur moyenne
Exemple 1 : on montre aisément que la moyenne d’un
signal sinusoïdal calculée sur un nombre entier de fois
sa période est nulle. En effet, l’aire algébrique située au
dessus de l’axe horizontal, comptée positivement, est
égale à l’aire située au dessous, comptée négativement.
V(t)
Vm
T
+
t
_
0
V(t)
1
a0 =
T
Vm
+
0
Exemple 2 : calculer la valeur moyenne d’un signal redressé
double alternance, qui est aussi le coefficient a0 de son DSF.
T
 V(t) dt
0
Sachant que le signal est pair, ce coefficient est donné par :
+
T
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t
2
a0 =
T
T
T
2
2
2V
 V(t) dt = Tm
0

0
T
2V
2V
sin(ωt) dt = m   cos(ωt)02  m
T

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11
Techniques de calcul (1)
•
Changement de variable
Ne pas oublier de changer les bornes
•
Intégration par parties
b
 u dv  uv
b
b
a
a
•
  v du
a
Formes trigonométriques
On linéarise.
•
Fractions rationnelles
On décompose en éléments simples
- de première espèce
- de deuxième espèce
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Techniques de calcul (2)
• Changement de variable
Exemple : Aire d’un cercle de rayon r, d’équation x 2 + y2 = r 2
r
f(x)   r  x
2
r
A  4  r  x dx  4 r  1 
2
2
0
r
0
On pose sinθ 
-r
q
0
r
x
r
2
2
dx
x
dx
, cos θ dθ 
r
r
(on n’oublie pas de changer les bornes)
π
2
A  4r 2  cos 2θ dθ  2r 2
0
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x
2
Mathématiques
π
2
 1  cos 2θ  dθ  π r
2
0
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Techniques de calcul (3)
• Intégration par parties
Exemple : formule de Stirling. Le calcul approché de log(n!) pour n >> 1
conduit à une intégrale que l’on intègre par parties :
n
n
i 1
1
log(n! )   log(i)   log(x) dx
On pose u  log(x), du 
n
D’après
n
 u dv  u v -  v du
n
1
1
1
n
 log(x) dx  x log(x)
1
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dx
et dv  dv , v  x
x
n
n
1
  dx  n log(n)  n  1  n log(n) - n
1
Mathématiques
14
Techniques de calcul (4)
• Formes trigonométriques : on linéarise
Exemple : calcul du coefficient an du DSF d’un signal redressé double alternance,
avec n entier. Dans le cas général, ce coefficient est donné par :
T
V(t)
2
an =
T
Vm
On tient compte du fait que le signal est pair :
an =
0
T
t
On linéarise : sin(ωt) cos(nωt) =
4
T
 V(t) cos(nωt) dt
0
T
2
 V(t) cos(nωt) dt =
0
4Vm
T
T
2
 sin(ωt) cos(nωt) dt
0
1
 sin 1  n  t  + sin 1  n  t 
2

On distingue le cas où n est pair et impair. Si p est un entier : a 2p+1 = 0 et a 2p = 2010-11, GEII semestre 3
Mathématiques
4Vm
(4p2 -1)
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Techniques de calcul (5)
• Fractions rationnelles (1) : on décompose en
éléments simples
Exemple : décomposition en éléments simples de 1ère espèce :
1
(x  a)2 (x  b)
=
A
(x  a) 2
+
B
C
+
(x  a) (x  b)
Pour calculer A (resp. C), on multiplie l’équation par (x-a)2 (resp. x - b) et on fait x = a
(resp. x = b). On trouve :
 1 
A= 
 x  b 
x=a

1
ab
 1 
C= 
2
 (x  a) 
x=b

1
(b  a)2
Pour calculer B, on multiplie l’équation par (x-a) et on fait tendre x vers l’infini.
On trouve : B = - C. Les éléments simples peuvent être intégrés directement.
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Mathématiques
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Techniques de calcul (6)
• Fractions rationnelles (2) : on décompose en
éléments simples
Exemple : le dénominateur est un trinôme du second degré qui n’a pas de
racines réelles. On décomposition en éléments simples de 2ème espèce :
2

b  4ac  b 2 
b
2
2
ax +bx+c = a  x+  
=
a
X
+
A
,
avec
A

x
+
et A =

2
2a
2a


4a



2
dx
 ax 2 +bx+c
d
=
1
dX
1
=
a  X 2 +A 2 aA  X 2
A2
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X
A
+1

=
4ac  b 2
2a
1
X
Arctg + C, C étant une constante
aA
A
Mathématiques
17
Application : calcul d’aires
f(x) = px
1 - Aire du triangle de base b et de hauteur h :
M
pb = h
Equation de la droite OM définissant le triangle: y = f(x)=px
f(x)   r  x
2
0
0
1 2 1
pb  hb
2
2
2 - Aire du cercle de rayon r : équation du cercle: x 2 + y2 = r 2
x
b
b
A   f(x)dx   px dx 
h
0
b
r
2
r
A  4  r  x dx  4 r 
2
r
2
0
0
x
r
On pose sinθ  , cos θ dθ 
-r
0
r
x
π
2
A  4r 2  cos 2θ dθ  2r 2
0
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Mathématiques
x2
1
dx
r
dx
r
π
2
2




1

cos
2θ
dθ

π
r

0
18
Deux directions de généralisation
• La fonction devient infinie
f(x)
Critères de Riemann :
1

0
0
1
dx
x

diverge si   1 , converge si   1.
x
• L’intervalle d’intégration s’étend jusqu’à l’infini
f(x)
Critère de de Riemann :


1
1
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dx
x
converge si   1 et vaut
1
, diverge si   1.
-1
x
Mathématiques
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Différentielles et intégrales (1)
• Résumé en utilisant la notation différentielle
La contribution à la distance totale de l’élément dx, situé le long de la courbe v(t),
parcouru à la vitesse v(t) durant l’intervalle de temps dt, est :
dx  v(t) dt
v(t)
La distance totale parcourue est
la somme des contributions :
dx
v(ti)
b
b
a
a
x   dx   v(t) dt  F(b)  F(a)
dt
où F(x) désigne
une primitive de v(t)
a = t0
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t
b = tn
Mathématiques
t
20
Différentielles et intégrales (2)
• Applications
1 - Aire du cercle de rayon r. La contribution à l’aire du secteur de
longueur r et d’angle dq est l’aire du triangle de base r et hauteur rdq :
r dq
q
1
dA  r 2 dθ
2
r
r
0
2r
dB
idl
q
d
r
d
P
2π
1
A   r 2dθ  πr 2
20
2 - Champ magnétique créé à la distance d par une spire de rayon r.
M
dBsinq
Aire totale :
idl
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D’après la loi de Biot et Savart, la contribution de l’élément dl est :
2
0 idl  PM
0 i rd  sin q 
dBsinθ =
sinθ 
sin q
4
4
PM3
r2
En intégrant  de 0 à 2, on trouve :
 i  sin q 
Bz = 0
2
r
Mathématiques
3
21
Différentielles et intégrales (3)
• Applications
z
M
3 - Champ magnétique d’un solénoïde comprenant n spires par
unité de longueur. Sur un élément de longueur dz, il y a ndz spires.
On note que ndz est un nombre sans dimension. D’après ce que nous
venons de trouver, la contribution de l’élément de longueur dz est :
dB
 nidz  sin q 
dB = 0
2
r
q
z
0
3
z est relié à l’angle q par l’équation
r
dz
-z=
r
r cosq

,
tg q
sin q
-  sinq    cosq 
2
soit
dz = - r
 sinq
2
2
dq = r
1
 sinq
2
dq
q
0 ni 2
0 ni
B=
sin
q
d
q

(cos q1  cos q2 ) soit, pour un solénoïde infini, B = 0 ni
2 q
2
1
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Mathématiques
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Intégrale multiple (1)
• Définition
D
dx
y
dy
On divise le domaine D en n rectangles d’aire dx dy.
Si la suite
n
R n   f(x i , yi ). δxδy
i 1
x
admet une limite finie lorsque n tend vers l’infini, alors
f(x,y) est intégrable dans R. On note :
 D
f(x,y)dxdy  lim
n
 f(xi ,yi ).dxdy
n  i 1
Cette intégrale représente l’aire du domaine D . Les intégrales multiples sont linéaires.
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Mathématiques
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Intégrale multiple (2)
• Applications
1 – Aire du triangle de base b et de hauteur h
f(x) = px
Contribution à l’aire de l’élément de surface dy.dx : dA = dy.dx
pb = h
Aire totale :
b
A
0
h
b
px 
1
1
  dy  dx   pxdx  pb 2  hb
2
2
 0 
0
2 – Aire d’une ellipse d’équation
0
b
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2
+
y2
2
=1
a
b
Contribution à l’aire de l’élément de surface dy.dx : dA = dy.dx
x
b
0
x2
a


x2
b
1



a
a
a2


x2
  dxdy = 4   dy  dx = 4b 1  a 2 dx

0  y 0
0




x
dx
On pose sinq = , cosq dq= . On trouve : ab
a
a
Mathématiques
24
Aire d’une sphère
• Intégrale double
z
r sin j
j
Contribution à l’aire de l’élément de
longueur r sinj dq et de largeur r dj
dA = r2 sinj dq dj
r
π 2π
y
A
q

= r2 

0 
 
0


dθ  sinφ dφ =


π

2πr 2 sinφ dφ = 4πr 2
0
• On exploite les symétries
x
Contribution à l’aire de l’anneau circulaire
de longueur 2 r sinj et de largeur r dj
r sin j
r dj
r sinj dq
r
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dA = 2 r2 sinj dj
Aire totale :
π
2
A = 2πr  sinφ dφ = 4πr2
0
Mathématiques
25
Volume d’une sphère
z
r sin j
j
• Intégrale triple
r
y
q
x
Contribution au volume de l’élément
de longueur : r sinj dq
de largeur : r dj
de hauteur : dr
π
π

V   r  dθ .  sinφ dφdr
 0

0
0
r
2
r sin j
r dj
r sinj dq
r
4
V  4π  r 2 dr  πr 3
3
0
r
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Mathématiques
26