Magnétisme

Magnétisme
D’après: Eugene HECHT. Physique. Éditeur ITP de boeck.
Calcul du champ magnétique
Loi d’Ampère
• Charge magnétique virtuelle qm
• Subit force qmB dans champ magnétique
• Déplacement sur un cercle dans plan^
en segments Δl
• Travail ΔW = qmBPΔl (BP composante de B P au
déplacement)
• Conducteur long et rectiligne: BP = B = µ0I/2πr
• Donc, travail total: W= ΣqmBPΔl = qmBΣΔl = qmB(2
Et ΣBPΔl = µ0 I
Résultat indépendant de qm !
Physique BA2 Biologie/Géographie/Géologie.2
Loi d’Ampère
• Passage à la limite :ò B × dl = ò B||dl
• Si chemin fermé n’entoure pas
le conducteur:b
c
d
a
ò B × dl = ò B dl = B ò dl + (0) ò dl + (-B )ò dl + (0) ò dl
||
1
2
a
ò B × dl =
b
c
d
m0 I
m0 I
r
q
+
0
r2q ) + 0 = 0
(
(
1 )
2p r1
2p r2
•Chemin fermé quelconque: B × dl = Bdl cosf
dl cosf = rdq  ò B × dl = ò m0 I ( rdq ) = m0 I ò dq
2p r
ò B × dl = m I
2p
2p
0
Physique BA2 Biologie/Géographie/Géologie.3
Loi d’Ampère
• Chemin quelconque n’entourant pas le fil
ò dq = 0
et
ò B ×dl = 0
• Si plusieurs fils: B = somme vectorielle des
champs et ΣBPΔl = µ0ΣIin
 Loi d’Ampère
in
B×dl
=
m
I
0å
ò
NB. Fil rectiligne, chemin ampérien:
Cercle coaxial avec le fil
m0 I
ò B×dl = B|| ( 2p r ) =B ( 2p r )  B = ( 2p r )
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Exemple: champ d’un long solénoïde
Définition du chemin ampérien:
Rectangle 12341 entourant les spires
Côté 12: BP ≠ 0 (interne)
Côtés 23 et 41
^ B (contribution nulle)
Côté 34: B≈0 si éloigné du solénoïde
 Si L est la longueur du côté 12:
in
B×dl
=
B
L
=
BL
=
m
I
||
0å
ò
Longueur L, nL spires parcourues par courant I
  Iin  nLI
 B L = µ0nLI et Bz ≈ µ0n I
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Loi de Biot et Savart
Production d’un élément de champ dB ?
• Élément de charge dq en mouvement sur distance dl
• B proportionnel à dq et à sa vitesse (dl/dt)
• dBµ dq(dl/dt) et I = dq/dt doncµdB
I dl
• Champ perpendiculaire au plan formé par le
vecteur r et le vecteur dl orienté dans la
direction du courant (direction de dl ^
x r)
• Par analogie avec la gravitation et la loi de Coulomb,
dB doit décroître comme 1/r2
• Introduction de la perméabilité  loi de Biot et Savart
Vectorielle:
Scalaire:
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Exemple: champ d’un il rectiligne infiniment long
Intégrale de la forme scalaire
dl = dy et toutes les contributions
de courant I dl sont P en P (s’ajouten
algébriquement):
y = -x/tanθ et dy = x dθ/sin2θ et sinθ
0
xd
0
xd
B
I 2

I
2
4  r sin 4   x 

 sin
0 I 
 sin 
B
sind

O
4 x
0 I
0 I

B
  cos 0 
4 x
2 x
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Force magnétique
Action du courant sur un aimant 
réaction de l’aimant sur le courant: force magnétique (FM)
Charge q, vitesse v champ magnétique B : FMµ q v B
(charge au repos  force nulle)
Force ^ plan des vecteurs v et B
(sens  signe de q)
Module: FM = qvBsinθ
NB. Pas de coefficient  définition Tesla
Champ qui produit une force de 1 N sur une
^ au champ
charge de 1 C de vitesse 1 m/s
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Trajectoire d’une particule chargée
Particule charge +q, vitesse v^
B
Déplacement dans plan ^ B
FM ^ v vers le centre : force centripète
Trajectoire circulaire (rayon R)
mv2
FM  FC 
R mv2
θ = 90°  qvB 
R
mv Rayon dépend de la quantité
R
qB de mouvement et de B
• Champ électrique: accélération de la particule
• Rayon maintenu constant par Z B  synchrocyclotron
• Exemples: accélérateurs et collisionneurs du CERN
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Dipôles du LHC
1234 aimants de 15m de long :
Solénoïdes autour de
Chaque tube faisceau
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Aurores polaires et ceintures de radiation
Champ magnétiques cosmiques: focalisation particules
Champ uniforme: v cste dans direction B
 hélice axée sur B
Champ non uniforme:
pôle sud dipôle poussé vers l’arrière
force plus grande qu’attraction pôle nord
Décélération  bouteille magnétique
Idem pour particule chargée
Rayons cosmiques piégés
dans champ magnétique
terrestre 
ceintures de Van Allen
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Exemples
NGC4261
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