Rapport - banques

Rapport sur l’oral de math´ematiques 2008
Oral sp´ecifique E.N.S. Paris : Olivier Debarre
Oral commun Paris-Lyon-Cachan : Laurent Berger, Sorin Dumitrescu, Ro-
main Abraham.
1 Remarques g´en´erales sur la session 2008
Le jury de l’oral sp´ecifique Ulm a ´et´e frapp´e, comme l’an dernier, par l’ex-
cellent niveau g´en´eral des candidats et de leur pr´eparation `a cette ´epreuve,
alors que le nombre d’heures d’enseignement des math´ematiques dans le se-
condaire ne cesse de diminuer au gr´e des diverses r´eformes.
2 Commentaires d’ensemble
Les recommandations des ann´ees pass´ees sont reconduites. Le jury esp`ere
qu’elles finiront par ˆetre prises en compte.
•Il est bon de s’´ecarter r´eguli`erement du tableau pour laisser l’examina-
teur voir ce qu’on y a ´ecrit.
•Inutile d’effacer sans arrˆet ce qu’on ´ecrit, avant mˆeme de savoir si ce
sera utile ou non : le tableau est grand.
•Il faut trouver un juste ´equilibre entre un mutisme total et un flot de
paroles ininterrompu (comment peut-on r´efl´echir dans ces conditions ?). Le
jury appr´ecie de savoir o`u en est le candidat de ses r´eflexions, mais il n’est
pas sˆur qu’il soit dans l’int´erˆet du candidat de raconter tout ce qui lui passe
par la tˆete.
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•Les examinateurs n’essaient pas d’induire les candidats en erreur.
•Les candidats ne doivent pas ˆetre surpris par des exercices qui m´elangent
deux domaines (alg`ebre lin´eaire, topologie, analyse, etc.).
3 Commentaires math´ematiques de d´etail
Les d´emonstrations par l’absurde, souvent inutiles, sont en r´egression de-
puis l’an dernier. C’est une bonne chose.
Les candidats restent friands de la notation Pet d’indices multiples,
alors qu’une forme d´evelopp´ee permet souvent de mieux voir ce qui se passe.
La manipulation des nombres entiers pose souvent des probl`emes. Tr`es
peu de candidats r´ealisent que les coefficients d’une relation de B´ezout entre
nombres entiers sont premiers entre eux. Les congruences sont tr`es peu uti-
lis´ees.
Dans le mˆeme ordre d’id´ees, des calculs simples avec des nombres com-
plexes ou avec des parties enti`eres se r´ev`elent d´elicats pour nombre de can-
didats. En outre, il est arriv´e que des candidats soient mal `a l’aise avec le
maniement graphique des nombres complexes
En alg`ebre lin´eaire, la r´eduction des endomorphismes est connue en sur-
face, mais est souvent mal maˆıtris´ee. Beaucoup expliquent qu’«une matrice
complexe est trigonalisable donc a une valeur propre ». La d´emonstration
de ce fait est d’ailleurs parfois mal connue : nul besoin d’utiliser les espaces
caract´eristiques (qui ne sont d’ailleurs pas au programme). De mˆeme, la
d´ecomposition de Dunford est aussi hors programme et ne devrait pas ˆetre le
premier r´eflexe des candidats. Les d´ebordements du programme de certaines
classes pr´eparatoires ne rendent pas service `a tous !
Tous les candidats connaissent bien sˆur le th´eor`eme de Rolle, mais ils ne
pensent pas toujours `a l’appliquer. Il faut aussi savoir faire un changement
de variables correctement et ˆetre capable d’utiliser l’int´egration par parties.
Curieusement, on semble souvent red´ecouvrir que les images d’un r´eel par
les it´er´es d’une fonction croissante forment une suite monotone, et que cela
peut servir `a trouver des points fixes. Il ne faut pas non plus rester d´esarm´e
face `a des suites r´ecurrentes qui ne sont pas monotones.
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4 Quelques exercices pos´es `a l’oral sp´ecifique
Ulm
•Montrer qu’une infinit´e de puissances de 2 ont un d´eveloppement d´ecimal
qui commence par 7.
•Un polynˆome non nul `a coefficients r´eels avec au plus kcoefficients non
nuls a au plus 2k−1 racines r´eelles distinctes. Peut-il en avoir exactement
2k−1 ?
•Soit Rn[X] l’espace vectoriel des polynˆomes de R[X] de degr´e au plus
n. Montrer que le sous-ensemble de Rn[X] form´e des polynˆomes qui ont
exactement nracines r´eelles distinctes est ouvert dans Rn[X].
•Soit nun entier positif. Trouver une constante explicite rntelle que
pour tout polynˆome P∈C[X] de degr´e au plus nv´erifiant P(−1) = P(1),
la d´eriv´ee P0s’annule sur le disque de centre 0 et de rayon rndans C.
•Soient fet gdes fonctions continues de [0,1] dans [0,1] v´erifiant f◦g=
g◦f. On suppose fmonotone. Montrer qu’il existe cdans [0,1] tel que
f(c) = g(c) = c.
•Soit f:R→R+une fonction de classe C2.` A quelle condition
n´ecessaire et suffisante sur fla fonction g:R→R+d´efinie par g(x) =
pf(x) est-elle de classe C1?
•Soient uet vdes endomorphismes d’un C-espace vectoriel Ede di-
mension finie tels que uv =vu. Montrer que les conditions suivantes sont
´equivalentes :
(i) Ker(u)∩Ker(v) = 0 ;
(ii) Im(u) + Im(v) = E;
(iii) il existe t∈Ctel que u+tv est inversible.
•Soit M∈GLn(C). Montrer qu’il existe des matrices triangulaires
sup´erieures Tet T0et une permutation σtelles que M=T PσT0, o`u Pσ
est la matrice (δi,σ(j)). Montrer que σest uniquement d´etermin´ee par M.
•Soient Aet Bdes matrices complexes carr´ees du mˆeme ordre.
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1) Si Aet Bcommutent, montrer qu’il existe une matrice Pinversible
telle que P−1AP et P−1BP soient triangulaires sup´erieures.
2) Dans le cas g´en´eral, montrer qu’il existe des matrices inversibles Pet
Qtelles que P AQ et P BQ soient triangulaires sup´erieures.
•1) Soient a1, . . . , andes entiers premiers entre eux. Montrer qu’il existe
une matrice carr´ee P`a coefficients entiers, de premi`ere ligne a1, . . . , anet de
d´eterminant ±1.
2) Soit Aune matrice `a coefficients entiers `a plignes et qcolonnes. Montrer
qu’il existe des matrices P∈Mp(Z) et Q∈Mq(Z) telles que d´et(P) =
d´et(Q) = 1 et
P AQ =D0
0 0,
o`u Dest la matrice diagonale diag(d1, . . . , dr), avec dientiers tels que d1|
· · · | dr. Montrer que les entiers ret |d1|sont uniquement d´etermin´es par A.
5 Quelques exercices pos´es `a l’oral commun
Ulm-Lyon-Cachan
•Soit Eun C-espace vectoriel de dimension finie et soit uun endomor-
phisme de E. On note ρ(u) = max |λ|, o`u λd´ecrit l’ensemble des valeurs
propres de u. Montrer que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
(i) il existe une norme sur Epour laquelle kuk<1 ;
(ii) ρ(u)<1 ;
(iii) lim
n→+∞un= 0.
•Soit Aune matrice r´eelle carr´ee d’ordre ntelle que, pour toute valeur
propre λ(´eventuellement complexe) de A, on a Re(λ)<0.
1) Soit z:R→Rnune solution de l’´equation diff´erentielle z0=Az.
Montrer qu’il existe des r´eels strictement positifs aet ctels que
∀t∈Rkz(t)k ≤ ce−atkz(0)k.
2) V´erifier que
b(u, v) = Z+∞
0
hesAu, esAvids
d´efinit un produit scalaire sur Rn.
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3) Soit f:Rn→Rnune fonction de classe C1, nulle en 0 et admettant
Acomme matrice jacobienne en 0. Soit yune fonction solution de l’´equation
diff´erentielle y0=f(y). Montrer qu’il existe des r´eels strictement positifs α,
βet ctels que
b(y(0), y(0)) ≤α=⇒ ∀t∈Rb(y(t), y(t)) ≤ce−βy(t).
•Soit Ule groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1.
1) Trouver les morphismes de groupes continus de Udans (C,+).
2) D´eterminer les morphismes de groupes continus de Udans U.
3) Trouver les morphismes de groupes continus de Udans GL(n, C).
•Soit Aune matrice r´eelle carr´ee d’ordre 2 et de d´eterminant 1 et soit
xun point sur le cercle unit´e de R2. D´efinissons par r´ecurrence une suite
(un)n∈Nen posant u0=xet
∀n∈Nun+1 =A(un)
kA(un)k.
D´eterminer le comportement de la suite (un) en discutant selon la matrice A
et la position du point x.
•Soit Q: [a, b]→Rune fonction continue, soit kun nombre complexe
et soit y: [a, b]→Cune solution non identiquement nulle de l’´equation
diff´erentielle y00 (t) + kQ(t)y(t) = 0, avec y(a) = y(b) = 0. Montrer que kest
dans R.
•Soient Aet Xdes applications de Rdans M2(R) telles que Aest
continue, Xest de classe C1et X0(t) = A(t)X(t)−X(t)A(t).
Montrer que pour tout entier kpositif, Tr(X(t)k) est ind´ependant de t,
puis que les valeurs propres de X(t) ne d´ependent pas de t, puis enfin que
X(t) est conjugu´e `a X(0) pour tout t.
•Soit (an)n∈Nune suite de r´eels de limite 1 telle que 0 < an≤1 pour
tout n. On choisit x06= 0 et on pose
∀n∈Nxn+1 =an
2xn+1 xn.
Montrer que la suite (xn)n∈Nconverge et d´eterminer sa limite.
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