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Rapport sur l’oral de mathématiques 2008
Oral spécifique E.N.S. Paris : Olivier Debarre
Oral commun Paris-Lyon-Cachan : Laurent Berger, Sorin Dumitrescu, Romain Abraham.
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Remarques générales sur la session 2008
Le jury de l’oral spécifique Ulm a été frappé, comme l’an dernier, par l’excellent niveau général des candidats et de leur préparation à cette épreuve,
alors que le nombre d’heures d’enseignement des mathématiques dans le secondaire ne cesse de diminuer au gré des diverses réformes.
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Commentaires d’ensemble
Les recommandations des années passées sont reconduites. Le jury espère
qu’elles finiront par être prises en compte.
• Il est bon de s’écarter régulièrement du tableau pour laisser l’examinateur voir ce qu’on y a écrit.
• Inutile d’effacer sans arrêt ce qu’on écrit, avant même de savoir si ce
sera utile ou non : le tableau est grand.
• Il faut trouver un juste équilibre entre un mutisme total et un flot de
paroles ininterrompu (comment peut-on réfléchir dans ces conditions ?). Le
jury apprécie de savoir où en est le candidat de ses réflexions, mais il n’est
pas sûr qu’il soit dans l’intérêt du candidat de raconter tout ce qui lui passe
par la tête.
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• Les examinateurs n’essaient pas d’induire les candidats en erreur.
• Les candidats ne doivent pas être surpris par des exercices qui mélangent
deux domaines (algèbre linéaire, topologie, analyse, etc.).
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Commentaires mathématiques de détail
Les démonstrations par l’absurde, souvent inutiles, sont en régression depuis l’an dernier. C’est une bonne chose.
P
Les candidats restent friands de la notation
et d’indices multiples,
alors qu’une forme développée permet souvent de mieux voir ce qui se passe.
La manipulation des nombres entiers pose souvent des problèmes. Très
peu de candidats réalisent que les coefficients d’une relation de Bézout entre
nombres entiers sont premiers entre eux. Les congruences sont très peu utilisées.
Dans le même ordre d’idées, des calculs simples avec des nombres complexes ou avec des parties entières se révèlent délicats pour nombre de candidats. En outre, il est arrivé que des candidats soient mal à l’aise avec le
maniement graphique des nombres complexes
En algèbre linéaire, la réduction des endomorphismes est connue en surface, mais est souvent mal maı̂trisée. Beaucoup expliquent qu’« une matrice
complexe est trigonalisable donc a une valeur propre ». La démonstration
de ce fait est d’ailleurs parfois mal connue : nul besoin d’utiliser les espaces
caractéristiques (qui ne sont d’ailleurs pas au programme). De même, la
décomposition de Dunford est aussi hors programme et ne devrait pas être le
premier réflexe des candidats. Les débordements du programme de certaines
classes préparatoires ne rendent pas service à tous !
Tous les candidats connaissent bien sûr le théorème de Rolle, mais ils ne
pensent pas toujours à l’appliquer. Il faut aussi savoir faire un changement
de variables correctement et être capable d’utiliser l’intégration par parties.
Curieusement, on semble souvent redécouvrir que les images d’un réel par
les itérés d’une fonction croissante forment une suite monotone, et que cela
peut servir à trouver des points fixes. Il ne faut pas non plus rester désarmé
face à des suites récurrentes qui ne sont pas monotones.
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Quelques exercices posés à l’oral spécifique
Ulm
• Montrer qu’une infinité de puissances de 2 ont un développement décimal
qui commence par 7.
• Un polynôme non nul à coefficients réels avec au plus k coefficients non
nuls a au plus 2k − 1 racines réelles distinctes. Peut-il en avoir exactement
2k − 1 ?
• Soit Rn [X] l’espace vectoriel des polynômes de R[X] de degré au plus
n. Montrer que le sous-ensemble de Rn [X] formé des polynômes qui ont
exactement n racines réelles distinctes est ouvert dans Rn [X].
• Soit n un entier positif. Trouver une constante explicite rn telle que
pour tout polynôme P ∈ C[X] de degré au plus n vérifiant P (−1) = P (1),
la dérivée P 0 s’annule sur le disque de centre 0 et de rayon rn dans C.
• Soient f et g des fonctions continues de [0, 1] dans [0, 1] vérifiant f ◦ g =
g ◦ f . On suppose f monotone. Montrer qu’il existe c dans [0, 1] tel que
f (c) = g(c) = c.
• Soit f : R → R+ une fonction de classe C 2 . À quelle condition
nécessaire
et suffisante sur f la fonction g : R → R+ définie par g(x) =
p
f (x) est-elle de classe C 1 ?
• Soient u et v des endomorphismes d’un C-espace vectoriel E de dimension finie tels que uv = vu. Montrer que les conditions suivantes sont
équivalentes :
(i) Ker(u) ∩ Ker(v) = 0 ;
(ii) Im(u) + Im(v) = E ;
(iii) il existe t ∈ C tel que u + tv est inversible.
• Soit M ∈ GLn (C). Montrer qu’il existe des matrices triangulaires
supérieures T et T 0 et une permutation σ telles que M = T Pσ T 0 , où Pσ
est la matrice (δi,σ(j) ). Montrer que σ est uniquement déterminée par M .
• Soient A et B des matrices complexes carrées du même ordre.
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1) Si A et B commutent, montrer qu’il existe une matrice P inversible
telle que P −1 AP et P −1 BP soient triangulaires supérieures.
2) Dans le cas général, montrer qu’il existe des matrices inversibles P et
Q telles que P AQ et P BQ soient triangulaires supérieures.
• 1) Soient a1 , . . . , an des entiers premiers entre eux. Montrer qu’il existe
une matrice carrée P à coefficients entiers, de première ligne a1 , . . . , an et de
déterminant ±1.
2) Soit A une matrice à coefficients entiers à p lignes et q colonnes. Montrer
qu’il existe des matrices P ∈ Mp (Z) et Q ∈ Mq (Z) telles que dét(P ) =
dét(Q) = 1 et
D 0
P AQ =
,
0 0
où D est la matrice diagonale diag(d1 , . . . , dr ), avec di entiers tels que d1 |
· · · | dr . Montrer que les entiers r et |d1 | sont uniquement déterminés par A.
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Quelques exercices posés à l’oral commun
Ulm-Lyon-Cachan
• Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie et soit u un endomorphisme de E. On note ρ(u) = max |λ|, où λ décrit l’ensemble des valeurs
propres de u. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) il existe une norme sur E pour laquelle kuk < 1 ;
(ii) ρ(u) < 1 ;
(iii) lim un = 0.
n→+∞
• Soit A une matrice réelle carrée d’ordre n telle que, pour toute valeur
propre λ (éventuellement complexe) de A, on a Re(λ) < 0.
1) Soit z : R → Rn une solution de l’équation différentielle z 0 = Az.
Montrer qu’il existe des réels strictement positifs a et c tels que
∀t ∈ R
kz(t)k ≤ ce−at kz(0)k.
2) Vérifier que
Z
b(u, v) =
+∞
hesA u, esA vi ds
0
n
définit un produit scalaire sur R .
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3) Soit f : Rn → Rn une fonction de classe C 1 , nulle en 0 et admettant
A comme matrice jacobienne en 0. Soit y une fonction solution de l’équation
différentielle y 0 = f (y). Montrer qu’il existe des réels strictement positifs α,
β et c tels que
b(y(0), y(0)) ≤ α =⇒ ∀t ∈ R
b(y(t), y(t)) ≤ ce−βy(t) .
• Soit U le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1.
1) Trouver les morphismes de groupes continus de U dans (C, +).
2) Déterminer les morphismes de groupes continus de U dans U .
3) Trouver les morphismes de groupes continus de U dans GL(n, C).
• Soit A une matrice réelle carrée d’ordre 2 et de déterminant 1 et soit
x un point sur le cercle unité de R2 . Définissons par récurrence une suite
(un )n∈N en posant u0 = x et
∀n ∈ N
un+1 =
A(un )
.
kA(un )k
Déterminer le comportement de la suite (un ) en discutant selon la matrice A
et la position du point x.
• Soit Q : [a, b] → R une fonction continue, soit k un nombre complexe
et soit y : [a, b] → C une solution non identiquement nulle de l’équation
différentielle y 00 (t) + kQ(t)y(t) = 0, avec y(a) = y(b) = 0. Montrer que k est
dans R.
• Soient A et X des applications de R dans M2 (R) telles que A est
continue, X est de classe C 1 et X 0 (t) = A(t)X(t) − X(t)A(t).
Montrer que pour tout entier k positif, Tr(X(t)k ) est indépendant de t,
puis que les valeurs propres de X(t) ne dépendent pas de t, puis enfin que
X(t) est conjugué à X(0) pour tout t.
• Soit (an )n∈N une suite de réels de limite 1 telle que 0 < an ≤ 1 pour
tout n. On choisit x0 6= 0 et on pose
an 1
∀n ∈ N
xn+1 =
xn +
.
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xn
Montrer que la suite (xn )n∈N converge et déterminer sa limite.
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• Est-ce que GL2 (R) est connexe par arcs ? Montrer que l’ensemble des
matrices M ∈ GL2 (R) telles que dét(M ) > 0 est connexe par arcs.
• Soient f et g des fonctions de classe C 1 de R dans R telles que
∀x, y ∈ R
f 0 (x) 6= g 0 (y).
On définit une fonction h : R2 → R2 en posant
h(x, y) = (x + y, f (x) + g(y)).
Montrer que h est un difféomorphisme de classe C 1 sur son image.
On suppose de plus que g est bornée et qu’il existe C > 0 tel que f 0 (x) ≥ C
pour tout x ∈ R ; montrer qu’alors h est surjective.
• Soit P un polynôme trigonométrique réel de degré ≤ n. On note I
l’intervalle [0; 2π[. Montrer que P a au plus 2n zéros sur I. Pour β ∈ I,
calculer
n+1
1 X 2πj P β+
.
n + 1 j=1
n+1
Montrer que si P est de moyenne nulle, l’ensemble des x ∈ I tels que P (x) ≥ 0
est de longueur ≥ 2π/(n + 1).
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