ALG`EBRE APPROFONDIE Notes de M2 (1995–1996)

ALG` EBRE
APPROFONDIE
Notes de M2 (1995–1996)
Chris Peters
Universit´e de Grenoble I
Saint-Martin d’H`eres, France
26 Mai, 1997

Sommaire
Chapitre 1. Anneaux et id´eaux .......................................................... 1
§1. Notions de base ................................................................ 1
§2. Diviseurs de z´ero, nilpotents ................................................... 3
§3. Id´eaux premiers, maximaux .................................................... 4
§4. Op´erations sur les id´eaux ...................................................... 6
§5. Extension et contraction des id´eaux ............................................ 8
§6. Compl´ement g´eom´etrique : topologie de Zariski ................................ 8
§7. Corps de fractions d’un anneau int`egre ......................................... 9
Chapitre 2. Modules ................................................................... 11
§1. Notions de base ............................................................... 11
§2. Sommes et produits ........................................................... 12
§3. Lemme de Nakayama ......................................................... 13
§4. Suites exactes ................................................................ 15
§5. Produit tensoriel ............................................................. 17
§6. Produit tensoriel et suites exactes ............................................. 19
§7. Alg`ebres ...................................................................... 21
Chapitre 3. Anneaux et modules de fractions ........................................... 24
§1. Fractions : anneaux .......................................................... 24
§2. Fractions : modules ........................................................... 26
§3. Principe local-global .......................................................... 27
§4. Spectre d’un anneau, support d’un module .................................... 28
Chapitre 4. Anneaux et modules nœth´eriens et artiniens ............................... 31
§1. Conditions de chaˆıne : anneaux ............................................... 31
§2. Th´eor`eme de base de Hilbert .................................................. 31
§3. Conditions de chaˆıne : modules ............................................... 32
§4. Modules et anneaux de longueur finie ......................................... 33
Chapitre 5. D´ecomposition primaire ................................................... 37
§1. Id´eaux primaires .............................................................. 37
§2. Application : spectre d’un anneau nœth´erien .................................. 38
§3. Unicit´e des d´ecompositions primaires .......................................... 39
§4. Assassin et support ........................................................... 40
Chapitre 6. Extensions finies ........................................................... 43
§1. Extensions enti`eres ou de type fini ............................................ 43
§2. “Going-up” ................................................................... 45
§3. Th´eor`eme de normalisation de Noether ........................................ 46
§4. Nullstellensatz ................................................................ 48

Chapitre 7. Anneaux de valuations discr`ete ............................................ 51
§1. Notions de base ............................................................... 51
§2. Caract´erisation ............................................................... 52
§3. Applications .................................................................. 52
Chapitre 8. Dimension ................................................................. 55
§1. Degr´e de transcendance ....................................................... 55
§2. Dimension d’une vari´et´e affine ................................................ 56
§3. Dimension de Krull ........................................................... 57
§4. Les th´eor`emes de Krull ....................................................... 59
§5. Quelques applications ......................................................... 60
§6. Anneaux r´eguliers ............................................................ 62
Chapitre 9. Alg`ebre homologique ...................................................... 64
§1. Complexes et leur (co)homologie .............................................. 64
§2. Modules projectifs, injectifs et suites exactes scind´ees .......................... 65
§3. Ext et Tor .................................................................... 67
§4. Dimension homologique ....................................................... 70
§5. Th´eor`eme des syzygies de Hilbert ............................................. 71
R´ef´erences ............................................................................. 75

Chapitre 1. Anneaux et id´eaux
§1. Notions de base
1.1. D´efinition. Un anneau Aest un ensemble muni de deux op´erations + (addition) et ·
(multiplication) telles que :
1) (A, +) est un groupe ab´elien.
2. La multiplication est associative :
∀a, b, c ∈A(a·b)·c=a·(b·c)
et distributif par rapport `a l’addition
∀a, b, c ∈A a ·(b+c) = a·b+a·c;
(a+b)·c=a·c+a·c.
On ne regarde ici que des anneaux commutatifs :
∀a, b ∈A a ·b=b·a
muni d’une unit´e 1 :
∀a∈A1·a=a·1 = a.
Remarque. On ne supposera pas que 1 6= 0 et donc A={0}est un anneau. En effet, si 1 = 0 on
a∀a∈A a =a·1 = a·0 = 0 et donc forc´ement A={0}.
1.2. D´efinition. Un sous-ensemble Sd’un anneau Aest un sous-anneau, si Sest un sous-groupe
pour l’addition, stable par multiplication et 1 ∈S.
1.3. D´efinition. Soient A, B deux anneaux. Une application f:A→Best un homomorphisme
d’anneaux, si :
1) ∀a, b ∈A f(a+b) = f(a) + f(b),
2) ∀a, b ∈A f(a·b) = f(a)·f(b),
3) f(1) = 1.
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1.4. Exemples.
1) Z,Q. De plus Zest un sous-anneau de Q.
2) Un corps kest un anneau (commutatif) 6= 0 tel que chaque ´el´ement non-nul est inversible :
∀a∈k,a6= 0, ∃b∈ktel que b·a= 1. L’´el´ement best unique et est not´e b=a−1(l’inverse
de a). Exemples : Q,R,C,Fp.
3) Soit Aun anneau (commutatif). L’anneau polynˆomial associ´e est
A[X] := {a0+a1X+···akXk;k= 0,1, . . . , ai∈A, i = 0, . . . , k}
avec l’addition et la multiplication usuelle. Aest un sous-anneau de A[X]. Plus g´en´eralement
on a A[X1, . . . , Xn], l’anneau `a nvariables avec coefficients dans A.
4) L’anneau de s´eries formelles `a coefficients dans un anneau A:
A[[X]] := {
∞
X
k=0
akXk;∀k≥0, ak∈A}
avec l’addition et la multiplication usuelle (i.e. la multiplication est donn´ee par P∞
k=0 akXk·
P∞
k=0 bkXk=P∞ n=0 Pk+`=nakb`Xn.
5) L’anneau de s´eries de Laurent `a coefficients dans un anneau A:
A{{X}} := {
∞
X
k=`
akXk;∈Z,∀k≥, ak∈A}
avec l’addition et la multiplication usuelle.
6) L’anneau Z/nZ(entiers modulo n). L’application Z→Z/nZqui `a un entier associe sa classe
modulo nest un homomorphisme d’anneaux.
1.5. D´efinition. Un sous-ensemble Id’un anneau Aest un id´eal, si Iest stable par l’addition
et si ∀a∈A, a ·I⊂I.
N.B. Un id´eal est stable par addition et multiplication et donc peut ˆetre consid´er´e comme
sous-anneau (sans 1), mais la r´eciproque est faux.
1.6. Exemples.
1) Soit x∈A. L’id´eal engendr´e par xest l’ensemble {a·x;a∈A}. C’est le plus petit
id´eal contenant x. Plus g´en´eralement, soit S⊂A. L’id´eal engendr´e par Sconsiste en les
combinaisons lin´eaires finies d’´el´ements de S, donc en les ´el´ements de la forme {Pn
j=1 aj·
sj;aj∈A;sj∈S}.
2) Soient Iet Jdeux id´eaux. Leur somme I+Jconsiste en les sommes de la forme i+j,
i∈I,j∈J. C’est aussi un id´eal de A. Leur produit I·Jconsiste en les sommes finies des
produit d’´el´ements de Iet J:{Pn
k=1 ak·ik·jk;ak∈A;ik∈I;jk∈J}. C’est le plus petit
id´eal contenant les produits i·j, i ∈I, j ∈J. L’intersection I∩Jest aussi un id´eal. On a
I·J⊂I∩J. Par exemple pour A=Z,I= (n), J= (m), I+J= (pgcd(m, n)), I·J= (n·m),
I∩J= (ppcm(n, m)).
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