14 - Champ électriqu..

Cours n°14 : Champ électrique
1) Charge électrique
1.1) Définition et porteurs de charge
La matière est formée de corpuscules dont certains ont la propriété de s’attirer ou de se repousser
mutuellement. On dit que ces corpuscules portent une charge électrique. Ces corpuscules chargés
existent sous deux formes : les électrons qui forment la partie extérieure des atomes et les protons
qui se trouvent dans les noyaux des atomes.
Par convention, on qualifie de négative la charge d’un électron atomique et de positive celle d’un
proton.
L’expérience enseigne que des charges de même signe se repoussent et des charges de signes
contraires s’attirent.
La charge la plus petite pouvant se manifester est appelée charge élémentaire. On la représente par
𝑒 de valeur 𝑒 = 1,6 ∙ 10−19 𝐶. L’unité S.I. de la charge est le 𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 de symbole 𝐶 avec
1 𝐶 = 1 𝐴 ∙ 𝑠.
Les charges sont souvent représentées par la notation 𝑞. On a alors :
- pour l’électron atomique, 𝑞𝑒 = −𝑒 = −1,6 ∙ 10−19 𝐶
- pour le proton, 𝑞𝑝 = 𝑒 = 1,6 ∙ 10−19 𝐶
1.2) Isolants et conducteurs électriques
Par définition, un conducteur est un matériau contenant des porteurs de charge libres de se déplacer
sous l’action d’un champ électromagnétique.
Un isolant est un matériau capable d’interdire, du fait de la faible densité des porteurs de charge,
tout passage de courant électrique.
Lorsqu’un conducteur acquiert une charge, celle-ci se répartit dans tout son volume du fait de la
présence des porteurs de charge.
A l’inverse, une charge acquise par un isolant restera localisée.
Exemple : électrisation par frottement
En frottant un matériau quelconque, on arrache des électrons à la matière. Cela crée localement sur
le matériau une charge surfacique à l’endroit du frottement.
Dans le cas de l’isolant, la charge restera localisée alors que, dans le cas du conducteur, elle se
répartira en volume dans le matériau.
++++
++ +
++++
++++
++++++
+++++++
++++++++
++++++++
++++++++
+++++++
++++++
+++
règle en
plastique
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boule en
métal
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2) Le champ électrique
2.1) Généralités
On appelle champ électrique une région de l’espace où une charge est soumise à une force appelée
force électrique. C’est un champ vectoriel noté 𝐸⃗ .
Le champ électrique est défini en tout point de l’espace par la notion de vecteur champ. Ce vecteur
champ possède une direction, un sens et une norme appelée intensité du champ 𝐸⃗ au point
considéré.
L’unité S.I. du champ électrique est le 𝑉 ∙ 𝑚−1 (𝑉𝑜𝑙𝑡 par 𝑚è𝑡𝑟𝑒)
Principe de superposition
Les champs électriques sont générés par des distributions de charges statiques ou en mouvement.
Le champ électrique total 𝐸⃗𝑡𝑜𝑡 créé par la présence de plusieurs sources indépendantes est égal à la
somme vectorielle des champs créés par chacune des sources.
𝐸⃗𝑡𝑜𝑡 = ∑ 𝐸⃗𝑖
𝑖
Potentiel électrique
Par analogie entre le champ électrique et le champ de gravitation, il est possible de définir la notion
de potentiel électrique 𝑉(𝑃) au point 𝑃 et qui permet de définir l’énergie potentielle d’une charge 𝑞
placée en ce point. On a :
𝐸𝑝𝑒 = 𝑞 𝑉(𝑃)
Tension électrique
On appelle tension électrique 𝑈𝐴𝐵 entre deux points 𝐴 et 𝐵, la différence de potentiel (ou ddp) entre
ces deux points définie par :
𝑈𝐴𝐵 = 𝑉(𝐴) − 𝑉(𝐵)
𝑈𝐴𝐵
𝐴
𝑉(𝐴)
𝐵
𝑉(𝐵)
2.2) Champ créé par une charge ponctuelle
Une charge ponctuelle 𝑞 placée en un point 𝑂 crée en un point 𝑃 tel que 𝑂𝑃 = 𝑟, le champ
électrique
𝐸⃗ (𝑟) =
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1 𝑞
𝑢
⃗
4𝜋𝜀0 𝑟 2 𝑂𝑃
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𝜀0 est la permittivité diélectrique du vide. On a :
1
1
= 9 ∙ 109 𝑆. 𝐼. ⇒ 𝜀0 =
𝐹 ∙ 𝑚−1
4𝜋𝜀0
36𝜋 ∙ 109
𝑢
⃗ 𝑂𝑃 est le vecteur unitaire porté par la droite (𝑂𝑃).
𝑢
⃗ 𝑂𝑃 =
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃
𝑟
Le champ électrique est une grandeur vectorielle, mais son intensité est toujours positive.
𝐸(𝑟) = ‖𝐸⃗ (𝑟)‖ =
1 |𝑞|
4𝜋𝜀0 𝑟 2
𝑞<0
𝐸⃗ (𝑟)
𝑟
𝑃
𝑢
⃗ 𝑂𝑃
𝑂
𝑞>0
𝐸⃗ (𝑟)
𝑟
𝑃
𝑢
⃗ 𝑂𝑃
𝑂
Dans un milieu autre que le vide, on aurait :
𝐸⃗ (𝑟) =
1 𝑞
𝑢
⃗
4𝜋𝜀 𝑟 2 𝑂𝑃
Avec 𝜀 = 𝜀0 𝜀𝑟 .
𝜀 est la permittivité diélectrique du milieu et 𝜀𝑟 la permittivité diélectrique relative.
Ligne de champ
Une ligne de champ est une courbe tangente en chaque point au vecteur champ associé à ce point.
La ligne de champ est orientée par continuité avec les vecteurs champs.
Le champ créé par une charge ponctuelle est à symétrie radiale.
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𝑞<0
Les lignes de champ se
rapprochent de la charge
𝑞>0
Les lignes de champ
s’éloignent de la charge
2.3) Champ créé entre deux plaques planes parallèles
Le champ électrique créé par deux plaques planes conductrices en regard l’une de l’autre est
uniforme entre les plaques. Son expression est :
𝐸⃗ = −
𝑈
𝑢
⃗
𝑑
𝑉𝑃
𝑈𝑃𝑁 = 𝑈
𝑑
𝐸⃗
𝑉𝑃 > 𝑉𝑁
⇒ 𝑈𝑃𝑁 = 𝑉𝑃 − 𝑉𝑁 > 0
𝑢
⃗
𝑉𝑁
𝐸⃗ est dirigé suivant la normale aux plaques dans le sens des potentiels décroissants. Son intensité est
𝑈
𝐸 = 𝑑 avec 𝑑 la distance entre les plaques.
3) Force électrique
3.1) Définition
Une charge ponctuelle 𝑞 placée en un point 𝑃 de l’espace, dans un champ électrique 𝐸⃗ , subit une
action 𝐹𝑒 dite force électrique telle que :
𝐹𝑒 = 𝑞 𝐸⃗ (𝑃)
L’intensité de cette force est 𝐹𝑒 = |𝑞| 𝐸(𝑃) .
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3.2) Loi de Coulomb ou interaction coulombienne
La loi de Coulomb va décrire l’interaction électrique entre deux charges ponctuelles.
Deux objets chargés ponctuels 𝐴 et 𝐵, de charges respectives 𝑞𝐴 et 𝑞𝐵 , exercent l’un sur l’autre une
force d’interaction électrique ou interaction coulombienne d’expression :
𝐹𝐴⁄𝐵 = −𝐹𝐵⁄𝐴 =
1 𝑞𝐴 𝑞𝐵
𝑢
⃗
4𝜋𝜀0 𝐴𝐵2 𝐴𝐵
Cette loi provient de l’écriture de la force électrostatique pour chacune des charges 𝑞𝐴 et 𝑞𝐵 :
𝐹𝐴⁄𝐵 = 𝑞𝐵 𝐸⃗𝐴 (𝐵)
et
𝐹𝐵⁄𝐴 = 𝑞𝐴 𝐸⃗𝐵 (𝐴)
Deux cas se présentent suivant la nature des charges

𝑞𝐴 𝑞𝐵 > 0 (charges de même nature)
𝐹𝐴⁄𝐵
𝐵
𝐹𝐵⁄𝐴
𝐴
𝑞𝐵
𝑢
⃗ 𝐴𝐵
𝑞𝐴
L’interaction est répulsive.

𝑞𝐴 𝑞𝐵 < 0 (charges opposées)
𝐹𝐴⁄𝐵
𝐵
𝑞𝐵
⃗ 𝐴𝐵
𝐴 𝑢
𝐹𝐵⁄𝐴
𝑞𝐴
L’interaction est attractive.
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3.3) Travail de la force électrique
La force électrique est une force conservative. Ainsi, son travail ne dépend pas du chemin suivi entre
deux points. On aura alors :
𝑊𝐴→𝐵 (𝐹𝑒 ) = −𝛥𝐴→𝐵 𝐸𝑝𝑒 = 𝐸𝑝𝑒 (𝐴) − 𝐸𝑝𝑒 (𝐵)
⇒
𝑊𝐴→𝐵 (𝐹𝑒 ) = 𝑞(𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 )
𝑊𝐴→𝐵 (𝐹𝑒 ) = 𝑞 𝑈𝐴𝐵
Définition de l’électronvolt
1 électronvolt ou 1 𝑒𝑉 correspond au travail à fournir pour accélérer un électron sous une ddp de
1 𝑉. On a 1 𝑒𝑉 = 1,6 ∙ 10−19 𝐽.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸⃗0 )
Détermination de la tension entre deux points dans un champ électrique uniforme (𝐸⃗ = 𝑐𝑡𝑒
Le champ étant uniforme, 𝐹𝑒 est constante le long du trajet 𝐴𝐵. Ainsi, on peut écrire :
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑞 𝐸⃗0 ∙ 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑊𝐴→𝐵 (𝐹𝑒 ) = 𝐹𝑒 ∙ 𝐴𝐵
Or on a :
𝑊𝐴→𝐵 (𝐹𝑒 ) = 𝑞 𝑈𝐴𝐵
donc pour un champ électrique uniforme 𝐸⃗0 on a la relation suivante :
𝑈𝐴𝐵 = 𝐸⃗0 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
4) Mouvements dans un champ électrique uniforme
4.1) Etude dynamique préalable
Une particule de masse 𝑚 et de charge 𝑞 est lancée avec une vitesse 𝑣0 dans une zone de l’espace où
règne un champ électrique uniforme 𝐸⃗ .
La force électrique est la seule force s’exerçant sur la particule car le poids peut être négligé du fait
de la faible masse de la particule.
La seconde loi de Newton donne dans le référentiel terrestre supposé galiléen :
𝐹𝑒 = 𝑚 𝑎
𝑎=
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𝑞𝐸⃗ = 𝑚 𝑎
⇒
𝑞𝐸⃗
𝑚
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4.2) Accélérateur linéaire 𝑣0 𝐸⃗
Conditions initiales et
données du problème :
𝑗
𝑦
𝑖
𝑟0 |
𝑣0
𝑥
𝑥0 = 0
𝑦0 = 0
𝑣0𝑥 = 𝑣0
𝑣0 | 𝑣 = 0
0𝑦
𝐸𝑥 = ±𝐸
𝐸⃗ | 𝐸 = 0
𝑦
𝐸⃗
ou
𝐸⃗
𝑞𝐸⃗
𝑎=
𝑚
⇒
𝑞 𝐸𝑥
𝑎|
𝑚
𝑎𝑦 = 0
𝑎𝑥 =
Par intégration de l’accélération, on a :
𝑞 𝐸𝑥
𝑣
=
𝑡 + 𝑣0𝑥
𝑥
𝑣|
𝑚
𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦
⇒
𝑞 𝐸𝑥
𝑣𝑥 =
𝑡 + 𝑣0
𝑣|
𝑚
𝑣𝑦 = 0
Intégration du vecteur vitesse :
𝑞 𝐸𝑥 2
𝑥(𝑡) =
𝑡 + 𝑣0 𝑡 + 𝑥0
𝑟|
2𝑚
𝑦(𝑡) = 𝑦0
⇒
𝑞 𝐸𝑥 2
𝑥(𝑡) =
𝑡 + 𝑣0 𝑡
𝑟|
2𝑚
𝑦(𝑡) = 0
Le mouvement est rectiligne uniformément varié d’équation horaire :
𝑞 𝐸𝑥 2
𝑥(𝑡) =
𝑡 + 𝑣0 𝑡
2𝑚
En sortie de l’accélérateur, la particule conserve un mouvement rectiligne uniforme.
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4.3) Déflecteur électrique 𝑣0 ⊥ 𝐸⃗
𝐼
𝑣𝑆
𝑆
𝑥̇𝑆
𝑂
𝑦̇𝑆
𝑂′
𝐸⃗
Schéma réalisé pour
une particule positive
𝑑
𝐿
écran
Conditions initiales et données du problème :
𝑟0 |
𝑥0 = 0
𝑦0 = 0
𝑣0𝑥 = 𝑣0
𝑣0 | 𝑣 = 0
0𝑦
𝐸𝑥 = 0
𝐸⃗ |𝐸 = ±𝐸
𝑦
𝑎=
𝑞𝐸⃗
𝑚
⇒
𝑎|
𝑎𝑥 = 0
𝑞 𝐸𝑦
𝑎𝑦 =
𝑚
Par intégration de l’accélération, on a :
𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥
𝑞 𝐸𝑦
𝑣|
𝑣𝑦 =
𝑡 + 𝑣0𝑦
𝑚
⇒
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𝑣𝑥 = 𝑣0
𝑞 𝐸𝑦
𝑣|
𝑣𝑦 =
𝑡
𝑚
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Intégration du vecteur vitesse :
𝑥(𝑡) = 𝑣0 𝑡
𝑞 𝐸𝑦 2
𝑟|
𝑦(𝑡) =
𝑡
2𝑚
Avec =
𝑥
𝑣0
, on obtient
𝑦(𝑥) =
𝑞 𝐸𝑦
2 𝑚 𝑣02
𝑥2
La trajectoire entre les plaques du déflecteur est parabolique.
La particule sort du déflecteur en un point 𝑆, point à partir duquel elle adopte une trajectoire
rectiligne uniforme.
On place alors un écran à une distance 𝐿 après la sortie de la zone de champ.
Les coordonnées du point 𝑆 de sortie sont :
𝑥𝑆 = 𝑑
𝑞 𝐸𝑦 2
{
𝑦𝑆 =
𝑑
2 𝑚 𝑣02
𝑥
𝑑
Le passage au point 𝑆 se fait au temps 𝑡𝑆 tel que 𝑡𝑆 = 𝑣𝑆 = 𝑣
0
0
𝑣𝑆𝑥 = 𝑣0
𝑣𝑆 |𝑣 = 𝑞 𝐸𝑦 𝑑
𝑆𝑦
𝑚 𝑣0
La pente 𝛼 de la droite est donnée par
𝛼=
𝑣𝑆𝑦 𝑞 𝐸𝑦
=
𝑑
𝑣𝑆𝑥 𝑚 𝑣02
⇒ 𝑦=
𝛽 = 𝑦𝑆 −
𝑞 𝐸𝑦 𝑑
𝑥+𝛽
𝑚 𝑣02
𝑞 𝐸𝑦 𝑑
𝑚 𝑣02
𝑥𝑆 = −
𝑞 𝐸𝑦 𝑑2
2 𝑚 𝑣02
La droite (𝑆𝐼) a pour équation :
𝑦=
𝑞 𝐸𝑦 𝑑
𝑞 𝐸𝑦 𝑑2
𝑥
−
𝑚 𝑣02
2 𝑚 𝑣02
soit
𝑦=
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𝑞 𝐸𝑦 𝑑
𝑚
𝑣02
𝑑
(𝑥 − )
2
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Les coordonnées du point d’impact sont :
𝑥𝐼 = 𝐿 + 𝑑
𝑞 𝐸𝑦 𝑑
𝑑
{
𝑦𝐼 =
2 (𝐿 + 2 )
𝑚 𝑣0
La modification de la valeur de 𝐸𝑦 permet de faire varier linéairement la hauteur du point d’impact.
Ces équations correspondent au fonctionnement des tubes cathodiques.
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