COURS 4 ASR

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ASR 13 /12 /2010 matin
LOGIQUE
SUPPORT DE COURS (LOGIQUE)
Présentation ........................................................................................................... 2
Les connexions ...................................................................................................... 3
Les tables de vérités des opérations ...................................................................... 4
Formes propositionnelles ...................................................................................... 5
La table de vérité d’une forme propositionnelle(FPR) ......................................... 6
La forme propositionnelle p → q ......................................................................... 6
Les modèles d’une forme propositionnelle ........................................................... 8
Les relations entre les formes propositionnelles ................................................... 9
Travail à faire ...................................................................................................... 10
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Présentation
2) Il existe un ensemble dont les objets sont appelés « affirmations » et qui
permettent aux humains de s’exprimer. Certaines affirmations sont qualifiées
« VRAIE » d’autres « FAUSSE ». Ils existent des affirmations qui sont
qualifiées « VRAIE » et « FAUSSE ».
On enlève ces affirmations pour former le sous-ensemble des affirmations qui
sont des PROPOSITIONS.
Une Proposition est une affirmation qui est soit « VRAIE » soit « FAUSSE »
mais pas les deux à la fois.
Si PROP est l’ensemble des propositions.
On définit une application
VERITE : PROP → {VRAIE ; FAUSSE}
L’ensemble PROP contient le sous ensemble V = {P / VERITE (P) = VRAIE} et
le sous-ensemble F = {P / VERITE (P) = FAUSSE}.
Toute proposition est soit un élément de V soit un élément de F mais pas des
deux à la fois :
PROP = V ∪ F et V ∩ F = VIDE.
Remarque
Si f : E → F et si alors f ( x ) = y , on peut dire que y est la valeur de la fonction f
pour x.
Si VERITE (P) = X (X ∈ {VRAIE.FAUSSE}) on peut dire que X est la valeur de
la fonction VERITE pour P.
Vocabulaire
Si P ∈ V alors la valeur de la fonction VERITE pour P est VRAIE, on dit plus
simplement : « la valeur de vérité de P est V ».
Si P ∈ F alors la valeur de la fonction VERITE pour P est FAUSSE, on dit plus
simplement : « la valeur de vérité de P est F ».
On remplace souvent F par 0 et V par 1 pour se trouver dans B = {0 ;1}.
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Les connexions
1) Il existe un ensemble R dont les objets sont les nombres. Les opérations dans
R sont + et × . Ces opérations sont des opérations binaires :
+:R ×R → R
×:R × R → R
( x , y) → x + y
( x , y) → x
2) Dans l’ensemble PROP des propositions on définit deux opérations binaires :
∧ : PROP × PROP → PROP
( P , Q)
∨ : PROP × PROP → PROP
→ P∧Q
( P , Q)
→ P∨Q
L’opération ∧ se nomme « conjonction », l’opération ∨ se nomme « la
disjonction ».
P ∧ Q se lit : « P et Q ». P ∨ Q se lit : « P ou Q ».
De plus dans l’ensemble PROP est défini une opération unaire
¬ : PROP → PROP
P
→¬P
L’opération ¬ se nomme « la négation ».
¬ P se lit : « non P ».
Remarque
L’opération INV : R ∗ → R ∗ définie par INV : x →
1
est une opération unaire.
x
Exemples
A = « L’entier 6 est divisible par 3 » ∧ « L’entier 6 est divisible par 2 »
La valeur de vérité de A est V.
B = « L’entier 10 est divisible par 3 » ∨ « l’entier 10 est divisible par 2 »
La valeur de vérité de B est V.
B' = « L’entier 10 est divisible par 3 » ∧ « l’entier 10 est divisible par 2 »
La valeur de vérité de B’ est F.
C = « L’entier 1234567812345678912321412 est un nombre premier »
La valeur de vérité de C est F.
D = « L’entier 12345678123456789123214121 est un nombre premier »
Je ne connais pas la valeur de vérité de D.
¬D = « L’entier 12345678123456789123214121 n’est pas un nombre premier »
Je ne connais pas la valeur de vérité de ¬D .
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Les tables de vérités des opérations
PROP contient les sous-ensembles V et F des propositions « VRAIES » et des
propositions « FAUSSES ».
• Lorsque les valeurs de vérité des propositions P et Q sont connues, on veut
connaître les valeurs de vérité des propositions P ∧ Q et P ∨ Q .
Les lois de la « logique » donnent ces valeurs en établissant les tables de vérité
de chacune des opérations ∧ et ∨ .
P Q P∧Q
F F F
F V F
V F F
V V V
Exemple « 10 est divisible par 3 » ∧ « 10 est divisible par 2 »∈ F
P Q P∨Q
F F F
F V V
V F V
V V V
Exemple « 10 est divisible par 3 » ∨ « 10 est divisible par 2 »∈ V
Remarque Les couples (valeur de vérité de P, valeur de vérité de Q) sont
rangés dans l’ordre lexicographique des mots binaires de longueurs 2 en
remplaçant F par 0 et V par 1.
P
Q
0=F 0=F
0=F 1=V
1=V 0=F
1=V 1=V
• Lorsque la valeur de vérité de la proposition P est connue on veut connaître la
valeur de vérité de la proposition ¬P.
Les lois de la « logique » donnent cette valeur en établissant la table de vérité de
¬.
P ¬P
F V
V F
Exemple ¬ « 10 est divisible par 3 » ∈ V
Remarque On connait aussi les tables d’addition et de multiplication pour les
nombres.
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Formes propositionnelles
Présentation
Les variables numériques sont adjointes à l’ensemble des nombres (entiers
relatifs, réels, complexes) elles sont représentées par des symboles x , y, z, a , b,....
Une forme polynomiale est obtenue en combinant les variables numériques et
les nombres :
P( x , y, z) = (((((2 × x ) × x ) × x ) × y) + (((3 × y) × y) × z)) est une forme polynomiale.
Exercice 1 Ecrire P( x , y, z) sous une forme condensée.
De la même manière les variables propositionnelles sont adjointes à
l’ensemble PROP des propositions, elles sont représentées par des symboles que
l’on peut prendre aussi dans l’alphabet usuel.
• Les opérations ∧ ,∨, ¬ permettent de « combiner » ensemble les variables
propositionnelles pour obtenir des formes propositionnelles.
On peut donner les règles pour obtenir les formes propositionnelles avec une
référence aux règles obtenues pour obtenir les formes polynomiales.
Forme propositionnelle : FPR. Forme polynomiale : FPO.
FPR
FPO
Exemples
Exemples
FPR
FPO
Une proposition
Une variable
propositionnelle
Si p et q sont des
FPR
(p ∧ q ) et (p ∨ q )
Un nombre
Une
variable
numérique
Un
polynôme à
une ou
plusieurs
variables
« 2 est premier»
P
10000001
x
1) (p ∨ q )
2) ((p ∨ q ) ∧ q )
3)
(((p ∨ q ) ∧ q )) ∧ « 2
divise 5 »)
4)
((((p ∨ q ) ∧ q ) ∧ « 2
est premier ») ∧ « 3
est premier »)
1) (x+y)
2) ((x+y) × x )
3) (((x+y) × x ) × 2)
4)
((((x + y) × x ) × 2) × 3)
= 6 x 2 + 6 yx + 6
Si p est FPR
¬ (« 1 est
alors ¬p est FPR
premier » ∧ (p ∨ q ))
Remarque Il y a autant de parenthèses ouvrantes que de parenthèses fermantes.
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La table de vérité d’une forme propositionnelle(FPR)
Remarque
Lorsque l’on donne une valeur à chaque variable numérique d’une forme
polynomiale on obtient un nombre.
Exemple P( x , y, z) = (((((2 × x ) × x ) × x ) × y) + (((3 × y) × y) × z))
P(2,3,4) = (((((2 × 2) × 2) × 2) × 3) + (((3 × 3) × 3) × 4))
P( x , y, z) s' écrit en langage humain : 2 x 3 y + 3y 2 z : P(2,3,4) = 96.
Lorsque l’on donne une valeur de vérité à chaque variable propositionnelle
d’une forme propositionnelle on obtient une valeur de vérité.
On construit « pas à pas » la table de vérité d’une forme propositionnelle.
Exemple
Construction de la table de vérité de la forme propositionnelle
P(p,q , r ) = ((¬p) ∨ ((¬q ) ∨ r ))
On range les mots binaires de dimension3 par ordre lexicographique
0 correspond à F et 1 correspond à V.
p q r ¬p ¬q (¬q ) ∨ r ((¬p) ∨ ((¬q ) ∨ r ))
0 0 0 1
1
1
1
0 0 1 1
1
1
1
0 1 0 1
0
0
1
0 1 1 1
0
1
1
1 0 0 0
1
1
1
1 0 1 0
1
1
1
1 1 0 0
0
0
0
1 1 1 0
0
1
1
Exercice Construire les tables de vérité des formes propositionnelles
P(q, r ) = ((¬q ) ∨ r ) et P' (q, r ) = ¬(q ∨ r )
Résultat
q r P (q , r ) P ' (q , r )
F F V
V
F V V
F
V F F
F
V V V
F
Propriété fondamentale Les tables de vérité de ∧ ,∨, ¬ pour les formes
propositionnelles sont les mêmes que celles des propositions.
P(p, q,...) P' (p, q,...) (P ∧ P' ) (P ∨ P' ) ¬P ¬P'
F
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
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La forme propositionnelle p → q
Définition
On note p → q la forme propositionnelle I(p, q ) = ((¬p) ∨ q )
La table de vérité de la FPR p → q
0 correspond à F, 1 correspond à V :
p q ¬p ((¬p) ∨ q ) p → q
0 0 1
1
1
0 1 1
1
1
1 0 0
0
0
1 1 0
1
1
Vocabulaire
Une FRP du type p → q = ((¬p) ∨ q ) est dite une «implication ».
Remarque
La valeur de vérité de p → q est F uniquement dans le cas où la valeur de vérité
de p est V simultanément avec la valeur de vérité de q qui est F.
Ainsi on peut dire :
« L’implication p → q est fausse uniquement lorsque simultanément p et vraie
et q est fausse »
Travail à faire
Construire la table de vérité de la forme propositionnelle
E (p, q ) = ((p → q ) ∧ (q → p))
Donner un nom à ce type de FPR.
Résultat
p
F
F
V
V
q
F
V
F
V
E (p , q )
V
F
F
V
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Les modèles d’une forme propositionnelle
Une forme propositionnelle dépend de k variables, k pouvant être 0,1,2,...
Si k = 0 la FPR est dite une constante.
Soit (p1,..., p k ) les propositions dont dépend une FPR.
Notation
F (p1,..., p k ) désigne une telle FPR.
En identifient F avec 0 et V avec 1 on considère l’ensemble des mots binaires de
longueurs k.
Définition (modèle)
Un modèle de F(p1,..., p k ) est un mot de longueur k tel que si la valeur de vérité
de pi est m(i) alors la valeur de vérité de de F(p1,..., p k ) est V (c'est-à-dire
représentée par 1).
Exemple
F(p1 , p 2 ) = p1 ∧ p 2
p1 p 2 F(p1 , p 2 ) = p1 ∧ p 2
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Un seul modèle : m = 11.
G (p1 , p 2 ) = p1 ∨ p 2
p1 p 2 G (p1 , p 2 ) = p1 ∨ p 2
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Les modèles sont tous les mots de poids non nuls.
Travail à faire Donner tous les modèles de la FPR
P(p, q , r ) = ((¬p) ∨ ((¬q ) ∨ r )) avec p1 = p, p 2 = q, p3 = r .
On doit trouver tous les mots distincts du mot 110 .
Vocabulaire
On peut dire qu’un modèle de F(p, q, r,....) est un choix de valeurs de vérité des
variables propositionnelles p, q, r,.... qui donne V pour valeur de vérité de
F(p, q, r,....). (Qui rendent vraie F(p, q, r,....). )
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Les relations entre les formes propositionnelles
Définition
Compatibilité
Des FPR qui dépendent des mêmes variables sont dites compatibles si elles ont
au moins un modèle en commun.
Incompatibilité
Deux FRP qui n’ont aucun modèle en commun sont dites incompatibles, on dit
aussi : contradictoires.
Tautologie
Une FPR dont la valeur de vérité est V pour n’importe quel choix des valeurs de
vérité de ses variables est dite une tautologie.
Contradiction
Une FPR dont la valeur de vérité est toujours F est une contradiction. On dit
aussi une antilogie.
Conséquence
Soient F et G deux FRP qui dépendent des mêmes variables, on peut alors
fabriquer la nouvelle FRP ((¬F) ∨ G ) = F → G.
On dit que G se déduit de F lorsque ((¬F) ∨ G ) = F → G est une tautologie.
On dit aussi que G est une conséquence de F.
Synonymes
Deux FPR qui dépendent des mêmes variables sont synonymes lorsqu’elles ont
la même table de vérité.
Propriété fondamentale
G est une conséquence de F si tout modèle de G est aussi un modèle de F
Remarque importante
Si les FPR F et G ne dépendent pas des mêmes variables on peut les considérer
comme dépendant des mêmes variables en ajoutant à chacune d’elles les
variables de l’autre sans que celles-ci interviennent. (On dresse l’inventaire de
toutes les variables propositionnelles et on fait comme si chaque FPR dépend de
toutes ces variables.)
Donc on peut toujours connaître l’état de leur compatibilité et savoir si l’une se
déduit de l’autre ou si elles sont synonymes.
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Travail à faire
1) Vérifier que si F et G sont des FPR alors :
1.1) ¬(F ∨ G ) et ( (¬F) ∧ (¬G ) ) sont synonymes.
1.2) ¬(F ∧ G ) et ( (¬F) ∨ (¬G ) ) sont synonymes.
(Lois de De Morgan )
2) Vérifier que si F et G sont des FPR alors :
2.1) (F ∧ (F → G ) ) a pour conséquenc e G
2.2) ((¬G ) ∧ (F → G )) a pour conséquence ¬F
3) Vérifier que si F G et H sont des FPR alors :
((F → G ) ∧ (G → H) ) a pour conséquence (F → H )
4) Vérifier que si F et G sont des FPR alors :
(F → G ) et (¬G ) → (¬F) sont synonymes.