COURS 4 ASR

1
ASR 13 /12 /2010 matin
LOGIQUE
SUPPORT DE COURS (LOGIQUE)
Présentation ........................................................................................................... 2
Les connexions ...................................................................................................... 3
Les tables de vérités des opérations ...................................................................... 4
Formes propositionnelles ...................................................................................... 5
La table de vérité d’une forme propositionnelle(FPR) ......................................... 6
La forme propositionnelle
q
p
→
......................................................................... 6
Les modèles d’une forme propositionnelle ........................................................... 8
Les relations entre les formes propositionnelles ................................................... 9
Travail à faire ...................................................................................................... 10

2
Présentation
2) Il existe un ensemble dont les objets sont appelés « affirmations » et qui
permettent aux humains de s’exprimer. Certaines affirmations sont qualifiées
« VRAIE » d’autres « FAUSSE ». Ils existent des affirmations qui sont
qualifiées « VRAIE » et « FAUSSE ».
On enlève ces affirmations pour former le sous-ensemble des affirmations qui
sont des PROPOSITIONS.
Une Proposition est une affirmation qui est soit « VRAIE » soit « FAUSSE »
mais pas les deux à la fois.
Si PROP est l’ensemble des propositions.
On définit une application
{
}
FAUSSE;VRAIEPROP:VERITE
→
L’ensemble PROP contient le sous ensemble
{
}
VRAIE)P(VERITE/PV
=
=
et
le sous-ensemble
{
}
.FAUSSE)P(VERITE/PF
=
=
Toute proposition est soit un élément de V soit un élément de F mais pas des
deux à la fois :
.
VIDE
F
V
et
F
V
PROP
=
∩
∪
=
Remarque
Si
F
E
:
f
→
et si alors
,
y
)
x
(
f
=
on peut dire que
est
y
la valeur de la fonction f
pour x.
Si
{
}
(
)
FAUSSE.VRAIEXX)P(VERITE
∈
=
on peut dire que X est la valeur de
la fonction VERITE pour P.
Vocabulaire
Si
V
P
∈
alors la valeur de la fonction VERITE pour P est VRAIE, on dit plus
simplement : « la valeur de vérité de P est V ».
Si
F
P
∈
alors la valeur de la fonction VERITE pour P est FAUSSE, on dit plus
simplement : « la valeur de vérité de P est F ».
On remplace souvent F par 0 et V par 1 pour se trouver dans
{
}
.1;0B
=

3
Les connexions
1) Il existe un ensemble R dont les objets sont les nombres. Les opérations dans
R sont + et
.
×
Ces opérations sont des opérations binaires :
x)y,x(yx)y,x(
R
R
R
:
R
R
R
:
→+→
→
×
×
→
×
+
2) Dans l’ensemble PROP des propositions on définit deux opérations binaires :
QP)Q,P(QP)Q,P(
PROPPROPPROP:PROPPROPPROP: ∨→∧→ →×∨→×∧
L’opération
∧
se nomme « conjonction », l’opération
∨
se nomme « la
disjonction ».
:
lit
se
Q
P
∧
« P et Q ».
:
lit
se
Q
P
∨
« P ou Q ».
De plus dans l’ensemble PROP est défini une opération unaire
PP
PROPPROP: ¬→ →¬
L’opération
¬
se nomme « la négation ».
¬
P se lit : « non P ».
Remarque
L’opération
∗
→
∗
RR:INV définie par
x
1
x:INV →est une opération unaire.
Exemples
=
A
« L’entier 6 est divisible par 3 »
∧
« L’entier 6 est divisible par 2 »
La valeur de vérité de A est V.
=
B
« L’entier 10 est divisible par 3 »
∨
« l’entier 10 est divisible par 2 »
La valeur de vérité de B est V.
=
'
B
« L’entier 10 est divisible par 3 »
∧
« l’entier 10 est divisible par 2 »
La valeur de vérité de B’ est F.
=
C
« L’entier 1234567812345678912321412 est un nombre premier »
La valeur de vérité de C est F.
=
D
« L’entier 12345678123456789123214121 est un nombre premier »
Je ne connais pas la valeur de vérité de D.
=
¬
D
« L’entier 12345678123456789123214121 n’est pas un nombre premier »
Je ne connais pas la valeur de vérité de
.
D
¬

4
Les tables de vérités des opérations
PROP contient les sous-ensembles
F
et
V
des propositions « VRAIES » et des
propositions « FAUSSES ».
•
Lorsque les valeurs de vérité des propositions P et Q sont connues, on veut
connaître les valeurs de vérité des propositions
.
Q
P
et
Q
P
∨
∧
Les lois de la « logique » donnent ces valeurs en établissant les tables de vérité
de chacune des opérations
.
et
∨
∧
P Q
Q
P
∧
F F F
F V F
V F F
V V V
Exemple « 10 est divisible par 3 »
∧
« 10 est divisible par 2 »
F
∈
P Q
Q
P
∨
F F F
F V V
V F V
V V V
Exemple « 10 est divisible par 3 »
∨
« 10 est divisible par 2 »
V
∈
Remarque Les couples (valeur de vérité de P, valeur de vérité de Q) sont
rangés dans l’ordre lexicographique des mots binaires de longueurs 2 en
remplaçant F par 0 et V par 1.
P Q
0
=
F 0
=
F
0
=
F 1
=
V
1
=
V 0
=
F
1
=
V 1
=
V
•
Lorsque la valeur de vérité de la proposition P est connue on veut connaître la
valeur de vérité de la proposition
.
P
¬
Les lois de la « logique » donnent cette valeur en établissant la table de vérité de
.
¬
P
P
¬
F V
V F
Exemple
¬
« 10 est divisible par 3 »
V
∈
Remarque On connait aussi les tables d’addition et de multiplication pour les
nombres.

5
Formes propositionnelles
Présentation
Les variables numériques sont adjointes à l’ensemble des nombres (entiers
relatifs, réels, complexes) elles sont représentées par des symboles
,....
b
,
a
,
z
,
y
,
x
Une forme polynomiale est obtenue en combinant les variables numériques et
les nombres :
.
e
polynomial
forme
une
est
))
z
)
y
)
y
3
(((
)
y
)
x
)
x
)
x
2
(((((
)
z
,
y
,
x
(
P
×
×
×
+
×
×
×
×
=
Exercice 1 Ecrire
)
z
,
y
,
x
(
P
sous une forme condensée.
De la même manière les variables propositionnelles sont adjointes à
l’ensemble PROP des propositions, elles sont représentées par des symboles que
l’on peut prendre aussi dans l’alphabet usuel.
•
Les opérations
¬
∨
∧
,
,
permettent de « combiner » ensemble les variables
propositionnelles pour obtenir des formes propositionnelles .
On peut donner les règles pour obtenir les formes propositionnelles avec une
référence aux règles obtenues pour obtenir les formes polynomiales .
Forme propositionnelle
.
FPR
:
Forme polynomiale :
.
FPO
FPR FPO Exemples
FPR
Exemples
FPO
Une proposition Un nombre « 2 est premier» 10000001
Une variable
propositionnelle Une variable
numérique
P x
Si p et q sont des
FPR
(
)
qpet)qp(
∨
∧
Un
polynôme à
une ou
plusieurs
variables
1)
)
q
p
(
∨
2) ((p
q
)
q
∧
∨
)
3)
(((p
q
)
q
∧
∨
))
∧
« 2
divise 5 »)
4)
((((p
q
)
q
∧
∨
)
∧
« 2
est premier »)
∧
« 3
est premier »)
1) (x+y)
2) ((x+y)
)
x
×
3) (((x+y)
)
2
)
x
×
×
6yx6
2
x6
)3)2)x)yx((((
)
4
++=
×××+
Si p est FPR
alors
p
¬
est FPR
¬
(« 1 est
premier »
))
q
p
(
∨
∧
Remarque Il y a autant de parenthèses ouvrantes que de parenthèses fermantes.