Settat le : 21/10/2005

Université Hassan 1er - Settat
Faculté des Sciences et Techniques
Settat, le 21/01/2017
Contrôle d'Analyse numérique
Durée 1h30 (documents non autorisés)
Exercice 1 : (15 points)
On considère la fonction f(x) = cos(x) – x ln(2 + cos(x)). On admet sans démonstration que f est
strictement croissante sur [-3 , -1].
a- Montrer que f admet une racine a unique sur [-3 , -1].
On a f continue sur [-3 , -1]. En plus, f(-3) = -0.9601 et f(-1) = 1.4726. Donc f(-3).f(-1)  0.
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, f admet une racine sur [-3 , -1]. Comme f est
strictement croissante sur cet intervalle, alors cette racine est unique sur [-3 , -1].
On souhaite trouver la racine de f sur l'intervalle [-3 , -1] avec une précision de 10-3.
b- Montrer par le calcul, que la méthode de Newton ne permet pas d'obtenir cette racine avec x0=-1.
L'utilisation de la méthode de Newton avec x0=-1 donne.
i
xi
f(xi)
0
1
2
3
4
5
6
-1
-7,1246
-11,4803
-9,6471
-9,9662
-9,8738
-9,8665
f'(xi)
1,4726
7,6537
10,8277
-0,7407
0,4755
0,0323
0,0002
xi+1
0,2404
1,7572
-5,9067
-2,32129
-5,14282
-4,42799
-4,36757
erri
-7,1246
-11,4803
-9,6471
-9,9662
-9,8738
-9,8665
-9,8664
-6,1246
-4,3556
1,8331
-0,3191
0,0925
0,0073
0,0001
Les itérations convergent vers une racine de f qui est -9,8665. Mais cette racine n'appartient pas à
l'intervalle [-3 , -1]. Donc elle ne permet pas d'obtenir la racine a.
c- Calculer alors la racine a, en utilisant la méthode de Newton avec une précision de 10-3 en
choisissant x0 = -2.
i
xi
0
1
2
f(xi)
-2
-2,3152
-2,2977
f'(xi)
0,5036
-0,0304
2,0147.10-6
xi+1
1,5976
1,7436
1,7436
erri
-2,3152
-2,2977
-2,2977
-0,3152
0,0175
-1,15.10-6
Donc la racine a  -2,2977 avec une précision de 10-3.
d- Calculer la racine a, en utilisant la méthode de la sécante avec la précision 10-3 et x0 = -1 et x1 = -2.
i
xi
0
1
xi+1
-1
-2
f(xi)
-2
-2,5197
f(xi+1)
erri
1,4726
0,5036
-1
0,5036
-0,3803
-0,5197
Université Hassan 1er - Settat
2
3
4
-2,5197
-2,2961
-2,2978
-2,2961
-2,2978
-2,2977
Faculté des Sciences et Techniques
-0,3803
0,0029
0,0029 -5,055.10-5
0,2236
-0,0017
2,9.10-5
Donc la racine donnée par cette méthode a  -2,2977 avec une précision de 10-3.
e- Quel est le coût des deux méthodes précédentes ?
 Coût de la méthode de Newton : f est calculée 3 fois et f ' est calculée 3 fois.
 Coût de la méthode de la sécante : f est calculée 5 fois
f- Construire le polynôme d'interpolation P de f aux points -3, -2.5, -2 et -1.5 en utilisant la formule
de Newton. Utiliser f(-3) = -0.9601, f(-2.5) = - 0.3477,f(-2) = 0.5036 et f(-1.5) = 1.1626.
On a, en utilisant les formules de Newton:
xi
-3
x0
f[xi]
-0,9601
f[xi xi+1]
f[xi xi+1 xi+2]
f[x0 x1 x2 x3]
1,2248
x1
-2,5
-0,3477
0,4778
1,7026
x2
-2
0,5036
-0,5749
-0,3846
1,3180
x3
-1,5
1,1626
Ainsi
P(x) = f[x0] + f[x0 x1](x+3) + f[x0 x1 x2] (x+3) (x+2.5) + f[x0 x1 x2 x3] (x+3) (x+2.5) (x+2)
Donc
P(x) = -0,9601+ 1,2248 (x+3) + 0,4778 (x+3) (x+2.5) - 0,5749 (x+3) (x+2.5) (x+2)
et après quelques développements :
P(x) = - 0.5749 x3 - 3.8337 x2 - 6.7824 x - 2.3254
g- Quelle est l'estimation de l'erreur d'interpolation e(x) pour un point x de [-3 , -1] ?
h- Montrer que P admet une racine b dans [-3 , -1].
On a P continue sur [-3 , -1]. En plus, P(-3) = -0.9601 et P(-1) = 1.1982. Donc P(-3).P(-1)  0.
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, P admet une racine b sur [-3 , -1].
i- Calculer la racine b de P, en utilisant la méthode de Newton avec une précision de 10-3 en
choisissant x0 = -2.
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i
xi
0
1
2
Faculté des Sciences et Techniques
P(xi)
-2
-2,3047
-2,2934
P'(xi)
0,5038
-0,0194
0,0000
xi+1
1,6536
1,7277
1,7306
erri
-2,3047
-2,2934
-2,2934
-0,3047
0,0112
-9,83.10-6
Donc la racine donnée par cette méthode b  -2.2934 avec une précision de 10-3.
j- Montrer que b est une approximation de la racine a de f.
Le polynôme d'interpolation P est une approximation de f sur l'intervalle [-3 , -1]. Comme b est
racine de P, alors b est une approximation de la racine de f sur [-3 , -1]. Ainsi b est une
approximation de a.
On peut écrire cela sous la forme
Pf
et P(b) = f(a) = 0 avec une précision de 10-3
Donc
ba
k- Quelle est l'expression de l'erreur lorsqu'on choisit la racine obtenue à la question précédente (racine de P
par la méthode de Newton) comme approximation de la racine a de f ?
Exercice 2: (5 points)
On considère la matrice
5 3
𝐀 = (−1 4
8 2
1
3)
5
a- Effectuer la décomposition LU de A
1
5 3 1
−1
b- 𝐀 = (−1 4 3) = ( 5
8
8 2 5
5
0
1
−14
23
0
5
0) (0
23
1
0
0
3
−1
5
5 )
123
16
23
c- En déduire la résolution du système linéaire
5𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 2
{ −𝑥1 + 4𝑥2 + 3𝑥3 = 3
8𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3 = −1
Université Hassan 1er - Settat
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La résolution donne alors :
16
= −0.1301
123
125
𝑥2 =
= 1.0163
123
49
𝑥
=
−
= −0.3984
3
{
123
𝑥1 = −