Settat le : 21/10/2005

Université Hassan 1er - Settat Faculté des Sciences et Techniques
Settat, le 21/01/2017
Contrôle d'Analyse numérique
Durée 1h30 (documents non autorisés)
Exercice 1 : (15 points)
On considère la fonction f(x) = cos(x) – x ln(2 + cos(x)). On admet sans démonstration que f est
strictement croissante sur [-3 , -1].
a- Montrer que f admet une racine a unique sur [-3 , -1].
On a f continue sur [-3 , -1]. En plus, f(-3) = -0.9601 et f(-1) = 1.4726. Donc f(-3).f(-1)  0.
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, f admet une racine sur [-3 , -1]. Comme f est
strictement croissante sur cet intervalle, alors cette racine est unique sur [-3 , -1].
On souhaite trouver la racine de f sur l'intervalle [-3 , -1] avec une précision de 10-3.
b- Montrer par le calcul, que la méthode de Newton ne permet pas d'obtenir cette racine avec x0=-1.
L'utilisation de la méthode de Newton avec x0=-1 donne.
i
xi
f(xi)
f'(xi)
xi+1
erri
0
-1
1,4726
0,2404
-7,1246
-6,1246
1
-7,1246
7,6537
1,7572
-11,4803
-4,3556
2
-11,4803
10,8277
-5,9067
-9,6471
1,8331
3
-9,6471
-0,7407
-2,32129
-9,9662
-0,3191
4
-9,9662
0,4755
-5,14282
-9,8738
0,0925
5
-9,8738
0,0323
-4,42799
-9,8665
0,0073
6
-9,8665
0,0002
-4,36757
-9,8664
0,0001
Les itérations convergent vers une racine de f qui est -9,8665. Mais cette racine n'appartient pas à
l'intervalle [-3 , -1]. Donc elle ne permet pas d'obtenir la racine a.
c- Calculer alors la racine a, en utilisant la méthode de Newton avec une précision de 10-3 en
choisissant x0 = -2.
i
xi
f(xi)
f'(xi)
xi+1
erri
0
-2
0,5036
1,5976
-2,3152
-0,3152
1
-2,3152
-0,0304
1,7436
-2,2977
0,0175
2
-2,2977
2,0147.10-6
1,7436
-2,2977
-1,15.10-6
Donc la racine a  -2,2977 avec une précision de 10-3.
d- Calculer la racine a, en utilisant la méthode de la sécante avec la précision 10-3 et x0 = -1 et x1 = -2.
i
xi
xi+1
f(xi)
f(xi+1)
erri
0
-1
-2
1,4726
0,5036
-1
1
-2
-2,5197
0,5036
-0,3803
-0,5197

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2
-2,5197
-2,2961
-0,3803
0,0029
0,2236
3
-2,2961
-2,2978
0,0029
-5,055.10-5
-0,0017
4
-2,2978
-2,2977
2,9.10-5
Donc la racine donnée par cette méthode a  -2,2977 avec une précision de 10-3.
e- Quel est le coût des deux méthodes précédentes ?
 Coût de la méthode de Newton : f est calculée 3 fois et f ' est calculée 3 fois.
 Coût de la méthode de la sécante : f est calculée 5 fois
f- Construire le polynôme d'interpolation P de f aux points -3, -2.5, -2 et -1.5 en utilisant la formule
de Newton. Utiliser f(-3) = -0.9601, f(-2.5) = - 0.3477,f(-2) = 0.5036 et f(-1.5) = 1.1626.
On a, en utilisant les formules de Newton:
xi
f[xi]
f[xi xi+1]
f[xi xi+1 xi+2]
f[x0 x1 x2 x3]
x0
-3
-0,9601
1,2248
x1
-2,5
-0,3477
0,4778
1,7026
-0,5749
x2
-2
0,5036
-0,3846
1,3180
x3
-1,5
1,1626
Ainsi
P(x) = f[x0] + f[x0 x1](x+3) + f[x0 x1 x2] (x+3) (x+2.5) + f[x0 x1 x2 x3] (x+3) (x+2.5) (x+2)
Donc
P(x) = -0,9601+ 1,2248 (x+3) + 0,4778 (x+3) (x+2.5) - 0,5749 (x+3) (x+2.5) (x+2)
et après quelques développements :
P(x) = - 0.5749 x3 - 3.8337 x2 - 6.7824 x - 2.3254
g- Quelle est l'estimation de l'erreur d'interpolation e(x) pour un point x de [-3 , -1] ?
h- Montrer que P admet une racine b dans [-3 , -1].
On a P continue sur [-3 , -1]. En plus, P(-3) = -0.9601 et P(-1) = 1.1982. Donc P(-3).P(-1)  0.
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, P admet une racine b sur [-3 , -1].
i- Calculer la racine b de P, en utilisant la méthode de Newton avec une précision de 10-3 en
choisissant x0 = -2.

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i
xi
P(xi)
P'(xi)
xi+1
erri
0
-2
0,5038
1,6536
-2,3047
-0,3047
1
-2,3047
-0,0194
1,7277
-2,2934
0,0112
2
-2,2934
0,0000
1,7306
-2,2934
-9,83.10-6
Donc la racine donnée par cette méthode b  -2.2934 avec une précision de 10-3.
j- Montrer que b est une approximation de la racine a de f.
Le polynôme d'interpolation P est une approximation de f sur l'intervalle [-3 , -1]. Comme b est
racine de P, alors b est une approximation de la racine de f sur [-3 , -1]. Ainsi b est une
approximation de a.
On peut écrire cela sous la forme
P  f
et P(b) = f(a) = 0 avec une précision de 10-3
Donc
b  a
k- Quelle est l'expression de l'erreur lorsqu'on choisit la racine obtenue à la question précédente (racine de P
par la méthode de Newton) comme approximation de la racine a de f ?
Exercice 2: (5 points)
On considère la matrice   
a- Effectuer la décomposition LU de A
b-   
c- En déduire la résolution du système linéaire

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La résolution donne alors :