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TRIANGLE RECTANGLE, MILIEU DE L’HYPOTENUSE ET CERCLE
CHAPITRE 2
I QUELQUES REGLES A RESPECTER
- Une observation n’est jamais une preuve !
Ce que l’on voit n’est pas toujours la réalité.
- Une mesure n’est jamais une preuve !
Mesurer (un segment, un angle …) ne donne que des valeurs approchées.
Cela peut donner une idée mais ne permet pas toujours de comparer…
- Réfléchir et raisonner en utilisant les propriétés écrites dans le cours.
II TRIANGLE RECTANGLE, MILIEU DE L’HYPOTENUSE
a) Définition :
Dans un triangle rectangle le côté opposé à l’angle droit est appelé hypoténuse.
hypoténuse
angle
droit
b) Théorème :
Dans un triangle rectangle le milieu de l’hypoténuse est à égale distance des
trois sommets.
SI
ABC triangle rectangle en A
I milieu de [BC]
ALORS
IA = IB = IC = BC/2
Démonstration :
C
I
A
B
Soit ABC un triangle rectangle en A et I le milieu de [BC].
Astuce :
Compétons la figure en faisant
apparaître le rectangle ABEC.
C
E
I
A
B
Nous savons (cours de 6ème ) que les diagonales d’un rectangle ont la même
longueur et le même milieu.
Donc le milieu I de la diagonale [BC] et aussi le milieu de la diagonale [AE]
et ces diagonales ont la même longueur AE = BC.
Finalement : IA= IB = IC = IE.
IA = IB = IC ce qui prouve le théorème.
III CERCLE ET TRIANGLE RECTANGLE
a) Définition :
On dit qu’un triangle est inscrit dans un cercle si ses trois sommets appartiennent au cercle.
b) Théorème :
Si un triangle est inscrit dans un cercle et si un de ses côtés est un
diamètre du cercle,
Alors ce triangle est rectangle (le diamètre est son hypoténuse).
SI
ALORS
A, B, M appartiennent au cercle
[AB] est un diamètre du cercle
ABM est un triangle rectangle en M
Démonstration :
Deux théorèmes vont être utiles pour démontrer celui-ci.
- Dans un triangle isocèle, les angles de bases ont la même mesure.
- La somme des mesures des angles de n’importe quel triangle est égale à 180°.
Astuce : appelons O le centre du cercle et traçons le rayon [OM].
Notons a la mesura de
;BAM et b celle de
;ABM.
– [OM] et [OA] sont des rayons du cercle, ils ont donc même mesure.
Le triangle AOM est donc isocèle en O et alors ses angles de base
ont la même mesure a.
;OAM et
;OMA
– [OM] et [OB] sont des rayons du cercle, ils ont donc même mesure.
Le triangle BOM est donc isocèle en O et alors ses angles de base
ont la même mesure b.
;OBM et
;OMB
– La somme des mesure des angles du triangle AMB est égale à 180° :
;BAM +
;ABM +
;AMB = 180 or
;BAM = a
;AMB = a + b
a + b + a + b = 180
2a + 2b = 180
2(a + b) =180
a + b = 180 : 2
a + b = 90
;ABM = b et
Donc
;AMB = a + b = 90 ce qui prouve que le triangle AMB est rectangle en M.