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CHAPITRE 2 TRIANGLE RECTANGLE, MILIEU DE L’HYPOTENUSE ET CERCLE
I QUELQUES REGLES A RESPECTER
- Une observation n’est jamais une preuve !
Ce que l’on voit n’est pas toujours la réalité.
- Une mesure n’est jamais une preuve !
Mesurer (un segment, un angle …) ne donne que des valeurs approchées.
Cela peut donner une idée mais ne permet pas toujours de comparer…
- Réfléchir et raisonner en utilisant les propriétés écrites dans le cours.
II TRIANGLE RECTANGLE, MILIEU DE L’HYPOTENUSE
a) Définition :
Dans un triangle rectangle le côté opposé à l’angle droit est appelé hypoténuse.
b) Théorème :
Dans un triangle rectangle le milieu de l’hypoténuse est à égale distance des
trois sommets.
angle
droit
hypoténuse
SI
ABC triangle rectangle en A
I milieu de [BC]
ALORS
IA = IB = IC = BC/2

Démonstration :
Soit ABC un triangle rectangle en A et I le milieu de [BC].
Astuce :
Compétons la figure en faisant
apparaître le rectangle ABEC.
Nous savons (cours de 6ème ) que les diagonales d’un rectangle ont la même
longueur et le même milieu.
Donc le milieu I de la diagonale [BC] et aussi le milieu de la diagonale [AE]
et ces diagonales ont la même longueur AE = BC.
Finalement : IA= IB = IC = IE.
IA = IB = IC ce qui prouve le théorème.
III CERCLE ET TRIANGLE RECTANGLE
a) Définition :
On dit qu’un triangle est inscrit dans un cercle si ses trois sommets appartiennent au cercle.
A B
C E
I
A B
C
I

b) Théorème :
Si un triangle est inscrit dans un cercle et si un de ses côtés est un
diamètre du cercle,
Alors ce triangle est rectangle (le diamètre est son hypoténuse).
Démonstration :
Deux théorèmes vont être utiles pour démontrer celui-ci.
- Dans un triangle isocèle, les angles de bases ont la même mesure.
- La somme des mesures des angles de n’importe quel triangle est égale à 180°.
Astuce : appelons O le centre du cercle et traçons le rayon [OM].
Notons a la mesura de ;BAM et b celle de ;ABM.
– [OM] et [OA] sont des rayons du cercle, ils ont donc même mesure.
Le triangle AOM est donc isocèle en O et alors ses angles de base ;OAM et ;OMA
ont la même mesure a.
– [OM] et [OB] sont des rayons du cercle, ils ont donc même mesure.
Le triangle BOM est donc isocèle en O et alors ses angles de base ;OBM et ;OMB
ont la même mesure b.
– La somme des mesure des angles du triangle AMB est égale à 180° :
;BAM + ;ABM + ;AMB = 180 or ;BAM = a ;ABM = b et
;AMB = a + b
a + b + a + b = 180
2a + 2b = 180
2(a + b) =180
a + b = 180 : 2
a + b = 90
SI
A, B, M appartiennent au cercle
[AB] est un diamètre du cercle
ALORS
ABM est un triangle rectangle en M

Donc ;AMB = a + b = 90 ce qui prouve que le triangle AMB est rectangle en M.