Rappels d`Alg`ebre Groupes Anneaux

Rappels d’Alg`ebre
Un monoide est un ensemble Mmuni d’une loi de composition
interne ?(souvent not´ee de fa¸con infixe) associative :
∀x, y ∈M x ? y ∈M
∀x, y, z ∈M x ? (y ? z)=(x?y)? z
poss´edant un ´el´ement neutre. Le monoide peut ˆetre commutatif
(ab´elien)
∀x, y ∈ M x?y=y ? x
Exemples : (N,+), (N, .), (Z,+), le monoide libre engendr´e par
un alphabet A, . . .
En programmation (Caml) nous aurons un type dit “support”
muni d’op´erations d´ecrites par leur type
module type monoide =
sig
type s
val one : s
val mult : s -> s -> s
end;;
module entiers_positif = ... ;;
Groupes
Un groupe est un monoide (G, ?) dans lequel tout ´el´ement
admet un inverse pour ?. On parlera d’oppos´e pour une loi not´ee
additivement et d’inverse pour une loi not´ee multiplicativement.
On notera 0 l’´el´ement neutre de + et 1 celui de ×.
module type groupe =
sig
type s
val zero : s
val plus : s -> s -> s
val oppose : s -> s
val moins : s -> s -> s
end;;
module entiers_positif = ... ;;
Anneaux
Un anneau est un groupe ab´elien commutatif Anot´e
additivement et un monoide not´e multiplicativement. La
multiplication doit ˆetre distributive sur l’addition :
∀x, y, z ∈Ax.(y+z) = x.y +x.z
∀x, y, z ∈A(x+y).z =x.z +y.z
module type anneau =
sig
type s
...
end;;
Un corps est un anneau dans lequel tout ´el´ement non nul est
inversible pour la multiplication.

Id´eaux
Aun anneau, un id´eal Ide Aest
un sous groupe additif de A
stable par multiplication par les ´el´ements de A
∀a∈AaI ⊂ I o`u aI={ai |i∈ I}
∀a∈A∀i∈ I ai ∈ I
Si la multiplication est commutative, l’anneau est dit
commutatif. On ne consid`erera que des anneaux commutatifs.
Pour adans Al’id´eal principal engendr´e par aest l’ensemble
des mutliples de a:<a>ou aA. L’anneau Aest principal si
tous ses id´eaux sont principaux.
Exemple : Zest un anneau principal (B´ezout).
Aun anneau, a1. . . an∈A. L’id´eal engendr´e par a1. . . anest
l’ensemble des combinaisons lin´eaires de a1. . . an.
< a1. . . an>={λ1a1+. . . λnan, λi∈A}
Anneaux Euclidiens
Un anneau Aest Euclidien si :
Aest une muni d’une op´eration de A− {0}dans N:
a7→ | a|
Aest muni d’une division Euclidienne :
∀a, b ∈Ab6= 0,∃q, r ∈Aa=qb+ravec r= 0 ou |r|<|b|
et la d´ecomposition est unique.
Exemple : Z,K[X] si Kest un corps. Pas Z[X].
Un anneau Euclidien est toujours principal.
Un corps est un anneau Euclidien :
∀x, y ∈Ky6= 0 , x = (x.y−1)y
Les entiers modulaires
nun entier positif, Z/nZest un anneau quotient, ses ´el´ements
sont les classes d’´equivalences de la relation :
x∼ny⇔x−yest mutliple de n
Aun anneau, Iun id´eal de A,
x∼Iy⇔x−y∈ I
Les “op´erations” dans A/I:
a, b ∈Aba⊕b b=[ a+b
a, b ∈Aba⊗b b=c a.b
Iest b 0 ! Si Aest Euclidien, I=aA. Les classes d’´equivalences
de ∼asont tous les ´el´ements r´eduits modulo a!
Arithm´etique
Z/nZest form´e des classes b 0, . . . [ n−1 (repr´esentants
canoniques).
0≤i, j < n,b i⊕b j=bsavec s= (i+j) mod n
0≤i, j < n,b i⊗b j=bpavec p= (i.j) mod n
Z/2Zest un corps : F2
⊕b 0b 1
b
0b 0b 1
b
1b 1b 0
⊗b 0b 1
b
0b 0b 0
b
1b 0b 1
Z/3Zest un corps : F3
⊕b 0b 1b 2
b
0b 0b 1b 2
b
1b 1b 2b 0
b
2b 2b 0b 1
⊗b 0b 1b 2
b
0b 0b 0b 0
b
1b 0b 1b 2
b
2b 0b 2b 1
Abus de notation : on identifira bı et i,⊕et +, ⊗et ×.

Propri´et´es
Z/4Zn’est pas un corps, Z/5Z=F5est un corps.
Un anneau Aest dit int`egre si
∀x, y ∈Axy = 0 ⇒x= 0 ou y= 0
Exemple : un anneau Euclidien est un anneau int`egre, Z
dans Z/4Z: 2.2 = 0, n’est pas int`egre !
Aun anneau, a, b ∈A,adivise bs’il existe c∈Aavec b=ac.
Si Aest int`egre, cest unique. On note a|bet c=b/a.
Une unit´e de Aest un ´el´ement qui divise 1.
Dans Z: 1, -1 ! Dans un corps K: tout ´el´ement non nul.
Dans Z/nZ: tous les entiers qui sont premiers avec n!
Relation de B´ezout
Th´eor`eme (B´ezout) : Z/nZest un corps ⇔nest premier.
Un ´el´ement d’un anneau Aest premier (irr´eductible) si dans
toute factorisation a=bc,bou cest une unit´e.
Un anneau Aest factoriel si
tout ´el´ement apeut se d´ecomposer en produit :
a=upi1
1. . . pik
k
o`u uest une unit´e de A, les pjsont premiers.
La d´ecomposition est unique aux unit´es et `a l’ordre des
facteurs pr`es.
Un anneau Euclidien est factoriel.
Corps finis
Z,K[X] propri´et´es analogues !
corps `a p´el´ement : Fp=Z/pZ,ppremier dans Z,
les nombres complexes : C=R[ı]/< ı2+ 1 >,X2+ 1
irr´eductible dans R[X]. On calcule avec la “r`egle” ı2=−1 !
Dans F2[X], Pα(X) = X2+X+ 1 on examine le quotient
Fα=F2[α]/< Pα(α)>
Fα=nb 0,b 1,bα, \ α+ 1o
On calcule avec la “r`egle” α2=α+ 1 !
Un corps `a 4 ´el´ements
Groupe additif :
⊕b 0b 1bα\ α+ 1
b
0b 0b 1bα\ α+ 1
b
1b 1b 0\ α+ 1 bα
bαbα\ α+ 1 b 0b 1
\
α+ 1 \ α+ 1 bαb 1b 0
Tout ´el´ement non nul est inversible :
⊗b 0b 1bα\ α+ 1
b
0b 0b 0b 0b 0
b
1b 0b 1bα\ α+ 1
bαb 0bα\ α+ 1 b 1
\
α+ 1 b 0\ α+ 1 b 1bα
Fαest un corps `a 4 ´el´ements !
Fαcontient F2comme sous corps.

Alg`ebres
Kun corps, un K-espace vectoriel est groupe ab´elien additif V
muni d’une multiplication scalaire de K×V→Vv´erifiant :
(a+b)u=au +bu
a(u+v) = au +av
(ab)u=a(bu)
1u=u
pour tous a, b ∈K, tous u, v ∈V.
module type espace_vectoriel(k : corps) =
...
val mult_scalaire : k.c -> v -> v
...
Si Kest simplement un anneau A,Vest un A-module.
Une K-alg`ebre est `a la fois un K-espace vectoriel et un anneau.