Rappels d`Alg`ebre Groupes Anneaux

Rappels d’Algèbre
Un monoide est un ensemble M muni d’une loi de composition
interne ? (souvent notée de façon infixe) associative :
∀x, y ∈ M x ? y ∈ M
∀x, y, z ∈ M x ? (y ? z) = (x ? y) ? z
possédant un élément neutre. Le monoide peut être commutatif
(abélien)
∀x, y ∈ M x ? y = y ? x
Exemples : (N, +), (N, .), (Z, +), le monoide libre engendré par
un alphabet A, . . .
En programmation (Caml) nous aurons un type dit “support”
muni d’opérations décrites par leur type
module type monoide =
sig
type s
val one : s
val mult : s -> s -> s
end;;
module entiers_positif = ... ;;
Groupes
Un groupe est un monoide (G, ?) dans lequel tout élément
admet un inverse pour ?. On parlera d’opposé pour une loi notée
additivement et d’inverse pour une loi notée multiplicativement.
On notera 0 l’élément neutre de + et 1 celui de ×.
module type groupe =
sig
type s
val zero : s
val plus : s -> s -> s
val oppose : s -> s
val moins : s -> s -> s
end;;
module entiers_positif = ... ;;
Anneaux
Un anneau est un groupe abélien commutatif A noté
additivement et un monoide noté multiplicativement. La
multiplication doit être distributive sur l’addition :
∀x, y, z ∈ A x.(y + z) = x.y + x.z
∀x, y, z ∈ A (x + y).z = x.z + y.z
module type anneau =
sig
type s
...
end;;
Un corps est un anneau dans lequel tout élément non nul est
inversible pour la multiplication.
Idéaux
A un anneau, un idéal I de A est
un sous groupe additif de A
stable par multiplication par les éléments de A
∀a ∈ A aI ⊂ I où aI = {ai | i ∈ I}
∀a ∈ A∀i ∈ I ai ∈ I
Si la multiplication est commutative, l’anneau est dit
commutatif. On ne considèrera que des anneaux commutatifs.
Pour a dans A l’idéal principal engendré par a est l’ensemble
des mutliples de a : < a > ou aA. L’anneau A est principal si
tous ses idéaux sont principaux.
Exemple : Z est un anneau principal (Bézout).
A un anneau, a1 . . . an ∈ A. L’idéal engendré par a1 . . . an est
l’ensemble des combinaisons linéaires de a1 . . . an .
Anneaux Euclidiens
Un anneau A est Euclidien si :
A est une muni d’une opération de A − {0} dans N :
a 7→ | a |
A est muni d’une division Euclidienne :
∀a, b ∈ A b 6= 0, ∃q, r ∈ A a = qb+r avec r = 0 ou | r | < | b |
et la décomposition est unique.
Exemple : Z, K[X] si K est un corps. Pas Z[X].
Un anneau Euclidien est toujours principal.
Un corps est un anneau Euclidien :
∀x, y ∈ K y 6= 0 , x = (x.y −1 )y
< a1 . . . an >= {λ1 a1 + . . . λn an , λi ∈ A}
Les entiers modulaires
n un entier positif, Z/nZ est un anneau quotient, ses éléments
sont les classes d’équivalences de la relation :
x ∼n y ⇔ x − y est mutliple de n
A un anneau, I un idéal de A,
x ∼I y ⇔ x − y ∈ I
Les “opérations” dans A/I :
a, b ∈ A b
a ⊕ bb = a[
+b
b
c
a, b ∈ A b
a ⊗ b = a.b
I est b
0 ! Si A est Euclidien, I = aA. Les classes d’équivalences
de ∼a sont tous les éléments réduits modulo a !
Arithmétique
Z/nZ est formé des classes b
0, . . . n[
− 1 (représentants
canoniques).
0 ≤ i, j < n, bi ⊕ b
j = sb avec s = (i + j) mod n
b
b
0 ≤ i, j < n, i ⊗ j = pb avec p = (i.j) mod n
Z/2Z est un
0 b
1
⊕ b
b
0 b
0 b
1
b
b
b
1 1 0
corps :
0
⊗ b
b
0 b
0
b
b
1 0
F2
b
1
b
0
b
1
Z/3Z est un
⊕ b
0 b
1 b
2
b
0 b
0 b
1 b
2
b
1 b
1 b
2 b
0
b
b
b
b
2 2 0 1
corps :
⊗ b
0
b
0 b
0
b
1 b
0
b
b
2 0
F3
b
1
b
0
b
1
b
2
Abus de notation : on identifira bı et i, ⊕ et +, ⊗ et ×.
b
2
b
0
b
2
b
1
Propriétés
Z/4Z n’est pas un corps, Z/5Z = F5 est un corps.
Un anneau A est dit intègre si
∀x, y ∈ A xy = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0
Exemple : un anneau Euclidien est un anneau intègre, Z
dans Z/4Z : 2.2 = 0, n’est pas intègre !
A un anneau, a, b ∈ A, a divise b s’il existe c ∈ A avec b = ac.
Si A est intègre, c est unique. On note a | b et c = b/a.
Une unité de A est un élément qui divise 1.
Dans Z : 1, -1 ! Dans un corps K : tout élément non nul.
Dans Z/nZ : tous les entiers qui sont premiers avec n !
Relation de Bézout
Théorème (Bézout) : Z/nZ est un corps ⇔ n est premier.
Un élément d’un anneau A est premier (irréductible) si dans
toute factorisation a = bc, b ou c est une unité.
Un anneau A est factoriel si
tout élément a peut se décomposer en produit :
a = upi11 . . . pikk
où u est une unité de A, les pj sont premiers.
La décomposition est unique aux unités et à l’ordre des
facteurs près.
Un anneau Euclidien est factoriel.
Corps finis
Un corps à 4 éléments
Groupe additif :
Z, K[X] propriétés analogues !
corps à p élément : Fp = Z/pZ, p premier dans Z,
les nombres complexes : C = R[ı]/< ı2 + 1 >, X 2 + 1
irréductible dans R[X]. On calcule avec la “règle” ı2 = −1 !
Dans F2 [X], Pα (X) = X 2 + X + 1 on examine le quotient
Fα = F2 [α]/< Pα (α) >
n
o
\
Fα = b
0, b
1, α
b, α
+1
On calcule avec la “règle” α2 = α + 1 !
b
b
\
⊕
0
1
α
b
α
+1
b
b
b
\
0
0
1
α
b
α
+1
b
b
b
\
1
1
0
α
+1
α
b
b
b
\
α
b
α
b
α
+1
0
1
b
b
\
\
α
+1 α
+1
α
b
1
0
Tout élément non nul est inversible :
⊗
b
0
b
1
α
b
\
α
+1
b
b
0
1
α
b
b
b
b
0
0
0
b
b
0
1
α
b
b
\
0
α
b
α
+1
b
b
\
0 α
+1
1
Fα est un corps à 4 éléments !
Fα contient F2 comme sous corps.
\
α
+1
b
0
\
α+1
b
1
α
b
Algèbres
K un corps, un K-espace vectoriel est groupe abélien additif V
muni d’une multiplication scalaire de K × V → V vérifiant :
(a + b)u = au + bu
a(u + v) = au + av
(ab)u = a(bu)
1u = u
pour tous a, b ∈ K, tous u, v ∈ V .
module type espace_vectoriel(k : corps) =
...
val mult_scalaire : k.c -> v -> v
...
Si K est simplement un anneau A, V est un A-module.
Une K-algèbre est à la fois un K-espace vectoriel et un anneau.